余志武，張鵬，丁叁叁，單智

(1. 中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南 長沙，410075；2. 中南大學(xué) 高速鐵路建造技術(shù)國家工程實(shí)驗(yàn)室，湖南 長沙，410075；3. 中車青島四方機(jī)車車輛股份有限公司，山東 青島，266111)

磁浮列車有著低噪聲、低排放、低維護(hù)成本、無脫軌風(fēng)險(xiǎn)等優(yōu)點(diǎn)，正成為一種新型的軌道交通工具在全世界范圍內(nèi)被廣泛接受。磁浮車橋耦合振動(dòng)是磁浮交通面臨的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)問題[1]，國內(nèi)外學(xué)者針對該問題開展了相關(guān)研究[2-7]，主要包括計(jì)算模型的研究和控制算法的研究。CAI等[8]以集中力和2自由度簧上質(zhì)量模型簡化磁浮車輛，分析了不同車速對橋梁動(dòng)力響應(yīng)的影響。滕延鋒等[9]將車輛視為移動(dòng)均布荷載，對磁浮列車通過三跨連續(xù)型軌道梁時(shí)的耦合振動(dòng)反應(yīng)進(jìn)行了確定性參數(shù)分析。ZHAO等[1]建立了考慮10自由度磁浮車輛的垂向耦合系統(tǒng)模型，將復(fù)雜的電磁力模型簡化為彈簧-阻尼模型，分析了磁浮車輛在不同類型軌道梁上運(yùn)行的走行性能。YANG 等[10-13]采用比例-積分-微分(PID)算法、狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)算法、魯棒算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等不同控制算法計(jì)算有源主動(dòng)控制電磁力，對大量參數(shù)進(jìn)行了分析。以上研究都是確定性分析或者采用1條或幾條軌道不平順激勵(lì)來計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)，無法準(zhǔn)確考慮隨機(jī)激勵(lì)引起的系統(tǒng)響應(yīng)的離散程度。而實(shí)際上，磁浮系統(tǒng)是復(fù)雜的隨機(jī)系統(tǒng)，隨機(jī)軌道不平順、車橋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和多重外荷載隨機(jī)源的存在使得系統(tǒng)的隨機(jī)動(dòng)力特性更加難以估計(jì)[14]。經(jīng)典的Monte Carlo 法(MCM)由于需要大量的樣本來保證計(jì)算精度，限制了人們使用該方法對車橋振動(dòng)特性進(jìn)行研究。目前采用隨機(jī)振動(dòng)理論對磁浮車橋耦合系統(tǒng)進(jìn)行的研究有限。概率密度演化理論是近年來發(fā)展的隨機(jī)動(dòng)力分析方法，被廣泛應(yīng)用于地震工程、風(fēng)工程、建筑工程等領(lǐng)域，利用該方法考慮隨機(jī)軌道不平順和隨機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)是合理、可行的[15]，能得到高精度的系統(tǒng)響應(yīng)均值、標(biāo)準(zhǔn)差及概演率密度演化曲線[16]。迄今為止，尚未見將該方法應(yīng)用于磁浮車橋耦合振動(dòng)分析的案例。為此，本文作者建立磁浮車輛-控制器-軌道梁耦合系統(tǒng)時(shí)變隨機(jī)動(dòng)力分析模型，運(yùn)用數(shù)論選點(diǎn)法選取N-維代表性點(diǎn)集和隨機(jī)諧和函數(shù)法模擬軌道不平順，將概率密度演化理論引入磁浮動(dòng)力分析系統(tǒng)。以常導(dǎo)型磁浮列車通過三跨連續(xù)型軌道梁為例，計(jì)算車橋動(dòng)力響應(yīng)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和概率密度演化曲線，采用Monte Carlo 法和文獻(xiàn)結(jié)果驗(yàn)證模型的計(jì)算效率和精度，計(jì)算不同概率保證率的行車速度和支座剛度對系統(tǒng)響應(yīng)的影響規(guī)律。

1 磁浮列車-軌道梁耦合系統(tǒng)模型

1.1 磁浮車輛模型

磁浮列車模型每節(jié)車輛由1節(jié)車體和4個(gè)磁轉(zhuǎn)向架組成[17]，如圖1所示。由于列車移動(dòng)時(shí)對軌道梁的垂向激擾遠(yuǎn)大于橫向激擾，因此，只考慮車橋的垂直平面內(nèi)振動(dòng)。考慮車體(zc,βc)及磁轉(zhuǎn)向架(zbi,βbi,i= 1,…,4)浮沉和點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)，每節(jié)車輛具有10 個(gè) 自 由 度，Uv=[zc,βc,zb1,βb1,zb2,βb2,zb3,βb3,zb4,βb4]。每車采用16 個(gè)集中電磁力(Fi,i=1, 2,3,…,16)模擬均勻分布的電磁作用力以兼顧計(jì)算精度和效率[17]。假定車體和磁轉(zhuǎn)向架均為剛體，各剛體間通過線性彈簧-阻尼器連接。根據(jù)彈性系統(tǒng)總勢能不變原理的“對號(hào)入座”法則[18]，經(jīng)推導(dǎo)得到列車運(yùn)動(dòng)方程：

圖1 磁浮列車-軌道梁垂向耦合系統(tǒng)模型Fig.1 Interaction model of maglev vehicle-guideway

式中：Mv，Cv，Kv和Uv分別為車輛的整體質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和位移向量；Fv(t)為車輛外荷載向量；U?v和U?v分別為速度向量和加速度向量。

1.2 連續(xù)型軌道梁模型

建立軌道結(jié)構(gòu)的方法通常有模態(tài)疊加法和有限元法，以往的研究常采用模態(tài)疊加法建立橋梁動(dòng)力方程以降低計(jì)算量[18]。采取有限元法建立軌道結(jié)構(gòu)時(shí)，可避免用模態(tài)疊加法選取有限階模態(tài)時(shí)難以全面考慮軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)狀態(tài)的問題。連續(xù)梁中支座數(shù)量較簡支梁多，建立考慮彈性支座[5]的軌道梁模型以考慮連續(xù)梁中支座剛度影響，軌道梁系統(tǒng)的有限元法動(dòng)力方程為

式中：Mb，Cb，Kb和Ub分別為軌道梁系統(tǒng)的初始質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和自由度向量；Fb(t)為軌道梁系統(tǒng)外荷載向量；Cs和Ks分別為支座阻尼和剛度。

阻尼可按Rayleigh阻尼確定，其中，

1.3 懸浮控制模型

磁浮車輛通過懸浮控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)車輛的穩(wěn)定懸浮，單個(gè)電磁鐵是控制系統(tǒng)中最基本的控制單元，建立單個(gè)電磁鐵與軌道梁相互作用模型，如圖2 所示。忽略電磁繞組的磁通漏和磁勢的損失，假定磁勢在懸浮間隙上均勻分布，其瞬時(shí)垂向懸浮電磁力為

圖2 單個(gè)電磁鐵-軌道梁相互作用示意圖Fig.2 Interaction model of single electromagnetguideway

式中：it為實(shí)時(shí)電流；ht為實(shí)時(shí)懸浮間隙；B為磁通密度；μ0為磁導(dǎo)率；A為磁極面積；N為電磁繞組匝數(shù)。

由于常導(dǎo)磁浮開環(huán)控制本質(zhì)上具有不穩(wěn)定性，須引入反饋控制使之穩(wěn)定懸浮[17]。采用工業(yè)控制中廣泛使用的PID控制算法，以電流控制實(shí)現(xiàn)閉環(huán)反饋控制，將懸浮間隙、電磁鐵速度和加速度作為狀態(tài)反饋控制量，其算法原理為

式中：Rh，Rv和Ra為反饋控制增益；z?b和z?b分別為t時(shí)刻的電磁鐵垂向速度和加速度；Δht為t時(shí)刻懸浮間隙相對平衡位置變化量，Δht=ht-h0；Δit為t時(shí)刻電流變化量，Δit=it-i0。

1.4 軌道不平順隨機(jī)模擬

軌道不平順是引起磁浮車橋耦合振動(dòng)的主要激勵(lì)源之一，對磁浮列車運(yùn)行安全和平穩(wěn)具有重要影響[1]。采用磁浮功率譜密度函數(shù)[19]：

式中：S(Ω)為不平順功率譜密度函數(shù)；A，B，C，D，E，F(xiàn)和G為譜相關(guān)系數(shù)；Ω為空間頻率。

采用隨機(jī)諧和函數(shù)法描述隨機(jī)軌道不平順。相對于常用的三角級數(shù)法，隨機(jī)諧和函數(shù)法采用少量的隨機(jī)諧和函數(shù)分量即可精確模擬具有隨機(jī)相位和頻率的隨機(jī)諧和函數(shù)過程。當(dāng)隨機(jī)樣本功率譜精確等于目標(biāo)功率譜時(shí)，可有效降低計(jì)算工作量和提高計(jì)算精度，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：S(Ωj)為軌道不平順功率譜；ΔΩj為頻率間隔帶寬；Ω= 2π/λ，為空間頻率；λ為軌道不平順波長；v為列車運(yùn)行速度；Ωj和?j分別為第j個(gè)諧和分量的圓頻率和相位角，兩者為相互獨(dú)立的隨機(jī) 變 量；?j服 從(0,2π]上 的 均 勻 分 布；Ωj∈[Ωmin,Ωmax]，Ωmin和Ωmax分別為頻率的下限值和上限值。經(jīng)仿射變換，Ωj滿足Ωmin＜Ω1＜Ωj＜… ＜Ωmax。

運(yùn)用數(shù)論選點(diǎn)法選取2N維隨機(jī)向量Ωj和?j[20]的包含概率信息的代表性點(diǎn)集。根據(jù)文獻(xiàn)[20]，由平方根序列法生成2N維超立方體點(diǎn)集(gp集)：

式中：?j為互不相同的質(zhì)數(shù)；npt為樣本總數(shù)。頻率和波長的轉(zhuǎn)換式為ω=Ωv= 2πv/λ。經(jīng)仿射變換和選點(diǎn)變換后的代表性離散點(diǎn)為

式中：j= 1,2,…,N；q= 1,2,…,npt。所有代表性點(diǎn)集的初始概率為PΩq= 1/npt，偏差滿足d(n,pn)≤c(?,ε)n-1+ε；n= 1,2,…pn，為?q,j構(gòu) 成 的 點(diǎn) 集。對進(jìn)行概率剖分，有

將式(10)代入式(7)，得到代表性軌道不平順激勵(lì)樣本函數(shù)：

2 磁浮列車-軌道梁耦合系統(tǒng)時(shí)變隨機(jī)運(yùn)動(dòng)方程

采用分離迭代方法將車輛子系統(tǒng)和軌道梁子系統(tǒng)耦聯(lián)，聯(lián)合式(1)和式(2)建立2 個(gè)子系統(tǒng)相互作用運(yùn)動(dòng)方程：

式中：隨機(jī)變量集Θ=(ξ1,ξ2,…,ξs)，s為車橋系統(tǒng)隨機(jī)變量總數(shù)目；Fv(Θ,t)為車輛系統(tǒng)隨機(jī)外力向量；Fb(Θ,t)為軌道梁隨機(jī)外力向量。

方程(12)中，車輛子系統(tǒng)和軌道梁子系統(tǒng)視為2個(gè)獨(dú)立的子系統(tǒng)，通過車軌間的電磁相互作用力耦合作用，車輛子系統(tǒng)外荷載項(xiàng)由車輛自重和電磁力組成：

式中：Nv為列車編組數(shù)量；為第k節(jié)列車自重荷載。

v 為車輛荷載轉(zhuǎn)換向量，向量維度為1 ×Dv，Dv為 列車總自由度。Fv(Θ,t)隨列車運(yùn)行位置的改變而改變，具有時(shí)變特性。

車輛對軌道梁的作用力Fb(Θ,t)為

其中：δ為Dirac 函數(shù)，v為行車速度，t為運(yùn)行時(shí)間；N(xi)為1 ×Db維向量，表示第i個(gè)作用點(diǎn)處對應(yīng)的軌道梁單元的位移形函數(shù)；Db為軌道梁的自由度；和分別為作用力與反作用力。

3 概率密度演化方程的建立及求解

不失一般性，當(dāng)考慮軌道不平順的隨機(jī)性時(shí)，耦合系統(tǒng)的整體動(dòng)力方程可以表示為

基于式(17)的車橋系統(tǒng)動(dòng)力方程，利用Newmark-β 逐步積分法，求解給定隨機(jī)變量Θ=(θ1,θ2,…,θq)(其中，q= 1,2,…,n,n為代表性樣本總數(shù))，代表性樣本y?q(x)激勵(lì)下的時(shí)變隨機(jī)動(dòng)力方程。方程(17)的物理解答存在、唯一且連續(xù)依賴于隨機(jī)參數(shù)Θ。

為表示方便，采用Z={Ψv,Ψb}T統(tǒng)一表示結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)矩陣，則

式中：Ψv和Ψb分別表示磁浮車輛和軌道梁動(dòng)力響應(yīng)代表函數(shù)。令U為待求解動(dòng)力響應(yīng)向量，則有

其中：gu(·)和Gu(·)為隨機(jī)向量；Z=H(Θ,t)，Z?=h(Θ,t)，分別為響應(yīng)U和U?的轉(zhuǎn)化方程；gu=(gu,1,gu,2,…,gu,n)T。顯然，增廣系統(tǒng)(U,Θ)是概率保守系統(tǒng)，滿足概率守恒定律。設(shè)pUΘ(u,θ,t)為(U,θ)的聯(lián)合概率密度函數(shù)，則根據(jù)概率守恒原理的隨機(jī)事件描述為

式中：P為概率函數(shù)；Ωt為初始空間區(qū)域Ω0的映射空間區(qū)域；ΩΘ為隨機(jī)變量Θ的響應(yīng)分布函數(shù)；為全導(dǎo)數(shù)公式。

將式(20)代入式(22)～(24)，建立指定隨機(jī)變量的概率密度演化方程[21]：

當(dāng)Θ=θq(q= 1,2,3,…,n)，U(t0) =u0時(shí)，方程(25)的概率初始條件和邊界條件為[21]：

確定初始條件和邊界條件后，采用帶TVD 格式的雙邊差分法求解偏微分方程，得到概率解pUΘ(u,θ,t)，計(jì)算U(t)的概率密度函數(shù)：

4 模型驗(yàn)證和隨機(jī)動(dòng)力數(shù)值分析

本文以三跨連續(xù)型軌道梁為例，基于MATLAB平臺(tái)自主編寫磁浮車輛-控制器-連續(xù)型軌道梁耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)分析程序。采用1.4節(jié)所述方法由目標(biāo)功率譜生成軌道不平順時(shí)域隨機(jī)樣本，考慮軌道不平順中的長波和短波分量的影響，波長范圍取λ∈[0.5,150]m[19]。圖3 所示為代表性軌道垂向不平順時(shí)域曲線。為方便與Monte Carlo 法對進(jìn)行比，列車采用5 車編組，行車速度取100～500 km/h。磁浮車輛參數(shù)參照文獻(xiàn)[1]取值，軌道梁參數(shù)如表1所示。軌道梁的一階和二階頻率分別為2.46 Hz和6.09 Hz。在軌道梁兩側(cè)各添加長度為50 m 的剛性軌道，模擬列車上橋前的初始振動(dòng)狀態(tài)。懸浮間隙名義平衡位置取10 mm，初始電流為25 A。對于概率密度演化理論，聯(lián)合數(shù)論選點(diǎn)的隨機(jī)諧和函數(shù)法(記為PDEM-NTM)，軌道不平順代表性頻率數(shù)Nfre取500；對于Monte Carlo 法，Nfre分別取500，1 000，5 000和9 999。經(jīng)概率統(tǒng)計(jì)計(jì)算，得到響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

圖3 代表性軌道不平順時(shí)域曲線Fig.3 Representative vertical irregularity profile

表1 軌道梁參數(shù)取值Table 1 Parameters of guideway

4.1 計(jì)算效率和精度驗(yàn)證

將計(jì)算程序在相同的計(jì)算機(jī)運(yùn)行并記錄求解耗時(shí)。表2所示為2種方法計(jì)算耗時(shí)和標(biāo)準(zhǔn)差相對偏差對比。圖4～6 中(a)和(b)所示為Monte Carlo 法和PDEM-NTM 計(jì)算結(jié)果均值和標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)程對比。由表2 和圖4～6 可知：隨著所取樣本數(shù)增加，Monte Carlo 法得出的響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差趨于穩(wěn)定，并逐漸趨近于PDEM-NTM 計(jì)算結(jié)果；由PDEM-NTM計(jì)算500個(gè)樣本可達(dá)到Monte Carlo法計(jì)算9 999個(gè)樣本相當(dāng)?shù)木?，相對偏差最大?.15%。Monte Carlo 法計(jì)算9 999 個(gè)樣本耗時(shí)5 012.50 min，PDEM-NTM計(jì)算500個(gè)頻率耗時(shí)157.12 min，相比Monte Carlo 法能提高計(jì)算效率1～2 個(gè)數(shù)量級。綜上可知，PDEM-NTM 具有較高的計(jì)算精度和效率。

表2 計(jì)算結(jié)果對比Table 2 Comparison of calculation results

圖4(c)和圖4(d)所示分別為軌道梁跨中撓度的三維概率密度函數(shù)值及其等高線俯視圖。分析圖4(c)可知：在隨機(jī)軌道不平順激勵(lì)下，軌道梁跨中撓度概率密度演化曲線形狀規(guī)則且峰值單一，等概率密度演化曲線較窄，概率密度函數(shù)基本上呈標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；軌道梁跨中動(dòng)撓度均值最大值為14.99 mm，對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.03 mm，變異系數(shù)為0.21%，這說明軌道梁動(dòng)撓度受軌道不平順影響較小，動(dòng)撓度主要受車輛載重控制。文獻(xiàn)[7]中，不考慮軌道不平順影響時(shí)的計(jì)算撓度為15.01 mm，在本文計(jì)算的響應(yīng)范圍之內(nèi)，這也驗(yàn)證了本文物理模型的正確性。

圖4 軌道梁跨中撓度隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)Fig.4 Random dynamic responses of guideway deflection of midpoint

圖5(c)和圖5(d)所示為2 種方法的首車車體豎向加速度響應(yīng)的概率密度演化圖及其等高線圖。從圖5(d)可以看出車體加速度等概率密度曲線區(qū)域?qū)?，形狀顯示不規(guī)則；加速度均值最大值為0.80 m/s2，相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.011 m/s2，變異系數(shù)為1.38%，這說明車體加速度受軌道不平順的影響程度大于軌道梁動(dòng)撓度受軌道不平順的影響程度。

圖5 首車車體加速度隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)Fig.5 Random dynamic responses of the first car acceleration

圖6(c)和圖6(d)所示分別為軌道梁跨中加速度概率密度函數(shù)及其等高線圖。分析圖6(c)和圖6(d)可得：軌道梁跨中加速度概率密度曲線呈現(xiàn)明顯的演化進(jìn)程和隨機(jī)漲落，等概率密度曲線很不規(guī)則且值域較寬，概率密度函數(shù)多峰并呈現(xiàn)非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，概率密度演化進(jìn)程離散程度明顯強(qiáng)于軌道梁跨中撓度演化進(jìn)程離散程度；加速度均值最大值為0.45 m/s2，相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.13 m/s2，變異系數(shù)為35.13%。由此可見，軌道梁跨中加速度受軌道不平順影響程度大于動(dòng)撓度受軌道不平順影響程度。

圖6 軌道梁跨中加速度隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)Fig.6 Random dynamic responses of guideway acceleration atmidpoint

4.2 車速影響分析

車速是影響系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)的重要因素。將車速從100～500 km/h按50 km/h梯度增加，分別計(jì)算

9個(gè)工況列車以不同車速經(jīng)過軌道梁過程中出現(xiàn)最大均值和標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)的軌道梁跨中撓度和加速度、首車車體豎向加速度和懸浮間隙。相較于傳統(tǒng)的取1 條軌道不平順樣本激勵(lì)并取響應(yīng)最大值方法，本文采用3σ 法則確定具有不同概率保證率的隨機(jī)響應(yīng)上下限。表3所示為不同車速下車橋系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)。

從表3可以看出：系統(tǒng)響應(yīng)隨著車速增加基本增加；車速增加5倍，軌道梁跨中撓度和加速度均值分別增大0.13 倍和11.16 倍，車輛加速度和懸浮間隙均值分別增大9.25 倍和0.07 倍。軌道梁撓度和懸浮間隙受車速影響較小，而車輛和軌道梁加速度受車速影響較大。系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)并非隨車速的增加而線性遞增，這與軌道梁和車體的多階自振頻率以及軌道隨機(jī)不平順激勵(lì)有關(guān)。與傳統(tǒng)的選取若干條軌道不平順樣本計(jì)算響應(yīng)，然后從中挑選最大值的分析方法相比，采用基于概率思想的隨機(jī)分析方法能得到具有概率保證率的響應(yīng)分布范圍，有利于揭示隨機(jī)動(dòng)力概率域分布特征。

表3 車速對磁浮系統(tǒng)隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)的影響Tab.3 Effect of vehicle running speed on random dynamic responses of maglev system

根據(jù)TB10630—2019“磁浮鐵路技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)(試行)”[22]規(guī)定，軌道梁最大加速度限值為0.350g，車輛最大加速度限值為0.125g。當(dāng)概率保證率為99.7%時(shí)，軌道梁加速度最大值ag-max=1.12 m/s2，低于規(guī)范限值(3.50 m/s2)；車輛最大豎向加速度av-max=0.43 m/s2；低于規(guī)范限值(1.25 m/s2)。

不同車速軌道梁跨中撓度滿足不同保證率的上、下限值非常接近，隨機(jī)性變化很小。經(jīng)進(jìn)一步計(jì)算可知，確定性的車輛荷載起主導(dǎo)作用，這也與預(yù)期結(jié)果一致。軌道梁撓度最大值Dg-max=15.28 mm。

在不同車速等級下，懸浮間隙隨機(jī)響應(yīng)落在(μ± 3σ)區(qū)間內(nèi)的概率保證率大于(μ± 2σ)區(qū)間的概率保證率。懸浮間隙的最大波動(dòng)值約為2.76 mm。

4.3 支座剛度影響分析

支座是連接軌道梁和橋墩的傳力裝置，為避免出現(xiàn)過大的車輛和軌道梁振動(dòng)，通常需要控制軌道梁支座安裝剛度。保持車橋系統(tǒng)其他參數(shù)與軌道不平順的相同，僅考慮支座剛度變化的影響以減少其他因素干擾，支座剛度在1.8×109～1.8×1012N/m之間變化，計(jì)算概率保證率為99.7%時(shí)車輛和軌道梁的響應(yīng)均值、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)。圖7所示為系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)均值和變異系數(shù)隨支座剛度的變化。

從圖7 可以看出：當(dāng)支座剛度從1.8×109N/m增加到1.8×1012N/m時(shí)，軌道梁動(dòng)撓度、車體和磁轉(zhuǎn)向架垂向位移的響應(yīng)均值分別減小9.42%，7.92%和9.27%；當(dāng)支座剛度大于1.8×1011N/m 時(shí)，各項(xiàng)指標(biāo)均值基本保持穩(wěn)定且變化幅度在0.5%以內(nèi)；當(dāng)采用較柔支座剛度時(shí)(1.8×109N/m)，軌道梁動(dòng)撓度、車體和磁轉(zhuǎn)向架垂向位移響應(yīng)都增大；各項(xiàng)指標(biāo)的變異系數(shù)均隨支座剛度增大而遞增，其中，轉(zhuǎn)向架位移變異系數(shù)增大幅度為11.76%；達(dá)到穩(wěn)定后，各項(xiàng)變異系數(shù)低于0.22%。

圖7 支座剛度對動(dòng)力響應(yīng)的影響Fig.7 Effect of bearing stiffness on random dynamic responses

5 結(jié)論

1)建立的基于概率密度演化理論的磁浮列車-控制器-軌道梁時(shí)變隨機(jī)振動(dòng)分析方法具有較高的計(jì)算效率，與Monte Carlo 法相比，計(jì)算效率提高1～2個(gè)數(shù)量級。

2)在相同隨機(jī)軌道不平順激勵(lì)下，軌道梁跨中加速度、首車車體加速度、軌道梁跨中撓度的變異系數(shù)分別為35.13%，2.25%和0.21%，軌道梁跨中加速度、首車車體加速度和軌道梁跨中撓度等概率密度曲線規(guī)則程度依次增大。

3)在概率保證率為99.7%時(shí)，軌道梁動(dòng)撓度、車體和磁轉(zhuǎn)向架垂向位移響應(yīng)均值隨著支座剛度增加而減小，采用較柔支座剛度將放大系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。

4)隨著車速增加，車橋系統(tǒng)響應(yīng)均有不同程度增加，但并非呈線性成倍增加。