徐弓岳，郭二廓，馮澤民

(1. 江蘇大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江，212013；2. 張家港富瑞特種裝備股份有限公司，江蘇 張家港，215637；3. 河北工程大學(xué)機(jī)械與裝備工程學(xué)院，河北 邯鄲，056038)

液壓挖掘機(jī)是最重要的工程機(jī)械裝備之一，廣泛應(yīng)用于國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)中，其工作裝置是液壓挖掘機(jī)的核心運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，包含動(dòng)臂、斗桿、鏟斗和各工作液壓缸等部件。工作裝置設(shè)計(jì)是挖掘機(jī)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其設(shè)計(jì)方案能直接決定整機(jī)綜合性能。在設(shè)計(jì)時(shí)需要綜合考慮挖掘機(jī)的作業(yè)范圍、運(yùn)動(dòng)特性、挖掘力和挖掘性能等技術(shù)指標(biāo)和性能約束，是一個(gè)極其復(fù)雜的約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。與單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題存在絕對(duì)的全局最優(yōu)解不同，多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的多個(gè)目標(biāo)之間往往會(huì)互相沖突，不能同時(shí)達(dá)到最優(yōu)值，因此，多目標(biāo)優(yōu)化中引入了帕累托最優(yōu)(Pareto optimality)的概念來(lái)進(jìn)行權(quán)衡比較[1]。由于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法很難直接求得多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題完整的帕累托前沿面(Pareto front，PF)，基于進(jìn)化算法等先進(jìn)的人工智能方法求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題成為當(dāng)前多目標(biāo)優(yōu)化研究的熱門領(lǐng)域[2-4]。然而，對(duì)于挖掘機(jī)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，許多研究者往往習(xí)慣于通過(guò)權(quán)重和等經(jīng)典方法將其轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題求解[5-6]，這既需要足夠的先驗(yàn)知識(shí)，也無(wú)法一次求得優(yōu)化問(wèn)題的帕累托最優(yōu)解集(Pareto-optimal set，PS)。近年來(lái)，多目標(biāo)進(jìn)化算法被引入挖掘機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域，取得了較大進(jìn)展。徐弓岳等[7]基于改進(jìn)的非支配排序遺傳算法求解了簡(jiǎn)單型挖掘裝載裝置的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。張先萌等[8]結(jié)合響應(yīng)面法和第二代非支配排序遺傳算法解決了反鏟工作裝置的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。XU 等[9]采用基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法解決了強(qiáng)力三角工作裝置的多目標(biāo)優(yōu)化難題。然而，上述研究在設(shè)計(jì)優(yōu)化目標(biāo)時(shí)未充分考慮正鏟挖掘機(jī)的推壓力和挖掘性能等技術(shù)指標(biāo)，所建立的優(yōu)化模型不夠全面，鑒于此，本文作者以機(jī)構(gòu)構(gòu)型最為復(fù)雜的強(qiáng)力三角型液壓挖掘機(jī)為研究對(duì)象，綜合考慮作業(yè)范圍、運(yùn)動(dòng)特性、挖掘力，推壓力，挖掘性能等技術(shù)指標(biāo)建立其多目標(biāo)優(yōu)化模型，并通過(guò)多目標(biāo)進(jìn)化算法求解，深入驗(yàn)證多目標(biāo)進(jìn)化算法的適用性。

1 強(qiáng)力三角型液壓挖掘機(jī)

強(qiáng)力三角型液壓挖掘機(jī)以其獨(dú)具特色的強(qiáng)力三角工作裝置而得名，該工作裝置由德國(guó)奧倫斯泰因·科佩爾(O＆K)公司于20 世紀(jì)80 年代被提出，主要機(jī)型產(chǎn)品有O＆K 公司的RH 系列和美國(guó)卡特彼勒(Caterpillar)公司的6000系列液壓挖掘機(jī)，30 多年來(lái)，已有上千臺(tái)挖掘機(jī)在全世界各大礦山得到應(yīng)用。不同于普通正鏟工作裝置和簡(jiǎn)單型挖掘裝載裝置之間僅僅鏟斗缸鉸點(diǎn)連接關(guān)系的變化，強(qiáng)力三角工作裝置由動(dòng)臂、斗桿、鏟斗、強(qiáng)力三角、連桿和工作液壓缸等組成，強(qiáng)力三角本質(zhì)上是1 個(gè)中心鉸接在動(dòng)臂上的4 副搖桿，其余3 副分別與連桿、動(dòng)臂缸和鏟斗缸鉸接，構(gòu)成了一種特殊的機(jī)械杠桿結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

圖1 強(qiáng)力三角型液壓挖掘機(jī)Fig.1 TriPower hydraulic excavator

強(qiáng)力三角工作裝置是一種由12 個(gè)桿件組成的具有3個(gè)自由度的平面多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性導(dǎo)致無(wú)法求得解析解，只能通過(guò)數(shù)值方法求解，其運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)力學(xué)模型已得到廣泛研究[10-11]。圖2所示為強(qiáng)力三角正鏟工作裝置。從圖2可知：坐標(biāo)原點(diǎn)為挖掘機(jī)主機(jī)回轉(zhuǎn)中心與停機(jī)面的交點(diǎn)，通過(guò)建立如下閉環(huán)矢量方程組即可對(duì)各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ1，θ2和θ3進(jìn)行計(jì)算。

圖2 強(qiáng)力三角正鏟工作裝置Fig.2 TriPower shovel attachment

各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角與液壓缸伸長(zhǎng)量存在如下相關(guān)性：

相比于簡(jiǎn)單型挖掘裝載裝置，強(qiáng)力三角更進(jìn)一步耦合聯(lián)動(dòng)導(dǎo)致θ3與L1，L2和L3關(guān)聯(lián)，這也意味著僅從機(jī)構(gòu)角度來(lái)說(shuō)，同時(shí)實(shí)現(xiàn)水平推壓和平移提升有了理論上的可能性[12]。強(qiáng)力三角工作裝置使得挖掘機(jī)兼具以下三大功能特點(diǎn)。

1)水平推壓。當(dāng)挖掘機(jī)平整地面或分層采礦時(shí)，動(dòng)臂缸處于浮動(dòng)狀態(tài)使鏟斗緊貼推鏟面，推動(dòng)斗桿缸進(jìn)行一定距離的水平挖掘，在此過(guò)程中無(wú)需操縱鏟斗缸，鏟斗的推壓角亦保持不變，實(shí)現(xiàn)任意挖掘高度上的水平推壓，如圖3所示。

圖3 水平推壓示意圖Fig.3 Schematic diagram of level crowding

2)平移提升。當(dāng)鏟斗滿載物料舉升時(shí)，僅需操縱動(dòng)臂缸就能實(shí)現(xiàn)任意提升半徑上的平移提升，鏟斗姿態(tài)角變化較小，無(wú)需擔(dān)心斗中物料撒落的危險(xiǎn)，如圖4所示。

圖4 平移提升示意圖Fig.4 Schematic diagram of translational lifting

3)等力矩提升。由于強(qiáng)力三角的耦合聯(lián)動(dòng)作用，動(dòng)臂提升力矩最大能增加近50%，克服了動(dòng)臂提升時(shí)動(dòng)臂缸力臂變小導(dǎo)致的提升力矩減小，能實(shí)現(xiàn)動(dòng)臂的等力矩提升，提高作業(yè)效率，如圖5所示。

圖5 等力矩提升示意圖Fig.5 Schematic diagram of constant boom momentum

此外，強(qiáng)力三角工作裝置能夠在一定程度上增大挖掘力，增強(qiáng)整機(jī)的穩(wěn)定性，目前世界上最大的液壓挖掘機(jī)CAT 6120B 就是強(qiáng)力三角構(gòu)型，但是，機(jī)構(gòu)和功能上的復(fù)雜性使得強(qiáng)力三角工作裝置的設(shè)計(jì)工作遇到了挑戰(zhàn)。曹善華等[13]基于擬牛頓乘子法對(duì)60 t 級(jí)的強(qiáng)力三角型正鏟挖掘機(jī)RH 30C進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化后，水平推壓和平移提升性能都有提高，但動(dòng)臂舉升當(dāng)量力臂增大不明顯，最大偏差在20%以上。馮培恩[14]對(duì)4種型號(hào)的強(qiáng)力三角型正鏟挖掘機(jī)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，較好地實(shí)現(xiàn)了水平推壓和平移提升。VLADEANU等[15]通過(guò)圖解法和液壓缸的關(guān)聯(lián)控制分別實(shí)現(xiàn)了水平推壓和水平移提升，但不是從整機(jī)的角度進(jìn)行全局優(yōu)化，也未提及等力矩提升問(wèn)題。MITREV 等[16]對(duì)250 t級(jí)的強(qiáng)力三角型液壓挖掘機(jī)RH 120E 進(jìn)行了仿真分析，發(fā)現(xiàn)該機(jī)型在工作范圍邊緣部分提升時(shí)，鏟斗偏轉(zhuǎn)角度較大，仍需操縱鏟斗缸以防止物料撒落。XU 等[9]基于多目標(biāo)進(jìn)化算法同時(shí)優(yōu)化并實(shí)現(xiàn)了水平推壓、平移提升和等力矩提升，解決了強(qiáng)力三角工作裝置的多目標(biāo)優(yōu)化難題，然而，優(yōu)化目標(biāo)中未考慮推壓力和挖掘性能等重要的技術(shù)指標(biāo)，有待進(jìn)一步研究。

2 多目標(biāo)優(yōu)化模型

2.1 設(shè)計(jì)變量

設(shè)計(jì)變量需要綜合考慮工作裝置各幾何結(jié)構(gòu)的形狀尺寸和各鉸點(diǎn)位置，考慮到計(jì)算建模的便捷性和機(jī)械加工的精度，主要選擇以長(zhǎng)度尺寸作為設(shè)計(jì)變量，強(qiáng)力三角型液壓挖掘機(jī)的優(yōu)化模型共有如下29個(gè)設(shè)計(jì)變量：

式中：xA，xM和xE分別為點(diǎn)A，M和E的橫坐標(biāo)；yA，yM和yE分 別 為 點(diǎn)A，M和E的 縱 坐 標(biāo)；LAB，LBC，LAG，LBG，LAK，LBK，LFL，LFI，LBH，LCH，LKL，LIL，LIK，LCD，LCJ，LDJ分別為對(duì)應(yīng)兩鉸點(diǎn)間的距離；L1min，L2min和L3min分別為動(dòng)臂缸、斗桿缸和鏟斗缸的最短長(zhǎng)度；λ1，λ2和λ3分別為動(dòng)臂缸、斗桿缸和鏟斗缸的伸縮比。

2.2 目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)強(qiáng)力三角工作裝置的功能特點(diǎn)和挖掘機(jī)的關(guān)鍵性能指標(biāo)，強(qiáng)力三角型液壓挖掘機(jī)的多目標(biāo)優(yōu)化模型共選取如下8個(gè)目標(biāo)函數(shù)。

2.2.1 水平推壓

依據(jù)強(qiáng)力三角工作裝置水平推壓的特點(diǎn)描述，對(duì)于水平推壓目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算需要考慮其在多個(gè)挖掘高度上的作用，如圖6所示。

圖6 水平推壓目標(biāo)函數(shù)計(jì)算Fig.6 Calculation for objective function of level crowding

水平推壓性能有2種評(píng)價(jià)方式：一是推壓過(guò)程中鏟斗缸鎖定，推動(dòng)斗桿缸，計(jì)算整個(gè)過(guò)程中鏟斗推壓角度γ的變化量；二是推壓過(guò)程中一直調(diào)整鏟斗缸長(zhǎng)度L3來(lái)保持推壓角γ不變，水平推壓性能可用鏟斗缸的調(diào)整量ΔL3來(lái)評(píng)價(jià)。由于第一種評(píng)價(jià)方式需要求解非線性方程，計(jì)算復(fù)雜，本文選用更為簡(jiǎn)便的第二種評(píng)價(jià)方式，水平推壓性能目標(biāo)函數(shù)Ψ1(x)可通過(guò)不同推壓高度h上鏟斗缸長(zhǎng)度L3h的變化量ΔL3h的最大值來(lái)評(píng)價(jià)，即

式中：C1為平衡各目標(biāo)函數(shù)量級(jí)的常數(shù)；Hmax為水平推壓需要考量的最大挖掘高度。

2.2.2 平移提升

平移提升目標(biāo)函數(shù)計(jì)算如圖7所示。對(duì)于平移提升目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算，同樣需要考慮挖掘機(jī)在多個(gè)提升半徑上的作用。

圖7 平移提升目標(biāo)函數(shù)計(jì)算Fig.7 Calculation for objective function of translational lifting

鏟斗提升時(shí)斗桿缸和鏟斗缸均被鎖定，此時(shí)平移提升性能目標(biāo)函數(shù)Ψ2(x)可用不同提升半徑r上鏟斗從初始高度h0提升至最大高度時(shí)鏟斗姿態(tài)角αr的變化量Δαr的最大值來(lái)評(píng)價(jià)，即

式中：C2為平衡各目標(biāo)函數(shù)量級(jí)的常數(shù)；Rmin和Rmax分別為最小、最大提升半徑。

2.2.3 等力矩提升

等力矩提升為強(qiáng)力三角工作裝置所特有的功能，是由于動(dòng)臂提升時(shí)強(qiáng)力三角的杠桿作用使得連桿受到機(jī)架的反作用力，產(chǎn)生輔助提升力矩而具有的，原理如圖8 所示。等力矩提升的優(yōu)點(diǎn)在于：一方面，增大動(dòng)臂提升力矩，允許使用更小的動(dòng)臂缸，增大提升速度；另一方面，由于動(dòng)臂提升時(shí)阻力矩不斷減小而導(dǎo)致提升速度加快，總而言之，等力矩提升能有效地提高挖掘機(jī)作業(yè)效率。

圖8 等力矩提升目標(biāo)函數(shù)計(jì)算Fig.8 Calculation for objective function of constant boom momentum

等力矩提升的目標(biāo)函數(shù)可用不同提升半徑r下動(dòng)臂缸提升力矩F1e1和動(dòng)臂缸產(chǎn)生的輔助提升力矩F2e2之和Mr的變化量ΔMr的變化率來(lái)評(píng)價(jià)，表達(dá)式為

式中：e1為動(dòng)臂提升力F1相對(duì)于動(dòng)臂與回轉(zhuǎn)平臺(tái)鉸點(diǎn)的力臂；e2為輔助提升力F2相對(duì)于動(dòng)臂與回轉(zhuǎn)平臺(tái)鉸點(diǎn)的力臂；C3為平衡各目標(biāo)函數(shù)量級(jí)的常數(shù)；Mr0為提升半徑r下的初始提升力矩。

2.2.4 挖掘力

挖掘力是衡量液壓挖掘機(jī)性能的最重要的指標(biāo)之一，反映挖掘時(shí)能夠發(fā)揮的最大挖掘能力。由于正鏟挖掘機(jī)以縱向挖掘?yàn)橹鳎疚膬H考慮縱向挖掘時(shí)主要挖掘區(qū)域內(nèi)挖掘機(jī)的挖掘力，包括斗桿挖掘力和鏟斗挖掘力。對(duì)正鏟挖掘機(jī)而言，停機(jī)面上的水平推壓力也是很重要的挖掘力指標(biāo)，為了表征水平推壓時(shí)挖掘阻力的變化，選擇推壓行程2/3處即最大挖掘阻力區(qū)域[17]的推壓力為優(yōu)化目標(biāo)，挖掘力的目標(biāo)函數(shù)為

式中：C4，C5和C6為調(diào)整優(yōu)化方向?yàn)樽钚』某?shù)；FStick，F(xiàn)Bucket和FCrowd分別為斗桿挖掘整機(jī)理論挖掘力、鏟斗挖掘整機(jī)理論挖掘力和水平推壓力。

2.2.5 挖掘圖譜指標(biāo)

對(duì)于挖掘機(jī)的設(shè)計(jì)，在作業(yè)范圍和挖掘力滿足要求的情況下，還需要通過(guò)電算分析進(jìn)一步檢查工作裝置設(shè)計(jì)的合理性，理想的情況是主動(dòng)挖掘力和各限制因素占比合理，使得整機(jī)各方面的能力都得到較充分發(fā)揮。挖掘圖能夠直觀地反映挖掘機(jī)在假定工況和位置上主動(dòng)液壓缸挖掘力的發(fā)揮、被動(dòng)液壓缸閉鎖條件、整機(jī)穩(wěn)定性和附著條件對(duì)挖掘力的限制，基于挖掘圖的圖譜分析法是業(yè)內(nèi)廣泛采用的挖掘機(jī)性能分析方法。圖譜疊加法[18]將同一種挖掘工況下所有的挖掘圖透視疊加到1張圖譜上，再通過(guò)疊加圖譜提供的圖像信息和統(tǒng)計(jì)信息分析研究對(duì)挖掘機(jī)進(jìn)行性能評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)效率高，不依賴于分析人員，適合計(jì)算機(jī)自動(dòng)化實(shí)現(xiàn)?；趫D譜疊加分析法，本文以縱向斗桿挖掘時(shí)斗桿缸充分發(fā)揮比例ηStick和鏟斗挖掘時(shí)鏟斗缸充分發(fā)揮比例ηBucket作為挖掘圖譜指標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)。

式中：C7和C8為平衡各目標(biāo)函數(shù)量級(jí)的常數(shù)。

2.3 約束條件

根據(jù)強(qiáng)力三角型工作裝置的設(shè)計(jì)要求，共建立76 個(gè)不等式約束，綜合考慮工作范圍、運(yùn)動(dòng)件轉(zhuǎn)角、挖掘性能、結(jié)構(gòu)的幾何條件、結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性、傳動(dòng)角等因素[12]。由于強(qiáng)力三角工作裝置數(shù)學(xué)模型的復(fù)雜性，很多約束條件無(wú)法顯式表達(dá)，只能通過(guò)數(shù)值方法求解。這些約束相互之間還存在著復(fù)雜的聯(lián)系，相當(dāng)一部分約束甚至目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算還須以其他約束的滿足為前提。從工程實(shí)踐的角度出發(fā)，也為了提高優(yōu)化的效率，本文對(duì)約束進(jìn)行分級(jí)處理，只有完全滿足上一級(jí)約束條件方可進(jìn)行下一級(jí)約束計(jì)算，并按約束級(jí)別設(shè)置不同的懲罰系數(shù)保證各約束分級(jí)之間的優(yōu)越關(guān)系，每個(gè)約束級(jí)別基于約束違反數(shù)和約束違反程度賦予約束值。第一級(jí)約束以幾何結(jié)構(gòu)約束為主，特點(diǎn)是無(wú)任何計(jì)算前置條件，要求挖掘作業(yè)時(shí)各運(yùn)動(dòng)三角形和四邊形在任何工況下均能成立。第二級(jí)約束以經(jīng)驗(yàn)性約束為主，特點(diǎn)是以第一級(jí)約束為計(jì)算前置條件，要求各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角在經(jīng)驗(yàn)范圍內(nèi)，且工作裝置結(jié)構(gòu)緊湊，避免運(yùn)動(dòng)干涉。第三級(jí)約束以工作范圍和挖掘性能約束為主，特點(diǎn)是以第二級(jí)約束為計(jì)算前置條件且需要對(duì)挖掘機(jī)進(jìn)行全域運(yùn)動(dòng)學(xué)力學(xué)分析，要求工作范圍，傳動(dòng)角，運(yùn)動(dòng)特性等符合設(shè)計(jì)需求。

綜上所述，強(qiáng)力三角型液壓挖掘機(jī)的優(yōu)化問(wèn)題包含29 個(gè)設(shè)計(jì)變量、8 個(gè)目標(biāo)函數(shù)、76 個(gè)約束條件，是一個(gè)極其復(fù)雜的約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。

3 基于推拉搜索的約束多目標(biāo)進(jìn)化算法

FAN 等[19]提出了一種先進(jìn)的約束處理框架，即推拉搜索機(jī)制(push and pull search，PPS)。該機(jī)制的基本思想是將整個(gè)優(yōu)化搜索過(guò)程分為Push 和Pull這2個(gè)階段：在Push階段，采用多目標(biāo)進(jìn)化算法在不考慮約束的情況下探索整個(gè)目標(biāo)空間，從而快速地跨越不可行區(qū)域，得到無(wú)約束的帕累托前沿，與此同時(shí)，種群的約束信息也得到計(jì)算和探測(cè)；在Pull階段，利用探測(cè)到的約束信息，基于改進(jìn)的ε約束處理機(jī)制把整個(gè)種群拉回到可行域的帕累托前沿。PPS框架還被嵌入基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法(multi-objective evolutionary algorithm based on decomposition，MOEA/D)[20]中得到了一種強(qiáng)大的約束多目標(biāo)進(jìn)化算法PPS-MOEA/D，該算法在14 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試問(wèn)題和機(jī)械手抓優(yōu)化問(wèn)題上顯著比其他6種先進(jìn)的約束多目標(biāo)優(yōu)化算法優(yōu)。本文采用PPS-MOEA/D 算法求解強(qiáng)力三角型液壓挖掘機(jī)的優(yōu)化問(wèn)題，該算法主要包含分解策略、遺傳算子和PPS約束處理機(jī)制3個(gè)關(guān)鍵操作。

3.1 分解策略

MOEA/D 算法利用一組權(quán)矢W將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題分解為若干個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化子問(wèn)題，然后采用進(jìn)化算法同時(shí)求解，達(dá)到協(xié)同優(yōu)化并行求解的效果，具有很高的運(yùn)行效率和收斂速度。分解策略是MOEA/D 算法的核心，PPS-MOEA/D 算法采用的切比雪夫(Tchebycheff)分解法[21]是應(yīng)用最為廣泛的分解策略之一，其計(jì)算思想如圖9 所示。由圖9可知使得切比雪夫距離gtch最小的個(gè)體即為所需的帕累托最優(yōu)解。

圖9 切比雪夫分解法Fig.9 Tchebycheff decomposition approach

對(duì)于個(gè)體x，有

式中：m為目標(biāo)維數(shù)；w為權(quán)重向量；wj為其j維分量；z*為當(dāng)前種群的理想點(diǎn)；為其j維分量；Fj(x)為目標(biāo)函數(shù)的j維分量。

3.2 遺傳算子

遺傳算子是進(jìn)化算法的核心算子之一，其作用是基于現(xiàn)有種群生成子代。PPS-MOEA/D 算法中采用的是全局尋優(yōu)能力出色的差分進(jìn)化(differential evolution，DE)[22]算子和多項(xiàng)式變異(polynomial mutation，PM)[23]算子，DE算子首先生成子代實(shí)驗(yàn)個(gè)體y′：

式中：xi為當(dāng)前種群中第i個(gè)個(gè)體；xr1和xr2為當(dāng)前種群中隨機(jī)選取的2 個(gè)不同的個(gè)體，且有r1≠r2≠i；CF為差分算子的控制參數(shù)。

再將實(shí)驗(yàn)子代y′與當(dāng)前個(gè)體x的每一維變量進(jìn)行差分交換得到y(tǒng)″：

式 中：xi,j和分 別 為 個(gè) 體xi和′ 的 第j維 分 量；Nrand為屬于[0，1]的隨機(jī)數(shù)；CR為差分算子的交換概率，取值范圍為[0，1]。

最后對(duì)y″進(jìn)行多項(xiàng)式變異得到子代y：

3.3 PPS約束處理機(jī)制

如前所述，PPS約束處理機(jī)制是整個(gè)算法的核心。PPS將算法的進(jìn)程分為以下2個(gè)階段。

1)Push 階段。無(wú)需考慮約束的情況，此時(shí)對(duì)于個(gè)體x與y，在同一子問(wèn)題中，若gtch(x)≥gtch(y)，則稱y優(yōu)于x，記為y?x。

對(duì)于是否結(jié)束Push 階段轉(zhuǎn)為Pull 階段，通過(guò)觀測(cè)當(dāng)前(第k代)及之前l(fā)代(第k-l代)種群理想點(diǎn)z*和底點(diǎn)o的變化率中的較大值rk決定，若rk過(guò)小，則表明算法此時(shí)改善已不明顯，收斂成熟。rk的計(jì)算表達(dá)式為

式中：Δ為極小正數(shù)，其作用是避免除數(shù)為0；?為設(shè)定的變化率閾值，若rk小于等于?，則進(jìn)入Pull階段。

2)Pull 階段。基于改進(jìn)的ε約束處理機(jī)制考慮約束的情況，對(duì)于個(gè)體x，其約束違反程度記為?(x)，有

式中：gi(x)和hi(x)分別表示x的第i個(gè)不等式約束和等式約束；μ為判斷等式約束是否滿足的閾值。

對(duì)于第k代種群，當(dāng)前的約束閾值ε(k)為

式中：ε(0)為Push 階段結(jié)束時(shí)種群中?(x)的最大值；rfk為當(dāng)前種群可行解與不可行解的比率；Tc為計(jì)算的最大代數(shù)；τ和cp為約束松弛速度的控制參數(shù)；α為搜索偏好可行域或不可行域的控制參數(shù)。

此時(shí)的約束支配策略是對(duì)于個(gè)體x與y，若滿足下列條件之一：

則稱y約束支配x，記為y?cx。

3.4 PPS-MOEA/D算法流程

算法的總體流程如圖10所示。

圖10 PPS-MOEA/D算法流程圖Fig.10 Flow chart of PPS-MOEA/D

4 優(yōu)化實(shí)例

4.1 參數(shù)設(shè)置

以文獻(xiàn)[9]中70 t 級(jí)的挖掘機(jī)主機(jī)為例設(shè)計(jì)與之相匹配的強(qiáng)力三角型工作裝置，根據(jù)設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)有的產(chǎn)品參數(shù)進(jìn)行類比分析，優(yōu)化模型中設(shè)計(jì)變量如表1所示。對(duì)于目標(biāo)函數(shù)中的常數(shù)，需要根據(jù)設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)和機(jī)型的噸位確定。為了改變優(yōu)化方向，C4，C5和C6需要設(shè)為絕對(duì)大的值，對(duì)于70 t級(jí)挖掘機(jī)，其挖掘力一般為300～600 kN，故C4，C5和C6均設(shè)為1 000。其余參數(shù)則從均衡各目標(biāo)函數(shù)值數(shù)量級(jí)的角度進(jìn)行設(shè)置，其目的是為了避免各目標(biāo)函數(shù)值數(shù)量級(jí)差異巨大，對(duì)本文分解類優(yōu)化算法的搜索產(chǎn)生影響，具體數(shù)值如表2所示。

表1 設(shè)計(jì)變量取值范圍Table 1 Ranges of design variables

表2 目標(biāo)函數(shù)中常數(shù)Table 2 Constants in objective functions

4.2 算法比較

為了了解約束優(yōu)化問(wèn)題的復(fù)雜性，一般通過(guò)計(jì)算若干次隨機(jī)試驗(yàn)個(gè)體的可行率[24]這一指標(biāo)進(jìn)行量化分析。本文共進(jìn)行20 次隨機(jī)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)隨機(jī)生成1 000萬(wàn)個(gè)個(gè)體進(jìn)行計(jì)算，20次試驗(yàn)的可行率均為0，遠(yuǎn)低于常用的標(biāo)準(zhǔn)約束優(yōu)化測(cè)試問(wèn)題的可行率，可見強(qiáng)力三角型工作裝置這一實(shí)際約束優(yōu)化問(wèn)題的復(fù)雜度很高。根據(jù)“無(wú)免費(fèi)午餐”定理(no free lunch theorems，NFL)及其最新研究成果[25-27]，盡管任意2個(gè)優(yōu)化算法在所有可能的優(yōu)化問(wèn)題上的平均性能是相同的，但對(duì)于特定的優(yōu)化問(wèn)題，人們?nèi)匀豢梢葬槍?duì)性地設(shè)計(jì)出性能卓越的算法。本文對(duì)8種最先進(jìn)的約束多目標(biāo)進(jìn)化算法在強(qiáng)力三角型工作裝置優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)的優(yōu)化性能進(jìn)行比較，這些算法包括PPS-MOEA/D 算法、文獻(xiàn)[9]提出的專門針對(duì)強(qiáng)力三角型工作裝置優(yōu)化設(shè)計(jì) 問(wèn) 題 的I-DBEA-DE 算 法、 CCMO 算 法[28]、CMOEA_MS 算 法[29]、 DCNSGAIII 算 法[30]、MOEADDAE 算 法[31]、NSGAII-ARSBX 算 法[32]和MSCMO算法[33]。考慮到優(yōu)化問(wèn)題的復(fù)雜性和分解類算法種群規(guī)模的特殊性，選取了較大的種群規(guī)模NP=1 122 來(lái)得到足夠多的優(yōu)異解，選取較多的目標(biāo)函數(shù)計(jì)算次數(shù)FEmax=1×106來(lái)確保算法收斂。為了保證算法比較的公平性，重組(遺傳)算子的參數(shù)設(shè)置相同，其他算法參數(shù)按照原文獻(xiàn)推薦設(shè)置，算法參數(shù)如表3所示，其中，D為變量維度。所有算法均在IEEE CEC進(jìn)化算法大賽所指定的多目標(biāo)優(yōu)化平臺(tái)PlatEMO[34]上運(yùn)行求解。所有算法獨(dú)立運(yùn)行20 次，選用反向世代距離(inverted generational distance，IGD)[35]和標(biāo)準(zhǔn)化超體積指標(biāo)(normalized hypervolume，NHV)[36]這2 個(gè)最常用的多目標(biāo)優(yōu)化性能指標(biāo)進(jìn)行比較，還加入成功率(success rate,SR)表征算法找到可行解的比例以及算法運(yùn)行時(shí)間Runtime這2個(gè)指標(biāo)，由于真實(shí)PF未知，將所有算法優(yōu)化得到的非支配解集作為真實(shí)PF 的近似以進(jìn)行性能指標(biāo)計(jì)算，各算法性能指標(biāo)值如表4 所示。其中，對(duì)IGD，NHV 和Runtime(運(yùn)行時(shí)間)指標(biāo)取均值，括號(hào)內(nèi)為標(biāo)準(zhǔn)差，最優(yōu)指標(biāo)已作標(biāo)記。

表3 約束多目標(biāo)進(jìn)化算法參數(shù)設(shè)置Table 3 Parameter settings of all constrained MOEAs

表4 算法性能比較Table 4 Performance comparison of MOEAs

通過(guò)各算法性能指標(biāo)的結(jié)果對(duì)比分析可知，PPS-MOEA/D 算法在最為關(guān)鍵的3 個(gè)指標(biāo)(SR，IGD和NHV)上是所有算法中最優(yōu)的，僅在算法運(yùn)行時(shí)間Runtime上名列第二，這表明PPS-MOEA/D算法是最適合求解本文強(qiáng)力三角型約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的算法。值得注意的是，盡管同為最先進(jìn)的約束優(yōu)化算法，在常用的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試問(wèn)題上均有優(yōu)異表現(xiàn)，但在強(qiáng)力三角型約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題上出現(xiàn)了極大的差異性，甚至于MSCMO 算法20次實(shí)驗(yàn)的成功率為0，這表明在標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試問(wèn)題上，算法針對(duì)特定問(wèn)題所得出的解并不具有絕對(duì)的參考性，這很可能是由于優(yōu)化問(wèn)題的PF 函數(shù)特征并不一致，這也契合了NFL 理論的基本思想。需要強(qiáng)調(diào)的是，對(duì)比前面隨機(jī)性試驗(yàn)的可行率，僅需100萬(wàn)次目標(biāo)函數(shù)計(jì)算就可以得到大量高質(zhì)量的可行解，表明進(jìn)化算法具有強(qiáng)大的啟發(fā)式優(yōu)化搜索能力及其在實(shí)際工程應(yīng)用中的巨大價(jià)值。

4.3 結(jié)果分析

對(duì)PPS-MOEA/D 算法的優(yōu)化得到的總的優(yōu)化解集進(jìn)行非支配排序，共得到13 296個(gè)非支配解，這些非支配解的目標(biāo)函數(shù)值如圖11 所示。從圖11可知：非支配解的分布極不均勻，說(shuō)明該優(yōu)化問(wèn)題的真實(shí)PF 可能是不規(guī)則的，而各目標(biāo)函數(shù)值的區(qū)間中值較為接近，這說(shuō)明表2中常數(shù)的設(shè)置是合適的。多目標(biāo)優(yōu)化算法提供了大量?jī)?yōu)質(zhì)的設(shè)計(jì)方案，設(shè)計(jì)人員可以根據(jù)設(shè)計(jì)需求或者偏好進(jìn)行選擇，但在缺乏足夠明確的先驗(yàn)知識(shí)的情況下，可利用多屬性決策方法進(jìn)行高效的自動(dòng)化篩選。

圖11 非支配解集目標(biāo)函數(shù)的平行坐標(biāo)圖Fig.11 Parallel coordinates of objective function of nondominated solution set

多屬性決策(multi-attribute decision making,MADM)是研究多個(gè)指標(biāo)屬性對(duì)有限個(gè)研究對(duì)象的評(píng)價(jià)和排序問(wèn)題，利用現(xiàn)有的決策數(shù)據(jù)和歷史信息，通過(guò)某種理論與方法分析并綜合評(píng)價(jià)多個(gè)研究對(duì)象，并對(duì)其優(yōu)劣程度進(jìn)行排序。理想解法(technique for order preference by similarity to ideal solution，TOPSIS)是典型的多屬性決策方法之一，其計(jì)算簡(jiǎn)單易于理解，排序結(jié)果明確直觀，在實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域得到了廣泛驗(yàn)證[37]。TOPSIS 的基本思想是最滿意解應(yīng)與正理想解有最短距離，與負(fù)理想解有最長(zhǎng)距離，以靠近正理想解和遠(yuǎn)離負(fù)理想解2個(gè)基準(zhǔn)融合而成的相對(duì)貼近度作為評(píng)價(jià)指標(biāo)排序，具有直觀的幾何意義，本節(jié)采用TOPSIS法對(duì)優(yōu)化方案進(jìn)行篩選，各目標(biāo)的權(quán)矢簡(jiǎn)化設(shè)置為相等即w=(1/8，1/8，1/8，1/8，1/8，1/8，1/8，1/8)，求得各個(gè)非支配解的相對(duì)貼近度如圖12 所示。從圖12 可知：相對(duì)貼近度越大表明該個(gè)體距離負(fù)理想解越遠(yuǎn)，而離正理想解越近，方案滿意度越高；在13 296 個(gè)非支配解中篩選出的最滿意方案是序號(hào)為1 975 的方案，其相對(duì)貼近度為0.78，設(shè)計(jì)變量數(shù)值如表5所示。

表5 最滿意方案Table 5 Most satisfactory solution

圖12 非支配解的相對(duì)貼近度Fig.12 Relative closeness for nondominated individuals

對(duì)優(yōu)化方案的水平推壓性能進(jìn)行分析，不同推壓高度上鏟斗推壓角變化曲線如圖13 所示。從圖13 可知：在停機(jī)面上的推壓角變化量為0.5°，而在水平高度為2.5 m 的推壓面上推壓角變化量低于2.0°，很好實(shí)現(xiàn)了不同推壓高度上的水平推壓。接著對(duì)鏟斗提升時(shí)平移提升和等力矩提升性能進(jìn)行分析，鏟斗提升角變化曲線如圖14 所示。從圖14 可知：主要的提升范圍內(nèi)提升角變化量不超過(guò)11.2°，滿足了平移提升的功能需求。動(dòng)臂提升力矩變化曲線如圖15 所示。從圖15 可知：在主要的提升范圍內(nèi)，動(dòng)臂提升力矩變化率不超過(guò)0.5%。

圖13 不同推壓高度時(shí)推壓角變化曲線Fig.13 Curves of bucket crowding angle on different digging heights

圖14 不同提升半徑時(shí)提升角變化曲線Fig.14 Curves of bucket lifting angle on different digging radius

圖15 不同提升半徑時(shí)動(dòng)臂提升力矩變化率曲線Fig.15 Curves of boom lifting momentum's change rate on different digging radius

根據(jù)優(yōu)化得到的強(qiáng)力三角型液壓挖掘機(jī)設(shè)計(jì)方案，繪制如圖16 所示的挖掘包絡(luò)圖，并對(duì)比了文獻(xiàn)[9]中的優(yōu)化方案以及市面上3種70 t級(jí)正鏟液壓挖掘機(jī)(RH30E，R964C 和PC750)的主要性能參數(shù)，如表6所示。需要說(shuō)明的是，強(qiáng)力三角型挖掘機(jī)由于工作裝置的耦合性更強(qiáng)，導(dǎo)致其工作范圍受限，相比于簡(jiǎn)單型挖掘裝載裝置的利勃海爾R964C以及日立PC750中作業(yè)范圍參數(shù)偏小。與文獻(xiàn)[9]相比，本文優(yōu)化方案在最大斗桿挖掘力、停機(jī)面水平推壓力和鏟斗缸發(fā)揮比例方面優(yōu)勢(shì)明顯，而在鏟斗挖掘力提高方面存在較大劣勢(shì)，在斗桿缸充分發(fā)揮比例有微弱的劣勢(shì)?？偟膩?lái)說(shuō)，本文優(yōu)化方案的工作范圍能夠滿足實(shí)際工程的需求。

圖16 挖掘包絡(luò)圖Fig.16 Digging envelope diagram

表6 各機(jī)型技術(shù)指標(biāo)對(duì)比Table 6 Technical parameters comparison

5 結(jié)論

1)以強(qiáng)力三角工作裝置的功能特征、挖掘力、推壓力和主動(dòng)液壓缸充分發(fā)揮比例建立了強(qiáng)力三角型液壓挖掘機(jī)的約束多目標(biāo)優(yōu)化模型，包含8個(gè)目標(biāo)函數(shù)、29個(gè)設(shè)計(jì)變量以及76個(gè)約束條件。

2) 基于PPS-MOEA/D 算法解決了70 t 級(jí)強(qiáng)力三角型液壓挖掘機(jī)優(yōu)化問(wèn)題，其在成功率、反向世代距離和標(biāo)準(zhǔn)化超體積指標(biāo)優(yōu)于目前最先進(jìn)的7種約束多目標(biāo)進(jìn)化算法。

3)基于TOPSIS 多屬性決策方法篩選得到的最終優(yōu)化方案不僅實(shí)現(xiàn)了水平推壓、平移提升和等力矩提升，而且在挖掘力、推壓力和整機(jī)功率利用等主要性能指標(biāo)上相比其他機(jī)型設(shè)計(jì)方案具有明顯優(yōu)勢(shì)。