陳淼，張氫，秦仙蓉，孫遠韜

(同濟大學(xué)機械與能源工程學(xué)院，上海，201804)

相比串聯(lián)型機器人，并聯(lián)機器人具有剛度高、承載自重比高及關(guān)節(jié)累積誤差小[1]等優(yōu)點，近年來，以并聯(lián)主軸頭為核心部件的混聯(lián)機床有效地克服了串聯(lián)機構(gòu)的不足，在先進制造中獲得了廣泛應(yīng)用[2]。其中，基于1T2R(one translational and two rotational degrees of freedom)并聯(lián)機構(gòu)的混聯(lián)機床已成為研究熱點，例如，Sprint Z3主軸頭(3-PRS并 聯(lián) 機 構(gòu)[3])、A3 主 軸 頭(3-RPS 并 聯(lián) 機 構(gòu)[4])、Tricept 混聯(lián)機床(3UPS-UP 并聯(lián)機構(gòu)[5])和Exechon混聯(lián)機器人(2UPR-SPR 并聯(lián)機構(gòu)[6])等(R，P，S 和U分別代表轉(zhuǎn)動副、移動副、球鉸副和萬向節(jié)副)。盡管并聯(lián)機構(gòu)作為機床主體有很多優(yōu)勢，但良好的機構(gòu)性能是實現(xiàn)高水平作業(yè)的前提條件[7]。為保證機床在復(fù)雜載荷工況下保持較高的軌跡精度，需要并聯(lián)機構(gòu)具有較好的剛度性能；并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)及動力學(xué)耦合性較強，機構(gòu)的動態(tài)性能難以保證；此外，并聯(lián)機構(gòu)的有效工作空間往往比較小，限制了機床的加工范圍，因此，針對具體的并聯(lián)機構(gòu)及其應(yīng)用場景，在設(shè)計階段實現(xiàn)機構(gòu)多方面性能的優(yōu)化具有重要研究意義。

機構(gòu)性能與機構(gòu)的類型、尺度、材料類型、構(gòu)件特征以及驅(qū)動形式等因素密切相關(guān)。近年來，國內(nèi)外學(xué)者在設(shè)計尺度對機構(gòu)性能影響方面開展了大量研究。BOUNAB[8]以全局剛度和靈巧度指標(biāo)對Delta 機器人進行了多目標(biāo)優(yōu)化。RUSSO 等[9]對Tripod并聯(lián)機器人的工作空間、靈巧度、力傳遞效率和剛度等多方面性能進行了尺度優(yōu)化。YANG等[10]基于博弈原理提出了一種新型多目標(biāo)優(yōu)化算法，并以圓柱工作空間體積，力/位傳遞性指標(biāo)及剛度性能指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)對2UPR-RPU 和2UPR-2RPU并聯(lián)機構(gòu)進行了多目標(biāo)優(yōu)化。趙星宇等[11]以3-P(4S)并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)性能、剛度性能和速度性能指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)，采用改進的加權(quán)求和法對機構(gòu)進行了多目標(biāo)優(yōu)化，全面提高了機構(gòu)的各項性能。

盡管學(xué)者們在并聯(lián)機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計方面取得了一定成果，但該問題仍未得到有效解決。例如，作為一種常用的剛度性能指標(biāo)，剛度矩陣特征值對于含有1T2R混合自由度性質(zhì)的并聯(lián)機構(gòu)來說并不適用，這是因為該矩陣元素量綱不一致，其特征值沒有明確的物理意義；另一種常見的主對角線剛度指標(biāo)選取了剛度矩陣的主對角線元素而忽略了非對角線元素的耦合影響，對于復(fù)雜自由度性質(zhì)的并聯(lián)機構(gòu)來說也不宜采用[10]；另外，機構(gòu)的可達空間的形狀往往是不規(guī)則甚至不連續(xù)的，優(yōu)化該空間體積并不意味著可以有效提升機構(gòu)的實際工作空間；機構(gòu)的動力學(xué)性能一般與機構(gòu)尺寸和構(gòu)件慣量同時有關(guān)[12]，而構(gòu)件慣量與機構(gòu)尺度密切聯(lián)系，因而，在優(yōu)化時需要綜合考慮機構(gòu)尺度對動力學(xué)性能的影響。機構(gòu)的性能指標(biāo)是優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)，是并聯(lián)機構(gòu)尺度綜合的前提，得到適宜的指標(biāo)十分重要。本文作者針對一種新型1T2R無伴隨運動并聯(lián)機構(gòu)，首先對機構(gòu)的無伴隨運動學(xué)特性及奇異性問題進行分析，然后研究機構(gòu)的運動學(xué)性能、剛度性能及動力學(xué)特性，推導(dǎo)機構(gòu)的規(guī)則工作空間體積指標(biāo)、全局剛度性能指標(biāo)以及全局動態(tài)可操作度指標(biāo)，并以機構(gòu)尺度參數(shù)為設(shè)計變量，采用NSGA-II 多目標(biāo)優(yōu)化算法對該并聯(lián)機構(gòu)性能進行優(yōu)化。

1 機構(gòu)描述與無伴隨運動分析

1.1 機構(gòu)描述

2RPU-RPS-UPS 并聯(lián)機構(gòu)如圖1 所示。從圖1可見：2RPU-RPS-UPS 無伴隨運動并聯(lián)機構(gòu)由動平臺、靜平臺以及4條驅(qū)動支鏈組成，其中動靜平臺分別為等腰直角三角形A1A2A4及四邊形B1B3B2B4，分支B1A1與分支B2A2為2條對稱分布的RPU支鏈，分支B3A3為RPS支鏈，分支B4A4為UPS 無約束支鏈，各支鏈移動副為驅(qū)動關(guān)節(jié)。需要注意的是，在結(jié)構(gòu)位置關(guān)系上，支鏈RPS中的R副轉(zhuǎn)動軸線與2 條RPU 支鏈的R 副轉(zhuǎn)動軸線垂直，且這3條轉(zhuǎn)動軸線均在平面B1B3B2B4內(nèi)，另外，2條RPU 支鏈與RPS 支鏈的末端運動副在動平臺上共線布置，即2 條RPU 支鏈萬向節(jié)的某一轉(zhuǎn)動軸線共線且通過RPS支鏈球鉸副中心。

圖1 2RPU-RPS-UPS并聯(lián)機構(gòu)Fig.1 Virtual prototype for 2RPU-RPS-UPS parallel mechanism

為便于描述，以B1B2的中點為坐標(biāo)原點O建立靜坐標(biāo)系O-XYZ，其中X軸沿OB4方向，Y軸沿B1B2方向，Z軸沿著靜平臺的法線方向。以動平臺A1A2中點為坐標(biāo)原點P建立P-xyz直角坐標(biāo)系，其中x軸沿PA4方向，y軸沿A1A2方向，z軸即為動平臺的法線方向。需要注意的是，由于A3為A1A2中點，坐標(biāo)原點P與A3點重合。機構(gòu)的設(shè)計參數(shù)為|OB1|=|OB2|=|OB4|=d，|PA1|=|PA2|=|PA4|=a，|OB3|=d-a，動平臺各頂點坐標(biāo)在靜平臺坐標(biāo)系O-XYZ中的矢量描述為Ai=(xi yi zi)T(i=1，2，3，4)。

1.2 無伴隨運動分析

運動學(xué)是并聯(lián)機構(gòu)性能分析的基礎(chǔ)，本節(jié)首先對機構(gòu)的無伴隨運動特性進行分析，隨后推導(dǎo)了機構(gòu)輸入與輸出的運動學(xué)關(guān)系。

根據(jù)螺旋理論可得2RPU-RPS-UPS 并聯(lián)機構(gòu)各支鏈約束力及約束力偶，如圖2所示。其中RPU支鏈對動平臺施加的約束螺旋為過支鏈末端點A1，且平行于B1處轉(zhuǎn)動副軸線的約束力以及垂直于萬向節(jié)十字平面的約束力偶，另一條RPU 支鏈與之類似，RPS 支鏈?zhǔn)┘拥募s束螺旋為過A3點且平行于B3處轉(zhuǎn)動副軸線的約束力，UPS 為無約束支鏈，機構(gòu)的整體約束螺旋系為

圖2 機構(gòu)約束螺旋系及轉(zhuǎn)軸Fig.2 Constraint system and two rotational axes of mechanism

求解上述約束螺旋系的反螺旋即可得動平臺的運動螺旋系：

可以看到，該機構(gòu)具有1T2R 的自由度性質(zhì)，其中$1代表動平臺具有繞過動坐標(biāo)系原點P且平行于X軸方向的轉(zhuǎn)動自由度，轉(zhuǎn)軸即為R1，$2為繞動坐標(biāo)系P-xyz中的y軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動自由度，轉(zhuǎn)軸即為直線A1A2(R2)，$3為沿豎直方向的平動自由度。

為研究伴隨運動特性，需進一步對轉(zhuǎn)軸進行分析，如圖2 所示，轉(zhuǎn)軸R1與R2相互垂直且始終相交于轉(zhuǎn)動中心A3點，由于B1及B2處轉(zhuǎn)動副的限制，A3點只能在OYZ平面運動，又由于B3處轉(zhuǎn)動副的限制，A3點只能在OXZ平面運動，因此，A3點將始終被限制在Z軸上，即無論動平臺如何轉(zhuǎn)動，動平臺上始終存在一點A3不產(chǎn)生伴隨運動，即2UPR-RPU-UPS機構(gòu)是一種1T2R無伴隨運動并聯(lián)機構(gòu)。無伴隨運動意味著機構(gòu)運動學(xué)耦合度低，有利于機構(gòu)的標(biāo)定及軌跡控制等[13]。另外，由于機構(gòu)的驅(qū)動數(shù)目大于動平臺自由度數(shù)量，該機構(gòu)也是一種冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)，雖然在運動控制上冗余驅(qū)動支鏈的存在會提高對驅(qū)動協(xié)調(diào)性的要求，但冗余支鏈同時也具有改善機構(gòu)的奇異性、提高機構(gòu)剛度性能和力傳遞特性等方面的優(yōu)勢[14-15]。

由于機構(gòu)存在無伴隨運動特性，動平臺的運動過程可以方便地描述為：先繞R1軸旋轉(zhuǎn)α，再繞旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)系的y軸(即R2軸)旋轉(zhuǎn)β，最后再沿著靜坐標(biāo)系-Z方向移動w個單位，這樣動坐標(biāo)系Pxyz相對靜坐標(biāo)系O-XYZ的轉(zhuǎn)換矩陣為

可以看到，動坐標(biāo)系原點P在O-XYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為[0 0 -w]T，即無論另外2 個旋轉(zhuǎn)自由度如何變化，P點的橫縱坐標(biāo)均為0。根據(jù)閉環(huán)矢量關(guān)系，

計算各支鏈向量li的模長即可得到2RPU-RPSUPS并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)逆解，

反之，并聯(lián)機構(gòu)的正運動學(xué)即已知各驅(qū)動連桿長度反求動平臺的位姿參數(shù)。由于4個驅(qū)動輸入?yún)?shù)li不完全獨立，這里選取l1，l3及l(fā)4為已知量求解機構(gòu)正運動學(xué)。根據(jù)式(5)可得：

可以看到，2RPU-RPS-UPS并聯(lián)機構(gòu)具有正運動學(xué)的解析表達式，這對機構(gòu)的實際應(yīng)用是有重要意義。如在機構(gòu)的高速運動控制中，根據(jù)解析表達式直接求解驅(qū)動輸入與動平臺輸出的關(guān)系將大大提高實時計算效率，有利于機構(gòu)的實時控制。同時，機構(gòu)運動學(xué)分析結(jié)果也說明無伴隨運動特性可以降低并聯(lián)機構(gòu)的運動耦合性，從而使機構(gòu)的運動學(xué)關(guān)系更為簡潔。然而，對于含有伴隨運動的1T2R 并聯(lián)機構(gòu)，例如3-RPS 并聯(lián)機構(gòu)，其運動耦合性較強，正運動學(xué)往往需要借助較為耗時的數(shù)值方法來求解[16]，因而會影響控制計算中的實時性，從而限制機構(gòu)的控制效果。

2 奇異性分析

奇異性是并聯(lián)機構(gòu)的重要性能之一，奇異位型下的機構(gòu)自由度特性將發(fā)生變化，嚴重影響機構(gòu)的各項性能。當(dāng)機構(gòu)發(fā)生奇異時，數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為速度雅可比矩陣不為滿秩矩陣[17]，物理上表現(xiàn)為機構(gòu)不可控。

對式(5)求導(dǎo)整理后得到支鏈輸入速度與動平臺位姿輸出速度的關(guān)系：

式中：A為輸入速度雅克比矩陣；B為輸出速度雅克比矩陣。

其 中：B11=a(dsinα-Pzcosα)；B13=Pz-asinα；B21=a(dsinα+Pzcosα)；B23=Pz+asinα；B41=aPzsinαsinβ；B42=adsinβ-aPzcosαcosβ；B43=Pzacosαsinβ。

由于物理條件限制，驅(qū)動桿長度不可能為零，因此，輸入速度雅克比矩陣為滿秩矩陣，機構(gòu)不存在反解奇異，即det(A) ≠0。輸出雅克比速度矩陣B不為方陣，根據(jù)矩陣理論，rank(B) =rank(BT|B)，可以通過判斷det(BT|B)來判矩陣B是否滿秩。經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)Pz=dtanβsecα?xí)r，矩陣行列式為0，機構(gòu)存在正解奇異，即約束奇異(驅(qū)動奇異)，此時4 條驅(qū)動支鏈相交于空間中的一條直線，如圖3所示。

當(dāng)機構(gòu)運動到奇異位置時，直線B4A4方程為

該直線與X=0平面的交點Q坐標(biāo)為

同理，直線A1A3方程為

代入交點Q至直線A1A3方程中，發(fā)現(xiàn)等式成立，這說明支鏈B4A4與平面X=0的交點Q位于直線A1A3上，也就是說發(fā)生奇異時機構(gòu)的4 條驅(qū)動支鏈相交于同一直線A1A3，即發(fā)生了驅(qū)動奇異，機構(gòu)在物理上表現(xiàn)為動平臺在所有驅(qū)動都鎖住的情況仍可以沿著轉(zhuǎn)軸R2旋轉(zhuǎn)，即機構(gòu)不可控。

因此，在實際應(yīng)用中，要盡量使機構(gòu)的作業(yè)空間遠離該奇異區(qū)域，尤其是在軌跡規(guī)劃中需避免出現(xiàn)Pz=dtanβsecα的情況。然而，盡管該并聯(lián)機構(gòu)存在奇異，但由于冗余驅(qū)動支鏈的存在，機構(gòu)僅存在這一種奇異類型，明顯少于與之結(jié)構(gòu)構(gòu)型相似的3-RPS和2RPU-UPR等現(xiàn)有1T2R并聯(lián)機構(gòu)(關(guān)于這2種機構(gòu)的奇異性分析，可以參考文獻[18-19])。

3 性能分析

3.1 工作空間

可達工作空間描述的是機器末端在物理約束下能夠到達所有位置的集合，是衡量機構(gòu)工作范圍的重要指標(biāo)，然而，可達空間的形狀往往是不規(guī)則的，會對機構(gòu)的軌跡規(guī)劃和運動控制帶來不利影響。為此，本文采用規(guī)則的圓臺工作空間體積作為機構(gòu)性能的評價指標(biāo)。

影響機構(gòu)工作空間的主要因素有各驅(qū)動桿的長度及行程、各關(guān)節(jié)運動副的運動范圍以及構(gòu)件間的物理干涉，對于2RPU-RPS-UPS 并聯(lián)機構(gòu)，給定的物理約束為

其中：lmin和lmax分別為驅(qū)動桿長的最小值和最大值；δmin與δmax分別為轉(zhuǎn)動副轉(zhuǎn)角的最小和最大限制。li與δi均可通過運動學(xué)分析得到。

計算規(guī)則圓臺工作空間的流程如下：

1)設(shè)定動平臺位姿參數(shù)α，β和Pz的范圍；

2)給定某一高度Pz；

3)在初始范圍內(nèi)給定α和β，計算驅(qū)動桿長li與轉(zhuǎn)動副角度δi，判斷是否滿足式(7)，若滿足，則說明該點在工作空間內(nèi)；

4)重復(fù)步驟3)直至遍歷完所有α和β，形成該Pz高度下的二維轉(zhuǎn)動工作平面；

5)在所形成的轉(zhuǎn)動工作平面內(nèi)尋找最大內(nèi)切圓，以該內(nèi)切圓為底面，ΔPz為高，構(gòu)造在該Pz高度下的微圓柱體；

6)計算Pz+ΔPz，判斷該值是否位于Pz的設(shè)定范圍內(nèi)；若滿足，則重復(fù)步驟2)～5)，若不滿足則計算結(jié)束。

因此，規(guī)則工作空間體積Vc為

式中：Sj為第j層的最大內(nèi)切圓面積；ΔPz為高度間隔；Vc的單位為rad2·m。

現(xiàn)設(shè)機構(gòu)的初始設(shè)計參數(shù)為a=0.16 m，d=0.35 m，支鏈運動范圍為0.40～0.64 m，轉(zhuǎn)動副的轉(zhuǎn)動范圍為π/6～5π/6。經(jīng)計算，機構(gòu)的可達工作空間體積及規(guī)則工作空間體積分別為0.213 rad2·m 和0.138 rad2·m，具體分布情況如圖4 所示。從圖4可以看到：機構(gòu)的可達工作空間形狀是不規(guī)則的，并且由于運動約束的存在，在β軸方向的兩端出現(xiàn)2個圓柱狀空洞，這種現(xiàn)象不利于并聯(lián)機構(gòu)在工作空間內(nèi)的運動規(guī)劃。而機構(gòu)的規(guī)則空間為一系列圓柱體構(gòu)成的圓臺空間，可以有效避免工作空間內(nèi)空洞的出現(xiàn)。此外，在初始設(shè)計參數(shù)下，機構(gòu)奇異面在β趨于負向極限位置時與可達工作空間有交集，而與規(guī)則工作空間尚有一定距離，這說明在規(guī)則工作空間內(nèi)機構(gòu)性能穩(wěn)定性可以得到保證，在此空間內(nèi)進行軌跡規(guī)劃也更為有利。因此，從機構(gòu)性能優(yōu)化的角度來看，擴大規(guī)則工作空間的體積比擴大可達空間更為有意義。

圖4 可達工作空間、規(guī)則工作空間及奇異面Fig.4 Reachable workspace,regular workspace and singularity surface

3.2 剛度性能

靜剛度反映機構(gòu)在外力作用下抵抗變形的能力，是影響并聯(lián)機構(gòu)運動精度及工作穩(wěn)定性的重要因素。根據(jù)螺旋理論，當(dāng)機構(gòu)承受外部負載Γ時，在O-XYZ坐標(biāo)系中可建立動平臺受力平衡方程：

其中：

根據(jù)虛功原理，各支鏈內(nèi)力做的功應(yīng)等于外力做的功：

式中：Δm為動平臺在空間內(nèi)的由支鏈變形引起的微小線位移和角位移；σ為各支鏈在約束螺旋方向和 驅(qū) 動 力 方 向 上 的 變 形 ， 即σ=[σ11σ12σ13σ21σ22σ23σ31σ32σ41]T。

將式(9)代入式(10)可得：

在彈性變形范圍內(nèi)，根據(jù)胡克定律，有

其中：KS為4條支鏈整合而成的剛度矩陣，即

Ci為考慮了支鏈驅(qū)動剛度和約束剛度的柔度矩陣[20]，對于RPU支鏈，有

式中：E和G分別為彈性模量及剪切模量；S1，Iy1和Ip1分別為截面面積、截面慣性矩及極慣性矩；emc1為萬向節(jié)十字平面的法向方向矢量；ey1=[0 1 0]T；ez1=[0 0 1]T。

聯(lián)立式(9)，(11)和(12)可得

于是，2RPU-RPS-UPS并聯(lián)機構(gòu)的整體剛度矩陣為

為分析機構(gòu)的局部剛度，本文采用YAN 等[21]提出的VW(virtual work)剛度指標(biāo)來衡量機構(gòu)的剛度性能，該指標(biāo)表征的是單位載荷下所有構(gòu)件變形能總和的倒數(shù)，即從能量角度來衡量機構(gòu)剛度性能，從而避免上述剛度矩陣元素量綱不統(tǒng)一的問題，該指標(biāo)的表達式為

式中：W為單位載荷向量；kVM的單位為J-1?？梢钥吹?，kVM越大意味著機構(gòu)在外載作用下的變形能越小，即機構(gòu)剛度性能越好。

為研究機構(gòu)在豎直方向的剛度性能，這里將外部載荷設(shè)置為W=[0 0 1N 0 0 0]T。經(jīng)計算，該并聯(lián)機構(gòu)的局部剛度性能指標(biāo)(VW 剛度指標(biāo))在Pz=-0.5 m的分布如圖5所示。

圖5 Pz=-0.5 m時的VW剛度指標(biāo)分布云圖Fig.5 Distribution of VW index on plane of Pz=-0.5 m

從圖5可以看到：當(dāng)機構(gòu)承受豎向載荷時，機構(gòu)在工作空間的中間位置具有較高的剛度，而當(dāng)動平臺運動到邊緣位置時，機構(gòu)剛度較小，但整體而言，機構(gòu)沒有發(fā)生剛度性能的急劇變化，機構(gòu)的剛度較為穩(wěn)定。另外，該局部性能指標(biāo)與動平臺位姿有密切關(guān)聯(lián)，為衡量機構(gòu)在規(guī)則工作空間內(nèi)的綜合水平，這里定義了全局剛度指標(biāo)kc，即

式中：dVc為規(guī)則工作空間微元。

3.3 動態(tài)性能

動態(tài)可操作度橢球能夠直觀地反映在一定驅(qū)動條件下，機構(gòu)動平臺末端沿各個運動方向上的加速能力。為描述各方向加速能力的均勻性，這里采用動態(tài)可操作度橢球的長短軸之比來評價機構(gòu)的動態(tài)性能。可以看出，當(dāng)該指數(shù)越接近1 時，并聯(lián)機構(gòu)加速能力的各向同性越好。

為簡化推導(dǎo)過程，忽略并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)方程中的離心力項，科氏力項及重力項后可得

式中：q為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)向量， 即q=[α β Pz]T；τ為各驅(qū)動關(guān)節(jié)驅(qū)動力向量；N為系統(tǒng)慣性矩陣[22]，N=(Jd)+HTΨH；Jd=(A-1|B)T；H為各運動構(gòu)件速度雅克比矩陣；Ψ為各運動構(gòu)件慣量矩陣。

隨后將驅(qū)動力向量空間內(nèi)的單位球映射到動平臺任務(wù)空間內(nèi)的加速度橢球，即

也即

根據(jù)式(18)即可繪制出動態(tài)可操作度橢球。

由于該無伴隨運動并聯(lián)機構(gòu)擁有平動和轉(zhuǎn)動運動，動態(tài)橢球操作度(DME)指標(biāo)應(yīng)分解為描述轉(zhuǎn)動和移動加速度性能的2個橢球指標(biāo)[23]，然而從運動學(xué)分析可知，該機構(gòu)只存在沿Z軸方向的純平移，因此評價該并聯(lián)機構(gòu)平動加速度能力各向同性是不適用的。對于轉(zhuǎn)動加速度能力各向同性指數(shù)κr，可以通過定義來計算，即

其中：rmax和rmin分別為動態(tài)橢圓的最長軸和最短軸。

NTN(i,j)為NTN矩陣的第i行、第j列元素。

在初始參數(shù)下，2RPU-RPS-UPS 并聯(lián)機構(gòu)在Pz=-0.5 m 時的動態(tài)操作性能指標(biāo)分布如圖6 所示。從圖6可以看到：該指標(biāo)關(guān)于α=0°對稱分布，κr在1.02～1.82 范圍內(nèi)，這說明機構(gòu)繞軸R1旋轉(zhuǎn)時的加速能力要強于繞軸R2旋轉(zhuǎn)的能力，在β趨于負向邊緣位置時，兩方向上的加速能力差別較大，機構(gòu)動態(tài)性能下降，為保證機構(gòu)加速能力的各向同性，有必要優(yōu)化機構(gòu)設(shè)計參數(shù)，使得該指標(biāo)盡可能接近于1。

圖6 Pz=-0.5 m時的動態(tài)可操作度分布云圖Fig.6 Distribution of dynamic performance at Pz=-0.5 m

同理，該指標(biāo)與動平臺位姿有密切關(guān)聯(lián)，為衡量機構(gòu)在規(guī)則工作空間內(nèi)的綜合動態(tài)性能，這里定義全局動態(tài)性能指標(biāo)κc用于優(yōu)化，即

4 機構(gòu)性能的多目標(biāo)優(yōu)化

4.1 優(yōu)化模型

優(yōu)化模型由目標(biāo)函數(shù)、設(shè)計變量及約束條件組成。該機構(gòu)的性能優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)有3個，即規(guī)則工作空間體積Vc、全局剛度性能kc以及全局動態(tài)性能指標(biāo)κc。設(shè)計變量為動靜平臺尺寸a，d及驅(qū)動桿的最短設(shè)計長度lsmin。需要指出的是，當(dāng)lsmin確定時，在假定驅(qū)動器的驅(qū)動行程為0.6lsmin的情形下，驅(qū)動桿長的最小值lmin和最大值lmax將被確定，即lmin=lsmin，lmax=1.6lsmin。

基于前面分析可知，規(guī)則工作空間體積Vc與動靜平臺尺寸a，d及驅(qū)動桿長li密切相關(guān)；在材料及橫截面等屬性一定的條件下，機構(gòu)剛度同樣取決于動靜平臺尺寸a，d及驅(qū)動桿長li。而對于全局動態(tài)性能指標(biāo)κc，從推導(dǎo)過程來看，該指標(biāo)不僅與以上3個幾何參數(shù)有關(guān)，而且與運動構(gòu)件的質(zhì)量及轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)，為簡化設(shè)計變量數(shù)目，本文建立機構(gòu)尺寸參數(shù)與構(gòu)件質(zhì)量及轉(zhuǎn)動慣量的關(guān)系，如圖7所示(以動平臺為例)。

圖7 動平臺結(jié)構(gòu)圖Fig.7 Structural scheme of moving platform

當(dāng)材料屬性一定時，動平臺質(zhì)量為

式中：ρ為材料密度；h為動平臺厚度。

將動平臺視為薄板，則該結(jié)構(gòu)相對A3點的轉(zhuǎn)動慣量為

同理，對其他運動構(gòu)件進行設(shè)計分析可得到質(zhì)量及轉(zhuǎn)動慣量與機構(gòu)設(shè)計參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，即Ψ(a d lsmin)。這樣，基于性能優(yōu)化的2RPURPS-UPS 并聯(lián)機構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可以寫為

4.2 優(yōu)化結(jié)果與分析

本文采用DEB 等[24]提出的帶精英策略的非支配排序遺傳算法(elitist non-dominated sorting genetic algorithm，NSGA-II)來求解該多目標(biāo)優(yōu)化問題，該算法具有運行速度快，解集的收斂性好的優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于多目標(biāo)優(yōu)化問題中。

機構(gòu)的相關(guān)參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 相關(guān)參數(shù)取值范圍Table 1 Range of parameters

設(shè)置初始種群數(shù)量為100，遺傳代數(shù)為500代，優(yōu)化后所得Pareto非劣解集前沿面如圖8所示。從圖8(b)可知：隨著Vc增大，kc有逐漸減小的趨勢，也就是說，全局剛度性能與規(guī)則工作空間體積之間存在競爭的趨勢。同理，從圖8(c)可知：規(guī)則工作空間體積與全局動態(tài)操作度指標(biāo)有近似線性變化的關(guān)系，隨著規(guī)則空間體積增大，機構(gòu)的全局動態(tài)操作度越來越差，這說明兩者存在競爭；而另一方面，全局動態(tài)操作度指標(biāo)與全局剛度性能指標(biāo)之間的關(guān)系較為復(fù)雜，沒有明顯的競爭或者相互改善的關(guān)系，如圖8(d)所示。

圖8 Pareto前沿面Fig.8 Pareto-optimal frontier sets

由于Pareto 前沿面上的解是無法比較優(yōu)劣的，因此，在工程應(yīng)用中設(shè)計者通常依據(jù)對機構(gòu)性能的偏愛、工程經(jīng)驗或者其他約束條件進行選擇，主觀性較強。為此，這里采用理想點法[25]選取一組綜合性能較好的解，其基本思路是：在Pareto前沿面尋找所有目標(biāo)函數(shù)分別達到各自最佳狀態(tài)的最優(yōu)值，將該最優(yōu)值構(gòu)造為虛擬理想點，分別計算各Pareto前沿點與虛擬理想點的距離，將其中距離最短的Pareto前沿點視為最接近理想狀態(tài)的設(shè)計點，即綜合性能最優(yōu)。其計算流程為：

1)利用標(biāo)準(zhǔn)化的方法消除目標(biāo)之間不同量綱和數(shù)量級的影響。

式中：di)為第i個標(biāo)準(zhǔn)化后的Pareto 前沿點與虛擬理想點間的距離，di最小的點即為綜合性能最優(yōu)的點?，F(xiàn)將100個Pareto前沿點與虛擬理想點的距離按從小到大的順序進行排列，結(jié)果顯示位于前列的若干組解存在設(shè)計參數(shù)較為相近的情況，為保證設(shè)計參數(shù)的多樣性，這里在動平臺設(shè)計參數(shù)范圍內(nèi)，按di從小到大的順序選取8組設(shè)計參數(shù)及其相應(yīng)的性能進行展示，如表2所示。

從表2可以看出：第一組設(shè)計參數(shù)(a=0.129 m，d=0.314 m 及l(fā)smin=0.430 m)即為綜合性能最優(yōu)的Pareto解，對應(yīng)機構(gòu)的規(guī)則空間體積為0.183 rad2·m，全局剛度性能指標(biāo)為1.688×108J-1，全局動態(tài)操作度指標(biāo)為1.155，比優(yōu)化前分別提高了32.6%，6.70%和7.45%，此設(shè)計參數(shù)下的規(guī)則工作空間體積得到明顯增大，剛度性能及動態(tài)性能略有改善。另外，不存在一組設(shè)計參數(shù)所對應(yīng)的3種性能指標(biāo)同時比其他任意一組的優(yōu)；如第一組的規(guī)則工作空間體積比第二組的優(yōu)，但剛度性能和動態(tài)性能卻比第二組的差；第三組的規(guī)則工作空間體積比第一組的優(yōu)，但剛度性能和動態(tài)性能卻比第一組的差，也即3 種性能目標(biāo)函數(shù)無法同時取得最優(yōu)值。此外，少部分Pareto解與優(yōu)化前的性能相比不分優(yōu)劣，存在非支配的關(guān)系，例如表1中的第8組Pareto解，其規(guī)則工作空間體積比優(yōu)化前的小，這種現(xiàn)象是正常的，根據(jù)NSGA-II 算法原理，在快速非支配排序過程中，優(yōu)化前參數(shù)雖與少部分Pareto 解不分優(yōu)劣，但劣于大部分的Pareto 解，因而在排序時被分在等級較低的非支配集中，在進化迭代過程中由于優(yōu)越性不夠而遭到淘汰，而第8組解的剛度性能比大部分Pareto解的優(yōu)，因而不會被分在等級較高的非支配集中淘汰。

表2 部分Pareto最優(yōu)解集及目標(biāo)函數(shù)值Table 2 Pareto optimal solutions and objective values

圖9(a)和9(b)所示分別為優(yōu)化前后2RPU-RPSUPS 并聯(lián)機構(gòu)在Pz=-0.5 m 時的剛度性能分布云圖。從圖9(a)和9(b)可以看到：優(yōu)化后的剛度在工作空間內(nèi)有所提升，但幅度較小。為此，若期望在剛度性能方面有明顯提高，可以選擇表1中的其他Pareto 解。例如當(dāng)設(shè)計參數(shù)a=0.155 m，d=0.300 m 及l(fā)smin=0.448 m 時(如圖9(c)及9(d)所示)，其剛度性能指標(biāo)在1.28×108～2.41×108J-1范圍內(nèi)，且大部分區(qū)域在1.5×108J-1以上，剛度性能優(yōu)化效果顯著。

圖9 優(yōu)化前后的剛度性能分布云圖Fig.9 Distribution of stiffness performance after optimization

5 結(jié)論

1) 基于螺旋理論對2RPU-RPS-UPS 并聯(lián)機構(gòu)的無伴隨運動特性進行了證明，推導(dǎo)了機構(gòu)運動學(xué)；并基于雅可比矩陣分析了機構(gòu)發(fā)生奇異的數(shù)學(xué)條件。該機構(gòu)具有正逆運動學(xué)解析表達式，且奇異位型較一般1T2R并聯(lián)機構(gòu)少，具備良好的應(yīng)用潛力。

2)對機構(gòu)的運動學(xué)性能，剛度性能與動態(tài)性能進行了詳細分析，指出規(guī)則工作空間可以避免可達工作空間中的空洞現(xiàn)象；機構(gòu)在初始位置的剛度性能較好，整體剛度性能較為穩(wěn)定；考慮了機構(gòu)尺度以及構(gòu)件慣量對機構(gòu)加速能力各向同性的綜合影響。

3)優(yōu)化后的機構(gòu)性能得到了改善。研究結(jié)果兼顧了機構(gòu)多方面性能，為機構(gòu)的實際應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ)。