范晏銘，謝靜

（沈陽工業(yè)大學(xué)，遼寧 沈陽 110870）

0 引 言

近隨著科學(xué)與技術(shù)的發(fā)展，工業(yè)控制領(lǐng)域出現(xiàn)了新的問題。一方面，隨著控制精度需求的提高，單精度線性模型已不能滿足人們的需求。另一方面，關(guān)于非線性系統(tǒng)的研究成果還很少。目前的研究方法大多只針對具有特殊結(jié)構(gòu)的非線性系統(tǒng)。為應(yīng)對上述問題，一類線性變參數(shù)（linear parameter-varying, LPV）系統(tǒng)被提出。LPV 系統(tǒng)是一類帶有時(shí)變調(diào)度參數(shù)的線性系統(tǒng)。LPV 系統(tǒng)實(shí)時(shí)可測調(diào)度參數(shù)的動態(tài)特性決定了其可以對某些動態(tài)過程或變化的環(huán)境因素進(jìn)行建模，從而大大提高了建模精度。LPV 系統(tǒng)的動態(tài)特性使其能夠更準(zhǔn)確地描述非線性系統(tǒng)。同時(shí)，由于LPV 系統(tǒng)是線性的，因此可以利用成熟的線性控制理論對其進(jìn)行控制設(shè)計(jì)。由于LPV 系統(tǒng)的優(yōu)良特性，故而受到了廣泛的關(guān)注，經(jīng)過三十余年的發(fā)展，已經(jīng)有很多重要成果。為了穩(wěn)定參數(shù)相關(guān)的閉環(huán)系統(tǒng)，文獻(xiàn)[5]中使用了LPV 控制器，通過將存在條件轉(zhuǎn)化為半無限維凸優(yōu)化來解決控制綜合問題，并給出了范數(shù)下的干擾/誤差衰減結(jié)果。文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)了能夠穩(wěn)定非線性系統(tǒng)的LPV 控制器。文獻(xiàn)[7]研究了具有時(shí)變時(shí)滯和有界擾動的離散時(shí)間馬爾可夫跳變LPV 系統(tǒng)的可達(dá)集估計(jì)問題，其主要考慮的是在零初始條件下，如何獲得包含系統(tǒng)狀態(tài)的盡可能小的界集。在此基礎(chǔ)上，在Lyapunov 泛函方法的框架下，應(yīng)用一個(gè)新的求和不等式與不等式凸組合方法相結(jié)合，給出了時(shí)滯相關(guān)的條件，以保證在有界擾動出現(xiàn)時(shí)存在一個(gè)限制系統(tǒng)狀態(tài)的橢球。由于LPV 系統(tǒng)受到了大量的關(guān)注與研究，該系統(tǒng)的不足之處也顯現(xiàn)出來。如果LPV控制器的參數(shù)范圍較大，則控制器可能無效。為了解決這類問題，需要設(shè)計(jì)一種切換LPV 控制器。其原理是將一個(gè)大的調(diào)度參數(shù)空間劃分為多個(gè)小的子區(qū)間，并在每個(gè)子區(qū)間中設(shè)計(jì)相應(yīng)的LPV 控制器。然后合理地設(shè)計(jì)切換律。切換LPV 控制器不僅解決了控制器失效的問題，而且提高了設(shè)計(jì)的自由度。

眾所周知，系統(tǒng)的穩(wěn)定性決定了其能否被使用。對于切換LPV 系統(tǒng)來說，穩(wěn)定性問題也十分重要。然而，由于時(shí)變參數(shù)的存在，切換LPV系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題變得更加復(fù)雜。目前針對切換LPV 系統(tǒng)已獲得一定成果，在文獻(xiàn)[10]中，通過引入基于多參數(shù)相關(guān)Lyapunov 函數(shù)的LPV 控制方法，利用模型依賴平均駐留時(shí)間（Average Dwell Time, ADT）方法解決了一類具有異步切換的離散時(shí)間切換LPV 系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。之后，文獻(xiàn)[11]將該控制方法應(yīng)用于航空發(fā)動機(jī)模型的控制中。此外，文獻(xiàn)[12]構(gòu)造了一個(gè)參數(shù)依賴的可靠切換控制器來抑制外部干擾，有效解決了帶有執(zhí)行器失效的LPV 系統(tǒng)的無凸傳遞可靠控制問題。

由于模型精度、環(huán)境變化等因素的限制，系統(tǒng)中的不確定性是不可避免的。為了抵消這種不確定性，模型參考自適應(yīng)控制（Model reference adaptive control, MRAC）是一個(gè)好的選擇。然而，目前已知關(guān)于LPV 系統(tǒng)的MRAC 所發(fā)表的成果不多。文獻(xiàn)[13]設(shè)計(jì)了基于多目標(biāo)LPV 模型和高階奇異值分解的控制器模型簡化方法，降低了飛機(jī)損傷模型識別的計(jì)算復(fù)雜度。針對過程不確定的模型參考自適應(yīng)控制問題，文獻(xiàn)[14]提出了一種新的解決方案。該方案將每個(gè)極端系統(tǒng)的控制信號的加權(quán)總和作為控制輸入，并且令其可以自適應(yīng)調(diào)節(jié)。為改善追蹤誤差，文獻(xiàn)[15]提出了一類抗干擾LPV魯棒模型參考自適應(yīng)追蹤控制系統(tǒng)，其中給出了LPV 參考模型的參數(shù)化形式。

在本文中，我們通過構(gòu)建一個(gè)參數(shù)依賴的時(shí)變Lyapunov函數(shù)來研究切換LPV系統(tǒng)的模型參考自適應(yīng)追蹤控制問題。首先，我們研究了切換LPV 參考模型的穩(wěn)定性。之后，通過一個(gè)時(shí)變正定矩陣，我們設(shè)計(jì)了切換LPV 控制器與自適應(yīng)律，對于切換系統(tǒng)，首次使用時(shí)變正定矩陣設(shè)計(jì)自適應(yīng)律。基于帶有自適應(yīng)律和駐留時(shí)間方法的切換LPV 控制器，系統(tǒng)的狀態(tài)追蹤誤差可以收斂到位于原點(diǎn)的小球內(nèi)。最后，通過一個(gè)渦扇發(fā)動機(jī)的例子來驗(yàn)證所提方法的有效性。特別的，在這種方法中，因?yàn)長yapunov 函數(shù)是依賴于一族時(shí)變正定矩陣的，所以其并不需要滿足平均駐留時(shí)間的兩個(gè)基本條件，進(jìn)一步提高了設(shè)計(jì)的自由度。

1 前期準(zhǔn)備與問題陳述

一個(gè)切換LPV 參考模型如下：

其中切換信號：[0，+∞）→I={1，2，…，}是一個(gè)取決于時(shí)間或狀態(tài)或包括兩者的分段連續(xù)函數(shù)，代表其中子系統(tǒng)的數(shù)量。連續(xù)可微調(diào)度參數(shù)（）=[（），ρ（），…，（）]在緊集∈R上取值，且其調(diào)度參數(shù)的變化率有界：，其中=1，2，…，。A（）∈R，B（）∈R，∈為已知的函數(shù)矩陣，并且A）是Hurwitz 矩陣，（）∈R是一個(gè)有界輸入信號，可以設(shè)（）=（）-x（）。

本文的目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)帶有自適應(yīng)律的切換LPV 控制器使得狀態(tài)（）可以跟蹤參考模型狀態(tài)x（），并且閉環(huán)系統(tǒng)所有信號都是有界的。

考慮一個(gè)切換LPV 系統(tǒng)：

其中∈R為系統(tǒng)狀態(tài)，∈R為控制輸入。A（），B（），∈是關(guān)于的未知矩陣函數(shù)，并且假定是一致有界的。

下列假設(shè)與定義在本文中會被用到：

假設(shè)1.1：存在一個(gè)理想增益的矩陣函數(shù) ()∈R，以及一個(gè)非奇異矩陣函數(shù) ， ()∈R，∈，∈，使得如下等式成立：

假設(shè)1.2： ()∈ Θ， ()∈ Θ，Θ，Θ為已知緊集，且各調(diào)度參數(shù)的變化率有界，表現(xiàn)為 ，其中d，d為已知常數(shù)。

假設(shè)1.3：存在已知矩陣函數(shù)M（）∈R，使得 ()M（）為正定矩陣，即 。

定義1.1：如果存在一個(gè)常數(shù)＞0 使得所有∈N都有t-t ≥，那么切換序列為：={t，t，…}的切換信號稱為可容許駐留時(shí)間，其中任意常數(shù)被稱為駐留時(shí)間，并且可容許駐留時(shí)間切換信號的集合可以表示為（）。

2 切換LPV 參考模型穩(wěn)定性分析

為應(yīng)用模型參考自適應(yīng)控制，參考模型的狀態(tài)必須保證有界。已知如果齊次系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，那么給齊次系統(tǒng)一個(gè)有界輸入后該系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定。對應(yīng)于參考模型（1）的齊次系統(tǒng)如下：

首先，定義一個(gè)時(shí)間序列{t，t…t…}，其中t-t=δ，=0，…，-1…，且t-t=τ，如圖1所示。

圖1 時(shí)間序列示例

在本節(jié)中，時(shí)間區(qū)間{t，t}被分為+1 個(gè)部分，可以表示為：

然后，參考模型的有界性可由定理2.1 給出。

其中=，+1；=0，…，。

其中=1，…-1，+1，…且λ，λ均為已知正常數(shù)，那么齊次系統(tǒng)（4）是漸近穩(wěn)定的。

時(shí)變矩陣P（，）可被定義為：

證明：當(dāng)?shù)趥€(gè)子系統(tǒng)激活時(shí)，李雅普諾夫函數(shù)可以表示為：

對式（8）求得可得：

首先，當(dāng)∈[，t），=0，…，-1…，時(shí)根據(jù)式（9）可得：

然后考慮當(dāng)∈[t，t）時(shí)，P（，）=P，（），此時(shí)

由式（8）可知，在切換瞬間t可得：

因?yàn)?span id="syggg00" class="emphasis_italic">V（，ρ）在任何兩個(gè)連續(xù)切換瞬間之間的任何區(qū)間是嚴(yán)格遞減并在每個(gè)（）≠0 的切換瞬間是非增的，現(xiàn)在可以認(rèn)為V（，ρ）在任何＞0 且（）≠0 的情況下是嚴(yán)格遞減的。對式（15）從0 至∞求積分可得

由此可得齊次系統(tǒng)（4）漸近穩(wěn)定，則參考模型的狀態(tài)是有界的。

3 主要成果

在本節(jié)將給出所提控制方法的主要成果。首先，我們設(shè)計(jì)一個(gè)切換LPV 控制器和自適應(yīng)律。然后給出了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。

3.1 控制器結(jié)構(gòu)

針對LPV 系統(tǒng)，設(shè)計(jì)一個(gè)參數(shù)依賴的狀態(tài)反饋控制器如下：

此外，追蹤誤差設(shè)為（）=（）-x（），則由式（1）、（2）和（18）可得：

3.2 自適應(yīng)律設(shè)計(jì)

3.3 穩(wěn)定性分析

基于帶有自適應(yīng)律（20）～（21）的控制器（18），可以給出以下定理。

證明：為分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，當(dāng)?shù)趥€(gè)子系統(tǒng)激活時(shí)，其李雅普諾夫函數(shù)為：

其中：

代入?yún)?shù)投影自適應(yīng)律（20）～（21）后可知：

根據(jù)文獻(xiàn)[20]可知：

因此式（28）可化為：

由于

其中=1-（-t）/δ，=（-）/δ，由定理2.1 可得：

其中λ∈max(λ) ，因此式（37）可化為：

之后考慮當(dāng)∈[t，t）時(shí)，P（，）=P（），此時(shí)式（37）變?yōu)椋?/p>

由式（7）可得：

根據(jù)式（8）在切換瞬間t可得：

選擇一任意常數(shù)∈[t，t），對不等式（44）由=到=進(jìn)行積分可得：

式（45）可以化簡為：

由此可知誤差（）是有界的。

證明完畢。

注4.1：當(dāng)（）=0 時(shí)，則系統(tǒng)（2）和（4）退化為線性系統(tǒng)，并且此控制方法得到的理論結(jié)果退化為文獻(xiàn)[21]內(nèi)的結(jié)果。

4 仿真實(shí)例

在這一部分中，我們通過對通用電氣（GE-90）渦扇發(fā)動機(jī)的仿真控制來驗(yàn)證所提出方法的有效性。

由于GE-90 渦扇發(fā)動機(jī)是一個(gè)非常復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，并不能直接對其動態(tài)特性進(jìn)行建模，本節(jié)所用到的渦扇發(fā)動機(jī)LPV 模型采用已有文獻(xiàn)中的增益調(diào)度方法進(jìn)行了驗(yàn)證。然而，LPV 模型實(shí)際上是一個(gè)近似模型，當(dāng)調(diào)度參數(shù)發(fā)生劇烈變化時(shí)，其準(zhǔn)確性和靈活性不能滿足實(shí)際要求。為了滿足實(shí)際需求，提高模型的精度，本文設(shè)計(jì)了切換LPV 模型，模型中的所有子系統(tǒng)均為LPV 模型。在該仿真系統(tǒng)中，使用調(diào)度參數(shù)指代高度，即=。通過構(gòu)建兩組不同的高度，仿真系統(tǒng)就變?yōu)榱艘粋€(gè)擁有兩個(gè)子系統(tǒng)的切換LPV 系統(tǒng)。高度標(biāo)準(zhǔn)化為10 000，風(fēng)扇轉(zhuǎn)速標(biāo)準(zhǔn)化為3 000。仿真模型的相關(guān)資料信息來自文獻(xiàn)[22]中已被廣泛應(yīng)用的渦扇發(fā)動機(jī)模型。

仿真系統(tǒng)的切換LPV 模型可以表示為：

其中ΔG=G-G是風(fēng)扇轉(zhuǎn)速的增量，ΔG=G–G是堆芯速度增量，ΔW=W-W是燃料流量增速。此外，G代表風(fēng)扇速度，G代表堆芯速度，W代表燃料流量。

切換LPV 參考模型為：

其中：

參考輸入為（）=sin（π）+sin（2π），設(shè)δ=5，通過解式（5）～（8）可得：

圖2給出了切換信號的形式，圖3表現(xiàn)了切換參考模型狀態(tài)信號的有界性，圖4描述了系統(tǒng)（49）狀態(tài)信號的有界性。而狀態(tài)追蹤誤差由圖5給出，基于圖5可得狀態(tài)追蹤誤差收斂至原點(diǎn)的球心內(nèi)?？刂破餍盘栍蓤D6～圖7給出。圖8～圖11 表示自適應(yīng)參數(shù)的信號，并且由圖4～圖5可以看出所有閉環(huán)系統(tǒng)的信號都是有界的。

圖2 切換信號

圖3 切換參考模型的軌跡

圖4 系統(tǒng)（49）的狀態(tài)軌跡

圖5 狀態(tài)追蹤誤差

圖6 控制器信號u1

圖7 控制器信號u2

圖8 自適應(yīng)參數(shù)信號Kx1

圖11 自適應(yīng)參數(shù)信號Kr2

圖9 自適應(yīng)參數(shù)信號Kr1

圖10 自適應(yīng)參數(shù)信號Kx1

5 結(jié) 論

本文研究了具有參數(shù)不確定性的切換LPV 系統(tǒng)的MRAC 問題。首先，給出了切換LPV 參考模型的有界性。其次，提出了一種基于時(shí)變正定矩陣的帶有自適應(yīng)律的切換LPV 控制器。然后，基于定理3.1，解決了切換LPV 系統(tǒng)的MRAC 狀態(tài)跟蹤問題。最后，以GE-90 渦扇發(fā)動機(jī)為例，驗(yàn)證了該控制方案的有效性。