張曉宇 劉曉峰? 蔡國平 劉傳凱

（1.上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240）（2.北京航天飛行控制中心，北京 100094）

引言

隨著機器人技術(shù)的發(fā)展，近年來臂長更長的柔性機械臂在工業(yè)和航空航天領(lǐng)域引起了很大的關(guān)注[1，2].與傳統(tǒng)的機械臂相比，此類機械臂通常具有更高的載荷/質(zhì)量比和更低的能耗.然而，這些特點也導(dǎo)致機械臂產(chǎn)生變形以及較大幅度的振動，給高精度的控制帶來了巨大挑戰(zhàn).一般而言，對于柔性機械臂這種復(fù)雜的機械系統(tǒng)，基于模型的控制方法比非基于模型的控制方法能獲得更好的控制效果.即便如此，基于模型的控制方法也不能保證高精度的控制效果.為了獲得更好的控制效果，除了選擇合適的控制方法外，建立更合適的動力學(xué)模型也很關(guān)鍵.

到目前為止，國內(nèi)外學(xué)者對柔性機械臂建模問題進行了大量研究.在早期的研究中，大多數(shù)研究人員認為，連桿的柔性是導(dǎo)致機械臂末端偏離目標(biāo)位置以及系統(tǒng)發(fā)生振動的主要原因，并基于該想法提出了很多柔性臂建模方法.描述柔性桿的彈性變形時首先需要離散柔性體，常用的離散方法有假設(shè)模態(tài)法、有限元法和集中參數(shù)法等[3]，其中，前兩者是主流方法.假設(shè)模態(tài)法利用模態(tài)振型函數(shù)和模態(tài)坐標(biāo)來離散系統(tǒng)的動力學(xué)方程，再利用模態(tài)截斷縮小方程規(guī)模便于求解.先前已有研究人員使用這種方法對單連桿柔性機械臂進行建模[4，5]，研究表明采用這種方法的實驗結(jié)果與理論結(jié)果具有良好的一致性，然而這種方法及模型并不能很好地描述系統(tǒng)的細節(jié)特征[6].相對而言，有限元法沒有這一缺點，一些文獻研究了有限元方法在柔性機械臂建模中的效果[7-10]，實驗表明有限元方法也可以得到一個能較好地描述系統(tǒng)的模型.同時，研究人員發(fā)現(xiàn)在使用有限元方法時，采用一個單元就足以描述振動的前兩階模態(tài)，并能很好地反應(yīng)柔性機械臂的動力學(xué)行為[8].隨著研究的深入，研究人員注意到關(guān)節(jié)的柔性也是導(dǎo)致控制結(jié)果不及預(yù)期的關(guān)鍵因素之一.為了獲得更好的控制效果，學(xué)者們開始對考慮關(guān)節(jié)柔性的機械臂動力學(xué)建模問題進行深入研究.例如，Xi和Fenton[11]在建立柔性機械臂動力學(xué)方程的過程中采用Spong模型[12]來描述柔性關(guān)節(jié).如圖1所示，經(jīng)過簡化后，柔性關(guān)節(jié)被兩個剛性關(guān)節(jié)和一個扭簧所取代.作者在深入研究關(guān)節(jié)柔性對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響后，給出了系統(tǒng)振動頻率和模態(tài)形狀的參數(shù)化方法.文獻[13-21]中，Spong模型也被用于建立同時考慮關(guān)節(jié)柔性和連桿柔性的機械臂動力學(xué)方程.這些研究的不同之處在于使用了不同的方法來離散柔性臂桿，如文獻[13，17-19]中采用假設(shè)模態(tài)法來離散柔性臂桿，文獻[14，16]中將柔性桿用連續(xù)梁模型計算，文獻[15，20，21]中使用有限元法離散柔性臂桿.在獲得動力學(xué)模型后，上述文獻的作者們對柔性臂的模態(tài)分析、振動抑制以及柔性連桿與柔性關(guān)節(jié)耦合效應(yīng)等問題進行了深入研究.研究結(jié)果證實，關(guān)節(jié)柔性確實會對系統(tǒng)動態(tài)特性產(chǎn)生比較大的影響，如果在柔性臂建模過程中忽略關(guān)節(jié)柔性，那將對系統(tǒng)動態(tài)特性分析和控制產(chǎn)生非常不利的影響.

圖1 柔性關(guān)節(jié)的模型Fig.1 Model of the flexible joint

從上述介紹可以看出，盡管目前關(guān)于柔性機械臂建模問題的研究已經(jīng)取得了一些成果，但它們也存在一些不足.例如，被廣泛采用的Spong模型，雖然可以比較簡單地刻畫柔性關(guān)節(jié)的動力學(xué)行為，便于建立柔性臂動力學(xué)方程，但也導(dǎo)致以下兩個問題：一是關(guān)節(jié)柔性和連桿柔性之間的耦合效應(yīng)不能被直接反映在動力學(xué)模型中，給系統(tǒng)動態(tài)分析帶來不便；二是額外剛性關(guān)節(jié)的引入增加了系統(tǒng)的自由度，給機械臂控制器的設(shè)計帶來不便.為了克服傳統(tǒng)建模方法的不足之處，本文對柔性關(guān)節(jié)柔性桿機械臂的動力學(xué)建模問題進行了研究，并提出了一種改進的建模方法.在該方法中，柔性關(guān)節(jié)不再簡化為兩個剛性關(guān)節(jié)和一個扭簧，而是被簡化為一個剛性關(guān)節(jié)和一個柔性連桿的彈性約束.這樣處理的第一個好處是，關(guān)節(jié)柔性對連桿柔性的影響可以直接體現(xiàn)在梁的模態(tài)信息中；第二個好處是，系統(tǒng)無需引入額外的剛性關(guān)節(jié)，降低了系統(tǒng)的自由度和控制器設(shè)計的難度.在此基礎(chǔ)上，本文根據(jù)哈密頓原理和假設(shè)模態(tài)法推導(dǎo)了柔性關(guān)節(jié)柔性桿機械臂的動力學(xué)方程.在文章最后，數(shù)值仿真結(jié)果驗證了本文方法的有效性和優(yōu)勢.

本文的其余部分結(jié)構(gòu)如下：第1節(jié)介紹了柔性關(guān)節(jié)模型的簡化和柔性關(guān)節(jié)柔性連桿機械臂的動力學(xué)模型.第2節(jié)給出了單邊彈性約束的柔性連桿的固有頻率和模態(tài)函數(shù)的推導(dǎo)過程，并導(dǎo)出了離散形式的動力學(xué)方程.接著在第3節(jié)給出了數(shù)值仿真結(jié)果.最后在第4節(jié)給出了本文結(jié)論.

1 柔性關(guān)節(jié)柔性連桿機械臂的簡化與動力學(xué)建模

如圖2所示，柔性關(guān)節(jié)柔性連桿機械臂是具有強非線性和耦合特性的復(fù)雜機械系統(tǒng).為了分析其動力學(xué)特性并設(shè)計運動控制器，需要建立系統(tǒng)的動力學(xué)模型.

圖2 柔性關(guān)節(jié)柔性連桿機械臂的模型Fig.2 Model of the flexible-joint flexible-link manipulator

合理簡化物理模型是動力學(xué)建模的基礎(chǔ)，其重要性不言而喻.從上一章節(jié)總結(jié)的相關(guān)工作可見，大多數(shù)研究將柔性連桿簡化為懸臂梁或簡支梁，將柔性關(guān)節(jié)簡化為線性扭簧和兩個剛性關(guān)節(jié)，如圖1所示.研究表明上述簡化是合理有效的，但是它仍然有一些缺點.例如，為了描述關(guān)節(jié)的柔性，一個虛擬的剛性關(guān)節(jié)被引入到模型中，這增加了系統(tǒng)的自由度.此外，這種簡化方式導(dǎo)致無法通過解析計算來得到系統(tǒng)的模態(tài)和頻率.這兩個缺點使得基于上述簡化所建的動力學(xué)模型不適合用于控制器設(shè)計.為了克服這些問題，本文提出了一種新的柔性關(guān)節(jié)柔性連桿系統(tǒng)的簡化方式：

1.將關(guān)節(jié)的柔性視作柔性桿的一個彈性約束；

2.柔性桿簡化為一個單邊彈性約束的簡支梁，如圖3所示，其中k為扭簧的剛度；

圖3 單邊彈性約束的柔性連桿模型Fig.3 Model of the flexible link with an elastic constraint

3.柔性關(guān)節(jié)柔性連桿系統(tǒng)簡化為包含剛性關(guān)節(jié)和單邊彈性約束的簡支梁的柔性多體系統(tǒng).

從上面的介紹可以看出，新的簡化方法不需要引入虛擬的剛性關(guān)節(jié)來描述關(guān)節(jié)柔性，從而降低了系統(tǒng)動力學(xué)模型的自由度.對于具有多個柔性關(guān)節(jié)的機械系統(tǒng)來說，減少動力學(xué)模型的自由度將有助于提高求解效率.不僅如此，減少自由度對于控制器的設(shè)計也非常有幫助.此外，具有彈性約束的簡支梁可以同時考慮梁和關(guān)節(jié)的柔性，這有助于分析系統(tǒng)的動力學(xué)特性和設(shè)計控制器.接下來本節(jié)將基于多體動力學(xué)理論[22]和哈密頓原理建立柔性關(guān)節(jié)柔性連桿機械臂的動力學(xué)模型，具體建模過程如下.

1.1 系統(tǒng)的運動學(xué)模型

如圖4所示，電機轉(zhuǎn)子在水平面內(nèi)繞固定點O旋轉(zhuǎn)，剛性轉(zhuǎn)子與柔性連桿通過柔性關(guān)節(jié)在O點鉸接.O-x0y0為慣性參考系，O-xy為固定在柔性連桿上的浮動參考系，梁的長度為l，電機的轉(zhuǎn)角為θ，電機上的外力矩為τ.

圖4 柔性關(guān)節(jié)柔性連桿系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型Fig.4 Structural model of the flexible-joint flexible-link system

圖5描述了梁上任一點P0的變形，其中，為P0變形前的初始位矢，為變形矢量，變形后P0移動到點P，P點的位矢為

圖5 柔性連桿變形的描述Fig.5 Deformation description of the flexible beam

1.2 偏微分形式的系統(tǒng)動力學(xué)方程

2 假設(shè)模態(tài)法離散的動力學(xué)方程

動力學(xué)方程（18）是時變的非線性偏微分方程，其直接求解的難度是非常大的.通常的求解方法是，首先對原方程對進行離散化處理，將無限自由度系統(tǒng)的偏微分方程轉(zhuǎn)化為有限自由度系統(tǒng)的常微分方程，然后使用數(shù)值方法獲得系統(tǒng)的近似解.假設(shè)模態(tài)法是一種比較經(jīng)典的離散化處理方法，本文將使用該方法對柔性連桿的偏微分動力學(xué)方程進行離散化處理.

2.1 模態(tài)分析

根據(jù)假設(shè)模態(tài)法理論，首先需要計算柔性連桿的模態(tài)函數(shù)和振動頻率.推導(dǎo)過程如下：

假設(shè)圖3中的梁為勻質(zhì)歐拉-伯努利梁，其自由彎曲振動方程為[24]：

由此我們得到了單邊彈性約束的柔性連桿自由振動的固有頻率（34）和模態(tài)函數(shù)（35），其有效性在第3.1節(jié)進行驗證.

2.2 動力學(xué)方程的離散化

根據(jù)假設(shè)模態(tài)法理論，考慮關(guān)節(jié)柔性后的柔性連桿變形可以被離散化為：

計算離散形式的動力學(xué)方程時，直接離散偏微分形式的方程通常比較困難，但如果對式（8）、式（14）、式（15）給出的變分項 δT、δH、δWF進行離散，可以降低離散的難度.得到變分項的離散式后，將結(jié)果代入哈密頓原理式（6）即可得到離散形式的動力學(xué)方程.

將式（37） ～式（42）代入式（14）可得勢能變分δH的離散形式：

同理將式（37） ～式（42）代入式（8）和式（15）可以得到δT和δWF的離散形式，將離散的結(jié)果代入哈密頓原理即得到離散形式的動力學(xué)方程：

方程（45）中的阻尼項可以表示為C=CJ+CS，其中CJ為柔性關(guān)節(jié)阻尼的貢獻，CS為梁結(jié)構(gòu)阻尼的貢獻，而結(jié)構(gòu)阻尼CS可以通過比例阻尼或瑞利阻尼表示[22].考慮到本文模型中的剛度矩陣受到卷簧的影響，所以選擇關(guān)于質(zhì)量矩陣的比例阻尼來計算結(jié)構(gòu)阻尼，阻尼矩陣的表達式為：

其中，α1和α2分別為軸向和橫向振動的阻尼系數(shù)，另外由上文的推導(dǎo)可得

至此，我們得到了離散形式的柔性關(guān)節(jié)柔性連桿機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)方程，該方程可以通過多種數(shù)值方法進行求解.

3 數(shù)值仿真

本節(jié)將通過數(shù)值仿真驗證前面給出的理論推導(dǎo)的正確性并檢驗本文所給出方法相對傳統(tǒng)方法是否具有優(yōu)勢.

3.1 與ANSYS軟件對比模態(tài)分析結(jié)果

本文在2.1節(jié)給出了具有彈性約束柔性連桿的頻率和模態(tài)計算過程，現(xiàn)在將通過軟件仿真來驗證推導(dǎo)結(jié)果的正確性.首先，采用本文給出的推導(dǎo)結(jié)果計算圖3所示具有彈性約束的柔性連桿的頻率和模態(tài)（分別如表2和圖6所示），系統(tǒng)的參數(shù)如表1所示.然后，在ANSYS軟件中計算該系統(tǒng)的模態(tài)和頻率，得到的頻率結(jié)果如表2所示，模態(tài)函數(shù)如圖6.觀察表2和圖6可得，本文方法的計算結(jié)果與ANSYS軟件的計算結(jié)果是比較吻合，這證明了我們的方法是有效的.

表1 圓截面勻質(zhì)梁的參數(shù)Table 1 Parameters of a uniform beam with a circular cross-section

表2 模態(tài)分析結(jié)果與ANSYS對比Table 2 Modal analysis results of the FLFJ system compared to ANSYS

圖6 模態(tài)函數(shù)形狀與ANSYS對比（歸一化后）Fig.6 Mode shapes of the FLFJ system compared to those of ANSYS

3.2 與ADAMS軟件對比動力學(xué)仿真結(jié)果

在本小節(jié)，本文提出的方法和傳統(tǒng)建模方法都將用于建立圖2所示系統(tǒng)的動力學(xué)模型，然后通過仿真結(jié)果對比來驗證本文方法的有效性.為了讓對比更加精確，我們采用ADAMS軟件來建立基于傳統(tǒng)方法的柔性機械臂動力學(xué)模型.在ADAMS軟件建模中，將柔性關(guān)節(jié)簡化為兩個剛性關(guān)節(jié)和一個扭簧，連桿的參數(shù)與表1相同，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量為0.002kg·m2，分別在三種不同的參數(shù)條件下（柔性關(guān)節(jié)的阻尼和驅(qū)動力矩不同，見表3）進行動力學(xué)仿真.接著，在同樣的參數(shù)條件下，采用本文方法建模并編程進行仿真計算，將我們的仿真結(jié)果與ADAMS對比（如圖7），可以看出我們模型的結(jié)果曲線與ADAMS模型的結(jié)果曲線完全一致，也就是說，本文提出的建模方法是正確有效的.

表3 仿真時使用的力矩和阻尼參數(shù)Table 3 The simulation results comparing our proposal with ADAMS model

圖7 與ADAMS軟件對比仿真結(jié)果Fig.7 The simulation results comparing our proposal with the ADAMS model

3.3 柔性關(guān)節(jié)參數(shù)對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響

如引言所述，關(guān)節(jié)柔性對柔性機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)特性有很大影響，本節(jié)將從多角度探討這種影響.由式（32）和式（34）可見，柔性關(guān)節(jié)柔性連桿機械臂系統(tǒng)的固有頻率是關(guān)于關(guān)節(jié)剛度和柔性連桿結(jié)構(gòu)參數(shù)的函數(shù).將不同的關(guān)節(jié)剛度代入式（32）和式（34），即可解得系統(tǒng)的固有頻率，如表4所示.觀察該表可得，系統(tǒng)的固有頻率會隨著關(guān)節(jié)剛度的增加而增加.當(dāng)k趨近于無窮大時，系統(tǒng)的頻率與懸臂梁的頻率（表5）相同.

表4 關(guān)節(jié)剛度對系統(tǒng)固有頻率的影響 （單位：Hz）Table 4 The influence of the stiffness on natural frequencies of the system

表5 懸臂梁的固有頻率（單位：Hz）Table 5 The natural frequencies of the cantilever beam

以上結(jié)果表明，關(guān)節(jié)的剛度較小時，關(guān)節(jié)柔性對系統(tǒng)的動力學(xué)特性有很大的影響，這引發(fā)了我們的思考：在實際工程應(yīng)用中，關(guān)節(jié)剛度與柔性連桿的結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足什么樣的條件時，關(guān)節(jié)可以看作是剛性的？換句話說，工程上需要一個準則來判斷是否需要考慮關(guān)節(jié)柔性.我們認為這是值得深入研究的問題.下面，本小節(jié)將采用柔性關(guān)節(jié)機械臂系統(tǒng)與懸臂梁的一階固有頻率的比值r來判斷關(guān)節(jié)是否可以視作剛性，具體準則如下.

準則1.如果r大于臨界值rc，關(guān)節(jié)可以視作剛性.

當(dāng)r=rc時，相應(yīng)的關(guān)節(jié)剛度k稱為臨界剛度kc.

即比值 r為 n和 k的非線性函數(shù).分別令 n為0.0813、0.1626、0.3252，r關(guān)于 k的曲線如圖 8 所示.觀察該圖可見，r為關(guān)于k的單調(diào)遞增函數(shù)，即隨剛度k增大而增大.這表明當(dāng)k大于kc時，r一定大于rc.根據(jù)準則1，此時可以忽略關(guān)節(jié)的柔性.因此，當(dāng)rc給定時，用相應(yīng)的kc就可以判斷是否可以忽略關(guān)節(jié)柔性.下面，本小節(jié)將給出kc的計算過程.

圖8 不同梁參數(shù)下，頻率比和關(guān)節(jié)剛度的關(guān)系Fig.8 The ratio of the frequencies with different parameters

分別令 rc為 0.95、0.97、0.99，臨界剛度 kc與梁參數(shù)n的關(guān)系如圖9所示，可見kc為關(guān)于n的線性函數(shù)，表達為：

其中，P為與rc有關(guān)的系數(shù)，圖9中的P值分別為37.1361、63.8008、197.1245.通過數(shù)值計算可以得到P與rc的關(guān)系，如圖10所示，P為關(guān)于rc的非線性函數(shù).根據(jù)圖10的結(jié)果和式（55），很容易計算不同柔性連桿結(jié)構(gòu)參數(shù)下的臨界剛度kc，例如，對于仿真使用的柔性關(guān)節(jié)機械臂系統(tǒng)，當(dāng)rc取0.95、0.97、0.99時，相應(yīng)的臨界剛度kc如表6所示.

圖9 不同rc時，臨界剛度kc與梁參數(shù)n的關(guān)系Fig.9 The kc-n relation for different rc

表6 不同rc時，柔性關(guān)節(jié)機械臂系統(tǒng)的臨界剛度kcTable 6 Corresponding kc values of the system for different rc

圖10 P與rc的關(guān)系Fig.10 The P-rc relation

3.4 運動控制仿真結(jié)果

本小節(jié)將通過控制仿真實驗來驗證本文給出的模型更適合用于運動控制，由于機械臂系統(tǒng)存在柔性，因此系統(tǒng)在運動過程中難免產(chǎn)生振動，為了實現(xiàn)高精度的控制，在設(shè)計控制器時需要采用一種具有振動抑制功能的控制方法.考慮到在第2.1節(jié)已經(jīng)得到了系統(tǒng)的振動頻率，因此采用輸入整形控制方法[25]是個不錯的選擇.附錄給出了輸入整形控制方法的具體形式.

下面將進行兩組仿真，以驗證本文提出的動力學(xué)模型更適合做運動控制設(shè)計.仿真中分別使用本文模型和文獻[21]中的模型設(shè)計ZVD輸入整形器和PD控制器.文獻[21]在建模時使用Spong模型描述柔性關(guān)節(jié)，并將柔性連桿視為懸臂梁.在兩組仿真中，均設(shè)計四種場景，控制柔性關(guān)節(jié)機械臂系統(tǒng)在1s、2s、3s、4s內(nèi)旋轉(zhuǎn)1rad，相應(yīng)的控制信號如圖11 所示，PD控制器的參數(shù)均為Kp=0.6，Kd=0.3.

圖11 四種場景的初始控制信號Fig.11 The initial angular control signals for 4 cases

在第一組仿真中，柔性關(guān)節(jié)的剛度k為1N·m/rad，分別使用本文模型和文獻[21]中的模型，選取前四階模態(tài)設(shè)計ZVD輸入整形器，相應(yīng)的模態(tài)頻率和ZVD參數(shù)見表7.仿真時使用ZVD整形器和PD控制器來控制系統(tǒng)運動并同時抑制振動，仿真結(jié)果見圖12～圖15，其中圖12（a）～圖15（a）為系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)角度的時間歷程，圖12（b）～圖15（b）為機械臂末端變形的時間歷程，圖12（c）～圖15（c）為電機控制力矩的時間歷程.觀察圖12（a）～圖15（a）可以看出，基于兩種模型的控制器都可以讓系統(tǒng)到達目標(biāo)位置，但使用文獻[21]中的模型設(shè)計控制器可以使系統(tǒng)更快地到達所需的旋轉(zhuǎn)角度，這是因為本文模型的固有頻率低于懸臂梁的固有頻率，見表7，根據(jù)輸入整形方法，控制過程所需時間隨著系統(tǒng)頻率的降低而增加.因此，文獻[21]中的模型可以使系統(tǒng)更快地到達所需的旋轉(zhuǎn)角度.但是對于柔性機械臂來講，機械臂的末端到達指定位置并停止振動所花費的時間也是衡量控制效果好壞的重要指標(biāo)，因此，更快地到達所需的旋轉(zhuǎn)角度并不意味著控制器的性能更好.觀察圖12（b）～圖15（b）可以看出，基于本文動力學(xué)模型的控制器可以更快地消除柔性系統(tǒng)的振動，這意味著使用本文模型設(shè)計的控制器具有更好的振動抑制性能.觀察圖12（c）～圖15（c）可見，使用本文模型的控制力矩曲線更為平滑，對控制的要求更低.

圖12 k=1N·m/rad時場景1（1s）的控制結(jié)果Fig.12 Control results for case1 （1s） when k=1N·m/rad

表7 k=1N·m/rad時系統(tǒng)的固有頻率和ZVD整形器參數(shù)Table 7 The frequencies of the system and ZVD parameters when k=1N·m/rad

在第二組仿真中，柔性關(guān)節(jié)的剛度k為0.1N·m/rad，分別使用本文模型和文獻[21]中的模型，選取前四階模態(tài)設(shè)計ZVD輸入整形器，相應(yīng)的模態(tài)頻率和ZVD參數(shù)見表8.仿真時使用ZVD整形器和PD控制器來控制系統(tǒng)運動并同時抑制振動，仿真結(jié)果見圖16～圖19.可以看出，基于本文所設(shè)計的控制器可以取得更好的控制效果.此外，對比兩組仿真可以看出，關(guān)節(jié)的剛度越小，基于本文模型的控制器在控制性能上的優(yōu)勢越大.

表8 k=0.1N·m/rad時系統(tǒng)的固有頻率和ZVD整形器參數(shù)Table 8 The frequencies of the system and ZVD parameters when k=0.1N·m/rad

圖13 k=1N·m/rad時場景2（2s）的控制結(jié)果Fig.13 Control results for case 2 （2s） when k=1N·m/rad

圖14 k=1N·m/rad時場景3（3s）的控制結(jié)果Fig.14 Control results for case 3 （3s） when k=1N·m/rad

圖15 k=1N·m/rad時場景4（4s）的控制結(jié)果Fig.15 Control results for case 4 （4s） when k=1N·m/rad

圖16 k=0.1N·m/rad時場景1（1s）的控制結(jié)果Fig.16 Control results for case 1 （1s） when k=0.1N·m/rad

圖17 k=0.1N·m/rad時場景2（2s）的控制結(jié)果Fig.17 Control results for case 2 （2s） when k=0.1N·m/rad

圖18 k=0.1N·m/rad時場景3（3s）的控制結(jié)果Fig.18 Control results for case 3 （3s） when k=0.1N·m/rad

圖19 k=0.1N·m/rad時場景4（4s）的控制結(jié)果Fig.19 Control results for case 4 （4s） when k=0.1N·m/rad

4 結(jié)論

本文研究了柔性關(guān)節(jié)柔性連桿機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)建模問題，并提出了一種改進的建模方法.在該方法中，連接柔性連桿的柔性關(guān)節(jié)首先被簡化為剛性關(guān)節(jié)和柔性連桿的彈性約束邊界.然后，根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)理論、哈密頓原理和假設(shè)模態(tài)法建立系統(tǒng)的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)方程.與傳統(tǒng)模型相比，新模型不僅具有更少的自由度數(shù)，還可直接描述關(guān)節(jié)柔性和連桿柔性的耦合作用，這對于進行系統(tǒng)的動力學(xué)特性分析和控制器設(shè)計是非常有利的.在數(shù)值仿真部分，本文方法的有效性首先被驗證.然后，基于本文方法所建模型在分析和控制上的優(yōu)勢也得到了充分的證明.由此可見，本文所給出的建模方法相對傳統(tǒng)建模方法具備明顯優(yōu)勢.