閆少輝，施萬(wàn)林，宋震龍，王爾童，孫 溪，黃羿博

(1.西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070; 2.甘肅省智能信息技術(shù)與應(yīng)用工程研究中心，甘肅 蘭州 730070)

1 引言

自1963年氣象學(xué)家Lorenz[1]發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)混沌吸引子以來(lái)，混沌理論的研究和應(yīng)用在非線(xiàn)性科學(xué)領(lǐng)域獲得了極大發(fā)展?；煦缈梢杂煞蔷€(xiàn)性微分方程的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型產(chǎn)生，其不可預(yù)測(cè)性和高度偽隨機(jī)性等特性使其在保密通信中得到了廣泛應(yīng)用[2,3]。因此，設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)具有理想特性的混沌系統(tǒng)具有非常重要的理論價(jià)值和實(shí)踐意義。

在Lorenz系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，國(guó)內(nèi)外研究人員相繼提出了一系列新的混沌系統(tǒng)。例如，陳關(guān)榮教授發(fā)現(xiàn)的Chen系統(tǒng)具有與Lorenz類(lèi)似但拓?fù)洳坏葍r(jià)的新型混沌吸引子[4]；2002年，呂金虎等人[5]提出了Lorenz系統(tǒng)與Chen系統(tǒng)之間的臨界系統(tǒng)，并將其命名為L(zhǎng)ü系統(tǒng)。近年來(lái)，在上述系統(tǒng)的基礎(chǔ)上也有許多新的混沌系統(tǒng)不斷被提出。文獻(xiàn)[6]提出了一個(gè)新的三維自治混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)方程包含多個(gè)非線(xiàn)性項(xiàng)，而在物理實(shí)現(xiàn)中，二次非線(xiàn)性和常數(shù)項(xiàng)需要乘法器和直流偏置電壓來(lái)實(shí)現(xiàn)，使得電路變得復(fù)雜。文獻(xiàn)[7]提出了一個(gè)三維連續(xù)混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)在x-y平面上的吸引子與Lü系統(tǒng)的相同，其吸引子關(guān)于z軸對(duì)稱(chēng)。因此，設(shè)計(jì)電路簡(jiǎn)單但動(dòng)力學(xué)行為復(fù)雜的混沌系統(tǒng)成為了當(dāng)前的研究重點(diǎn)。

混沌保密通信一直以來(lái)都是非線(xiàn)性科學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)，而混沌同步是實(shí)現(xiàn)混沌保密通信的關(guān)鍵。近年來(lái)，人們相繼提出了一系列混沌同步控制方法。文獻(xiàn)[8]在新構(gòu)建的四維超混沌系統(tǒng)和四維超混沌Chen系統(tǒng)之間設(shè)計(jì)了廣義同步控制器，從而實(shí)現(xiàn)了廣義同步。文獻(xiàn)[9]應(yīng)用主動(dòng)控制同步法和自適應(yīng)控制同步法來(lái)設(shè)計(jì)各自不同的控制器，使得響應(yīng)系統(tǒng)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)達(dá)到同步。文獻(xiàn)[10]利用自適應(yīng)控制方法實(shí)現(xiàn)了衍生系統(tǒng)之間的同步以及非衍生系統(tǒng)之間的同步。盡管上述文獻(xiàn)都較好地實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)之間的同步，但也導(dǎo)致系統(tǒng)結(jié)構(gòu)更復(fù)雜，電路實(shí)現(xiàn)更困難。因此，簡(jiǎn)化電路結(jié)構(gòu)，研究控制精確且規(guī)則限制少的同步方法將變得尤為重要。

本文基于Bao系統(tǒng)[11]構(gòu)建一個(gè)新的三維混沌系統(tǒng)。不同于經(jīng)典Bao系統(tǒng)，新系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌吸引子均不對(duì)稱(chēng)，系統(tǒng)具有更復(fù)雜無(wú)序的混沌特性和新的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。通過(guò)對(duì)該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性研究，結(jié)合不同參數(shù)下的Lyapunov指數(shù)譜和分岔，分析不同參數(shù)對(duì)該混沌系統(tǒng)的影響，證明該系統(tǒng)具有豐富的混沌特性。此外，通過(guò)計(jì)算譜商SE(Spectral Entropy)復(fù)雜度和C0復(fù)雜度，為電路參數(shù)配置提供了一種直觀(guān)有效的方法。同時(shí)，在Multisim軟件上對(duì)系統(tǒng)電路進(jìn)行設(shè)計(jì)與仿真，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果相一致。最后，通過(guò)非線(xiàn)性反饋與線(xiàn)性反饋同步控制方法分別實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的同步，數(shù)值仿真與電路仿真結(jié)果驗(yàn)證了系統(tǒng)的可行性。

2 新系統(tǒng)模型與動(dòng)力學(xué)特性分析

2.1 新混沌系統(tǒng)模型

本文根據(jù)Lü系統(tǒng)和Liu系統(tǒng)[5]的構(gòu)建模式，在Bao系統(tǒng)的基礎(chǔ)上構(gòu)建一個(gè)新的三維混沌系統(tǒng)。新混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如式(1)所示：

(1)

其中，a，b，c，d為系統(tǒng)參數(shù)。當(dāng)選取系統(tǒng)參數(shù)a=20，b=14，c=11，d=5，變量x,y,z的初始值為 (1，1，1)時(shí)，利用Matlab對(duì)混沌吸引子進(jìn)行了數(shù)值模擬。時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)置為0.01 s，時(shí)間長(zhǎng)度設(shè)置為50 s。圖1a為三維空間吸引子及其在不同平面上的投影圖。由圖1a可見(jiàn)，系統(tǒng)(1)的吸引子軌跡關(guān)于坐標(biāo)軸均不對(duì)稱(chēng)，并且其軌跡在特定區(qū)域存在遍歷性[12]，說(shuō)明該系統(tǒng)具有新的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。圖1b為3個(gè)變量的時(shí)間序列，其時(shí)域波形都是非周期的。圖1c為系統(tǒng)在y=0上的Poincare截面，其軌跡為一條沒(méi)有閉合的線(xiàn)段且具有自相似的分形結(jié)構(gòu)[13]，說(shuō)明系統(tǒng)是混沌振蕩的。通過(guò)0-1測(cè)試，得到呈不規(guī)則分布的p-s運(yùn)動(dòng)軌跡,如圖1d所示，計(jì)算可得漸近增長(zhǎng)率K的值為0.996 3 (K≈1)，表明系統(tǒng)具有混沌特性。

Figure 1 Dynamic behavior of the new chaotic system圖1 新混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為

2.2 耗散性與平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析

對(duì)于構(gòu)建的新系統(tǒng) (1)，有如式(2)所示的等式：

(2)

其中，V表示相位體積，當(dāng)a=20，b=14，c=11，d=5時(shí)，divV=-a+c-d=-14<0，所以系統(tǒng)是耗散的，并且以指數(shù)形式 dV/dt=e-14t收斂 ，即當(dāng)t→∞時(shí)，系統(tǒng)軌道的所有體積元都會(huì)以指數(shù)e-14收縮到0。因此，相空間軌線(xiàn)經(jīng)過(guò)多次折疊和拉伸其運(yùn)動(dòng)軌跡最終會(huì)固定在一個(gè)吸引子上，說(shuō)明吸引子是存在的。

令非線(xiàn)性系統(tǒng)模型(1)的右邊等于0，如式(3)所示：

(3)

求解式(3)，可得系統(tǒng)有3個(gè)平衡點(diǎn)：P0=(0,0,0),P1=(12.155,-15.470,35.714)和P2=(-9.069,11.542,35.714)。系統(tǒng) (1)在平衡點(diǎn)P0處的雅可比矩陣如式(4)所示：

(4)

由此可以推導(dǎo)出特征方程如式(5)所示：

P0(λ)=λ[(a+λ)(c-λ)+db](d+λ)=0

(5)

當(dāng)選取參數(shù)a=20，b=14，c=11，d=5時(shí)，由式(5)可得，系統(tǒng) (1)在平衡點(diǎn)P0=(0,0,0)處的特征根為：λ11=-5，λ12=18.309，λ13=-27.308。由于特征值λ11和λ13為負(fù)實(shí)數(shù)，λ12為正實(shí)數(shù)，這種具有2個(gè)穩(wěn)定流形和1個(gè)不穩(wěn)定流形的匯合點(diǎn)稱(chēng)為鞍點(diǎn)[14]，因此P0是一個(gè)在二維空間中不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)。

將系統(tǒng)在平衡點(diǎn)P1處線(xiàn)性化，其雅可比矩陣如式(6)所示：

(6)

令det(J-λE)=0，解其特征根為：λ21=-30.2,λ22，23=8.1±6.74i。由于λ21為負(fù)實(shí)數(shù)，且λ22和λ23均是實(shí)部為正的共軛復(fù)數(shù)，因此平衡點(diǎn)P1為不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)。同理，在平衡點(diǎn)P2處，求其特征根為：λ31=-31.9,λ32=4.3,λ33=13.61。由于特征值λ31為負(fù)實(shí)數(shù)，λ32和λ33為正實(shí)數(shù)，因此平衡點(diǎn)P2為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)。

2.3 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)動(dòng)力學(xué)特性的影響

隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化，系統(tǒng)將處于不同的混沌狀態(tài)并呈現(xiàn)出不同的動(dòng)力學(xué)行為[15]。固定系統(tǒng)參數(shù)a=20，b=14，d=5，變量x,y,z初始值設(shè)為 (1，1，1)，選取系統(tǒng)參數(shù)c作為分岔參數(shù)，當(dāng)c在 (4，16)內(nèi)變化時(shí)，系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜和關(guān)于變量x的分岔情況如圖2所示，其中，L1，L2和L3為L(zhǎng)yapunov指數(shù)譜。

Figure 2 Lyapunov exponent and bifurcation diagram with parameter c varying in the range of (4,16)圖2 參數(shù)c在(4，16)內(nèi)變化的Lyapunov指數(shù)譜與分岔圖

由圖2可見(jiàn)，系統(tǒng)存在著各種脫離混沌的分岔路徑，在路徑中存在混沌與周期的復(fù)雜交替，但混沌帶中依然夾有一些周期窗口。當(dāng)c在 (4，16)內(nèi)變化時(shí)，系統(tǒng)從倍周期開(kāi)始脫離混沌。同時(shí)，參數(shù)c取不同值時(shí)的吸引子相圖如圖3所示，當(dāng)c=15時(shí)，系統(tǒng)為極限環(huán)，當(dāng)c=14.8時(shí)，系統(tǒng)為二周期，當(dāng)c=14.6時(shí)，系統(tǒng)為四周期，當(dāng)c=14時(shí)，系統(tǒng)為混沌振蕩。此時(shí)系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)大于0。

Figure 3 Attractor phase diagram with different values of parameter c 圖3 參數(shù)c取不同值時(shí)的吸引子相圖

固定系統(tǒng)參數(shù)a=20，b=14，c=11，變量x,y,z初始值為 (1，1，1)，選擇d作為分岔參數(shù)，當(dāng)d在(0，12)內(nèi)變化時(shí)，圖4給出了變量x對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)譜與分岔圖。由圖4可見(jiàn)，該系統(tǒng)的軌道在這一部分有很多不同的周期和混沌跳躍，并且系統(tǒng)也是從倍周期開(kāi)始脫離混沌，說(shuō)明 Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖有較好的一致性。此外，圖5顯示了吸引子的相圖，詳細(xì)展示了從周期到混沌的演化過(guò)程。當(dāng)d分別取6，8.6，9.6和10時(shí)，系統(tǒng) (1)從混沌振蕩(圖5a)開(kāi)始，到四周期振蕩(圖5b)，到二周期振蕩(圖5c)，再到極限環(huán)(圖5d)。

Figure 4 Lyapunov exponent and bifurcation diagram when parameter d changes within (0,12)圖4 參數(shù)d在(0，12)內(nèi)變化時(shí)的Lyapunov指數(shù)譜與分岔圖

Figure 5 Attractor phase diagram with different values of parameter d 圖5 參數(shù)d取不同值時(shí)的吸引子相圖

Figure 6 System complexity with the change of parameter c圖6 參數(shù)c變化時(shí)系統(tǒng)的復(fù)雜度

2.4 SE復(fù)雜度與C0復(fù)雜度分析

系統(tǒng)復(fù)雜性測(cè)度對(duì)混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析具有重要意義，大量研究表明，混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度越高，越適合用于保密通信[15,16]。SE復(fù)雜度反映了傅里葉變換域的無(wú)序狀態(tài)，譜越平坦，其SE復(fù)雜度越大，說(shuō)明時(shí)間序列的復(fù)雜性越高。C0復(fù)雜度也是基于離散傅里葉變換，但它反映序列中不規(guī)則的比例[17,18]。計(jì)算系統(tǒng)的SE復(fù)雜度與C0復(fù)雜度與圖3中的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖中所使用的參數(shù)c相對(duì)應(yīng)，如圖6所示，當(dāng)系統(tǒng)處于周期振蕩時(shí)，對(duì)應(yīng)的SE復(fù)雜度與C0復(fù)雜度較小，說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)復(fù)雜度較低。當(dāng)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)，對(duì)應(yīng)的SE復(fù)雜度與C0復(fù)雜度較大，此時(shí)系統(tǒng)復(fù)雜度較高。由此可見(jiàn)，系統(tǒng)復(fù)雜度與Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖的變化趨勢(shì)相一致。

系統(tǒng)隨參數(shù)d變化的復(fù)雜度如圖7所示。從圖7可以看出，系統(tǒng)的SE復(fù)雜度與C0復(fù)雜度與圖4的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖的變化趨勢(shì)相一致，當(dāng)d大于9時(shí)，系統(tǒng)處于周期振蕩，SE復(fù)雜度與C0復(fù)雜度較小，此時(shí)系統(tǒng)的復(fù)雜度較低。當(dāng)選取的參數(shù)d使得系統(tǒng)處于混沌振蕩時(shí)，對(duì)應(yīng)的SE復(fù)雜度與C0復(fù)雜度較大，此時(shí)系統(tǒng)復(fù)雜度較高，即系統(tǒng)的混亂性越高。因此，SE復(fù)雜度與C0復(fù)雜度圖可以提供一種直觀(guān)、有效的參數(shù)配置方法。

Figure 7 System complexity under the change of parameter d圖7 參數(shù)d變化時(shí)系統(tǒng)的復(fù)雜度

在實(shí)際應(yīng)用中，SE復(fù)雜度和C0復(fù)雜度的混沌圖可以更好地為參數(shù)的選擇提供依據(jù)。圖8給出了參數(shù)c和d同時(shí)變化時(shí)SE復(fù)雜度與C0復(fù)雜度的混沌圖，在復(fù)雜度混沌圖中，顏色越深表示復(fù)雜度越高。在保密通信領(lǐng)域，復(fù)雜度越高表示隨機(jī)性越大，序列恢復(fù)的難度越大。因此，混沌系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)盡可能地增加其復(fù)雜性，以保證擴(kuò)頻系統(tǒng)具有良好的抗干擾性和較強(qiáng)的抗截獲性。在圖8中，選擇混沌程度較高的參數(shù)時(shí)，應(yīng)考慮圖中間與左邊的參數(shù)，而沿右邊界的參數(shù)對(duì)任意的敏感程度較強(qiáng)，應(yīng)盡量避免。

Figure 8 Chaos diagram of the system complexity with the changes of parameters c and d圖8 參數(shù)c、d同時(shí)變化時(shí)系統(tǒng)的復(fù)雜度混沌圖

3 系統(tǒng)電路設(shè)計(jì)與仿真

為了驗(yàn)證該混沌系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，本文利用Multisim軟件對(duì)其電路進(jìn)行設(shè)計(jì)與仿真。電路采用3554AM運(yùn)算放大器和AD633乘法器實(shí)現(xiàn)，供電電壓設(shè)為±15 V。為了便于該系統(tǒng)在實(shí)際電路中實(shí)施，對(duì)其進(jìn)行時(shí)間尺度變換，令τ=100t得：

(7)

根據(jù)基爾霍夫電路定律，系統(tǒng)的電路狀態(tài)方程表示如式(8)所示：

(8)

將式(8)與式(7)進(jìn)行比較,令C1=C2=C3=10 nF，可以得到其電阻參數(shù)，R1=R2=50 kΩ,R3=100 kΩ,R4=10 kΩ,R6=90.9 kΩ,R7=71.4 kΩ,R11=100 kΩ,R5=R8=R9=10 kΩ,R10=R12=200 kΩ，電路原理如圖9所示。根據(jù)所設(shè)計(jì)的電路和給定的元件參數(shù)進(jìn)行Multisim仿真，在虛擬Tektronix示波器上可以觀(guān)察到相圖，如圖10所示，電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果相一致，證實(shí)系統(tǒng)是準(zhǔn)確的。

4 混沌系統(tǒng)同步控制

混沌因其不可預(yù)測(cè)性和高度偽隨機(jī)性在保密通信領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[19,20]。利用混沌的時(shí)間復(fù)雜性和表面隨機(jī)性，可以將要傳輸?shù)男畔㈦[藏在混沌信號(hào)中，然后在接收端采用混沌同步技術(shù)獲取有用信息[21,22]。本文采用非線(xiàn)性反饋與線(xiàn)性反饋2種方法實(shí)現(xiàn)2個(gè)混沌系統(tǒng)的同步，并對(duì)線(xiàn)性反饋同步電路進(jìn)行了仿真。響應(yīng)系統(tǒng)具有與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)相同的電路結(jié)構(gòu)，但其初始值不同。隨著時(shí)間的推移，2個(gè)相同的混沌系統(tǒng)可以在其狀態(tài)變量之間實(shí)現(xiàn)并保持同步。

Figure 9 Circuit schematic圖9 電路原理圖

Figure 10 Circuit simulation experiment results圖10 電路仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.1 非線(xiàn)性反饋同步控制

設(shè)系統(tǒng)(1)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，加入控制項(xiàng)后的響應(yīng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型如式(9)所示：

(9)

(10)

由此可將原同步問(wèn)題轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)式(10)在原點(diǎn)(0，0，0)處的漸進(jìn)穩(wěn)定性問(wèn)題。

定理1對(duì)于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)與響應(yīng)系統(tǒng)(9)，若取系統(tǒng)的非線(xiàn)性控制律如式(11)所示:

(11)

證明將控制律式(11)代入誤差系統(tǒng)式(10)得:

(12)

構(gòu)造如式(13)所示的Lyapunov函數(shù):

(13)

將式(13)分別沿著誤差向量e求導(dǎo)，并結(jié)合式(10)，得：

(14)

□

利用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值仿真，設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)的初始值為：x(0)=1，y(0)=2，z(0)=3，響應(yīng)系統(tǒng)(9)的初始值為:x1(0)=4，y1(0)=5，z1(0)=6，控制器參數(shù)取k=-13，則該混沌系統(tǒng)同步時(shí)驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量隨時(shí)間的變化情況與系統(tǒng)誤差收斂曲線(xiàn)如圖11所示。

Figure 11 Timing diagram and error curve of system synchronization圖11 系統(tǒng)同步的時(shí)序圖與誤差曲線(xiàn)

仿真結(jié)果顯示，所設(shè)計(jì)的非線(xiàn)性反饋控制律可以使驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)與響應(yīng)系統(tǒng)(9)達(dá)到同步。但是，上述所設(shè)計(jì)的非線(xiàn)性反饋控制器比較復(fù)雜，在電路實(shí)現(xiàn)方面較為不易，如何進(jìn)一步簡(jiǎn)化控制律結(jié)構(gòu)與優(yōu)化系統(tǒng)同步方法就顯得極為重要。由于線(xiàn)性反饋控制同步電路簡(jiǎn)單且在物理實(shí)現(xiàn)上較為容易，故下面采用線(xiàn)性反饋控制方法，通過(guò)系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)來(lái)確定控制參數(shù)的取值范圍，從而達(dá)到該系統(tǒng)的同步控制，并對(duì)其設(shè)計(jì)電路仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證此方法的可行性。

4.2 線(xiàn)性反饋同步控制

基于線(xiàn)性反饋同步方法，當(dāng)選取系統(tǒng)參數(shù)a=20，b=14，c=11，d=5時(shí)，在式(1)上加入控制項(xiàng)后將其設(shè)為響應(yīng)系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型如式(15)所示：

(15)

其中k為線(xiàn)性控制參數(shù)。令e1=x1-x，e2=y1-y，e3=z1-z，則誤差系統(tǒng)方程可由式(15)減去式(1)得到,如式(16)所示：

(16)

設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的初始值為：x(0)=1,y(0)=1,z(0)=1，響應(yīng)系統(tǒng)的初始值為：x1(0)=10,y1(0)=10,z1(0)=10，取步長(zhǎng)T=0.01，由數(shù)值計(jì)算可得，系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)LEmax=2.487≈2.5。根據(jù)線(xiàn)性反饋同步控制機(jī)理[23,24]，當(dāng)取控制參數(shù)k>LEmax時(shí)，采用線(xiàn)性反饋控制方法，可以使混沌系統(tǒng)達(dá)到同步?？刂茀?shù)k取不同值時(shí)的同步誤差曲線(xiàn)和時(shí)域波形如圖12所示。

Figure 12 Numerical simulation of system synchronization圖12 系統(tǒng)同步數(shù)值仿真

由數(shù)值仿真結(jié)果可得，當(dāng)k=2時(shí)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)不同步；當(dāng)k=2.5時(shí)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后最終達(dá)到同步；當(dāng)k=3.5時(shí)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)短暫時(shí)間后達(dá)到同步。由上述可得，當(dāng)k大于系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)時(shí)，誤差曲線(xiàn)最終收斂于0，時(shí)域波形也達(dá)到同步，并且當(dāng)k越大時(shí)，達(dá)到同步所需要的時(shí)間越短。相比文獻(xiàn)[6]中的耦合同步，根據(jù)最大Lyapunov指數(shù)能夠更精確地控制混沌系統(tǒng)同步。

為了驗(yàn)證上述理論分析與數(shù)值仿真的正確性，在Multisim軟件上對(duì)其進(jìn)行同步電路仿真實(shí)驗(yàn)，由圖9可得，C4=C5=C6=10 nF,R14=90.9 kΩ,R15=71.4 kΩ,R19=50 kΩ,R20=50 kΩ,R21=100 kΩ,R22=200 kΩ,R23=100 kΩ,R24=200 kΩ。同步電路原理如圖13所示。相比文獻(xiàn)[23]中的同步控制電路，此控制電路減少了一組反相比例放大電路，使得電路更加簡(jiǎn)單、易實(shí)現(xiàn)。

Figure 13 Simulated circuit diagram of synchronous circuit圖13 同步電路仿真電路圖

當(dāng)R29=R39=R44=500 kΩ時(shí)，k=2；當(dāng)R29=R39=R44=400 kΩ時(shí)，k=2.5；當(dāng)R29=R39=R44=285 kΩ時(shí)，k=3.5。當(dāng)k取不同值時(shí)，相應(yīng)的狀態(tài)變量的相圖如圖14所示，同步時(shí)x1-x2的時(shí)域波形相重合，并且其相圖為一條通過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)。而且隨著k值的增大，2個(gè)混沌系統(tǒng)達(dá)到同步時(shí)所用到的時(shí)間越少，由此可見(jiàn)電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果一致，證明了此方法的可行性。

Figure 14 Simulation results of chaotic synchronization circuit圖14 x1與x2同步仿真實(shí)驗(yàn)相圖

5 結(jié)束語(yǔ)

本文根據(jù)Bao系統(tǒng)的構(gòu)建模式，提出一個(gè)新的三維混沌系統(tǒng)。對(duì)新系統(tǒng)的吸引子相圖、Poincare截面、0-1測(cè)試以及Lyapunov指數(shù)譜與分岔圖等基本動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究分析，結(jié)果表明該系統(tǒng)具有新的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和更為復(fù)雜無(wú)序的混沌特性。此外，通過(guò)計(jì)算譜熵(SE)復(fù)雜度與C0復(fù)雜度，為電路參數(shù)的選取提供了一種直觀(guān)有效的方法。利用Multisim軟件設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了該系統(tǒng)電路，仿真結(jié)果證實(shí)了理論分析與數(shù)值仿真的正確性。最后，采用非線(xiàn)性反饋與線(xiàn)性反饋控制方法實(shí)現(xiàn)了該混沌系統(tǒng)的同步，給出了系統(tǒng)線(xiàn)性同步控制參數(shù)的范圍，使得同步控制更加精確與嚴(yán)謹(jǐn)，并通過(guò)數(shù)值仿真與電路實(shí)驗(yàn)證實(shí)了此方法的有效性。但是，該方法在保密通信領(lǐng)域中的應(yīng)用還有待進(jìn)一步研究，并且其硬件電路還有待實(shí)現(xiàn)。