李 敏 李依倫 陳偉民 ,,2)

*(北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100191)

?(巴黎–薩克雷大學(xué)，巴黎 91190)

**(中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所，北京 100190)

??(中國(guó)科學(xué)院大學(xué)工程科學(xué)學(xué)院，北京 100049)

沖擊問(wèn)題作為能量方法的應(yīng)用擴(kuò)展，盡管在材料力學(xué)中所占篇幅不多，但代表載荷屬性的另一種典型模式，在分析方法與現(xiàn)象表征方面有其特色。材料力學(xué)沖擊問(wèn)題的重點(diǎn)講授內(nèi)容是分析梁結(jié)構(gòu)承受位于一定高度H重物無(wú)初速度釋放的沖擊響應(yīng)（主要是位移與載荷），基本公式為

其中Δd,Δst與Kd分別為動(dòng)態(tài)位移、靜態(tài)位移與動(dòng)荷因數(shù)。學(xué)生對(duì)于利用基本公式解算習(xí)題一般不存在問(wèn)題，也能根據(jù)沖擊響應(yīng)隨靜態(tài)位移變化的規(guī)律判斷相關(guān)結(jié)構(gòu)的危險(xiǎn)程度，其中核心理念是盡量降低結(jié)構(gòu)剛度或增加靜態(tài)位移，達(dá)到降低沖擊響應(yīng)的目的。

根據(jù)基本公式，以上的描述應(yīng)該是正確的，但縱向比較時(shí)，學(xué)生對(duì)于這種結(jié)論也存在疑惑之處：根據(jù)前期已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識(shí)或者直觀感受，結(jié)構(gòu)變形大對(duì)應(yīng)著應(yīng)變（應(yīng)力）大，造成變形的外力也應(yīng)該大，這與上面的結(jié)論似乎相悖。結(jié)合例題更為具體化地表述：結(jié)構(gòu)變形大對(duì)應(yīng)著沖擊重物下降更多距離，更多機(jī)械能轉(zhuǎn)化為被沖擊梁結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，為什么沖擊造成的應(yīng)力反而越??？

造成學(xué)生疑惑有多方面原因，其中學(xué)生對(duì)于動(dòng)態(tài)問(wèn)題和使用能量法分析問(wèn)題的能力弱于靜力學(xué)分析是重要原因，另外被沖擊主結(jié)構(gòu)與緩沖裝置在講述中分類不清也是一個(gè)方面?；卮疬@類問(wèn)題完全采用概述方式效果不佳，本文試圖基于常見的例題習(xí)題進(jìn)行進(jìn)一步地分析，讓學(xué)生從數(shù)據(jù)比較中總結(jié)歸納，找到自我說(shuō)服的邏輯。

為了契合學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的熟悉程度，本文首先列舉簡(jiǎn)單例題和習(xí)題并挖掘其中的機(jī)理，然后通過(guò)一般性表達(dá)式進(jìn)行定性定量分析。

1 典型例題的進(jìn)一步分析

1.1 附加結(jié)構(gòu)在邊界點(diǎn)支撐主結(jié)構(gòu)

為了說(shuō)明緩沖結(jié)構(gòu)的效果，沖擊問(wèn)題中常用簡(jiǎn)支梁AB（圖1(a)）與彈簧支撐梁（圖1(b)）中點(diǎn)承受重物沖擊進(jìn)行比較[1-2]，圖中梁的彈性模量E，長(zhǎng)度l，矩形截面h×b，重物重量F=mg，與梁軸距離H，支撐彈簧剛度k均已知。

該例題的解算步驟很清晰，常見簡(jiǎn)潔模式如下。

（1）梁AB中點(diǎn)豎直方向的靜剛度k1=48EI/l3，彈簧靜表觀剛度k2=2k。

（2）對(duì)于簡(jiǎn)支狀態(tài)（圖1(a)）

（3）對(duì)于彈簧支撐狀態(tài)（圖1(b)）

圖1 展示緩沖效果的典型例題

后續(xù)的解算過(guò)程與數(shù)據(jù)不再列出，對(duì)比式（2）與式（3），很明顯后者（有彈簧支撐）的機(jī)械能損失多出一項(xiàng)FΔd2，除非支撐彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能大于由于彈簧帶來(lái)的重物位置勢(shì)能增量FΔd2，否則很難理解彈簧支撐的作用，因?yàn)橛袕椈芍魏笾匚锵陆盗烁喔叨?，表明輸入給系統(tǒng)的沖擊能量增加了。由于

所以只需證明 2Δst2＜Δd2，事實(shí)上，該結(jié)論的成立很明顯（教材中關(guān)于沖擊動(dòng)荷因數(shù)討論的要點(diǎn)）：除非重物無(wú)高度無(wú)初速釋放時(shí)Δd2=2Δst2，否則Δd2＞2Δst2一定成立。

以上簡(jiǎn)單推導(dǎo)揭示的基本規(guī)律：無(wú)論支撐彈簧的剛度如何，只要支撐模式為“串聯(lián)”方式，則彈簧吸收的能量大于由于彈簧出現(xiàn)引入的額外機(jī)械能增量，導(dǎo)致被沖擊主結(jié)構(gòu)（該例中的梁AB）由于沖擊造成的應(yīng)變能與變形均減小，即圖1(b)相比圖1(a)，梁的變形更小(Δd1＞Δ′d1)。

1.2 附加結(jié)構(gòu)在沖擊點(diǎn)支撐主結(jié)構(gòu)

1 .1節(jié)中出現(xiàn)了“串聯(lián)”方式，為了解釋其含義，這里列出另外一個(gè)常見習(xí)題[1]（圖2），原題一般有兩種情況，這里只討論δ=0 即兩根梁接觸的情況，兩根簡(jiǎn)支梁完全相同，各項(xiàng)參數(shù)均已知。

圖2 雙梁組合沖擊問(wèn)題典型例題

這里比較兩種模型：

（1）模型一，簡(jiǎn)支梁AB和CD共同承受沖擊；

（2）模型二，僅有簡(jiǎn)支梁AB承受沖擊。

模型一中梁AB和CD在沖擊載荷作用下位移相同，其組合相當(dāng)于等效彈簧“并聯(lián)”方式，中點(diǎn)豎直方向表觀剛度k1=2k=96EI/l3

這種模式可看作梁AB和CD各自承擔(dān)一半質(zhì)量的沖擊過(guò)程，或者直接看作簡(jiǎn)支梁AB單獨(dú)承受mg/2 的沖擊過(guò)程。

模型二中梁AB中點(diǎn)表觀剛度k2=k

對(duì)比式（6a）與式（5），加入梁CD的作用表述為：

（1）減小了機(jī)械能輸入FΔ′，或減小了沖擊能量；

（2）分擔(dān)了（吸收了）一部分機(jī)械能，分擔(dān)部分與剛度成正比（此例中各自一半）。

1.3 兩種附加結(jié)構(gòu)緩沖模式的比較

以上兩個(gè)題目代表了利用附加結(jié)構(gòu)減緩主結(jié)構(gòu)受沖擊的兩種典型模式，以主結(jié)構(gòu)單獨(dú)承受沖擊為比較的標(biāo)準(zhǔn)（圖1(a)和圖2中的模型二）。

（1）邊界點(diǎn)支撐模式（串聯(lián)模式）降低了整體表觀剛度，導(dǎo)致沖擊輸入能量增加（重物下降高度增大），但附加結(jié)構(gòu)（圖1中的彈簧）存儲(chǔ)的應(yīng)變能超過(guò)沖擊輸入能量的增量，所以主結(jié)構(gòu)（圖1中的梁AB）的應(yīng)變能減小了，換言之，附加緩沖結(jié)構(gòu)后主結(jié)構(gòu)變形是減小的（這一點(diǎn)與學(xué)生直觀感受不一樣）。

（2）沖擊點(diǎn)支撐模式（并聯(lián)模式）提高了整體表觀剛度，導(dǎo)致沖擊輸入能量減少（重物下降高度減?。?，而且附加結(jié)構(gòu)按照剛度比例吸收了一部分應(yīng)變能，所以主結(jié)構(gòu)（圖2中的梁AB）的應(yīng)變能減小，對(duì)應(yīng)的變形減小與直觀感受一致。

（3）以上的分析顯示沖擊點(diǎn)支撐模式對(duì)于減緩沖擊似乎更有效，但須注意這種模式提高了接觸點(diǎn)的沖擊載荷，其效果沒有出現(xiàn)在以上分析中的原因在于材料力學(xué)對(duì)沖擊問(wèn)題進(jìn)行了簡(jiǎn)化假設(shè)：不考慮彈性波傳播與沖擊接觸面塑性變形問(wèn)題，所以附加結(jié)構(gòu)（梁CD）直接分擔(dān)一半載荷，實(shí)際情況下使用邊界支撐模式更合理。

另外，如果希望課堂講授內(nèi)容更具層次性，可以在兩種模式中分別展示附加結(jié)構(gòu)剛度變化的效果并進(jìn)行比較，例如：

（1）圖1中隨彈簧剛度增加，其極限就是主結(jié)構(gòu)單獨(dú)承受沖擊（簡(jiǎn)支梁）；當(dāng)彈簧剛度減小，彈簧在沖擊過(guò)程中吸收應(yīng)變能的比例增大，極限情況是主結(jié)構(gòu)不變形。

（2）圖2中隨著附加結(jié)構(gòu)（梁CD）剛度降低，極限情況是主結(jié)構(gòu)（梁AB）單獨(dú)承受沖擊；當(dāng)附加結(jié)構(gòu)剛度增大，在沖擊過(guò)程中附加結(jié)構(gòu)吸收應(yīng)變能的比例增大，極限情況是主結(jié)構(gòu)不變形（與圖1模型規(guī)律正好相反）。

1.4 主結(jié)構(gòu)單獨(dú)承受沖擊

1 .3節(jié)中提及當(dāng)附加結(jié)構(gòu)剛度取極大（或極小值）時(shí)，問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橹鹘Y(jié)構(gòu)單獨(dú)受沖擊。事實(shí)上沖擊問(wèn)題引入時(shí)分析模型就是這種類型，只是后續(xù)的例題習(xí)題多數(shù)附加緩沖結(jié)構(gòu)削弱了這類問(wèn)題的地位。

以1.2節(jié)的討論為基礎(chǔ)，很容易理解承受沖擊主結(jié)構(gòu)剛度變化的效果，以應(yīng)變能或外力功的視角，增加剛度就是在梁中心點(diǎn)添加等效剛度的梁CD，減小剛度就是將梁分解為AB與CD（舍去）。對(duì)于結(jié)構(gòu)剛度減小的狀態(tài)（剛度增大狀態(tài)參照1.2節(jié)結(jié)論，不再贅述），參照應(yīng)變能表達(dá)式

或者應(yīng)變能對(duì)結(jié)構(gòu)剛度一階導(dǎo)數(shù)

與具有附加緩沖結(jié)構(gòu)模式相反，主結(jié)構(gòu)單獨(dú)承受沖擊時(shí)，其應(yīng)變能隨結(jié)構(gòu)剛度減小而單調(diào)增加，盡管與靜態(tài)問(wèn)題中應(yīng)變能反比例于結(jié)構(gòu)剛度有差異，但總趨勢(shì)是反向非線性關(guān)系。

2 安全評(píng)估與合理設(shè)計(jì)

以上的討論主要圍繞應(yīng)變能展開，因?yàn)闆_擊問(wèn)題在材料力學(xué)課程體系中更多作為能量方法的應(yīng)用出現(xiàn)，但歸根結(jié)底材料力學(xué)的基本任務(wù)是解決安全性與經(jīng)濟(jì)性的矛盾，所以在保證安全前提下的合理設(shè)計(jì)是終極目標(biāo)。

從帶有附加緩沖結(jié)構(gòu)的例題習(xí)題中，學(xué)生獲得一種“感受”：結(jié)構(gòu)剛度越低、變形越大、沖擊載荷越小，結(jié)構(gòu)就越安全，這種結(jié)論是否全面？試想：纖細(xì)的梁受沖擊會(huì)不會(huì)破壞？

在靜態(tài)問(wèn)題的強(qiáng)度分析中，載荷為定值與結(jié)構(gòu)參數(shù)無(wú)關(guān)；而沖擊問(wèn)題中載荷與結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)，其強(qiáng)度和剛度分析模式與變化規(guī)律的展示有益于學(xué)生理解相關(guān)問(wèn)題。

安全校核與合理設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)是應(yīng)力、位移（變形）、載荷（關(guān)聯(lián)接觸應(yīng)力與動(dòng)態(tài)過(guò)程）的基本公式，為了便于理解與歸類，這里首先對(duì)沖擊問(wèn)題中各項(xiàng)公式進(jìn)行簡(jiǎn)化。盡管理論上靜態(tài)位移Δst可以無(wú)限大，但對(duì)于實(shí)際工程問(wèn)題，絕大部分情況下H遠(yuǎn)大于Δst（物體或工具墜落等工程實(shí)例中前者一般在百毫米量級(jí)或以上，而后者往往小于1 mm，甚至小于0.1 mm），所以二者比值H/Δst?1 ，在此基礎(chǔ)上可以對(duì)各項(xiàng)公式的形式進(jìn)行簡(jiǎn)化，例如第1節(jié)中列出的應(yīng)變能可近似為

與之類似，基于H/Δst?1 ，給出位移、應(yīng)變、應(yīng)力、外力、應(yīng)變能（外力功）對(duì)各項(xiàng)參數(shù)的方次關(guān)系（動(dòng)態(tài)為近似關(guān)系，靜態(tài)為精確表達(dá)）

通過(guò)靜態(tài)與動(dòng)態(tài)參數(shù)影響規(guī)律的比較，除了參數(shù)方次有變化，有些關(guān)系可能與過(guò)去的直觀感受不同，例如在靜態(tài)問(wèn)題中應(yīng)力應(yīng)變與梁的長(zhǎng)度成正向比例關(guān)系，但在動(dòng)態(tài)問(wèn)題中屬于反向關(guān)系；又如在靜態(tài)問(wèn)題中梁內(nèi)應(yīng)力與材料參數(shù)無(wú)關(guān)，但在動(dòng)態(tài)問(wèn)題中與材料參數(shù)E相關(guān)；另外在靜態(tài)問(wèn)題中剛度越大的結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)應(yīng)變能的能力越弱，但動(dòng)態(tài)沖擊問(wèn)題中大部分情況（H/Δst?1 ）結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)的應(yīng)變能與結(jié)構(gòu)材料和幾何參數(shù)基本無(wú)關(guān)。

以上動(dòng)態(tài)問(wèn)題中當(dāng)H→0時(shí)，位移、應(yīng)力、應(yīng)變與載荷的下極限是2倍靜態(tài)值，應(yīng)變能與外力功的下極限是4倍靜態(tài)值，此處不再贅述。

以上的公式與討論對(duì)于常規(guī)教學(xué)不是必須的，但針對(duì)材料力學(xué)主體任務(wù)?解決經(jīng)濟(jì)性與安全性矛盾而言，其中部分公式可以解答學(xué)生疑惑，例如式（12a）顯示，為了保證應(yīng)力小于許用值的強(qiáng)度條件，當(dāng)已知F，H，E，L要求設(shè)計(jì)截面尺寸時(shí)，A=h×b有確定的最小值，即梁的截面并不是越小越好，盡管基于降低動(dòng)荷因子Kd的要求，希望更小的截面面積A。所以，對(duì)于本節(jié)之初提出問(wèn)題的結(jié)論是明確的：在沖擊問(wèn)題結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中應(yīng)該減小結(jié)構(gòu)剛度以降低沖擊載荷，但其下限須保證動(dòng)應(yīng)力小于許用值所對(duì)應(yīng)的幾何參數(shù)。

更進(jìn)一步，減小沖擊載荷對(duì)于減緩沖擊過(guò)程、避免接觸面塑性變形都很重要（盡管在材料力學(xué)沖擊部分沒有涉及該方面的內(nèi)容），根據(jù)式（13a），由于截面高度h與寬度b在動(dòng)載荷中的地位不同，在保證A=h×b不變的同時(shí)，應(yīng)該盡量降低h。

事實(shí)上，關(guān)于這個(gè)問(wèn)題教材上也有例證[1]：在彎曲梁強(qiáng)度合理設(shè)計(jì)時(shí)有等強(qiáng)設(shè)計(jì)方法，中點(diǎn)承載簡(jiǎn)支梁的等強(qiáng)截面可以變化高度h（圖3(a)），也可以變化寬度b（圖3(b)），工程實(shí)際中使用變寬度模式并沿圖3(b)中虛線分割后不焊不鉚疊合形成看似變高度的等強(qiáng)度梁（圖3(c)）。

圖3 等強(qiáng)設(shè)計(jì)的不同模式示意圖

變寬度分割疊合模式的最大慣性矩（單層厚度為h，最厚處n層）

對(duì)比相同形狀變高度梁的最大慣性矩

二者比值為Im′ax/Imax=n2，換言之這種變寬度分割疊加的模式在保證等強(qiáng)度設(shè)計(jì)的同時(shí)，極大降低了結(jié)構(gòu)的彎曲剛度，有益于緩解沖擊載荷，這就是廣泛應(yīng)用于車輛和機(jī)械設(shè)備的疊板彈簧（圖4），這種模式與第1節(jié)的附加緩沖結(jié)構(gòu)有相通之處，而且其形式介于邊界支撐與沖擊點(diǎn)支撐之間。在講解沖擊問(wèn)題基本原理與例題后，回顧以往的知識(shí)并進(jìn)行擴(kuò)展，對(duì)于學(xué)生加深知識(shí)理解、認(rèn)知理論應(yīng)用是一種較好的課程內(nèi)容設(shè)計(jì)模式。

圖4 車用彈簧鋼板位置安裝圖

另外，本節(jié)討論基于H/Δst?1 ，為了涵蓋由于假設(shè)帶來(lái)的范圍缺失，這里利用教科書中例題對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)[1]進(jìn)行變參數(shù)分析，圖5與圖6分別對(duì)應(yīng)H/Δst與E的影響。其中，圖5縱軸左側(cè)為動(dòng)荷因數(shù)Kd的標(biāo)尺，縱軸右側(cè)為歸一化動(dòng)態(tài)位移與應(yīng)變能Vε（外力功）的標(biāo)尺（采用H/Δst最大值對(duì)應(yīng)的或Vε進(jìn)行歸一化）；圖6橫軸為使用最大值歸一化的E，縱軸右側(cè)為和Vε，使用最大E對(duì)應(yīng)量歸一化（與的來(lái)歷依據(jù)式（10a））。

圖5 動(dòng)態(tài)效果隨 H /Δst 的變化

圖6 動(dòng)態(tài)效果隨 E 的變化

圖中數(shù)據(jù)顯示，對(duì)于沖擊高度與結(jié)構(gòu)剛度的大幅度變化范圍，盡管對(duì)應(yīng)的沖擊動(dòng)荷因數(shù)有明顯變化，但，，Vε的歸一化數(shù)據(jù)在絕大部分范圍非常接近1，證明以上根據(jù)H/Δst?1 進(jìn)行的簡(jiǎn)化分析具有較廣的適應(yīng)性（σd與εd有類似的規(guī)律，不再列出）。

3 小結(jié)

在材料力學(xué)動(dòng)載荷教學(xué)內(nèi)容中，結(jié)構(gòu)受位于一定高度重物無(wú)初速度釋放的沖擊響應(yīng)是重點(diǎn)，初期的理論分析針對(duì)單獨(dú)的簡(jiǎn)支梁模型，但后期的例題與習(xí)題多為帶有緩沖裝置的組合結(jié)構(gòu)，盡管基本公式通用，但其中的參數(shù)影響規(guī)律不同。本文通過(guò)經(jīng)典實(shí)例的深入分析與參數(shù)方次影響的定性定量展示，說(shuō)明了不同模型沖擊響應(yīng)的規(guī)律與差異。

對(duì)于單獨(dú)的結(jié)構(gòu)承受沖擊，結(jié)構(gòu)應(yīng)變能與結(jié)構(gòu)剛度呈非線性關(guān)系，在絕大部分工程沖擊問(wèn)題中應(yīng)變能與Δst弱相關(guān)，盡管降低結(jié)構(gòu)剛度對(duì)于減緩沖擊載荷非常有效，但其下限須保證強(qiáng)度條件對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)幾何尺寸，且依據(jù)參數(shù)方次關(guān)系可以指導(dǎo)合理化設(shè)計(jì)方向。

帶有緩沖裝置的組合結(jié)構(gòu)承受沖擊，緩沖裝置位于邊界點(diǎn)的模式降低了整體表觀剛度，沖擊輸入能量增加，但附加結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)的應(yīng)變能超過(guò)沖擊輸入能量的增量，所以附加緩沖結(jié)構(gòu)后，主結(jié)構(gòu)變形減小；緩沖裝置位于沖擊點(diǎn)，提高了整體表觀剛度，沖擊輸入能量減少，附加結(jié)構(gòu)按照剛度比例吸收應(yīng)變能，對(duì)應(yīng)的變形減小，但沖擊載荷較大容易造成接觸表面塑性變形。