李 欣，龐成鑫*，李 康，張 軍，黃墀志，王東亮

(1.上海電力大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，上海200090；2.國(guó)電南瑞南京控制系統(tǒng)有限公司，江蘇 南京210061)

3D 溫度場(chǎng)重建在各領(lǐng)域都具有十分重要的意義。 在物聯(lián)網(wǎng)背景下，工業(yè)場(chǎng)景中可通過(guò)在部分位置放置傳感器節(jié)點(diǎn)實(shí)時(shí)檢測(cè)、重建溫度場(chǎng)，進(jìn)而達(dá)到提高工業(yè)設(shè)備的工作效率、延長(zhǎng)設(shè)備工作壽命、節(jié)約能源、找到最優(yōu)控制策略以及降低事故發(fā)生率的目的。

3D 溫度場(chǎng)是隨著時(shí)間演變的空間分布輪廓[1]。在文獻(xiàn)中，使用傳感器節(jié)點(diǎn)重建3D 溫度場(chǎng)的方法包括聲學(xué)測(cè)溫法[2]，插值法[3]等。 其中，基于Kriging 插值算法的三維溫度場(chǎng)重建技術(shù)是物聯(lián)網(wǎng)場(chǎng)景下溫度場(chǎng)監(jiān)測(cè)的重要研究方向。 Kriging 插值算法根據(jù)被測(cè)空間內(nèi)部署的少量傳感器節(jié)點(diǎn)溫度信息進(jìn)行高精度的溫度場(chǎng)重建，具有重建時(shí)間短，重建精度高，重建成本低等優(yōu)點(diǎn)。 理論上，所使用的傳感器節(jié)點(diǎn)越多，越能詳細(xì)重建三維溫度場(chǎng)。 但考慮其部署方案的成本以及三維溫度場(chǎng)重建誤差，希望能在保證重建精度的前提下，對(duì)傳感器節(jié)點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化部署，以得到最優(yōu)的傳感器節(jié)點(diǎn)數(shù)目并將其部署于最佳位置。

傳感器的優(yōu)化部署計(jì)算方法包括:非線性優(yōu)化規(guī)劃方法[4]、序列法[5]、隨機(jī)類方法等。 非線性規(guī)劃方法適用于形狀規(guī)則的結(jié)構(gòu)，若采取轉(zhuǎn)化離散變量為連續(xù)變量求解的方法則易陷于局部最優(yōu)化。 序列法也往往只能得到局部最優(yōu)解。 李凡等[6]通過(guò)ANSYS 建立有限元模型，通過(guò)分析相關(guān)參數(shù)進(jìn)行模擬退火算法，得到有效的傳感器部署位置優(yōu)化方案。田莉等[7]提出了一種自適應(yīng)模擬退火遺傳算法的混合算法進(jìn)行某復(fù)合材料的傳感器優(yōu)化布置。 算例將目標(biāo)函數(shù)、一定數(shù)目傳感器節(jié)點(diǎn)優(yōu)化特性結(jié)合遺傳算法以及模擬退火算法，優(yōu)化了傳感器節(jié)點(diǎn)的數(shù)目。 模擬退火算法[8]作為一種適合求解大規(guī)模組合優(yōu)化問(wèn)題的隨機(jī)搜索算法，能夠以一定概率接受惡化解，從而使算法免于陷入局部最優(yōu)值，達(dá)到較好的尋優(yōu)結(jié)果。

由此，本文提出一種傳感器節(jié)點(diǎn)部署優(yōu)化方案:以Kriging 插值算法生成的三維溫度場(chǎng)重建誤差最小為目標(biāo)函數(shù)，傳感器節(jié)點(diǎn)數(shù)目為限制條件，采用模擬退火算法優(yōu)化傳感器節(jié)點(diǎn)的位置。 重建結(jié)果表明本文所使用傳感器節(jié)點(diǎn)優(yōu)化部署方法的有效性:溫度場(chǎng)模型重建均方根誤差有明顯降低。

本文章節(jié)安排為:第一節(jié)將簡(jiǎn)要介紹傳感器節(jié)點(diǎn)優(yōu)化部署的原則；在第二節(jié)將建立使用模擬退火算法和克里金(Kriging)算法重建溫度場(chǎng)的方案；第三節(jié)結(jié)合仿真結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)分析；第四節(jié)總結(jié)本文研究?jī)?nèi)容。

1 傳感器節(jié)點(diǎn)部署原理

1.1 數(shù)學(xué)模型

在有中心熱源的三維空間內(nèi)部署傳感器節(jié)點(diǎn)以達(dá)到最優(yōu)效果可以采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解。 動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法通常用于求解決策過(guò)程中具有某種最優(yōu)性質(zhì)的問(wèn)題。 在這類問(wèn)題中，可能會(huì)有許多可行解。 每一個(gè)解都對(duì)應(yīng)于一個(gè)值，我們希望找到具有最優(yōu)值的解。其基本思想是拆解問(wèn)題為各最優(yōu)子結(jié)構(gòu)，從而避免重復(fù)計(jì)算。 而本文更符合動(dòng)態(tài)規(guī)劃[9]的經(jīng)典問(wèn)題—背包問(wèn)題。

將三維空間內(nèi)部的傳感器節(jié)點(diǎn)最優(yōu)部署歸結(jié)為背包0-1 規(guī)劃問(wèn)題[10]，其只有一個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)數(shù)目的限制條件。 將整個(gè)三維空間劃分得到n個(gè)候選點(diǎn)，假設(shè)傳感器節(jié)點(diǎn)數(shù)目為m。 在部署矩陣(1×n)中，如果第i個(gè)位置為1，即將傳感器節(jié)點(diǎn)布置在第i個(gè)候選點(diǎn)上；如果第i個(gè)位置為0，即該候選點(diǎn)處不布置傳感器節(jié)點(diǎn)。 以傳感器節(jié)點(diǎn)數(shù)目為限制條件，其數(shù)學(xué)模型可表示為下式，求解xi使得目標(biāo)函數(shù)X最小化。

1.2 Kriging 插值算法

Kriging 是一種適用的插值方法[11-12]。 基于變量理論和結(jié)構(gòu)分析，Kriging 對(duì)有限區(qū)域的區(qū)域化變量進(jìn)行最佳的相關(guān)性加權(quán)估計(jì)[13]，具有誤差小、方差小的顯著特征。

對(duì)于任意空間變量x，其響應(yīng)值y(x)可以表達(dá)為:

其協(xié)方差矩陣為

式中:σ2是Z(x)的方差，R(xi，xj，θ)是以θ為參數(shù)的相關(guān)函數(shù)，表示樣本點(diǎn)xi與xj之間的空間關(guān)系。相關(guān)函數(shù)的選擇對(duì)模擬結(jié)果精度影響較大。 相關(guān)函數(shù)采用高斯函數(shù)表示:

式中:θ=(θ1，θ2，…，θn)T為相關(guān)函數(shù)參數(shù)，n為變量的維數(shù)。

一般的插值步驟是:①網(wǎng)格化，根據(jù)選擇的區(qū)域創(chuàng)建適合的網(wǎng)格。 ②計(jì)算坐標(biāo)，計(jì)算每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的水平坐標(biāo)、垂直坐標(biāo)。 ③擬合模型，Kriging 工具箱提供了具有0、1、2 階多項(xiàng)式的回歸模型，以及相關(guān)模型。

1.3 模擬退火算法

1982年，Kirkpatrick 等將退火思想引入組合優(yōu)化領(lǐng)域，提出模擬退火算法。 其源于對(duì)固體退火過(guò)程的模擬，采用Metropolis 接受準(zhǔn)則[14]，并用冷卻進(jìn)度表的參數(shù)控制算法進(jìn)程，使算法在多項(xiàng)式時(shí)間里給出一個(gè)近似優(yōu)化解。

其算法流程如圖1 所示。

圖1 模擬退火算法流程圖

①編號(hào)所有測(cè)點(diǎn)，產(chǎn)生一組傳感器節(jié)點(diǎn)初始布點(diǎn)方案s0，并按下式計(jì)算出T0，則T=T0。

②令T=Ti進(jìn)行Metropolis 抽樣。 計(jì)算轉(zhuǎn)移概率PT，判斷是否接受從當(dāng)前解i到新解j的轉(zhuǎn)移。

③按Ti＋1=αTi方式實(shí)現(xiàn)退火。

④看是否滿足停止準(zhǔn)則[6，15]，不滿足執(zhí)行②；滿足則執(zhí)行⑤。

⑤以si作為最優(yōu)解輸出。

2 傳感器節(jié)點(diǎn)優(yōu)化部署方案

2.1 方案描述

在工業(yè)場(chǎng)景中為實(shí)現(xiàn)某三維空間內(nèi)部的實(shí)時(shí)溫度監(jiān)測(cè)，得到精確的溫度場(chǎng)分布是十分重要的。 本文在Intel(R)Core(TM)i7-5500U CPU＠2.40 GHz、內(nèi)存為8.0 GB、操作系統(tǒng)為Mircrosoft Windows 10 PC 機(jī)的同等條件下，通過(guò)所部署m個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)得到對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)位置S(x，y，z)以及對(duì)應(yīng)的溫度值T，使用Kriging插值算法進(jìn)行整個(gè)三維空間的溫度場(chǎng)重建。 對(duì)比Flotherm 建模仿真，采用Kriging 算法重建溫度場(chǎng)仿真耗時(shí)縮短99%(圖2)，極大提升了三維溫度場(chǎng)重建速度，為后續(xù)通過(guò)少量關(guān)鍵傳感器節(jié)點(diǎn)快速準(zhǔn)確重建區(qū)域內(nèi)的三維溫度場(chǎng)研究奠定基礎(chǔ)。

圖2 CFD 與Kriging 算法仿真三維溫度場(chǎng)所耗時(shí)間

同時(shí)為達(dá)到縮減部署方案成本與最佳三維溫度場(chǎng)重建效果雙贏的目的，我們希望能在保證重建精度的前提下，對(duì)傳感器節(jié)點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化部署，以得到最優(yōu)的傳感器節(jié)點(diǎn)數(shù)目并將其部署于最佳位置。

為初步取得較優(yōu)重建效果，在模擬空間內(nèi)部均勻放置合適數(shù)目的傳感器節(jié)點(diǎn)(26 個(gè))。 利用Simcenter Flotherm 2019.2[16]軟件在空間范圍均勻建立26 個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)采集點(diǎn)，如圖3 所示。 三維空間為0.5 m×0.5 m×0.5 m 的正方體區(qū)域，單個(gè)熱源模型位于空間正中心處，設(shè)定熱源溫度恒為45 ℃。 對(duì)該三維模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，各個(gè)方向網(wǎng)格均設(shè)置為25 個(gè)，設(shè)定空間的流體特性和邊界條件，并選用多重網(wǎng)格求解器進(jìn)行求解，最終得出三維溫度場(chǎng)仿真數(shù)據(jù)。 仿真所得26 個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)的溫度數(shù)據(jù)(位置S(x，y，z)和溫度值T)，并通過(guò)Kriging 插值算法進(jìn)行三維溫度場(chǎng)的快速重建，最終得到重建三維溫度場(chǎng)均勻分布26個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)的均方根誤差。

圖3 均勻布置26 個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)的三維空間模型

其次，運(yùn)行得到優(yōu)化部署方案的三維溫度場(chǎng)重建誤差。 如圖4 所示，構(gòu)建0.5 m×0.5 m×0.5 m 的三維空間模型，其中心放置一個(gè)恒溫45 ℃的熱源；并在X底面，Y頂面的面中心各設(shè)置一個(gè)0.05 m×0.05 m 的打開(kāi)空間。

圖4 三維空間及熱源示意圖

將整個(gè)三維空間劃分，得到25×25×25 的15625個(gè)候選點(diǎn)；采用模擬退火算法，設(shè)置限制條件為溫度傳感器節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)26 個(gè)，得到1×15625 矩陣，提取元素為1 的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)最小即可得到三維空間內(nèi)傳感器節(jié)點(diǎn)的優(yōu)化部署方案，算法流程如圖5。

圖5 基于模擬退火算法的三維溫度場(chǎng)重建傳感器節(jié)點(diǎn)優(yōu)化部署方案流程

2.2 實(shí)驗(yàn)相關(guān)設(shè)定

①目標(biāo)函數(shù)

最終的重建精度采用模擬溫度場(chǎng)的各點(diǎn)溫度與重建溫度場(chǎng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)溫度的均方根誤差來(lái)衡量。 該衡量標(biāo)準(zhǔn)的目標(biāo)是確定傳感器節(jié)點(diǎn)較少個(gè)數(shù)與最優(yōu)位置的最優(yōu)部署方案，使得到的部分溫度場(chǎng)數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)Kriging 插值后可以快速重建高精度的三維溫度場(chǎng)。

式中:ˉT為模擬溫度場(chǎng)的平均值，N為三維網(wǎng)格化總數(shù)，T(i，j，k)為模擬溫度場(chǎng)網(wǎng)格化后每個(gè)網(wǎng)格的溫度值，^T(i，j，k)為重建溫度場(chǎng)網(wǎng)格化后每個(gè)網(wǎng)格的溫度值。

②實(shí)驗(yàn)參數(shù)

模擬退火算法能夠以概率收斂于全局最優(yōu)解，其最大問(wèn)題是需要選擇適當(dāng)?shù)睦鋮s進(jìn)度表參數(shù)[17]，包括:初始溫度T0、馬爾可夫鏈長(zhǎng)度ˉL、溫度衰減系數(shù)α、停止準(zhǔn)則s。 算法的收斂程度主要取決于衰減函數(shù)和馬爾可夫鏈及停止準(zhǔn)則的選擇。 衰減函數(shù)用于控制溫度的退火速度；在衰減參數(shù)α的衰減函數(shù)已選定的前提下，ˉL應(yīng)選得在控制參數(shù)的每一取值上都能恢復(fù)準(zhǔn)平衡；各種不同的停止準(zhǔn)則對(duì)算法的性能和解的質(zhì)量有很大影響。 若冷卻進(jìn)度表全部參數(shù)選配得宜，則既不影響算法最終解的質(zhì)量，又能明顯縮短CPU 時(shí)間。

本文中，根據(jù)多項(xiàng)式函數(shù)組合優(yōu)化的實(shí)質(zhì)以及實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)[18]取ˉL=1000；經(jīng)實(shí)驗(yàn)，本文中T0的大小對(duì)結(jié)果影響較小，取為97；考慮到α、ˉL、T0的交互作用[19]，取α為0.95。 同時(shí)，對(duì)于插值算法Kriging[20]影響較大的因子θ[21-23]，取其為三維默認(rèn)值[10，10，10]，預(yù)測(cè)模型選取為高斯模型、線性結(jié)構(gòu)[24]。

3 模擬結(jié)果

3.1 傳感器節(jié)點(diǎn)位置優(yōu)化

在傳感器節(jié)點(diǎn)部署方案的20 次實(shí)驗(yàn)中，三維溫度場(chǎng)重建平均溫度相差十分??；經(jīng)計(jì)算，20 次實(shí)驗(yàn)的均方根誤差平均值為1.71%，較Flotherm 仿真所得均方根誤差平均降低4.42%。 整體SA-Kriging 算法模擬所得的三維溫度場(chǎng)較Kriging 算法插值所得三維溫度場(chǎng)在準(zhǔn)確度上有較大提高。 從圖6 中看出，除個(gè)別異常點(diǎn)(圖中三角標(biāo)注)外，其余實(shí)驗(yàn)的均方根誤差均在平均值上下浮動(dòng)，且所有數(shù)據(jù)均明顯小于均勻布置26 個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)重建三維溫度場(chǎng)所得到的均方根誤差平均值6.12%(圖7)。

圖7 采用均勻布置傳感器節(jié)點(diǎn)位置的三維溫度場(chǎng)重建均方根誤差

其中圖6 第4 次的三維溫度場(chǎng)重建均方根誤差最小，為1.5837%。 其具體部署方案三維空間圖為圖8。

圖6 采用模擬退火算法優(yōu)化傳感器節(jié)點(diǎn)位置的三維溫度場(chǎng)重建均方根誤差

圖8 實(shí)驗(yàn)中均方根誤差最小的傳感器節(jié)點(diǎn)部署方案三維空間圖

對(duì)比仿真與模擬所得的三維溫度場(chǎng)圖(圖9，圖10)，左側(cè)為Flotherm 仿真所得三維溫度場(chǎng)圖，右側(cè)為傳感器節(jié)點(diǎn)位置優(yōu)化后的模擬三維溫度場(chǎng)圖。溫度區(qū)域分布類似，熱源點(diǎn)和開(kāi)放空間定位準(zhǔn)確，表明其所使用的模擬退火算法能夠有效地優(yōu)化傳感器節(jié)點(diǎn)部署方案，而降低使用26 個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)重建三維溫度場(chǎng)的誤差，得到更準(zhǔn)確的三維溫度場(chǎng)重建相關(guān)溫度數(shù)據(jù)。

圖9 溫度場(chǎng)三維切片

圖10 溫度場(chǎng)X 軸切片

3.2 傳感器節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)優(yōu)化

為了探究三維空間內(nèi)部署的傳感器節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)三維溫度場(chǎng)重建精度的影響的一般規(guī)律，按照模擬退火算法的隨機(jī)部署方案，本文對(duì)傳感器節(jié)點(diǎn)總數(shù)為10 ～25 的不同部署方案的三維溫度場(chǎng)重建誤差進(jìn)行分析。

圖11 為所得20 次實(shí)驗(yàn)所得17 組數(shù)據(jù)的箱線圖[25]。 每個(gè)箱盒圖由五個(gè)數(shù)值點(diǎn)構(gòu)成，由下到上依次為:最小觀察值(下邊緣)，25%分位數(shù)(下四分位數(shù)，樣本數(shù)據(jù)中所有數(shù)值由小到大排列后第25%的數(shù)字)，中位數(shù)(箱體中間線)，75%分位數(shù)(上四分位數(shù)，樣本數(shù)據(jù)中所有數(shù)值由小到大排列后第75%的數(shù)字。)，最大觀察值(上邊緣)。 除此外，超出最大或者最小觀察值的離群點(diǎn)數(shù)據(jù)，即異常值，以十字形式進(jìn)行表示。

圖11 傳感器節(jié)點(diǎn)布置個(gè)數(shù)對(duì)三維溫度場(chǎng)重建均方根誤差的影響

可直觀得到如下結(jié)論:①異常值。 個(gè)別組數(shù)據(jù)出現(xiàn)過(guò)大或過(guò)小的異常值，出現(xiàn)過(guò)大異常值的次數(shù)更多。 與隨機(jī)選取的傳感器節(jié)點(diǎn)位置相關(guān)；②中位數(shù)，反應(yīng)樣本數(shù)據(jù)的平均水平。 三維溫度場(chǎng)重建均方根誤差在使用10 個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)部署方案時(shí)處在平穩(wěn)于0.018 的狀態(tài)，隨著傳感器節(jié)點(diǎn)數(shù)增加，均方根誤差先略有上升而后呈下降狀態(tài)。 在25 個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)處又趨于0.017 的平穩(wěn)狀態(tài)；③分布區(qū)間，即箱子的上下限，在一定程度上反映了數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度。 部署方案中所使用的傳感器節(jié)點(diǎn)數(shù)目增多時(shí)，其數(shù)據(jù)波動(dòng)程度也更大。 在超過(guò)20 個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)時(shí)，數(shù)據(jù)波動(dòng)開(kāi)始減小，并在25 個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)處取得數(shù)據(jù)波動(dòng)較小且三維溫度場(chǎng)重建均方根誤差小的理想狀態(tài)。

根據(jù)箱線圖反饋結(jié)果，進(jìn)行同等數(shù)目的傳感器節(jié)點(diǎn)均勻部署與采用算法優(yōu)化部署對(duì)比，如表1 所示。

表1 相同數(shù)量傳感器節(jié)點(diǎn)統(tǒng)一部署重構(gòu)的均方根誤差與算法優(yōu)化部署對(duì)比

將同等實(shí)驗(yàn)條件下采用GA 優(yōu)化Kriging 參數(shù)Θ的三維溫度場(chǎng)重建參數(shù)與采用Flotherm 仿真、Kriging 插值、SA 優(yōu)化傳感器數(shù)目及位置的三維溫度場(chǎng)重建參數(shù)進(jìn)行對(duì)比，如表2 所示。 各算法仿真所得重建溫度場(chǎng)的平均溫度、最高溫度、最低溫度的數(shù)據(jù)較Flotherm 模擬數(shù)據(jù)誤差小，而最重要的重建指標(biāo)均方根誤差:GA-Kriging 優(yōu)化后較Kriging 插值降低22.88%，SA-Kriging 優(yōu)化后較Kriging 插值降低72.06%。

表2 重建三維溫度場(chǎng)參數(shù)對(duì)比

4 總結(jié)

為得到較優(yōu)的傳感器節(jié)點(diǎn)部署方案，快速、高精度地重建三維溫度場(chǎng)，本研究提出基于Kriging 算法與模擬退火算法的三維溫度場(chǎng)快速重建算法。 通過(guò)相關(guān)模擬以及定量分析，得到以下結(jié)論:

(1)當(dāng)三維空間內(nèi)部的傳感器節(jié)點(diǎn)數(shù)目為26時(shí)，均勻布置方案取得較優(yōu)的重建效果，而采用模擬退火算法優(yōu)化的傳感器節(jié)點(diǎn)器節(jié)點(diǎn)部署方案，在相等傳感器節(jié)點(diǎn)數(shù)目及條件下，能夠有效降低擁有中心恒溫?zé)嵩吹娜S溫度場(chǎng)重建誤差。

(2)三維溫度場(chǎng)的重建誤差隨傳感器節(jié)點(diǎn)數(shù)目的增加呈先上升后下降的趨勢(shì)，可在重建誤差與成本中尋找合適的最優(yōu)平衡點(diǎn)。

(3)模擬退火算法與Kriging 插值算法相結(jié)合，可對(duì)三維空間內(nèi)的傳感器節(jié)點(diǎn)數(shù)目與位置實(shí)現(xiàn)優(yōu)化，得到精度與傳感器節(jié)點(diǎn)數(shù)目均優(yōu)化的三維溫度場(chǎng)快速重建部署方案。

本次實(shí)驗(yàn)數(shù)組較少，對(duì)于傳感器節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的優(yōu)化效果不明顯，可后續(xù)增加實(shí)驗(yàn)數(shù)組觀察傳感器節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)優(yōu)化結(jié)果。 由于實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蜆?gòu)建較為理想化，在后續(xù)研究中將進(jìn)一步完善模型。