高忠社

(天水師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 甘肅 天水 741001)

金融系統(tǒng)是國家經(jīng)濟體系中的重要組成部分，其穩(wěn)定的運行對國家經(jīng)濟發(fā)展起到至關(guān)重要的作用.由于金融系統(tǒng)的復(fù)雜性和多邊性，傳統(tǒng)的線性方法對于金融系統(tǒng)的預(yù)測與控制存在一定的局限性.分數(shù)階微積分作為數(shù)學學科的一個重要分支，是傳統(tǒng)整數(shù)階微積分的發(fā)展.近年來，分數(shù)階微積分引起了很多科學領(lǐng)域?qū)W者的關(guān)注和研究，同時，分數(shù)階微積分在人文社科領(lǐng)域和社會金融領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用[1].金融與金融活動是包含所需主體因素的復(fù)雜非線性系統(tǒng)[2]，存在整數(shù)階微積分理論不能描述的一些特性，因此，需要使用分數(shù)階非線性系統(tǒng)的混沌、分岔理論來研究金融系統(tǒng)的內(nèi)在復(fù)雜性，該方面的研究已經(jīng)得到了一些非常重要的成果[3].

近年來很多學者對該系統(tǒng)的相關(guān)性質(zhì)進行了深入研究，使用利率、投資需要和價格指數(shù)建立的一類非線性金融模型的動力學系統(tǒng)受到了諸多學者的關(guān)注，即含有三個變量的模型

(1)

其中x表示利率，y表示投資需要，z表示價格指數(shù)，a≥0為儲蓄量，b≥0為投資成本，c≥0為需求彈性.

對于模型(1)，諸多學者進行了深入的研究[3-8].分數(shù)階模型與整數(shù)階模型的主要區(qū)別之一就是分數(shù)階模型具有記憶功能，也就是說，分數(shù)階模型取決于系統(tǒng)的記憶.金融變量的大小，如外匯匯率、國內(nèi)生產(chǎn)總值、利率、產(chǎn)量和股票市場價格都可以有非常長的記憶，及相關(guān)性與金融市場中最長的時間尺度重疊.文中主要使用壓縮映像原理分析系統(tǒng)的存在唯一性.

1 預(yù)備知識

文中采用如下Caputo-Fabrizio 微分形式[7-8].

定義1 (Caputo-Fabrizio)[7]設(shè)f∈H1(a,b),b>a,σ∈[0,1]，則任意階CF導數(shù)σ可以定義為

其中M(σ)表示標準的函數(shù)，M(0)=M(1)=1.因此，對于f?H1(a,b)導數(shù)可以重新定義為

定義2 設(shè)0<σ<1，f是可微函數(shù)，則可以定義Caputo-Fabrizio積分算子為

則有如下性質(zhì)

由文獻[2]可知，Caputo-Fabrizio分數(shù)階金融系統(tǒng)模型為

(2)

2 主要結(jié)果

在本節(jié)中用不動點定理來證明系統(tǒng)(2)解的存在唯一性，對方程組(2)作用Caputo-Fabrizio積分算子，則有

根據(jù)Caputo-Fabrizio積分算子，有

定理1 如果0≤r2+a+b+c<1，則分數(shù)階系統(tǒng)(2)是滿足Lipschitz條件和壓縮映射的條件，其中r2是y(t)的上界.

根據(jù)三角不等式，則有

其中β1=r2+a，即

這樣有，當0≤r2+a+b+c<1時，F(xiàn)1(t,x)=z+x(y-a)滿足Lipschitz條件的壓縮映射.

類似地有，設(shè)F2(t,y)=1-by-x2，F(xiàn)3(t,z)=-x-cz，則有

其中β2=b,β3=c.

根據(jù)定義2可知

進一步可得迭代公式

其中

設(shè)

根據(jù)上面的迭代公式，可得

則有

因此，有

或者

類似有如下結(jié)果

定理2 如果存在t0使得

則分數(shù)階系統(tǒng)(2) 具有精確耦合解.

證明由于x(t),y(t),z(t)是有界函數(shù)，且滿足Lipschitz條件，則由前面的迭代公式有

進一步有

其中

因而有

為了更方便地表示方程組(2),設(shè)

則由

迭代后，則有

因為存在t0使得

因此，有

為了證明系統(tǒng)(2)解得唯一性，假設(shè)系統(tǒng)(2)還存在其他一組解為x1(t),y1(t),z1(t)，則有

兩邊取范數(shù)，則有

(3)

定理3 如果滿足

則分數(shù)階系統(tǒng)(3) 具有唯一解.

證明根據(jù)(3)式，可得

從上式及定理條件可得

x(t)=x1(t).

類似可得

y(t)=y1(t),z(t)=z1(t).

這樣證得方程組(2)的唯一性.

3 結(jié)論

金融系統(tǒng)是一個國家金融體系中的重要部分，它的穩(wěn)定運行對于一個國家的金融發(fā)展起到了至關(guān)重要的作用，文中研究了基于Caputo-Fabrizio導數(shù)的金融系統(tǒng)，使用Lipschitz條件的壓縮原理分析了解的存在唯一性，為定性的研究分數(shù)階金融系統(tǒng)動力學行為提供了一定的理論支持．