孫佳杰，劉 兵

(1.遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029;2.鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,遼寧 鞍山 114007)

莊稼地里過多的害蟲會導(dǎo)致農(nóng)作物品質(zhì)下降、產(chǎn)量減少，使農(nóng)業(yè)生產(chǎn)受到嚴(yán)重影響[1].為了減少害蟲對作物的損害,最常見的是引進(jìn)天敵和噴灑殺蟲劑相結(jié)合的綜合害蟲控制方法[2-3].

目前,很多學(xué)者利用數(shù)學(xué)模型模擬綜合害蟲治理過程，如固定時刻脈沖的害蟲綜合治理模型、狀態(tài)依賴脈沖的害蟲綜合治理模型、Filippov切換的害蟲綜合治理模型等[4-6].上述模型忽略了季節(jié)性變換過程中害蟲休眠期與復(fù)蘇期的種群變化率不同的問題[7].因此,利用脈沖切換模型模擬季節(jié)性變換下的害蟲綜合治理現(xiàn)象更加合理.本文考慮天敵在害蟲休眠期以雜食為生、在害蟲復(fù)蘇期以害蟲為食的天性,采用等周期噴灑農(nóng)藥和釋放天敵的方式治理害蟲,建立并研究季節(jié)變化下害蟲綜合治理的動力學(xué)模型,給出影響害蟲滅絕與持續(xù)生存的關(guān)鍵參數(shù).

1 模型建立

在季節(jié)變換下,把害蟲種群的年度周期分成兩個階段：第一階段為害蟲休眠期.害蟲種群由于外界因素影響線性率減少,此時天敵以雜食為生,假設(shè)其增長率為常數(shù).第二階段為害蟲復(fù)蘇期.假設(shè)害蟲種群滿足Logistic增長方式,天敵以害蟲為食，在此期間,進(jìn)行等周期噴灑殺蟲劑和釋放天敵,得到季節(jié)變化下的害蟲綜合治理動力學(xué)模型：

(1)

其中,x(t),y(t)分別表示t時刻害蟲、天敵的種群密度;λ>0為t∈[nT,(n+l)T)時間段內(nèi),害蟲種群休眠時的減少率;A>0為天敵種群在害蟲種群休眠期[nT,(n+l)T)內(nèi)以雜食為生的常數(shù)增長率;r>0,K>0分別為t∈[(n+l)T,(n+1)T)階段害蟲種群的內(nèi)稟增長率和環(huán)境容納量;α>0為t∈[(n+l)T,(n+1)T) 階段天敵種群對害蟲種群的捕食率;k>0為t∈[(n+l)T,(n+1)T)階段天敵自身轉(zhuǎn)化率;d>0為天敵種群的死亡率;T為年度周期;00為在t=(n+l)T+kTp,k=1,2,…,p時刻天敵的釋放量.本文假設(shè)殺蟲劑的噴灑和釋放天敵周期為Tp,從而有(1-l)T=pTp.

2 害蟲滅絕的閾值

首先,考慮當(dāng)系統(tǒng)(1)害蟲滅絕時，它的子系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)：

(2)

定理1子系統(tǒng)(2)存在正周期解y*(t),并且對系統(tǒng)(2)的任何解y(t)都有：當(dāng)t→∞時,y(t)→y*(t),其中,

(3)

證明系統(tǒng)(2)在脈沖區(qū)間nT≤t<(n+l)T的解為

在t=(n+l)T時刻害蟲復(fù)蘇,則有

當(dāng)t∈((n+l)T,(n+l)T+Tp)時，

y(t)=y((n+l)T)e-d(t-(n+l)T),

在t=(n+l)T+Tp時噴灑殺蟲劑和釋放天敵,則有

y(((n+l)T+Tp)+)=(1-p2)y((n+l)T)e-dTp+μ,

當(dāng)t∈((n+l)T+Tp,(n+l)T+2Tp)時，

y(t)=((1-p2)y((n+l)T)e-dTp+μ)e-d(t-((n+l)T+Tp)),

在t=(n+l)T+2Tp時刻噴灑殺蟲劑和釋放天敵,則有

y(((n+l)T+2Tp)+)=(1-p2)2y((n+l)T)e-2dTp+μ(1-p2)e-dTp+μ,

由數(shù)學(xué)歸納法可得,當(dāng)t∈((n+l)T+(p-1)Tp,(n+1)T)時,

在t=(n+1)T噴灑殺蟲劑和釋放天敵,則

y(((n+1)T)+)=(1-p2)py((n+l)T)e-dTp+C,

把y((n+l)T)的值代入得

令

yn=y((nT)+),

則可得如下差分方程

(4)

由此差分方程存在唯一不動點

由于

且差分方程(4)是線性方程,因此y*是方程(4)的全局漸近穩(wěn)定的正平衡點,從而系統(tǒng)(2)存在一個全局漸近穩(wěn)定的正周期解y*(t),當(dāng)t→∞時,系統(tǒng)(2)的任意解y(t)→y*(t),其表達(dá)式如(3)所示.證畢.

因此,由定理1知系統(tǒng)(1)存在害蟲滅絕周期解(0,y*(t)),令

定理2如果R0<1,則系統(tǒng)(1)的害蟲滅絕周期解(0,y*(t))是全局漸近穩(wěn)定的.

證明設(shè)(x(t),y(t))是系統(tǒng)(1)以(x(0),y(0))為初始值的解,系統(tǒng)(1)的周期解(0,y*(t))的局部漸近穩(wěn)定性可以利用系統(tǒng)的變分方程來確定,因此,作變換

x(t)=α(t),

y(t)=y*(t)+β(t),

則相應(yīng)的線性方程的解為

其中,

是系統(tǒng)(1)的基礎(chǔ)解矩陣,ψi(t)滿足

其中,

ψ1(0)=ψi(0)=I

是單位矩陣,因此

在計算單值矩陣特征值的過程中,無須給出(*)的具體表達(dá)式.由Floquet理論知,如果單值矩陣

的兩個特征值的模小于1,則害蟲滅絕周期解(0,y*(t))是局部漸近穩(wěn)定的.由M的表達(dá)式可以計算出其特征值分別為

從這則傳說來看，臘八食粥習(xí)俗不一定始于宋時，恐怕要推至更遠(yuǎn)的年代。當(dāng)然，在沒有任何文字記載情況下，僅憑一則神話傳說是不能斷定某種習(xí)俗起源的。但是，這些目前還流傳在豫東群眾中的口碑資料，卻為民俗學(xué)者，特別是飲食文化研究者提供了值得注意的線索。

λ2=(1-p2)pexp(-dT),

顯然|λ2|<1,那么模型(1)的周期解是局部漸近穩(wěn)定的充要條件是|λ1|<1,即R0<1.

下面證明系統(tǒng)(1)周期解的全局吸引性.因為R0<1,所以存在充分小的ε(ε>0),使得

成立.

由系統(tǒng)(1)的第2和第4個方程可得,

考慮如下脈沖微分方程

(5)

利用脈沖比較定理可知y(t)≥N(t), 當(dāng)t→∞時，N(t)→y*(t).

y(t)≥N(t)>y*(t)-ε

(6)

成立.

假設(shè)(6)對?t≥0成立,則有

由脈沖微分方程比較定理,當(dāng)t∈[nT,(n+1)T)時,

x((n+l)T)=x((nT)+)exp(-λlT),

?

由于δ<1, 所以

x(nT)≤x(0+)δn,

且當(dāng)n→∞,x(nT)→0,因此,當(dāng)t→∞時,x(t)→0.

下面證明：當(dāng)t→∞時,y(t)→y*(t).

由上面兩個不等式的左端,可得

y(t)≥N(t),

并且

N(t)→y*(t),t→∞.

對于上面兩個不等式的右端,考慮下面的微分方程：

當(dāng)t→∞時,z(t)→z*(t), 其中,

因此,?ε2>0,?t2>0, 使得當(dāng)t>t2時,有

y*(t)-ε2

令ε1→0,對t充分大時,有

y*(t)-ε2

從而,當(dāng)t→∞時,y(t)→y*(t).

所以,當(dāng)R0<1時,系統(tǒng)(1)的害蟲滅絕周期解(0,y*(t))是全局漸近穩(wěn)定的.證畢.

由定理2可知，當(dāng)R0<1時，害蟲種群必將滅絕.實際上，可以證明當(dāng)R0>1時，害蟲種群將會持續(xù)生存，因此，R0是害蟲種群滅絕的閾值.

3 結(jié)論

本文建立了一個季節(jié)變換下害蟲綜合治理動力學(xué)模型,給出害蟲滅絕的閾值R0.圖1(a)和圖1(b)分別給出了R0關(guān)于T與l的等高線、μ與p1的等高線,參數(shù)取值分別為：x0=0.5,y0=0.5,λ=0.2,A=1,d=0.3,r=0.5,K=1,α=0.5,p1=0.5,k=0.6,T=1,μ=0.4,p2=0.1.由圖1(a)可知,害蟲休眠時間l越長或者年度周期T越短,R0就越小,越有利于害蟲治理.由圖1(b)可知,隨著殺蟲劑p1對害蟲瞬間殺死率的增加或者天敵釋放量μ的增多,R0隨之減小,這表明對害蟲致死率較高的殺蟲劑或者增加天敵釋放量有利于控制害蟲.

當(dāng)T=1,l=0.25時,R0<1(見圖1(a)),由定理2知,害蟲滅絕周期解是全局漸近穩(wěn)定的,而天敵是周期性震蕩的.圖2給出相應(yīng)的時間序列圖(參數(shù)取值同圖1)，驗證了理論結(jié)果的正確性.

圖1 害蟲滅絕的閾值等高線圖

圖2 害蟲種群和天敵種群時間序列圖