解占新，閆 政

(晉中學(xué)院 機(jī)械系，山西 晉中 030619)

引言

液壓驅(qū)動(dòng)相比電機(jī)驅(qū)動(dòng)，有更高的功率重量比和剛度，廣泛應(yīng)用于重型機(jī)械臂[1]、足式機(jī)器人[2]和助力系統(tǒng)[3]。液壓執(zhí)行器具有高度的動(dòng)力學(xué)非線性和模型不確定等特性，使得液壓驅(qū)動(dòng)的系統(tǒng)高精度運(yùn)動(dòng)控制成為研究熱點(diǎn)。液壓執(zhí)行器通過伺服閥控制流量，以速度指令作為輸入控制運(yùn)動(dòng)。但機(jī)器人關(guān)節(jié)執(zhí)行器是以關(guān)節(jié)電流作為輸入直接控制力，即力矩控制，此差異化使得當(dāng)前廣泛研究的機(jī)器人控制技術(shù)[4]無法直接應(yīng)用于液壓驅(qū)動(dòng)的機(jī)器人。因此，需要將液壓機(jī)器人的控制器級聯(lián)成一個(gè)多回路結(jié)構(gòu)去解決電液聯(lián)合控制問題。具體方法是，內(nèi)環(huán)為壓力反饋解耦的力跟蹤控制器，跟蹤外環(huán)運(yùn)動(dòng)控制器給出的期望驅(qū)動(dòng)力。級聯(lián)的優(yōu)勢是可以在外環(huán)運(yùn)動(dòng)控制中采用當(dāng)前成熟且先進(jìn)的電驅(qū)機(jī)器人控制技術(shù)，內(nèi)環(huán)只需專注高性能的力跟蹤控制器研究。

由于液壓執(zhí)行器的高度非線性動(dòng)力學(xué)、模型簡化以及參數(shù)動(dòng)態(tài)變化導(dǎo)致的模型不確定，使得液壓執(zhí)行器的高性能力控制具有挑戰(zhàn)性。文獻(xiàn)[5]指出，一般的線性控制器，如Proportion Integration Differentiation(PID)[6,7]在此類應(yīng)用中受到帶寬限制，導(dǎo)致顯著的相位滯后，并隨著頻率的增加而惡化，根本不能實(shí)現(xiàn)液壓執(zhí)行器高性能的力控需求。這就需要更先進(jìn)的基于模型的控制方案(Model-Based Control，MBD)，如反饋線性化[1,8]及其變體，包括基于非線性動(dòng)態(tài)逆(Nonlinear Dynamic Inversion，NDI)的控制[9-11]，級聯(lián)壓力控制(Cascade ΔPController，CdP)[12]和平坦控制(Flatness-Based Control，F(xiàn)BC)[13]。然而，MBD性能嚴(yán)重依賴于被控對象的精確模型，在參數(shù)不匹配的情況下性能惡化嚴(yán)重。

增量非線性動(dòng)態(tài)逆(Incremental Nonlinear Dynamic Inversion，INDI)[14]是一種基于傳感器的非線性控制技術(shù)，只對系統(tǒng)標(biāo)稱模型的部分進(jìn)行反饋線性化，解決了傳統(tǒng)反饋線性化固有的完整模型依賴問題。文獻(xiàn)[15-16]已經(jīng)驗(yàn)證了在高采樣率的條件下，在飛控系統(tǒng)中INDI可以實(shí)現(xiàn)優(yōu)秀的控制性能和魯棒性。在與液壓相關(guān)的機(jī)器人系統(tǒng)高精度控制方面，INDI具有以下優(yōu)勢：

(1) 對模型參數(shù)不確定性和連續(xù)外部干擾，無需設(shè)計(jì)明確的自適應(yīng)或魯棒控制算法，具有固有的魯棒性；

(2) 控制性能好，計(jì)算量小且控制器設(shè)計(jì)簡單；

(3) 無需精確的被控對象非線性動(dòng)力學(xué)模型，就能進(jìn)行系統(tǒng)的反饋線性化設(shè)計(jì)。

液壓執(zhí)行器的非線性模型不確定問題，許多研究采用非線性自適應(yīng)控制方法進(jìn)行處理[17-19]。液壓動(dòng)態(tài)參數(shù)的自適應(yīng)控制律設(shè)計(jì)是與完整的系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)相結(jié)合，以保證全局穩(wěn)定性。因此，很難直接與不同的外環(huán)控制器相結(jié)合，而且還會(huì)帶來高計(jì)算負(fù)荷等實(shí)際問題。因此，高性能、完全解耦和模型依賴性較小的液壓力控制器設(shè)計(jì)與研究顯得迫切重要。

本研究討論了INDI控制技術(shù)在典型閥控非對稱液壓缸形式的執(zhí)行器和液壓挖掘機(jī)器人上的初步理論分析和應(yīng)用。此外，給出INDI的魯棒特性和穩(wěn)定性的嚴(yán)格證明。通過仿真對比，驗(yàn)證所提控制器的有效性。

1 液壓執(zhí)行器動(dòng)力學(xué)建模

典型的由伺服閥驅(qū)動(dòng)直線非對稱缸的液壓執(zhí)行器基本結(jié)構(gòu)如圖1所示[20]，A腔室和B腔室的壓力動(dòng)態(tài)方程可描述如下：

圖1 液壓執(zhí)行器模型Fig.1 Hydraulic actuator model

式中，pa和pb——分別是執(zhí)行器的無桿腔和有桿腔的壓力

Φa，Φb——伺服閥進(jìn)出油口的流量

Φlp——內(nèi)泄漏流量

Aa，Ab——分別是執(zhí)行器的無桿腔和有桿腔的面積

E——油液彈性模量

xp——執(zhí)行器位移

Lc——執(zhí)行器總的有效行程

Vpl——容腔的管路體積

執(zhí)行器的液壓力Fh由執(zhí)行器A和B腔中產(chǎn)生的壓力平衡形成，即：

Fh=paAa-pbAb

(2)

取式(2)式微分形式，并帶入式(1)，可得：

(3)

其中，取A腔活塞桿面積為Ap，α是活塞面積比率(即，Aa=Ap且Ab=αAp)，Va和Vb分別是考慮各自管路容腔后A和B兩腔體積，即Va=Apxp+Vpl，Vb=αAp(Lc-xp)+Vpl。

可以將執(zhí)行器的每個(gè)腔室將定義一個(gè)等效傳動(dòng)剛度，即(Ktha=ApE/Va，Kthb=αApE/Vb)，則整個(gè)液壓缸等效剛度可考慮為2個(gè)彈簧并聯(lián)形式(無論執(zhí)行器朝哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，2個(gè)彈簧都呈現(xiàn)出抵抗運(yùn)動(dòng)的趨勢，因此等效剛度考慮為并聯(lián)而非串聯(lián))，即Kth=Ktha+Kthb=ApE(1/Va+α/Vb)。則：

(4)

其中，Φe=(VbΦa+αVaΦb)/(Vb+αVa)是等效流量，Ae=Ap(Vb+α2Va)/(Vb+αVa)為等效面積。將執(zhí)行器動(dòng)態(tài)力寫成式(4)這種形式，可以顯示系統(tǒng)的一個(gè)重要物理特性：液壓傳動(dòng)剛度Kth，這是動(dòng)力學(xué)中的一個(gè)基本物理量。傳動(dòng)剛度越硬，動(dòng)力傳遞就越快。傳動(dòng)剛度的先驗(yàn)知識可以為液壓機(jī)器人的控制和機(jī)械設(shè)計(jì)提供重要的見解[21]。

閥口的流量公式可由如下計(jì)算：

(5)

式中，Cd——流量系數(shù)

Am——閥門最大面積

xm——閥芯位移

ρ——油液密度

Δp——閥口前后壓差

(6)

一般閥芯的頻率遠(yuǎn)大于執(zhí)行器的頻率，因此在液壓控制的研究中大多忽略了閥芯的動(dòng)力學(xué)，因此可以直接將閥芯位移xm視為系統(tǒng)輸入，歸一化后為：

(7)

在重型液壓裝備以及密封要求極高的應(yīng)用場合，執(zhí)行器的液壓力和輸出力并不等同。需要考慮液壓缸的摩擦Ff，定義執(zhí)行器輸出力F=Fh-Ff，則完整的液壓執(zhí)行器的動(dòng)態(tài)方程為：

(8)

采用LuGre模型[22]建立液壓缸運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的摩擦Ff，其數(shù)學(xué)描述如下：

(9)

式中，σ0——鬃毛剛度

σ1——鬃毛微觀阻尼系數(shù)

σ2——黏性阻尼系數(shù)

z——鬃毛平均變形量

Fc——庫倫摩擦力

Fs——最大靜摩擦力

vs——Stribeck速度

可以看出，液壓缸的摩擦力為速度的非線性函數(shù)。

2 增量非線性動(dòng)態(tài)逆

傳統(tǒng)的NDI是反饋線性化方法的一種變體，在飛行控制問題中得到了廣泛的應(yīng)用[23]。然而，MBD的常見缺點(diǎn)是嚴(yán)重依賴于被控對象建模的精確度，因此對模型不確定性具有固有的敏感性。INDI本質(zhì)上是增量形式的NDI方法，除與模型輸入相關(guān)的其他非線性項(xiàng)的大多數(shù)參數(shù)影響都通過高采樣速率被最小化到一個(gè)擾動(dòng)。因此，INDI并不依賴于精確的建模，對模型的不確定具有天然的不敏感性。

2.1 理論和穩(wěn)定性

假設(shè)被控系統(tǒng)是一般的n階控制輸入的仿射非線性系統(tǒng)，即：

(10)

y=H(x)

(11)

其中,F∈n是系統(tǒng)向量場，u∈m是輸入，D∈n是連續(xù)的外部擾動(dòng)，G∈m×n是控制矩陣。假設(shè)x，D，H是連續(xù)的，F(xiàn)(x)，G(x)是x的∞函數(shù)且微分有界。

為簡化，設(shè)H(x)=x，系統(tǒng)的相對自由度度為(1，…，1)1×n，則系統(tǒng)輸出的一階導(dǎo)數(shù)為：

(12)

控制輸入u便顯式地出現(xiàn)在式(12)中。對于m=n的全驅(qū)系統(tǒng)，如果G是可逆的，則可以采用傳統(tǒng)的NDI或一般的反饋線性化方法設(shè)計(jì)控制器，如下：

u=G-1(x)[v-(F(x)+D)]

(13)

可以看出，設(shè)計(jì)NDI控制率需要精確的系統(tǒng)模型，對系統(tǒng)輸入矩陣G，非線性項(xiàng)F和擾動(dòng)項(xiàng)D都要進(jìn)行辨識。

INDI與NDI方法不同的是，對式(12)中的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)在每個(gè)采樣區(qū)間的開始時(shí)刻(下標(biāo)為0)泰勒展開，得到系統(tǒng)的增量形式，如下：

(D-D0)+O(x-x0)2

(14)

用增量形式表示，并將最后三項(xiàng)集中為擾動(dòng)項(xiàng)：

ΔD+OΔx2

(15)

則式(14)可以表示為：

(16)

利用x和D的連續(xù)性以及F和G微分的有界性，計(jì)算式(15)在采樣時(shí)間Ts趨近于0時(shí)的極限為：

(17)

式(17)表明，在高采樣速率下，式(16)中擾動(dòng)對系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的貢獻(xiàn)趨近于0。因此，在每個(gè)采樣間隔內(nèi)，INDI控制律為：

(18)

由此可以看出，INDI相對于NDI不需要對系統(tǒng)非線性項(xiàng)F和擾動(dòng)項(xiàng)D進(jìn)行辨識。本質(zhì)上對于輸入矩陣G也無需精確建模，見3.2分析。

設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)如下：

(19)

其中e=xd-x,xd為期望軌跡。將V(e)求導(dǎo)如下：

δ(Δx，ΔD)]}

(20)

將式(18)代入式(20)，計(jì)算得：

(21)

對于輸入矩陣不確定的魯棒性，下面給出證明。

2.2 魯棒性

考慮式(10)給出的系統(tǒng)，式(18)中的INDI控制律中沒有明確使用F和D這些量的信息，因此INDI對F(x)中的參數(shù)不確定和連續(xù)擾動(dòng)D不敏感。這兩項(xiàng)對系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的貢獻(xiàn)可以集中到一個(gè)小擾動(dòng)項(xiàng)中，而擾動(dòng)項(xiàng)只影響誤差動(dòng)力學(xué)的最終界，控制器是全局一致有界穩(wěn)定，且可以通過增加采樣速率來減小到可以忽略的程度。

圖2 INDI 控制框圖Fig.2 INDI control block diagram

(22)

(23)

式(23)表明，傳遞函數(shù)的幅值隨著Ts趨近于0而等于0。這與采樣周期速率很高時(shí)，可以忽略集中擾動(dòng)項(xiàng)的事實(shí)是一致的。

下面考慮MIMO系統(tǒng)。

將INDI控制率帶入，同樣在高采樣速率下忽略集中擾動(dòng)項(xiàng)，可得系統(tǒng)狀態(tài)方程：

(24)

對式(24)進(jìn)行移項(xiàng)變換可得：

(25)

(26)

將式(26)帶入式(25)，則系統(tǒng)方程可寫成如下對角化形式：

(27)

式(27)可以將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為i個(gè)解耦的標(biāo)量方程：

(28)

(29)

綜上證明，INDI是一種非常實(shí)用的非線性控制技術(shù)，可以克服傳統(tǒng)反饋線性化方法對參數(shù)不確定性和連續(xù)擾動(dòng)固有的敏感性。

3 控制器設(shè)計(jì)

3.1 內(nèi)回路液壓力控制器

(30)

(31)

(32)

通過選擇一個(gè)足夠高的采樣速率，集中擾動(dòng)幅度降低到可以忽略不計(jì)。然后選擇一個(gè)簡單的線性控制器Kp，將系統(tǒng)變成一個(gè)力跟蹤控制器，即：

(33)

其中，F(xiàn)d是期望跟蹤的驅(qū)動(dòng)力。

3.2 實(shí)施考慮

1) 摩擦力補(bǔ)償

(34)

其中，F(xiàn)h=(pa-αpb)Ap=pLAp。

2) 二階濾波器

(35)

(36)

3) 建模誤差容忍度

在INDI控制器中，非線性項(xiàng)ΓA和擾動(dòng)項(xiàng)D經(jīng)由高采樣速率被消除了，因而不存在于控制率中。而控制輸入矩陣GA在模型不匹配程度內(nèi)(φ>0.5)不會(huì)顯著影響控制性能，當(dāng)估計(jì)誤差過大時(shí)，會(huì)影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。

GA=

(37)

模型不匹配誤差來源主要在于閥，管路和液壓缸建模，可通過對GA求梯度進(jìn)行定性分析?？梢钥闯觯y的流量增益系數(shù)Kv和油液彈性模量E對建模影響比較大，在實(shí)際中需要謹(jǐn)慎標(biāo)定。

4 仿真

4.1 仿真環(huán)境

建立液壓機(jī)械臂多物理動(dòng)態(tài)模型，如圖3所示，子模塊主要包括圖4所示的機(jī)械臂多體動(dòng)力學(xué)模型，和采用式(1)～式(9)建立的液壓執(zhí)行器數(shù)學(xué)模型，如圖5所示。液壓執(zhí)行器為非對稱閥控非對稱液壓缸，主要參數(shù)如表1所示。

表1 液壓執(zhí)行器主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of hydraulic actuator

圖3 液壓機(jī)械臂物理仿真模型Fig.3 Physical simulation model of hydraulic robot

圖4 機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型Fig.4 Robotic manipulator dynamics model

圖5 液壓執(zhí)行器動(dòng)力學(xué)模型Fig.5 Hydraulic actuator model

表2 對比控制器主要參數(shù)Tab.2 Contrast controller main parameters

4.2 結(jié)果與討論

標(biāo)稱參數(shù)模型下PID，NDI和INDI控制器的跟蹤性能對比如圖6所示。PID和NDI可以觀察到明顯的跟蹤誤差，控制器的最大跟蹤誤差為10%～15%。而INDI具有更準(zhǔn)確的跟蹤性能，控制器的最大跟蹤誤差始終在6%左右。因此，INDI的優(yōu)勢已經(jīng)很明顯。

圖6 標(biāo)稱模型下力跟蹤性能對比Fig.6 Comparison of force tracking performance under nominal model

在實(shí)際中，GA的不確定性來源于液壓執(zhí)行器的流量，如參數(shù)Kv。本研究中，通過改變Kv參數(shù)有意引入模型不匹配程度。INDI，PID和NDI在參數(shù)不匹配條件下的力跟蹤性能如圖7所示。通過與標(biāo)稱模型結(jié)果對比，在-40%的GA不匹配程度下，NDI和PID控制器的跟蹤性能顯著下降，已經(jīng)無法跟蹤設(shè)定值，而INDI控制器的性能幾乎保持完好。其原因是，NDI的嚴(yán)重依賴于被控對象建模的精確度，因此對模型不確定性具有固有的敏感性。INDI本質(zhì)上是增量形式的NDI方法，除與模型輸入相關(guān)的其他非線性項(xiàng)的大多數(shù)參數(shù)影響都通過高采樣速率被最小化到一個(gè)擾動(dòng)。因此，INDI并不依賴于精確的建模，對模型的不確定具有天然的不敏感性。而PID是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的控制策略，對于模型不確定具有一定魯棒性，但是針對復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，不能實(shí)現(xiàn)液壓執(zhí)行器高性能的力控需求。

圖7 -40%參數(shù)不匹配下力跟蹤性能對比Fig.7 Comparison of force tracking performance under -40% parameter mismatch

圖8給出了在GA從-90%到+70%不同參數(shù)的不匹配程度ψ下，3個(gè)控制器的力跟蹤性能相對誤差百分比力超調(diào)量F，力跟蹤誤差ΔF。INDI在±50%條件內(nèi)表現(xiàn)出相同的性能，力跟蹤誤差不超過6%。即使是參數(shù)不匹配達(dá)到了-90%和+70%，力跟蹤誤差也不超過8%，表現(xiàn)出優(yōu)秀的跟蹤性能。在參數(shù)不匹配小于+50%(也就是處于理論分析的穩(wěn)定域內(nèi))，INDI幾乎沒有超調(diào)，表現(xiàn)出較強(qiáng)的穩(wěn)定性。在參數(shù)不匹配大于+50%，INDI表現(xiàn)出一定的超調(diào)現(xiàn)象，但幅度不大。相比之下，PID和NDI的跟蹤誤差隨著不匹配水平的增加迅速從10%上升到30%，力超調(diào)最大達(dá)到了50%，表明在極度參數(shù)不匹配情況下，系統(tǒng)已經(jīng)失去穩(wěn)定性。由此，表明INDI對參數(shù)不確定性具有極強(qiáng)的魯棒性。

圖8 不同參數(shù)的不匹配程度下相對性能對比Fig.8 Relative performance comparison for different parameters with different degrees of mismatch

當(dāng)采樣速率降低時(shí)，INDI控制性能隨之會(huì)下降，如圖9所示。當(dāng)采樣頻率低于2000 HZ時(shí)，控制性能極差，而在10000 Hz頻率下，INDI控制器存在較小的穩(wěn)態(tài)誤差。這一結(jié)果說明了INDI線性化的有效性依賴于高采樣頻率的假設(shè)。因此在實(shí)際中，控制器硬件條件允許情況下盡可能提高采樣速率。

圖9 不同采樣速率下INDI控制性能對比Fig.9 Performance comparison of INDI at varies sampling rates

5 結(jié)論

(1) 與傳統(tǒng)的反饋線性化方法NDI相比，INDI方法僅需要更少的模型信息卻能提供更好的性能，因此非常適用于液壓驅(qū)動(dòng)的非線性、時(shí)變性和參數(shù)不確定極強(qiáng)的系統(tǒng)；

(2) 仿真表明了INDI對參數(shù)不確定的非線性模型的魯棒性，力跟蹤誤差始終穩(wěn)定在在6%左右，最大跟蹤誤差也不超過8%，驗(yàn)證了INDI穩(wěn)定性的必要條件:模型的不匹配程度φ>0.5；

(3) INDI采用高頻率濾波處理噪聲，系統(tǒng)抗干擾能力增強(qiáng)，進(jìn)一步驗(yàn)證了魯棒性。