李亨博， 何發(fā)勝

（1.廣東科技學(xué)院 計算機學(xué)院， 廣東 東莞 523000；2.中國鐵路廣州局集團廣州動車段， 廣東 廣州 510000）

引言

在工程實際中，存在一類需要對周期參考輸入高精度跟蹤的控制系統(tǒng)，例如伺服電機[1]，機器人，有源濾波器等。重復(fù)控制由Inoue 于1981 年首先提出，以內(nèi)模原理為基礎(chǔ)，在系統(tǒng)的控制器內(nèi)構(gòu)造一個周期信號的動態(tài)模型，從而實現(xiàn)對任意周期參考輸入信號的漸進跟蹤。由于重復(fù)控制方法不僅適用于高精度跟蹤參考輸入信號，還能有效抑制周期性干擾，穩(wěn)態(tài)精度高，成為了控制工程領(lǐng)域的研究熱點[2]。重復(fù)控制器中含有時滯現(xiàn)象，且時滯是實際工業(yè)控制系統(tǒng)設(shè)計中不可避免的現(xiàn)象，往往會導(dǎo)致控制系統(tǒng)性能惡化甚至破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了克服時滯對系統(tǒng)的影響，重復(fù)控制系統(tǒng)的魯棒性問題成為控制領(lǐng)域深入研究的熱點。

此外，干擾存在于所有工業(yè)控制過程中，如何對干擾進行觀測和有效補償，成為設(shè)計高性能魯棒控制器的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。干擾觀測器（DOB）不需要對干擾信號建立精確的數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)簡單，魯棒性強，可以通過對外部干擾進行估計，補償外部干擾對系統(tǒng)的影響，實現(xiàn)干擾抑制的目的[3]。

受以上文獻啟發(fā)，為了補償外部干擾對系統(tǒng)的影響，實現(xiàn)系統(tǒng)高精度跟蹤控制，本文提出一種基于干擾觀測器的重復(fù)控制系統(tǒng)設(shè)計方法，將重復(fù)控制器和干擾觀測器引入到時滯系統(tǒng)中。通過干擾觀測器估計外部干擾的值并反饋至系統(tǒng)中，再與重復(fù)控制律結(jié)合，從而實現(xiàn)對周期信號的高精度跟蹤與抑制干擾的目的。

1 基于DOB 的重復(fù)控制系統(tǒng)描述

本文考慮如下時滯系統(tǒng)：

其中，x（t）∈Rn、u（t）∈Rp、y（t）∈Rq分別表示系統(tǒng)的狀態(tài)向量、控制輸入、控制輸出。d（t）∈Rm為系統(tǒng)外部干擾。A、B、C 是合適維數(shù)的常數(shù)矩陣。

對系統(tǒng)（1）作如下假設(shè)：

假設(shè)1：系統(tǒng)（1）是可控且可觀的系統(tǒng)；

假設(shè)2：系統(tǒng)（1）在虛軸上無零點。

系統(tǒng)（1）中干擾d（t）來源于如下線性外源系統(tǒng)：

其中，ξ（t）∈Rn、d（t）∈Rm。W 和V 是已知適當維數(shù)的矩陣。

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖1 所示。重復(fù)控制器用于跟蹤外部參考輸入信號，其包含純時滯正反饋環(huán)節(jié)和低通濾波器q（s）。在重復(fù)控制器中，低通濾波器q（s）改善了系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，常數(shù)T 為參考輸入r（t）的周期；v（t）是控制控制器的輸出。

定義跟蹤誤差為：

為了使重復(fù)控制器易于設(shè)計與實現(xiàn)，濾波器q（s）選為一階濾波器，即

其中：ωc是濾波器的角速度，且q（s）滿足以下幅值特性：

為估計和重構(gòu)未知干擾d（t），構(gòu)造如下干擾觀測器：

其中，L∈Rn×n，是待定的干擾觀測器增益矩陣。

由（7）可以得到：

定義干擾估計誤差為

則：

2 控制參數(shù)設(shè)計

本文的研究目的是構(gòu)造一類基于DOB 的重復(fù)控制器，由重復(fù)控制器估計外部參考輸入信號對系統(tǒng)輸出的影響，并設(shè)計干擾觀測器補償外部干擾，從而達到精確跟蹤給定信號和抑制外部干擾的目的。

假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)可直接測得，現(xiàn)設(shè)計如下控制器：

由于外部信號不影響控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所以，令：

將式（9）（11）帶入式（1）得到：

將式（9）（11）帶入式（6）得到：

令：

由式（10）（13）（14）得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間形式，可以表示為：

其中，

從而，控制器設(shè)計問題轉(zhuǎn)變?yōu)闀r滯系統(tǒng)（16）的穩(wěn)定性問題。

下面給出了時滯系統(tǒng)（1）在控制器（11）的作用下漸近穩(wěn)定的條件。

若存在對稱正定矩陣P、Q，合適矩陣X∈Rn×n＞0，Y∈Rn×n，H∈Rn×n，K∈Rn×n，Ke∈Rn×n，滿足以下LMI：

其中，

則時滯系統(tǒng)在控制律（11）作用下漸近穩(wěn)定。此外，狀態(tài)反饋控制器的增益和觀測器的增益分別為F1=KeY-1，F(xiàn)2=KX-1，L=H。

取LyApunov 函數(shù)為：

則：

因此，若

則系統(tǒng)（16）漸近穩(wěn)定。

上式等價于

因此，若

則時滯系統(tǒng)（16）是漸近穩(wěn)定的。

根據(jù)SChur 補引理，閉環(huán)控制系統(tǒng)（16）漸進穩(wěn)定的充分條件為：

假設(shè)P=diAg{P1，P2，P3}，Q=diAg{Q1，Q2，Q3}，并結(jié)合（17）得到

其中，Λ11=P1A+AΤP1+P1BF2+BΤP1；Λ12=P1BV；Λ13=P1BF1-CΤP3-AΤCΤP3-BΤCΤP3；Λ22=P2W+WΤP2+P2LBV+VΤBΤLΤP2；Λ23=-VΤBΤCΤP3；Λ33=-P3ωC-ω-P3CBF1-BΤCΤP3。

應(yīng)用MATLAB LMI 工具箱，可方便求解反饋增益矩陣K，Ke和觀測器增益矩陣L 的值。

3 數(shù)值仿真

本節(jié)給出一個數(shù)值例子，驗證本文所提方法的有效性。

設(shè)分數(shù)階線性時滯系統(tǒng)（1）具有如下參數(shù)：

令參考輸入為：

線性外源系統(tǒng)（2）具有如下參數(shù)：

利用MATLAB LMI 工具箱求解LMI（18）得到：

選取初始狀態(tài)的值為x0=[0.25 -0.25 -0.25]Τ，初始干擾值為d0=[-0.12 -0.13 -0.1]Τ，干擾觀測器的初始值為=[-0.1 -0.1 -0.3]Τ。

圖2 顯示了開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線，在無控制作用情況下，具有外部干擾的分數(shù)階時滯系統(tǒng)不穩(wěn)定。圖3 為開環(huán)系統(tǒng)參考輸入與系統(tǒng)輸出的仿真曲線，系統(tǒng)輸出響應(yīng)不能跟蹤參考輸入。圖4 為開環(huán)系統(tǒng)外部干擾值與干擾觀測器輸出值的仿真曲線，干擾觀測器的輸出值不能估計出外部干擾，則不能抑制外部干擾對系統(tǒng)的影響。

圖5 為系統(tǒng)在（11）控制作用下閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)曲線，設(shè)計的控制器能使閉環(huán)系統(tǒng)快速穩(wěn)定。圖6 顯示在重復(fù)控制器的作用下，閉環(huán)系統(tǒng)輸出響應(yīng)與參考輸入的仿真曲線，系統(tǒng)輸出快速跟蹤參考輸入信號，進入穩(wěn)定狀態(tài)，魯棒穩(wěn)定性得到保證。圖7 顯示了在重復(fù)控制作用下，系統(tǒng)輸出與給定參考輸入的跟蹤誤差仿真曲線，誤差以很快的速度趨于零，具有很好的跟蹤特性。圖8 為系統(tǒng)干擾及其觀測值的仿真曲線，系統(tǒng)從第2 個周期開始，干擾觀測器的輸出能精確的跟蹤外部干擾，干擾得到抑制。

4 結(jié)語

本文提出了一種基于干擾觀測器的重復(fù)控制系統(tǒng)的干擾抑制方法。通過分析時滯系統(tǒng)模型，引入重復(fù)控制和干擾觀測器構(gòu)造基于觀測器的重復(fù)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，并基于該結(jié)構(gòu)進行穩(wěn)定性分析與控制器參數(shù)求解的設(shè)計。仿真結(jié)果顯示，該系統(tǒng)能有效補償外部干擾對系統(tǒng)的影響，實現(xiàn)干擾抑制，且具有優(yōu)越的周期信號跟蹤性能。