張 遠 黃萬偉 田 燦

1. 北京航天自動控制研究所，北京 100854 2. 宇航智能控制技術(shù)國家級重點實驗室，北京 100854

0 引言

高超聲速飛行器(Hypersonic Flight Vehicle, HFV)指的是一類飛行馬赫數(shù)大于5的飛行器，其航程遠、速度快，可實現(xiàn)低成本天地往返，具有廣闊的軍用和民用前景[1]。由于系統(tǒng)表現(xiàn)為強非線性、快時變性的動力學(xué)特性，同時氣動參數(shù)、機體參數(shù)存在大范圍攝動，對姿態(tài)控制提出了更高的要求和挑戰(zhàn)，成為近年來控制領(lǐng)域研究的重點之一。

近年來，學(xué)者們開展了諸多HFV控制系統(tǒng)的設(shè)計與研究，形成了一系列典型的控制方案架構(gòu)。其中，反步法簡化了針對高階非線性系統(tǒng)直接設(shè)計控制器的難度，成為研究重點之一，其核心思想是將高階非線性系統(tǒng)控制問題分解為多個不超過系統(tǒng)階次的子系統(tǒng)，遞歸設(shè)計Lyapunov保證子系統(tǒng)逐步穩(wěn)定，最后獲得整個系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定，實現(xiàn)指令的跟蹤控制。文獻[2]通過設(shè)計一種滑模微分器估計虛擬指令的微分信號，緩解“計算膨脹”情況，同時研究了攻角非對稱時變約束控制；文獻[3]進一步關(guān)注工程中的航跡傾角難測量的應(yīng)用難點，用高度和速度測量值以及高階微分器設(shè)計了航跡傾角在線估計方法，基于反步法設(shè)計航跡傾角子系統(tǒng)控制器，同時引入輔助系統(tǒng)降低執(zhí)行機構(gòu)飽合帶來的負面影響；文獻[4]則提出基于高階跟蹤微分器的減步控制方案，利用其對給定信號任意階導(dǎo)數(shù)精確估計的能力，減少設(shè)計步驟，再結(jié)合擴張狀態(tài)觀測器(ESO, Extended State Observer)獲得綜合擾動值，用于補償控制；文獻[5]針對HFV的縱向模型，將其分為速度和高度子系統(tǒng)，且把虛擬控制律設(shè)計中需要的導(dǎo)數(shù)作為不確定的一部分，設(shè)計自適應(yīng)律應(yīng)對含有未知上界的不確定性，避免了指令求導(dǎo)，實現(xiàn)速度和高度的精確跟蹤。

然而，上述的控制方案可以保證系統(tǒng)以指數(shù)形式收斂，沒有考慮控制系統(tǒng)的暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能(如超調(diào)、收斂時間、問題誤差)，如果可根據(jù)預(yù)先設(shè)計的約束條件使得系統(tǒng)收斂時間可調(diào)、穩(wěn)態(tài)精度可控，則具有較強的工程意義。因而，近年來能夠滿足這一需求的性能預(yù)設(shè)控制(PPC, Prescribed Performance Control)得到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注[6-9]。文獻[6]針對彈性HFV的高度和速度通道設(shè)計指數(shù)型性能預(yù)設(shè)函數(shù)；文獻[7]研究了一種適應(yīng)誤差初值未知的性能預(yù)設(shè)控制方法，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演控制和最小參數(shù)方法，針對縱向模型子系統(tǒng)設(shè)計性能預(yù)設(shè)控制器；文獻[8]分別針對速度子系統(tǒng)和高度系統(tǒng)設(shè)計PI和反步法性能預(yù)設(shè)控制器，用單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近系統(tǒng)不確定性；文獻[9]則在對存在執(zhí)行故障的建?；A(chǔ)上，設(shè)計基于有限時間衰減的預(yù)設(shè)性能函數(shù)，采用反步法設(shè)計有限時間性能預(yù)設(shè)控制器。

基于上述文獻的啟發(fā)，本文旨在針對HFV的縱向姿態(tài)通道，設(shè)計一種時間可設(shè)定的性能預(yù)設(shè)控制方案，并通過數(shù)值仿真校驗了該方案在存在復(fù)合時變干擾情況下的控制性能，主要貢獻如下：

1)提出一種時間可設(shè)定新型預(yù)設(shè)性能函數(shù)，在此基礎(chǔ)上設(shè)計基于反步法的性能預(yù)設(shè)控制律，能夠保證在設(shè)定時間內(nèi)保證跟蹤誤差收斂至設(shè)定約束域，且收斂速度可根據(jù)需求靈活調(diào)節(jié)；

2)設(shè)計有限時間收斂擴張狀態(tài)觀測器，相對于傳統(tǒng)擴張狀態(tài)觀測器，可保證其更快的收斂速度，保證系統(tǒng)的控制精度；

3)因反步法需要指令微分項存在的“計算膨脹”情況，引入一種改進的跟蹤微分器緩解該問題。

1 問題描述

1.1 模型說明

考慮工作在水平無側(cè)滑狀態(tài)時的HFV，側(cè)滑角β和傾側(cè)角μ都為0，縱向和橫側(cè)向可相互解耦，則HFV模型可簡化為式(1)所示[10]。

(1)

(2)

其中，Δα和ΔQ表示包含參數(shù)攝動和外界時變干擾的集總擾動。將式(2)寫成形如式(3)：

(3)

1.2 控制目標(biāo)

由1.1節(jié)中的帶有集總擾動的模型可知，HFV在飛行過程中經(jīng)歷大包線飛行，其飛行環(huán)境及機體參數(shù)都將出現(xiàn)大范圍攝動，對于控制性能提出較大的挑戰(zhàn)。因此，若存在持續(xù)性擾動，則無法保證暫態(tài)控制精度，穩(wěn)態(tài)精度也無法持續(xù)滿足。若以攻角為例，將其跟蹤誤差進行暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能兩方面的精確約束，則可達到時變擾動下的高精度控制需求?？啥x攻角的跟蹤誤差預(yù)設(shè)性能條件如下：

-δαLρfα(t)tf

(4)

其中，ρfα(t)為攻角跟蹤誤差的性能預(yù)設(shè)函數(shù)，其約束了期望的暫態(tài)性能(如收斂速度、最大超調(diào))和穩(wěn)態(tài)性能(如跟蹤穩(wěn)態(tài)誤差)。δαU和δαL分別為設(shè)定的誤差上、下界，滿足δαU,δαL∈(0,1]。

本文的主要控制目標(biāo)為：1)系統(tǒng)輸出攻角α能夠精確跟蹤給定的時變攻角指令αc；2)在存在時變集總干擾的情況下，暫態(tài)響應(yīng)滿足設(shè)計需求，穩(wěn)態(tài)誤差在預(yù)先設(shè)定的范圍之內(nèi)。

2 新型性能預(yù)設(shè)反步控制器

本節(jié)針對縱向姿態(tài)系統(tǒng)設(shè)計新型性能預(yù)設(shè)控制器，主要由4部分構(gòu)成：1)針對攻角子系統(tǒng)和角速度子系統(tǒng)引入性能預(yù)設(shè)函數(shù)，并對受約束的跟蹤誤差進行無約束轉(zhuǎn)換；2)利用反步法進行姿態(tài)系統(tǒng)控制器設(shè)計；3)針對反步控制律中用到的指令微分項，引入跟蹤微分器；4)針對集總擾動，設(shè)計有限時間擴張狀態(tài)觀測器，獲得擾動和狀態(tài)量，用于控制律設(shè)計。完整結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

圖1 HFV縱向姿態(tài)模型新型性能預(yù)設(shè)反步控制器結(jié)構(gòu)

2.1 性能預(yù)設(shè)函數(shù)及誤差轉(zhuǎn)換

一般地，對于性能預(yù)設(shè)控制而言，第一環(huán)節(jié)是設(shè)計性PPC，其定義如下：

定義1[11]：連續(xù)函數(shù)ρ(t):+→+為性能預(yù)設(shè)函數(shù)，且滿足如下2個條件：

常見的PPC主要包含指數(shù)型、正切型和倒數(shù)型，如式(5)～(7)，均可滿足定義1條件。

ρ(t)=(ρ0-ρ∞)exp(-kρt)+ρ∞

(5)

ρ(t)=coth(ρ0+kρt)-1+ρ∞

(6)

(7)

其中，ρ0>0，ρ∞>0，kρ>0為待設(shè)計參數(shù)，ρ0代表初始誤差上界，ρ∞代表穩(wěn)態(tài)精度的約束，kρ代表衰減速率，直接影響系統(tǒng)的暫態(tài)性能。

根據(jù)定義1，本節(jié)設(shè)計一種有限時間性能預(yù)設(shè)函數(shù)來滿足指令跟蹤誤差的暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)性能，如式(8)。

ρi(t)=

(8)

其中，i=α,Q代表內(nèi)外環(huán)的性能預(yù)設(shè)函數(shù)，且ρi0≥1，ρi∞>0為待設(shè)定參數(shù)，Ti為設(shè)定時間值。相比于傳統(tǒng)PPC，本文設(shè)計的性能函數(shù)能夠在設(shè)定時間點滿足收斂要求，且靈活可調(diào)整。

為滿足跟蹤誤差預(yù)設(shè)性能需求式(4)，需要進一步將跟蹤誤差轉(zhuǎn)化為等價無約束形式：

e(t)=ρ(t)S(ε(t))

(9)

其中，ε(t)為轉(zhuǎn)換誤差，S(ε(t))為光滑遞增轉(zhuǎn)換函數(shù)，其滿足如下條件

1)-δiL

則可引入指數(shù)型轉(zhuǎn)換函數(shù)

(10)

由于S(ε(t))嚴格遞增，轉(zhuǎn)換誤差可以通過反函數(shù)求解為：

(11)

其中λi=ei(t)/ρi(t),i=α,Q。

2.2 控制律設(shè)計

本文基于反步法思想將系統(tǒng)(3)的控制系統(tǒng)設(shè)計分為姿態(tài)環(huán)虛擬控制律設(shè)計和角速度環(huán)真實控制律設(shè)計2個步驟。

步驟1：設(shè)計姿態(tài)環(huán)虛擬控制律

選擇姿態(tài)角系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)

(12)

對式(12)求導(dǎo)

(13)

(14)

將式(14)代入到式(13)，則有

(15)

步驟2：設(shè)計角速度環(huán)控制律

選擇姿態(tài)角速度系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)

(16)

對式(16)求導(dǎo)

(17)

(18)

將式(18)代入式(17)，則有

γQVQ+Ωα+ΩQ≤-γαVα-γQVQ≤0

(19)

由此可得，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

2.3 跟蹤微分器設(shè)計

由式(14)以及式(18)的形式可知，控制律的設(shè)計中需要用到指令的微分量，為了防止“計算膨脹”問題，引入跟蹤微分器。受到滑模理論的啟發(fā)，引入終端因子來抑制高頻震顫，設(shè)計基于Sigmoid函數(shù)的微分跟蹤器[12]，其形式如式(20)。

(20)

其中tansig(x)=2/(1+exp(-2x))-1，v(t)是輸入信號，x1(t)是跟蹤信號，x2(t)是微分信號，k，λ，l1，l2，p是待設(shè)定參數(shù)，k=30，λ=10，l1=10，l2=15，p=0.8。

2.4 有限時間擴張狀態(tài)觀測器設(shè)計

對于性能預(yù)設(shè)控制器的設(shè)計而言，其對于集總擾動的估計精度要求較高，受文獻[13]啟發(fā)，設(shè)計一種有限時間擴張狀態(tài)觀測器，用于對內(nèi)外環(huán)集總擾動的估計?？紤]帶有不確定系統(tǒng)

(21)

(22)

則針對姿態(tài)系統(tǒng)而言，以姿態(tài)角系統(tǒng)為例可設(shè)計如式(23)的有限時間擴張狀態(tài)觀測器。

(23)

(24)

角速度環(huán)系統(tǒng)擴張狀態(tài)觀測器具有相同結(jié)構(gòu)，且限于篇幅，這里不再贅述，穩(wěn)定性證明略。至此，帶有有限時間擴張狀態(tài)觀測器和有限時間跟蹤微分器的高超飛行器縱向姿態(tài)性能預(yù)設(shè)控制器設(shè)計完畢。

3 仿真校驗

本節(jié)將針對系統(tǒng)式(3)，采用控制律式(14)、(18)，微分跟蹤器式(20)、不確定估計式(23)進行仿真校驗與分析。驗證飛行器在大攻角再入飛行過程中，存在參數(shù)攝動和持續(xù)性時變外界干擾的情況下，攻角指令的跟蹤情況。針對攻角子系統(tǒng)和角速度子系統(tǒng)分別設(shè)計性能預(yù)設(shè)函數(shù)：

(25)

ρα0=1,ρα∞=0.005,Tα=1。

(26)

ρQ0=2,ρQ∞=0.01,TQ=1。

為校驗本文提出控制方案的有效性，將本文設(shè)計的控制律和傳統(tǒng)的反步法控制律(27)對比仿真。

(27)

本文控制器及狀態(tài)觀測器參數(shù)見表1。

表1 控制器參數(shù)

在驗證中，飛行器的不確定性模型及外界持續(xù)性擾動設(shè)置如下。

對于執(zhí)行機構(gòu)而言，通?？捎枚A慣性環(huán)節(jié)描述執(zhí)行機構(gòu)模型，如式(28)，且舵偏約束滿足|δe|≤30°。

(28)

其中，仿真中Tδ=0.1，ωn=1。

將傳統(tǒng)反步法和本文提出的帶有性能預(yù)設(shè)的控制方案進行對比，圖2為兩種控制方案在表2參數(shù)偏差和時變擾動的情況下的質(zhì)量跟蹤響應(yīng)曲線，圖3為兩種方案的跟蹤誤差曲線。由圖2～3可知，兩種方案均能夠較好地跟蹤姿態(tài)指令，但是在暫態(tài)性能(收斂時間)和穩(wěn)態(tài)性能(穩(wěn)態(tài)誤差)上，本文的有限時間性能預(yù)設(shè)方案表現(xiàn)的更為優(yōu)異，特別是在穩(wěn)態(tài)精度方面，始終保持在約束的范圍之內(nèi)，相比于傳統(tǒng)反步法，由于時變擾動的影響，其跟蹤誤差超出了期望的性能邊界(±0.005°)。圖4表示俯仰角度跟蹤效果，其與姿態(tài)角子系統(tǒng)有相似結(jié)論，這里不再贅述。

表2 飛行器不確定模型

圖2 攻角指令跟蹤(本文控制器與對比控制器仿真)

圖3 攻角跟蹤誤差(本文控制器與對比控制器仿真)

圖4 俯仰角速度指令跟蹤(本文控制器與對比控制器仿真)

為驗證本文設(shè)計的有限時間收斂擴張狀態(tài)觀測器(FTESO)的有效性，將其和線性擴張狀態(tài)觀測器(LESO)相比，以姿態(tài)環(huán)子系統(tǒng)為例驗證兩者對時變擾動的估計效果。如圖5所示，本文的有限時間擴張狀態(tài)觀測器在收斂速度和跟蹤誤差上相比于線性擴張狀態(tài)觀測器都有較好的性能。

圖5 姿態(tài)環(huán)子系統(tǒng)集總擾動估計

4 結(jié)論

針對帶有參數(shù)攝動和外界時變擾動的高超聲速飛行器縱向姿態(tài)跟蹤控制問題，設(shè)計了性能約束控制器。對于跟蹤誤差性能約束，首先設(shè)計了固定時間的性能預(yù)設(shè)函數(shù)，相比于傳統(tǒng)的性能預(yù)設(shè)方案，其能夠保證性能函數(shù)在設(shè)定的時刻收斂至穩(wěn)態(tài)值，且可根據(jù)性能需求和執(zhí)行機構(gòu)飽和特性調(diào)整設(shè)定時刻；針對控制律設(shè)計中需要用到的指令的微分信號量，通過引入指令濾波去避免反步法中“計算膨脹”的問題；對于帶有參數(shù)攝動和時變擾動的系統(tǒng)，為進一步提升擴張狀態(tài)觀測器的性能，設(shè)計了有限時間擴張狀態(tài)觀測器，其在收斂速度和收斂精度上相比于線性擴張狀態(tài)觀測器都有較大的提升。同樣本文的控制方案對執(zhí)行機構(gòu)提出了更高的需求，因為其在初始時刻的飽和時間更長。這也是下一步繼續(xù)研究的方向，即性能約束條件下的抗飽和控制問題。