盧榮德 朱棟培

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)物理學(xué)院 安徽 合肥 230026)

劉 斌

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)地球和空間科學(xué)學(xué)院 安徽 合肥 230026)

1 牛頓水桶實驗

經(jīng)典物理的開山之作《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》發(fā)表于1687年.該書中牛頓第一個講到的物理實驗是水桶實驗[1].如圖1所示,牛頓采用一根長的軟吊繩提一桶水，把吊繩擰成麻花狀.若你握住吊繩，不讓麻花狀的繩子松開，水桶及其中水是相對靜止的，水面是平的.突然放開手，麻花開始放松，吊繩旋轉(zhuǎn)，水桶也隨著吊繩旋轉(zhuǎn).最初，桶中的水并不轉(zhuǎn)動，只有桶在旋轉(zhuǎn)，桶與桶中的水有相對轉(zhuǎn)動.慢慢地水被桶帶動，也開始轉(zhuǎn)動.最后，水與桶一樣轉(zhuǎn)動.這時，水和桶之間又是相對靜止的，不轉(zhuǎn)動的.但水面卻呈旋轉(zhuǎn)曲面凹狀即中心低、桶邊高.牛頓爵士特別說他親自做過該實驗.

圖1 牛頓水桶變加速旋轉(zhuǎn)的非慣性參照系

牛頓水桶實驗的關(guān)鍵是：有兩種“桶及桶中的水是相對靜止”的狀態(tài).最初(第一狀態(tài))，繩被放松之前，“桶及桶中的水是相對靜止的，水面是平的”；最后(第二狀態(tài))，繩被放松一段時間之后，“水和桶之間又是相對靜止的”， 而水面卻是旋轉(zhuǎn)曲面凹狀.兩種狀態(tài)中，水和桶之間都是相對靜止的，但旋轉(zhuǎn)水面卻不同：前者平、后者凹.下面對該實驗用旋轉(zhuǎn)拋物面、旋轉(zhuǎn)等勢面進(jìn)行物理的定量分析與說明.

2 牛頓水桶的物理建模

(1)牛頓水桶實驗可視為切線力等于零的平衡運動，所以,牛頓水桶可以當(dāng)作剛體.現(xiàn)任取旋轉(zhuǎn)水面的一個截面，試用旋轉(zhuǎn)拋物面來表征旋轉(zhuǎn)水面[2].

在與桶共轉(zhuǎn)參考系內(nèi)任一個水滴受兩個力：重力與慣性離心力，方向如圖2所示.

圖2 旋轉(zhuǎn)水桶的示意圖

設(shè)水面方程為

z=z(r)

由圖2可得

則微元

然后積分

即

(1)

式中z0為中心點水面高度.由于式(1)為拋物線方程，即該水面可表征為旋轉(zhuǎn)拋物面.

(2)下面試說明該拋物面為旋轉(zhuǎn)等勢面.

如圖2所示在任一個高度為z處的水滴，重力勢能為mgz，其離心勢能為

則總的勢能為

(2)

將式(1)代入式(2)得U=mgz0，即無論何位置，總勢能都相等即該水面為旋轉(zhuǎn)等勢面.

(3)假設(shè)一個封閉的圓筒中一定體積V水以一定角速度沿著軸向旋轉(zhuǎn)，眾所周知，當(dāng)角速度較低時水面是一個拋物面，但當(dāng)旋轉(zhuǎn)角速度很高時，水面的方程式是什么？

取如圖3所示該圓筒中旋轉(zhuǎn)水面任意截面，圓筒內(nèi)徑為R,高為H，旋轉(zhuǎn)水面與底部的交點為R1，與頂部交點為R2，旋轉(zhuǎn)液體的體積為V.該問題相關(guān)計算可按公式(1)來模擬.

圖3 高速旋轉(zhuǎn)圓筒截面的示意圖

可得方程

所以

(3)

z(R1)=0

即

(4)

則

(5)

3 牛頓水桶的應(yīng)用——旋轉(zhuǎn)曲面下的物理測試

3.1 旋轉(zhuǎn)圓桶物理測試實驗

旋轉(zhuǎn)圓桶其表面形狀為一個旋轉(zhuǎn)拋物面，可利用該模型測量重力加速度；同時旋轉(zhuǎn)圓桶產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)拋物面也是一個很好的光學(xué)元件，如美國的物理學(xué)家烏德創(chuàng)造了液體鏡面——在一個大容器里旋轉(zhuǎn)水銀可得到一個理想的拋物面能成為很好的反射光線的反射鏡[3].

(1)旋轉(zhuǎn)圓桶測試重力加速度

如圖4所示的實驗系統(tǒng)中一個盛有液體、內(nèi)徑為R的圓柱體容器繞該圓柱體的對稱軸以角速度ω勻速穩(wěn)定轉(zhuǎn)動，液體的表面形成旋轉(zhuǎn)拋物面[4].

圖4 用旋轉(zhuǎn)圓桶測試重力加速度實驗示意圖

設(shè)液體未旋轉(zhuǎn)時液面高度為h，則其液體的體積為

V=πR2h

(6)

因液體旋轉(zhuǎn)前后體積保持不變，旋轉(zhuǎn)時液體體積可表示為

(7)

聯(lián)立式(6)、(7)得

(8)

聯(lián)立式(1)、(8)可分析：

測量旋轉(zhuǎn)水桶液面最高與最低處的高度差，可計算重力加速度g.

(9)

其中D為圓柱體直徑，n為液體的旋轉(zhuǎn)速度,單位為r·min-1.

也可用斜率法測試重力加速度.

(10)

給出θ計算方法即可求出重力加速度：設(shè)入射點經(jīng)液面反射后在水平透明屏幕上的反射光點為Q，則∠QPS=2θ.通過透明屏幕至圓筒底部的距離H、液面靜止時高度h及兩光點QS間距離d可得

(11)

(2)旋轉(zhuǎn)圓桶液面的拋物面焦距與轉(zhuǎn)速的關(guān)系

旋轉(zhuǎn)圓桶液面形成的彈性拋物面可看作一個凹面鏡，符合光學(xué)成像系統(tǒng)的規(guī)律[5].若光線平行于曲面對稱軸入射，反射光將全部會聚于拋物面的焦點上，其焦距為

(12)

根據(jù)式(12)也可檢測重力加速度.

3.2 旋轉(zhuǎn)曲面下的“金鴨浮舟”

如圖6所示陜西省文物保護(hù)單位寧陜縣城隍廟是在乾隆年間修建于河心沙洲上的古建筑，200多年來，歷經(jīng)47次洪水襲擊安然無恙，而附近比它地勢高的城墻、房屋、橋梁等卻多次被沖毀.該特異現(xiàn)象被民間傳說為有“金鴨子”在地底下托住城隍廟.經(jīng)過實地觀察、精確測繪、制作城隍廟建筑群及河道沙舟模型如圖7所示，分析可知：洪水沖不毀城隍廟，是激流經(jīng)過彎道時受地球引力產(chǎn)生水桶效應(yīng)形成旋轉(zhuǎn)等勢面導(dǎo)致的.如圖6所示寧陜縣山高溝深，暴發(fā)的山洪奔瀉在深溝中就產(chǎn)生了上述牛頓水桶效應(yīng)，形成的水面猶如一個個動態(tài)的旋轉(zhuǎn)曲面，無論何位置，總勢能相等，故水面或浪頭是一系列旋轉(zhuǎn)等勢面.通過現(xiàn)場勘測、調(diào)查走訪與測繪、查閱水文資料，繪制出河道地形圖，可探究洪水沖不毀城隍廟的物理機理.通過平面彎道環(huán)流泄水特性創(chuàng)造出定量分水方法：在分水的頂端，必須承受巨大的平動洪水沖擊且產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)洪水，壘成前端呈魚嘴狀的流線形，旋轉(zhuǎn)洪水受地球引力導(dǎo)致水桶效應(yīng)形成旋轉(zhuǎn)等勢面如上述式(2)，此自然工程有效控制洪流.

圖6 “金鴨浮舟”的地理圖

如圖7所示在山洪沖擊下的寧陜城隍廟憑借犀牛背為“龍頭”的生根石群——距城隍廟船頭(北端)64.8 m處有高出水面1.46 m、長7 m、前端最寬處為4.5 m的巨石，從西側(cè)看酷似一頭四肢沒入水中的犀牛身軀，與巨石相鄰的南側(cè)數(shù)十米范圍內(nèi)，有10多個巨石組成的巨石群[7]；其共同特點是露出沙洲的部分不很大而埋入沙中的部分非常巨大，這些巨石經(jīng)歷多次大水，位置從未挪動過，像生了根一樣，稱之為生根石群.生根石群相當(dāng)于我國古代水利杰作都江堰的“魚嘴分水堤”可分洪導(dǎo)流[8]，將旋轉(zhuǎn)水面切割為拋物形的兩個旋轉(zhuǎn)曲面，從而為保護(hù)城隍廟廟基起到了關(guān)鍵作用.

(a)

(b)圖7 旋轉(zhuǎn)等勢面下的模型圖

“金鴨浮舟”現(xiàn)象是激流經(jīng)過彎道時旋轉(zhuǎn)水面仍為立體拋物的旋轉(zhuǎn)等勢面.寧陜縣城隍廟的選址是物理學(xué)、地貌學(xué)、水利學(xué)、建筑學(xué)知識融會貫通而成的趨利避害的典范，對現(xiàn)代近水及河心建筑的選址具有重要參考價值，“金鴨浮舟”是近水建筑的杰作.

推而廣之，地球上江湖河海中旋轉(zhuǎn)水流由于受到地球引力場的作用，可采用旋轉(zhuǎn)等勢面的物理模型進(jìn)行分析.

4 結(jié)束語

基于牛頓水桶效應(yīng)推導(dǎo)了旋轉(zhuǎn)桶中自旋向上旋轉(zhuǎn)的等勢面.牛頓水桶實驗證實了我們的預(yù)測，并且在實際應(yīng)用中我們觀察到了奇異之處.一組比較實驗證實了牛頓水桶效應(yīng)的存在，并提出了在自旋向上旋轉(zhuǎn)等勢面下一系列物理測試實驗.實驗還顯示出有效的旋轉(zhuǎn)拋物線和旋轉(zhuǎn)上升等勢面的特性.利用該特性開發(fā)了一種測試旋轉(zhuǎn)圓筒中重力加速度、旋轉(zhuǎn)鼓的液面的拋物線焦距、旋轉(zhuǎn)圓筒測試液體粘度系數(shù)的實現(xiàn)方法，這種實現(xiàn)方式很容易解釋自旋向上旋轉(zhuǎn)等勢面下的“金鴨浮舟”.

我們的工作有以下局限性：我們僅定性和半定量地討論了“金鴨浮舟”，而沒有計算域間的確切相互作用，而且我們也無法確定有效控制洪流的自然工程.在將來的工作中，我們將可能會充分利用自然彎流來排放水和沉積物.擬議的旋轉(zhuǎn)等勢面提供了更多可能性，以可控的方式克服了與現(xiàn)代建筑靠近水和河流中心位置相關(guān)的大規(guī)模挑戰(zhàn).然而對于流量和沉積物傳輸、不同通道的幾何形狀以及各種流動條件的基準(zhǔn)測試等自旋向上旋轉(zhuǎn)等勢面仍然需要進(jìn)行嚴(yán)格而全面地驗證.這些將認(rèn)為是未來的研究領(lǐng)域.