陳揚， 袁宗義， 梁禹

(1.天津大學管理與經(jīng)濟學部， 天津 300072； 2.中交第四航務工程勘察設計院有限公司， 廣州 510290; 3.中山大學航空航天學院， 深圳 518107)

在巖土工程領域，土的變異性及其對巖土工程的影響已經(jīng)得到廣泛的認識[1-2]。天然巖土體由于受沉積、后沉積、化學風化、物理降解、水熱變化和搬運等長期地質(zhì)成因作用以及不同荷載歷史的影響，導致巖土工程中存在固有的巖土不確定性。傳統(tǒng)上對于巖土參數(shù)的不確定性建模的方法采用隨機變量模型，該模型是將土體參數(shù)視作單一隨機變量，從概率的角度描述參數(shù)的不確定性，但對于真實巖土體即使均質(zhì)土層中不同位置處的參數(shù)也會不同，隨機變量模型不能描述參數(shù)的空間變異性[4-7]。Cornell首次將土體參數(shù)視作隨機場，Vanmarcke在其基礎上進一步完善并發(fā)展了隨機場理論在巖土工程中的應用，隨后通過國內(nèi)外諸多學者的持續(xù)探索，隨機場理論被認為是表征土體參數(shù)空間變異性最有效的工具[4-7]。目前，隨機場理論在邊坡工程穩(wěn)定性分析和地基承載力問題中的應用相對成熟，針對基坑開挖施工問題，目前相關的文獻報道較少，易順等[8]采用隨機場描述基坑的土體剛度參數(shù)，研究了土體空間變異性對地表沉降和側向位移的影響。鄭俊杰等[9]采用隨機場理論描述被動加固區(qū)水泥土的空間變異性，并建立了數(shù)值模型進行分析，通過對比隨機性分析與確定性分析的結果發(fā)現(xiàn)水泥土的參數(shù)空間變異性對基坑變形的影響較為有限。上述關于隨機場理論在基坑工程中的應用缺乏考慮不同施工步驟的影響，此外，大部分研究是基于單一土層的簡單算例進行隨機場模擬的，對實際工程中復雜多層土的基坑隨機場理論的應用工程較少。

基坑的失穩(wěn)實質(zhì)上是土體及支護結構材料在外力、環(huán)境等因素的影響下發(fā)生破壞，材料發(fā)生破壞的本質(zhì)是在能量的驅(qū)動下發(fā)生的。謝和平等[10]基于大量的土力學試驗研究了巖土體破壞變形過程中能量的演化機制，構建了巖石的能量破壞準則。Tu等[11]基于能量守恒原理針對邊坡的失穩(wěn)判據(jù)開展了研究，提出了以彈性應變能突變、耗散能突變、重力勢能突變、動能突變均可作為邊坡失穩(wěn)的判據(jù)。盧峰等[12]、周子涵等[13]也都從能量角度研究了邊坡穩(wěn)定性分析的問題。上述研究的局限性在于沒有考慮巖土材料的空間變異性，針對于此，Huang等[14]在邊坡失穩(wěn)判據(jù)研究的過程中增加了空間變異性的研究，但該研究是僅考慮了單一土層的隨機場模型，且未研究施工步驟的影響。另一方面，上述從能量守恒角度的研究均是以邊坡穩(wěn)定性分析這一問題開展的，關于基坑開挖這一常見的巖土工程問題鮮有探索。

綜上所述，目前隨機場理論在基坑開挖問題的應用中，缺乏考慮復雜多層土體空間變異性及實際開挖施工步驟的影響，且基坑開挖過程中的能量演化過程有待探究。有鑒于此，現(xiàn)依托佛山市某綜合管廊基坑開挖工程開展，建立復雜多層土的隨機場模型考慮土體參數(shù)的空間變異性，基于FLAC建立基坑開挖的二維有限差分模型考慮施工過程中基坑的變形特征，在此基礎上研究隨機場基坑開挖過程中的能量演化特征。

1 土層隨機場及能量分布形式

1.1 土體參數(shù)隨機場

在巖土工程中，隨機場理論是一種用于表征巖土參數(shù)的空間變異性的數(shù)學模型。從概率學的角度出發(fā)，隨機場理論是隨機過程這一概念在空間上的推廣。在隨機場建模過程中，需要的參數(shù)主要包括隨機變量的均值、方差、自相關函數(shù)、波動范圍和隨機變量服從的分布類型。采用中心點法建立土體參數(shù)隨機場模型[14-15]，其步驟如下。

步驟1建立一個標準正態(tài)隨機樣本矩陣。采用拉丁超立方抽樣方法得出標準正態(tài)隨機樣本矩陣ξ，ξ={ξ1,ξ2,…,ξn}。其中n表示隨機場單元的數(shù)目。

步驟2求解相關系數(shù)矩陣的下三角矩陣。自相關系數(shù)矩陣C由隨機場不同單元之間的自相關系數(shù)組成。對矩陣C進行喬列斯基分解C=LLT，得出下三角矩陣L。

(1)

(2)

式中：τ1和τ2分別為隨機場中任意兩個單元的中心點在水平和豎直方向上的相對距離；ρ(τ1,τ2)為隨機場的二維自相關函數(shù)，選用指數(shù)型函數(shù)[16]；δx和δy分別為隨機場水平方向與豎直方向的波動范圍。

步驟3根據(jù)式(3)建立相關標準高斯分布隨機場HD(x,y)。

HD(x,y)=Lξ

(3)

式(3)中：(x,y)為隨機場空間點的位置坐標；L為自相關系數(shù)矩陣C分解得出的下三角矩陣。

步驟4建立相關非高斯分布隨機場。在實際工程中，土體參數(shù)一般服從非高斯分布，通過等概率變換方法，將相關標準高斯隨機場轉(zhuǎn)換為相關非高斯隨機場。對相關標準高斯隨機場取指數(shù)，得到對數(shù)正態(tài)隨機場Hi(x,y)。

(4)

式(4)中：μlni和σlni分別為相應正態(tài)變量lni的均值和標準差。轉(zhuǎn)換關系如式(5)所示。

(5)

式(5)中：μi和σi分別為對數(shù)正態(tài)變量i的均值和標準差。

1.2 土體能量分布

在考慮能量守恒進行巖土工程的相關研究中，Tu等[11]、Huang等[14]對于邊坡開展的穩(wěn)定性研究的基本假定為：邊坡在忽略外部環(huán)境溫度等影響的情況下，僅考慮土體自重作用。此時，邊坡體系的能量平衡方程簡化為

ΔUg=ΔUd+ΔUe+ΔUk

(6)

式(6)中：ΔUg、ΔUe、ΔUk、ΔUd分別為重力勢能減少量、彈性應變能增量、動能增量、耗散能(塑性應變能)增量。其中，單元體的重力勢能ug、彈性應變能ue、動能uk分別為

ug=ρgh

(7)

(8)

(9)

式中：σ1、σ2、σ3分別為單元體3個主應力方向的應力；ε1、ε2、ε3分別為單元體3個主應力方向的應變；ρ為土體單元密度；g為重力加速度，取9.8 m/s2；h為土體單元質(zhì)心點的高度；v為土體單元的速度。

不同于上述邊坡穩(wěn)定性分析問題，研究的對象為考慮施工過程的基坑開挖工程，基坑工程在施工荷載等外力作用下，其巖土體的內(nèi)部的能量也在發(fā)生變化，外力對基坑所做的功主要轉(zhuǎn)化為可釋放的彈性應變能及耗散能。隨開挖施工的進行，土體單元會產(chǎn)生位移及速度，因此也會產(chǎn)生一定的重力勢能及動能的變化。由于采用的模型分析為靜力分析，其產(chǎn)生的速度極小，因而產(chǎn)生的動能也很小，不具備實際物理意義。此外，研究模擬了施工開挖，開挖部分土體單元的能量將直接消失，這表明基坑開挖問題并非一個封閉的體系，因而不滿足式(6)中的能量守恒，研究目的也僅限于探索針對基坑開挖這一施工過程中能量的演化情況。由于采用FLAC軟件進行建模，其強大的fish語言提供了便捷的編程環(huán)境，對于各類能量的求解也將基于fish語言直接編程求解，需要指出，基坑的耗散能是由于發(fā)生塑性變形而消散的能量，巖土體的耗散能主要是塑性變形或損傷等形式[10]，因而采用塑性應變能代替前述的耗散能進行研究。

2 應用實例研究

結合前面的土層隨機場建模及能量分布，依托佛山市某綜合管廊基坑這一實際工程進行研究，采用FLAC軟件建立管廊基坑開挖的有限差分模型，基坑土體的隨機場模型將在MATLAB中進行建模，通過FLAC的fish語言實現(xiàn)參數(shù)隨機場的導入及基坑土體單元能量的求解。

2.1 管廊基坑有限差分模型建立

2.1.1 工程概況

依托佛山市某綜合管廊基坑項目開展，擬建場地沿線地上地下大部分地段未發(fā)現(xiàn)有地下管線設施經(jīng)過，僅在穿越或跨越的現(xiàn)狀道路及居民區(qū)地段發(fā)現(xiàn)有架空線路或地下管線設施經(jīng)過。擬建道路場地周邊路網(wǎng)密集，交通較好，施工條件一般。管廊基坑寬6.7～11.7 m，開挖深度為6.784～10.668 m。其場地土層從上而下依次為填土層、淤泥質(zhì)土層、粉細砂層、粉質(zhì)黏土層和強風化泥巖層。根據(jù)基坑的深度和場地地質(zhì)資料及周邊場地情況，管廊基坑支護主要采用鋼板樁和橫向鋼內(nèi)支撐結合的方式，開挖深度小于7 m時，采用15 m拉森IV新型鋼板樁+2道鋼支撐。鋼支撐直徑500 mm，壁厚為12 mm的鋼管，鋼支撐水平間距為4 m。

2.1.2 模型概況

根據(jù)上述工程資料，選取其中的典型斷面進行建模計算，由于工程的管廊基坑較長，基坑的橫斷面尺寸遠小于長度，因此可采用二維平面應變模型模擬基坑的開挖，從而簡化計算。圖1給出了管廊基坑支護結構斷面、計算簡圖及建立的有限差分模型，圖1(a)是典型斷面的支護結構圖，圖1(b)是根據(jù)實際基坑結構進行一定程度簡化得出的計算簡圖，圖1(c)給出了基坑的二維有限差分網(wǎng)格模型，模型尺寸為35 m×20 m，開挖區(qū)域7 m×7 m，并標記出地面測點(S1～S6，間距2 m)和土體深部測點(D1～D6，間隔為3 m)。有限差分網(wǎng)格采用均勻網(wǎng)格進行劃分，網(wǎng)格單元尺寸為0.5 m×0.5 m，本基坑模型共有2 800個土體單元。其中開挖區(qū)域有196個單元。圖1(d)表示管廊基坑的開挖步序，本模型采用4個施工步(①～④)進行模擬。

步驟1進行鋼板樁施工，開挖至第一層支護標高下面0.5 m處，進行第一道鋼支撐施工。

步驟2開挖至第二層支護標高下面0.5 m處，進行第二道鋼支撐施工。

步驟3開挖至坑底，并進行底部混凝土板施工。

步驟4拆除兩道橫支撐。其中，鋼板樁采用Liner單元模擬，鋼支撐采用Beam單元模擬。

圖1 管廊基坑支護結構斷面、計算簡圖、有限差分模型及施工步序Fig.1 Support structure, schematic diagram, finite difference model and construction steps of tunnel foundation pit

不同于傳統(tǒng)的基坑開挖施工有限差分模型，建立的模型需要考慮兩個新的要素。

(1)巖土參數(shù)隨機場的輸入?；谑?1)～式(5)在MATLAB軟件中建模獲取參數(shù)隨機場的n次實現(xiàn)結果，并存成n個txt文本，然后通過FLAC軟件的fish語言編制參數(shù)讀取函數(shù)，將每個隨機場的txt文本的參數(shù)值分配到對應的單元中進行計算。

(2)基坑土體能量的輸出?；谑?6)～式(9)進行基坑土體單元的能量求解，即記錄所有土體單元的速度、位移、應力以及應變，然后進行計算。對于彈性應變能和塑性應變能，F(xiàn)LAC軟件可以通過set mechanical energy on命令來直接記錄計算過程中每個單元的這兩種能量?；谏鲜霾襟E可以建立考慮能量演化特征的隨機場-有限差分耦合計算模型。

模型中土體采用的本構模型為摩爾庫倫模型，鑒于實際的土層過多且部分土層性質(zhì)類似，因此對土層進行適當?shù)暮喜⒑喕Ω鱾€土層的參數(shù)進行合理的修正，其土體參數(shù)如表1所示。表1中的彈性模量在FLAC軟件中需要轉(zhuǎn)化為體積模量和剪切模量分別進行輸入。

表1 基坑土體物理力學參數(shù)Table 1 Physical and mechanical parameters of foundation pit soil

2.2 管廊基坑隨機場的實現(xiàn)及驗證

2.2.1 多層土體隨機場模型的實現(xiàn)

在諸多土體參數(shù)中，彈性模量空間變異性對于土體變形的影響相對較大。因此，將選取彈性模量進行隨機場建模，其模擬過程在2.1節(jié)中已經(jīng)給出，由于本模型含有3個土層，需要針對每個土層分別建立隨機場模型，其模擬需要的參數(shù)如表2所示。

采用MATLAB進行隨機場模擬，并隨機抽取某次隨機場的實現(xiàn)進行繪圖如圖2所示，不同顏色表征了不同位置處的彈性模量數(shù)值不同，可以借助右側的色度條進行彈性模量數(shù)值的觀察?？梢钥闯?，各個土層彈性模量的分布呈現(xiàn)明顯的成層的特征，這是由于水平相關距離的長度遠大于豎直相關距離所致。此外，采用的隨機場網(wǎng)格尺寸與圖1中有限差分模型的網(wǎng)址尺寸一致，均值0.5 m×0.5 m，這便于將隨機場參數(shù)導入有限差分模型中進行數(shù)值計算。

表2 基坑土體彈性模量隨機場統(tǒng)計參數(shù)Table 2 Random field parameters for the elastic modulus

圖2 管廊基坑多層土體彈性模量隨機場的典型實現(xiàn)Fig.2 Typical realization of elastic modulus random field of multilayer soil in pipe tunnel foundation pit

2.2.2 隨機場模型驗證

為驗證上述建立的隨機場模型的準確性，通過選取土層某一位置處隨機場參數(shù)進行統(tǒng)計分析，隨機場抽樣次數(shù)為1 000次。從表2中看出，粉質(zhì)黏土層和泥巖層所取的變異系數(shù)較大，因此選定這兩層土的隨機場進行驗證，將這兩層土彈性模量隨機場的均值、變異系數(shù)隨抽樣次數(shù)的變化曲線繪制在圖3中。隨模擬次數(shù)的增加，粉質(zhì)黏土及泥巖模量的均值及變異系數(shù)逐漸穩(wěn)定，收斂于表2中隨機場參數(shù)的給定值，這驗證了所建立的隨機場模型的準確性。

圖3 粉質(zhì)黏土層及泥巖層彈性模量隨機場的驗證Fig.3 Verification of Young’s modulus random field of silty clay and mudstone

2.3 考慮空間變異性的基坑施工變形分析

在管廊基坑的有限差分模型及隨機場模型構建完成的基礎上，將彈性模量隨機場分配至對應的網(wǎng)格單元進行隨機場-有限差分數(shù)值模擬計算，研究考慮彈性模量的空間變異性對于基坑施工過程中變形的影響。此前，需要建立傳統(tǒng)的均質(zhì)模型進行計算，用以與隨機場模型的結果進行對比。圖4給出了基于均值模型計算得出的開挖完成后基坑總位移云圖及位移矢量圖，可以看出，基坑的變形主要表現(xiàn)為隆起變形，最大值出現(xiàn)在基坑底部?；觾蓚染兄赶蚺R空面的水平變形，總位移的最大值約為20 mm。

圖4 開挖完成后基坑總位移云圖及位移矢量圖Fig.4 Total displacement nephogram and displacement vector diagram of foundation pit after excavation

將基于隨機場理論生成的1 000次土體彈性模量分別導入有限差分模型中進行計算，記錄圖1中標記的地表變形測點(S1～S6)及深部變形測點(D1～D6)的不同施工步下的位移數(shù)據(jù)，繪制成圖如圖5和圖6所示。圖5給出了地表測點的不同施工步下地表測點總位移?？梢钥闯觯涸谇懊?個施工步中，地表變形總體較小，總位移均在5 mm以內(nèi)，說明采用的支護方式對地表變形起到了較好的控制作用。第四個施工步引起的地表變形明顯增大，這表明兩層鋼支撐的拆除對基坑地表變形的影響較大。施工步2與3最大變形的測點出現(xiàn)在S5點，施工步1和4則出現(xiàn)在S6點，分析其原因，這是由于施工步2和3均為較大范圍的開挖，引起兩側土體內(nèi)部的應力重分布從而產(chǎn)生變形，但由于第一道鋼支撐及鋼板樁的存在限制了S6點的變形。

圖5 不同施工步下地表測點總位移Fig.5 The total displacement of surface measuring points under different construction steps

圖6給出了不同施工步下深部測點的水平位移變化規(guī)律，可以看出，深部測點的水平變形大部分為正(指向臨空面方向)，僅在較深的測點(D5、D6)處存在負值。隨基坑開挖施工的進行，深部水平位移的最大值依次出現(xiàn)在D2、D3、D4測點，這表明隨基坑開挖深度的增大，對土體變形的影響范圍越來越廣?；娱_挖過程中，D6點的水平變形始終處于較小的范圍(1 mm以內(nèi))，這對應的是鋼板樁底部的位置，結果表明采用15 m的鋼板樁能夠?qū)悠鸬接行еёo作用。對于施工步3和4可以發(fā)現(xiàn)，兩者的水平位移差別較小，說明兩道鋼支撐的拆除對深部測點的水平變形影響很小，也驗證了所采用的支護方式能滿足基坑穩(wěn)定性的需求。

圖6 不同施工步下深部測點水平位移Fig.6 Horizontal displacement of deep measuring points under different construction steps

為進一步驗證所建立模型的準確性，將實際施工過程中各個施工步對應的位移實測值(圖6中紅色方塊)與數(shù)值計算的結果進行對比，測點D3是實際工程與模型設置相重合的測點。對比D3測點的3種水平位移值可以發(fā)現(xiàn)，相對于實測值，傳統(tǒng)的均質(zhì)模型計算得出的位移偏小，但基本在同一量級且變化規(guī)律類似，這驗證了基坑有限差分計算模型的準確性。此外，各個施工部的實測值基本能夠在隨機場模型的覆蓋中，這也從實際工程中證明了隨機場模型的優(yōu)越性，避免了由于傳統(tǒng)均質(zhì)模型計算結果偏小而導致不安全的支護結構設計。隨機場模型由于能夠真實刻畫土體參數(shù)的空間變異性，從而使得最不利的工況能夠得以呈現(xiàn)，保證工程的設計及施工安全。

基于隨機場模型的基坑施工有限差分模擬系統(tǒng)研究了基坑地表和深部的變形特征，與均質(zhì)模型結果進行對比，其變化趨勢基本一致，即多次隨機分析的結果將均質(zhì)模型結果包絡在其中，可以將均質(zhì)模型視作某次特殊的隨機場模型的實現(xiàn)。從圖5和圖6中可以看出，不同測點處的灰色帶寬差別較大，這意味著不同測點處的變形分布范圍差別較大，變異性較大的區(qū)域需要重點關注。隨機場模型充分考慮了土體參數(shù)的空間變異性，以變形特征為例，基于隨機場模型得出的某個測點的變形并非確定的值，而是一組隨機變量，可以理解為該測點可能發(fā)生變形的取值范圍，還可以基于某點的變形量的隨機分布結合規(guī)范的限值獲取基坑的失效概率，這為基坑的設計施工提供了更有價值的考量。上述考慮空間變異性的基坑開挖模擬得出地表最大變形值為14.13 mm，深部最大水平位移為12.45 mm，均小于《建筑基坑監(jiān)測技術規(guī)范》(GB 50497—2009)中的變形限值，這表明現(xiàn)有的支護方案能夠滿足基坑開挖的安全性要求。

2.4 考慮空間變異性的基坑施工能量演化研究

圖7 不同施工步下塑性應變能概率密度分布Fig.7 The probability density distribution of plastic strain energy under different construction steps

在進行基坑開挖的隨機場-有限差分模型計算的過程中，通過提取每個單元的彈性應變能與塑性應變能進行統(tǒng)計分析，研究基坑開挖過程中的能量演化特征。圖7給出了不同施工步下，考慮空間變異性的基坑總塑性應變能的概率密度分布，可以看出，塑性應變能的分布均滿足對數(shù)正態(tài)分布，這也模量隨機場所采用的分布相一致。隨基坑的開挖，塑性應變能逐漸增大，這說明開挖引起基坑內(nèi)部更多的土體單元發(fā)生了塑性變形，引起能量的耗散。對于圖7(b)中施工步3和4的概率密度分布發(fā)現(xiàn)，兩道鋼支撐的拆除幾乎沒有引起塑性應變能的變化，這表明基坑開挖完成后，基坑內(nèi)部呈現(xiàn)較好的能量分布情況，即基坑的狀態(tài)較為穩(wěn)定。

圖8給出了不同施工步下基坑彈性應變能的變化曲線，隨施工的進行，基坑的總彈性應變能呈現(xiàn)逐漸降低的趨勢，與圖7類似，施工步3和4對應的彈性應變能基本一致，再次驗證了鋼支撐的拆除對基坑的穩(wěn)定性無影響。根據(jù)能量守恒準則，外力對巖土工程系統(tǒng)做的功主要轉(zhuǎn)化為可釋放的彈性應變能、塑性應變能、動能、重力勢能等，在系統(tǒng)內(nèi)部，彈性應變能又可以轉(zhuǎn)化為塑性應變能。結合本模型的實際情況研究，彈性應變能隨開挖進行逐漸減少，這其中一部分應該轉(zhuǎn)化成了塑性應變能耗散，另外由于本模型考慮了開挖過程，因此在能量計算時，開挖部分的單元不存在能量，這也造成了彈性應變能的大幅減少。

圖8 不同施工步下彈性應變能變化曲線Fig.8 Variation curve of elastic strain energy under different construction steps

3 結論

依托佛山市某綜合管廊基坑項目，基于隨機場理論表征基坑土體參數(shù)的空間變異性，建立了復雜多層土的隨機場模型，采用FLAC軟件建立了基坑開挖的有限差分模型，研究考慮空間變異性的基坑施工過程中變形特征及能量的演化規(guī)律，主要結論如下。

(1)構建了復雜多層土的隨機場-有限差分耦合計算基坑開挖的數(shù)值模型，該模型考慮了不同土層彈性模量的空間變異性，實現(xiàn)了隨機場基坑開挖的模擬，為本研究依托的管廊基坑項目提供了一套更為科學的數(shù)值計算方法。

(2)考慮空間變異性的基坑施工變形分析表明，基于均質(zhì)模型與隨機場模型的測點變形趨勢一致，基于地表測點變形和深部測點變形的計算結果來看，現(xiàn)有的基坑支護措施能夠有效保障基坑開挖施工的安全。通過深部測點實測值的對比驗證了模型的準確性，隨機場模型能更準確地反映實際工程的力學響應。實際的不同測點處變形量的變異性不同，在施工過程中需要重點關注變異性較大的區(qū)域。

(3)考慮空間變異性的基坑施工能量演化研究表明，基坑施工完成后，兩道鋼支撐的拆除對基坑內(nèi)部的能量分布幾乎無影響，開挖完成后基坑處于穩(wěn)定狀態(tài)。基坑開挖過程中彈性應變能減少，主要轉(zhuǎn)化為塑性應變能以及由于開挖而消失單元中所存儲的能量。