曹 利，彭 驥，殷 鳴，殷國富

(四川大學(xué)機械工程學(xué)院，成都 610065)

0 引言

由于內(nèi)部熱源和外部環(huán)境影響，機床會產(chǎn)生熱變形，進而產(chǎn)生熱誤差。機床熱誤差占機床總誤差的40%～70%，其中主軸熱誤差占機床熱誤差的50%～80%，因此大量文獻針對機床主軸熱誤差進行研究[1-3]。

熱誤差預(yù)防和熱誤差補償是減少熱誤差影響的兩種主要方法[4-6]，相比于熱誤差預(yù)防，熱誤差補償[7]是一種更為便捷，經(jīng)濟合理的方法，其關(guān)鍵在于建立高精度的熱誤差預(yù)測模型。LIU等[8]通過分析高速主軸系統(tǒng)的熱-結(jié)構(gòu)相互作用機理，提出了閉環(huán)迭代建模方法，用ANSYS分析軟件進行仿真驗證，結(jié)果表明仿真結(jié)果與實際測量值具有較高吻合度。萬正海等[9]運用數(shù)據(jù)處理群集方法建立主軸軸向熱誤差預(yù)測模型，取得了較高的模型預(yù)測精度。TAN等[10]基于最小二乘支持向量機建立主軸系統(tǒng)的熱誤差模型，精確預(yù)測了主軸在不同轉(zhuǎn)速下的軸向熱變形量。杜柳青等[11]針對高速數(shù)控機床的熱特性，提出了一種基于優(yōu)化模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)熱誤差建模及預(yù)測方法，主軸Z向熱誤差預(yù)測精度得到了顯著提高。

雖然上述文獻建立的熱誤差模型都具有較高的預(yù)測精度，但基本都是基于單一工況,模型泛化能力有限。然而機床在實際加工過程中會受到多因素的干擾，比如冷卻液對機床主軸的熱態(tài)特性會產(chǎn)生顯著的影響[12]，因此熱誤差模型在復(fù)雜工況下的預(yù)測精度更能體現(xiàn)出模型的魯棒性和泛化能力。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[13-14]具有較強的非線性映射能力，能夠很好地建立溫升和熱誤差之間的映射關(guān)系。然而BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值是超參數(shù)，每次隨機變化，容易使模型陷入局部最優(yōu)。思維進化算法(mind evolutionary algorithm,MEA)[15]具有較強的全局尋優(yōu)能力和較快的收斂速度，利用MEA算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值，能夠很好地避免模型陷入局部最優(yōu)。

本文以一臺五軸臥式加工中心的主軸為研究對象，設(shè)計了多工況下的熱誤差實驗。采用FCM-TESA(fuzzy C-means,thermal error sensitivity analysis)算法選取溫度關(guān)鍵點，利用MEA-BP優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立MEA-BP熱誤差模型。并與基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、GA-BP網(wǎng)絡(luò)建立的熱誤差模型進行對比分析，驗證了模型在多工況下的魯棒性。

1 MEA-BP優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

思維進化算法(mind evolutionary algorithm,MEA)是進化算法的一類，但卻解決了傳統(tǒng)進化算法普遍存在的早熟、收斂速度慢等問題，相比于遺傳算法(genetic algorithm,GA)，MEA算法，在結(jié)構(gòu)上具有一定的獨立性，避免了進化過程中基因之間的相互干擾，而且可以記憶多代進化信息，具有更強的全局尋優(yōu)能力和更快的訓(xùn)練速度。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種采用梯度下降法運算的多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具有較強的非線性映射能力。但BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)值和閾值非常敏感，而連接權(quán)值和閾值在網(wǎng)絡(luò)初始化時又是隨機確定的，導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)很容易陷入局部最優(yōu)。

結(jié)合兩種算法的優(yōu)點，利用MEA較強的全局尋優(yōu)能力，提前選擇出優(yōu)良的網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)值和閾值，結(jié)合BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)較強的非線性擬合能力，建立熱誤差預(yù)測模型。

如圖1所示，在解空間環(huán)境內(nèi)，將每組實驗數(shù)據(jù)作為獨立的個體，以個體對環(huán)境的適應(yīng)能力為標(biāo)準(zhǔn)，對個體進行打分。根據(jù)得分搜索出若干個優(yōu)勝個體和臨時個體，分別以這些個體為中心，組合成優(yōu)勝子群體和臨時子群體。各子群體內(nèi)部執(zhí)行趨同操作，待子群體成熟，將各子群體得分在全局公告板上公示，若臨時子群體得分高于優(yōu)勝子群體，子群體執(zhí)行異化操作，重新組成優(yōu)勝子群體和臨時子群體。MEA-BP優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具體流程如圖2所示，如此不斷在解空間環(huán)境內(nèi)進行迭代趨同，異化操作，最終解碼最優(yōu)個體，產(chǎn)生網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值。

圖1 MEA算法結(jié)構(gòu)圖

圖2 MEA-BP優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)流程圖

利用網(wǎng)絡(luò)開始對訓(xùn)練集樣本進行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，計算網(wǎng)絡(luò)權(quán)值W：

(1)

式中，Wij為輸入層與隱含層之間的連接權(quán)值；η為學(xué)習(xí)率；xi為輸入變量；Hj為隱含層輸出值；ek為預(yù)測誤差。

Wjk=Wjk+ηHjek

(2)

式中，Wjk為隱含層與輸出層之間的連接權(quán)值。

計算網(wǎng)絡(luò)閾值A(chǔ)、B：

(3)

式中，A為隱含層閾值。

Bk=Bk+ek

(4)

式中，B為輸出層閾值。

通過反向迭代，不斷更新網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和閾值，當(dāng)輸出模型滿足最小誤差要求或者達到最大迭代次數(shù)，輸出熱誤差預(yù)測模型。

2 機床主軸系統(tǒng)熱誤差實驗

2.1 實驗設(shè)計

本文以一臺五軸臥式加工中心為研究對象，以主軸主要變形方向軸線方向為例，探究溫升與主軸熱誤差之間的演化規(guī)律，如圖3所示。

圖3 實驗現(xiàn)場圖

將非接觸式激光位移傳感器通過夾具固定在機床轉(zhuǎn)臺上，測量主軸軸線方向的熱變形量。采用PT100磁吸式溫度傳感器測量機床主軸系統(tǒng)的溫度場信息。為了確保實驗數(shù)據(jù)全面可靠，在主軸系統(tǒng)外表面布置了21個溫度傳感器，其中每一個軸截面布置3個溫度傳感器，相鄰截面間隔40 mm，使用1個溫度傳感器采集主軸系統(tǒng)附近的環(huán)境溫度。

為了充分反映主軸系統(tǒng)在不同工況下的熱變形情況，一共進行5組熱誤差實驗，如表1所示。

表1 不同工況實驗設(shè)計

在實驗過程中，溫度傳感器每分鐘采集一次全部測點的溫度值，非接觸式激光位移傳感器采樣頻率為5 kHz，每分鐘采集一次溫度值和熱位移變化量，作為一組樣本，每組實驗工作4 h，采集240組樣本。

2.2 實驗數(shù)據(jù)

各工況下主軸的軸向熱誤差變化情況如圖4所示。

圖4 各實驗工況下 的軸向熱誤差

主軸在機床初始運行階段沿軸向逐漸伸長，3 h之后，軸向伸長趨勢減緩直至達到熱平衡狀態(tài)，主軸不再伸長，主軸熱誤差的變化情況與主軸溫度變化情況趨于一致。實驗L4與L5是在關(guān)閉冷卻系統(tǒng)下進行的，主軸熱誤差變化情況與前面所述有明顯的差異，3 h之后主軸系統(tǒng)并未達到熱平衡狀態(tài)，仍持續(xù)伸長，待實驗停止時，仍有繼續(xù)伸長的趨勢。實驗L1與L5、實驗L2與L4分別具有相同的轉(zhuǎn)速，但前者的熱誤差要明顯小于后者。因此，機床在運行過程中，冷卻系統(tǒng)對于主軸熱變形具有重要的影響。

3 熱誤差補償結(jié)果

3.1 FCM-TESA溫度關(guān)鍵點篩選結(jié)果

首先采用FCM聚類算法，將溫度變量T={T1,T2,…,T22}作為聚類對象，每個溫度變量具有240組樣本值，進行聚類分組。設(shè)定模糊指數(shù)m為3，最小閾值ε為10-6，最大迭代次數(shù)C為200，聚類中心j為3。通過反復(fù)迭代，不斷更新聚類中心b和各聚類對象隸屬度u，直到滿足式(5)條件，目標(biāo)函數(shù)小于最小閾值或者達到最大迭代次數(shù)，迭代結(jié)束，輸出聚類結(jié)果。

(5)

以實驗L1為例，其輸出結(jié)果如表2所示。

表2 實驗L1工況下聚類結(jié)果

從表2中可以看出，所有溫度測點被分為3個類別。采用熱誤差靈敏度分析(TESA)計算每個溫度測點的熱誤差靈敏度，將3個類別中的溫度測點進行無排序的組合，分別計算每種組合的熱誤差靈敏度差異值，差異值最大的組合表明測點間的線性相關(guān)性最小，即可作為最優(yōu)候選溫度關(guān)鍵點，各工況下的溫度關(guān)鍵點篩選結(jié)果如表3所示。

表3 不同工況溫度關(guān)鍵點選擇結(jié)果

可以看出，溫度關(guān)鍵點選擇結(jié)果并不完全相同，這主要是因為在不同工況下，主軸系統(tǒng)熱邊界條件不一樣。但是有差異的溫度關(guān)鍵點之間又具有極大的相似性，因為它們在聚類分析中均屬于同一類別，如表2所示，T8和T11均屬于第3類別，T19和T21均屬于第1類別。T環(huán)境為環(huán)境溫度測點，所有實驗均選擇了該測點，說明在變溫車間環(huán)境溫度的變化對主軸熱變形具有重要的影響。T8和T21分別位于主軸前軸承和主軸中部的位置，是理論上主軸熱量較集中的區(qū)域，也是選擇較多的溫度測點。因此，最終選擇T8、T21、T環(huán)境作為溫度關(guān)鍵點。

3.2 MEA-BP熱誤差模型建立

本文選取實驗L4工況下的240組測量數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，建立MEA-BP熱誤差預(yù)測模型。設(shè)置網(wǎng)絡(luò)種群大小為180；優(yōu)勝子種群和臨時子種群均為5個；輸入層和輸出層個數(shù)分別為3和1，對應(yīng)于3個溫度關(guān)鍵點和軸線方向熱誤差；隱含層神經(jīng)元個數(shù)為5；學(xué)習(xí)率為0.1。如圖1所示，通過初始種群產(chǎn)生函數(shù)、子種群產(chǎn)生函數(shù)、種群成熟判別函數(shù)確定產(chǎn)生初始種群、優(yōu)勝子種群和臨時子種群。各子種群進行趨同操作，待子種群成熟，異化操作比優(yōu)勝子種群得分更高的臨時子種群，替代優(yōu)勝子群體。

如圖5所示，當(dāng)所有優(yōu)勝子群體的得分均高于臨時子群體，迭代結(jié)束，解碼最優(yōu)個體，并賦值給網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)值和閾值，網(wǎng)絡(luò)將訓(xùn)練樣本再細分為訓(xùn)練集和測試集分別進行模型訓(xùn)練和仿真測試，最終輸出誤差預(yù)測模型：

(6)

式中，Wij為輸入層與隱含層之間的連接權(quán)值；Wjk為隱含層與輸出層之間的連接權(quán)值；xi為輸入變量；A為隱含層閾值；B為輸出層閾值。

(a) 臨時子群體趨同過程 (b) 優(yōu)勝子群體趨同過程

3.3 模型單工況預(yù)測性能分析

為了驗證模型的預(yù)測性能，利用同樣的訓(xùn)練樣本建立BP和GA-BP熱誤差模型，3種模型對實驗L5工況下的主軸熱誤差預(yù)測情況如圖6所示。

圖6 實驗L5工況下的熱誤差預(yù)測

實驗L4和L5冷卻條件相同，但主軸轉(zhuǎn)速不同，從圖8中可以看出，在單一工況下，3種模型的預(yù)測曲線都具有較高預(yù)測性能，2.5 h之后，BP熱誤差模型的預(yù)測精度甚至要優(yōu)于另外兩種模型。

3.4 模型多工況泛化性能對比分析

在實際加工過程中，加工條件是時變的，為了驗證3種模型的泛化性能，對其他工況實驗也分別進行主軸熱誤差預(yù)測，以實驗L3為例，主軸熱誤差預(yù)測曲線和預(yù)測殘差曲線分別如圖7、圖8所示。

圖7 實驗L3工況下的熱誤差預(yù)測圖8 實驗L3工況下的預(yù)測殘差

實驗L3和L4的環(huán)境溫度，主軸轉(zhuǎn)速和冷卻條件均不相同，屬于多工況下的熱誤差預(yù)測，從圖7可以看出，MEA-BP熱誤差模型的泛化能力明顯要優(yōu)于其他兩種模型，并且隨著機床的運行，預(yù)測精度越來越高。如圖8所示，BP熱誤差模型的預(yù)測殘差范圍為-2.37～4.46 μm，GA-BP熱誤差模型的為-2.42～4.10 μm，MEA-BP熱誤差模型為-2.35～0.84 μm，相比于其他2種模型，最大殘差分別減少了47.31%和42.68%。

為了更精確衡量模型的預(yù)測性能，利用式(7)計算各實驗工況下的均方根誤差RMSE。

(7)

式中，Ui為熱誤差預(yù)測值；ui為熱誤差真實值；n為實驗樣本數(shù)。計算結(jié)果如圖9所示。

圖9 各實驗工況下的均方根誤差

表4 3種模型的平均預(yù)測效果

可以看出，在綜合考慮了主軸轉(zhuǎn)速、機床冷卻條件兩種工況下，MEA-BP熱誤差模型的預(yù)測精度相比于BP熱誤差模型預(yù)測精度提高了63.16% ，GA-BP熱誤差模型預(yù)測精度提高了54.34%。由上述分析可知，本文建立的熱誤差模型適用于機床在多工況下的熱誤差補償，具有較高的預(yù)測精度和良好的泛化性能。

4 結(jié)論

本文通過實驗研究了機床主軸在不同工況下的溫升與軸向熱誤差演化規(guī)律，得出以下結(jié)論：

(1)發(fā)現(xiàn)了即使主軸轉(zhuǎn)速相同，在不同冷卻條件下，主軸熱誤差差異很大。為了建立多工況下的熱誤差模型，提出了FCM-TSEA溫度關(guān)鍵點篩選方法，有效避免了機床運行工況的改變對溫度關(guān)鍵點選取的影響。通過思維進化算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，建立了具有高泛化性能的MEA-BP熱誤差模型。

(2)為了驗證模型的預(yù)測精度和泛化性能，與BP熱誤差模型、GA-BP熱誤差模型進行對比分析，結(jié)果表明MEA-BP熱誤差模型的預(yù)測精度和泛化性能均優(yōu)于另外兩種模型。

針對多工況下熱誤差演化規(guī)律研究與建模為實際條件下機床主軸熱誤差補償提供了一種有效的參考，熱誤差模型在多工況下的魯棒性檢驗將是后續(xù)研究中需要重點考慮的問題。