趙康鑫，于 昊，郎赤誠(chéng)，陶冠奇，康秀英，彭宇帆，王引書,,d

(北京師范大學(xué) a.未來(lái)教育學(xué)院，廣東 珠海 519087；b.實(shí)驗(yàn)與實(shí)踐創(chuàng)新教育中心，廣東 珠海 519087；c.物理學(xué)系，北京 100875;d.文理學(xué)院，廣東 珠海 519087)

任何具有空間周期性的衍射屏都可以稱為衍射光柵，光柵是極為重要的分光元件[1]，廣泛用于單色儀、攝譜儀、光譜儀、光纖通訊、光計(jì)算機(jī)技術(shù)、光信息處理系統(tǒng)等領(lǐng)域[2]. 全息光柵的制作原理是相干光干涉條紋在全息干板上的記錄，制備方法有菲涅耳雙棱鏡法、阿貝成像原理法、楊氏雙縫干涉法、菲涅耳雙面鏡法、邁克耳孫干涉法、馬赫-曾德?tīng)柛缮娣ǖ萚3-6]. 全息光柵的制作與表征涉及光的干涉、衍射原理，通過(guò)全息光柵的制作與表征，可以將全息技術(shù)、夫瑯禾費(fèi)衍射原理與技術(shù)、光譜儀及分光計(jì)的應(yīng)用等實(shí)驗(yàn)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，學(xué)生可以學(xué)習(xí)如何應(yīng)用相關(guān)知識(shí)，從不同角度，用不同分析技術(shù)綜合研究特定問(wèn)題，建立嚴(yán)謹(jǐn)對(duì)待實(shí)驗(yàn)結(jié)果的科學(xué)態(tài)度；同時(shí)以光柵技術(shù)為切入點(diǎn)，可以了解與之相關(guān)的光刻等高端技術(shù). 因此，全息光柵的制作與其參量測(cè)量在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中占據(jù)重要地位，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生自主探索、綜合應(yīng)用相關(guān)知識(shí)等有一定意義.

本文利用不同光路的激光全息方法制作了多組光柵常量各不相同的一維、二維全息光柵，用不同的方法測(cè)量了所制作光柵的光柵常量和衍射強(qiáng)度分布，結(jié)合Matlab軟件模擬分析了影響正弦型光柵衍射強(qiáng)度分布的因素，給出了制備全息光柵參量可控的實(shí)驗(yàn)條件，探索了將多個(gè)光學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生從不同角度研究同一物理問(wèn)題的思維方法，提高學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

1 實(shí)驗(yàn)儀器與方法

在光學(xué)平臺(tái)上完成全息光柵的制作，采用655 nm的半導(dǎo)體激光器作為光源，分別采用了如圖1所示的三角形光路和馬赫-曾德?tīng)柛缮婀饴穪?lái)制作一維全息光柵，二維全息光柵的制作是在一維光柵的基礎(chǔ)上，通過(guò)將全息干板旋轉(zhuǎn)90°進(jìn)行二次曝光制作完成. 制作光柵的條件如表1所示. 實(shí)驗(yàn)首先用光纖光譜儀測(cè)量激光器的光譜來(lái)校準(zhǔn)激光的波長(zhǎng)；然后用光學(xué)顯微鏡觀察光柵的結(jié)構(gòu)，并用分光計(jì)準(zhǔn)確測(cè)量光柵的衍射角；最后用夫瑯禾費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)儀測(cè)量光柵衍射的強(qiáng)度分布，計(jì)算光柵常量并進(jìn)行對(duì)比分析. 采用Matlab軟件模擬正弦型光柵的衍射強(qiáng)度分布，綜合分析全息光柵的衍射特性.

(a)三角形光路 (b)馬赫-曾德?tīng)柛缮婀饴穲D1 實(shí)驗(yàn)光路

表1 光柵制作的設(shè)計(jì)參量及測(cè)量的光柵常量

2 實(shí)驗(yàn)原理

2.1 全息光柵制作原理

圖1中的三角形光路和馬赫-曾德?tīng)柛缮婀饴返墓ぷ髟硐嗤? 下面以三角形光路圖為例來(lái)說(shuō)明工作原理. 圖1(a)中激光經(jīng)過(guò)擴(kuò)束鏡與準(zhǔn)直鏡后，得到1束平行光，平行光經(jīng)分束鏡分束后，得到2束相干光，經(jīng)反射鏡反射后，2束相干光在感光板處發(fā)生干涉.

圖2所示為三角形光路圖中經(jīng)過(guò)反射鏡后的光路簡(jiǎn)化圖. 圖中M1和M2反射出的2束相干光的波矢為k1和k2，兩波矢與接收面法線(z方向)的夾角分別為θ1和θ2.2束相干光之間的夾角為φ=θ1+θ2，入射光波長(zhǎng)為λ，則光柵常量為[4]

圖2 三角形干涉光路簡(jiǎn)化圖

(1)

當(dāng)θ1=θ2=θ時(shí)，

2dsinθ=λ,

(2)

式(2)即為制作全息光柵時(shí)的光柵方程.實(shí)驗(yàn)上通過(guò)測(cè)量圖2中光柵制作時(shí)的干涉角可以得到設(shè)計(jì)光柵的光柵常量.

2.2 全息光柵的衍射原理

激光照射平面衍射光柵時(shí)，會(huì)發(fā)生夫瑯禾費(fèi)衍射.如圖3所示，在光屏P1和P2處分別出現(xiàn)±1級(jí)的衍射光斑，更高級(jí)次的衍射光斑距離光屏中心更遠(yuǎn).

圖3 光柵衍射示意圖

平面衍射光柵方程為[1]

dsinθj=jλ,j=0,±1,±2,…

(3)

其中，θj為衍射角，d為光柵常量，l±1為±1級(jí)亮條紋至0級(jí)光斑的距離.根據(jù)衍射光路的幾何關(guān)系，即可在實(shí)驗(yàn)上測(cè)量光柵常量d.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 全息光柵的結(jié)構(gòu)

(a)一維(100×) (b)二維(100×)圖4 顯微鏡觀察光柵表面圖像

3.2 衍射光斑的幾何關(guān)系及光柵常量測(cè)量

圖5為光柵A的一維、二維全息光柵衍射圖. 實(shí)驗(yàn)中只觀察到0級(jí)、±1級(jí)衍射斑點(diǎn). 夫瑯禾費(fèi)衍射圖頻譜的亮點(diǎn)數(shù)量反映了光柵的類型. 如果夫瑯禾費(fèi)衍射圖的頻譜只有0級(jí)和±1級(jí)，則表明此光柵是正弦型光柵；如果其頻譜出現(xiàn)2級(jí)、3級(jí)…亮點(diǎn)，則表明此光柵是非正弦型光柵；當(dāng)亮點(diǎn)很多時(shí)，表明該光柵接近矩形光柵[7-8]. 本文采用激光全息法制得的全息光柵頻譜只有0級(jí)和±1級(jí)，表明所制備的光柵是標(biāo)準(zhǔn)的正弦型透射光柵. 可以使用光柵方程式(3)計(jì)算其光柵常量. 為保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精確，用光纖光譜儀測(cè)量了實(shí)驗(yàn)中所使用的半導(dǎo)體激光器的光譜，如圖6所示，中心波長(zhǎng)為λ=655.77 nm.

(a)一維 (b)二維圖5 光柵A的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣

圖6 激光器的光譜圖

顯然，三角形干涉光路的誤差大于馬赫-曾德?tīng)柛缮婀饴? 但是三角形干涉光路搭建簡(jiǎn)便，干涉現(xiàn)象直觀，更有利于學(xué)生理解實(shí)驗(yàn)原理，且制得的光柵正弦性好，因此在課時(shí)少的實(shí)驗(yàn)中推薦使用三角形光路干涉法.

3.3 用分光計(jì)測(cè)量全息光柵的衍射角和光柵常量

用衍射光路幾何關(guān)系測(cè)量光柵常量，一般存在較大誤差. 采用分光計(jì)能夠精確測(cè)量出衍射角θj以計(jì)算光柵常量. 表2為分光計(jì)測(cè)量的光柵A和B的0級(jí)與±1級(jí)衍射角對(duì)應(yīng)的刻度盤讀數(shù). 目鏡由-1級(jí)轉(zhuǎn)至+1級(jí)時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的角度為

(4)

表2 分光計(jì)測(cè)量光柵衍射角的數(shù)據(jù)

顯然，三角形干涉光路所得光柵常量的相對(duì)偏差小于馬赫-曾德?tīng)柛缮婀饴?，且通過(guò)解三角形的方法預(yù)測(cè)出的光柵常量較測(cè)量衍射角計(jì)算光柵常量有更大的偏差. 分光計(jì)測(cè)量光柵常量的可信度更高，是精確測(cè)量光柵常量的方法，本文將分光計(jì)測(cè)定的光柵常量作為此實(shí)驗(yàn)的理論值. 但是，分光計(jì)法的缺點(diǎn)是載物臺(tái)與目鏡距離的限制，在衍射角較小，即光柵常量較大時(shí)，使用分光計(jì)測(cè)量衍射角可能會(huì)使0級(jí)條紋與±1級(jí)條紋重合，導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果不準(zhǔn)確.

比較顯微鏡圖像和分光計(jì)方法的結(jié)果，顯微鏡圖像的測(cè)量值相對(duì)于分光計(jì)法測(cè)量值的相對(duì)偏差為：δA=0.4%，δB=1.3%.顯然相對(duì)偏差較小，測(cè)量的光柵常量準(zhǔn)確度較高.當(dāng)衍射角較小，即光柵常量較大時(shí)，顯微鏡法則是更好的測(cè)量光柵常量的方法.

3.4 全息光柵衍射強(qiáng)度的分布

全息光柵是平面衍射光柵的一種，其衍射光強(qiáng)的分布可一定程度上反映光柵的質(zhì)量. 用夫瑯禾費(fèi)衍射儀測(cè)量了全息光柵A和B的衍射強(qiáng)度的分布. 光柵B的衍射強(qiáng)度分布如圖7所示. 從圖7中可以看出，±1級(jí)的衍射強(qiáng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于0級(jí)的衍射強(qiáng)度，所制作的其他光柵的衍射強(qiáng)度的分布與之類似. 由雙光束干涉原理知，2束振幅相同的相干光發(fā)生干涉時(shí)，在干涉位置的光強(qiáng)分布可以寫為

(5)

圖7 全息光柵B衍射光強(qiáng)隨位置x的分布圖

由衍射透過(guò)率函數(shù)可知正弦型光柵的夫瑯禾費(fèi)衍射在x方向上的光強(qiáng)分布為[8]

(6)

其中，L為有效光柵邊長(zhǎng)，表征激光通過(guò)有效光柵面積的大?。粃為光柵至接收屏的距離；m≤1，表示透過(guò)率函數(shù)呈正弦變化的幅度.則中央主極大位置的光強(qiáng)為

(7)

可得0級(jí)和±1級(jí)3個(gè)亮點(diǎn)的相對(duì)光強(qiáng)為1和m2/4,在全息光柵的頻譜中只能觀察到這3個(gè)亮點(diǎn)，表明此光柵正弦型良好.對(duì)于光柵A和B，在衍射距離z=11.50 cm時(shí)，±1級(jí)相對(duì)光強(qiáng)約為0.33%和0.78%，則mA=0.19,mB=0.10.用Matlab模擬做出正弦型振幅光柵夫瑯禾費(fèi)衍射強(qiáng)度的理論分布如圖8所示，正弦型振幅光柵的夫瑯禾費(fèi)衍射頻譜半角寬度由有效光柵大小L決定，相對(duì)強(qiáng)度由m決定.從圖8中可以看出，隨著L逐漸變小，衍射頻譜展寬，但相對(duì)位置和幅值不變，展寬是由于光柵尺寸變小產(chǎn)生的.由圖9可知m會(huì)大幅影響衍射相對(duì)強(qiáng)度，這也是圖7中把±1級(jí)位置放大50倍才能看到的原因.

圖8 正弦型振幅光柵衍射強(qiáng)度的理論分布(m=1)

圖9 正弦型振幅光柵衍射強(qiáng)度的理論分布 (L=0.05 mm)

在制作全息光柵時(shí)，可以通過(guò)控制光路得到正弦性非常好的全息光柵，但對(duì)于此光柵的衍射光強(qiáng)和斑點(diǎn)特征，并不由光路決定，而是由m和L同時(shí)影響[8]，最終導(dǎo)致全息光柵衍射0級(jí)與±1級(jí)光強(qiáng)之比較大.同時(shí)，光源距離接收屏越遠(yuǎn)，接收到的光強(qiáng)就越小，即使示波器積分區(qū)間調(diào)整至最大，觀察到的波峰變化也會(huì)非常小.故實(shí)驗(yàn)中需將整體光路距離適當(dāng)減小，使衍射強(qiáng)度分布更加明顯.

(8)

由測(cè)量的衍射譜中±1級(jí)的峰位，計(jì)算出光柵A和B的光柵常量dA=8.02 μm，dB=6.56 μm，與分光計(jì)法測(cè)量值的相對(duì)偏差為δA=1.5%，δB=1.0%，相對(duì)偏差較小.

3.5 全息光柵的可控制作方法分析

從理論上講，只要在制備操作中做到足夠精確，就能得到預(yù)期光柵常量的全息光柵，但從圖10光柵常量隨干涉角、衍射角的變化圖中可以看出，在干涉角度較小(d>10 μm，φ=1.88°<0.033 rad)時(shí)，曲線斜率的絕對(duì)值會(huì)非常大，對(duì)干涉角度控制的精確度要求會(huì)迅速提高，故在小角度干涉時(shí)對(duì)光柵規(guī)格的控制會(huì)變得十分困難.同理，衍射角較小(θj=3.76°<0.066 rad)時(shí)，通過(guò)觀察頻譜來(lái)確定光柵常量會(huì)有更大誤差.

圖10 光柵常量隨干涉角和衍射角的變化曲線

d=ky.

(9)

圖11所示為d隨y的變化關(guān)系，可以得出λ=687.86 nm，與光譜儀測(cè)量的激光波長(zhǎng)655.77 nm的相對(duì)偏差δλ=4.9%，R2=0.999 3.顯然，通過(guò)控制干涉角來(lái)測(cè)量光柵常量的誤差很大，由圖11中最后1個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)可以看出，當(dāng)干涉角過(guò)小，即值過(guò)大時(shí)，預(yù)測(cè)值誤差則會(huì)更大.在干涉角φ>3.76°時(shí)，通過(guò)控制φ來(lái)控制光柵常量的大小是可行的.制作較大光柵常量的光柵時(shí)，使用馬赫-曾德?tīng)柛缮婀饴犯奖?，由于其良好的“平行四邊形”特性，可以使得雙光束干涉角度較小.三角形干涉光路無(wú)法滿足此時(shí)足夠小的角度，這也是馬赫-曾德?tīng)柟饴返膬?yōu)勢(shì)所在.

圖11 通過(guò)干涉角預(yù)測(cè)光柵常量的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)擬合

在一次測(cè)量的情況下，不涉及重復(fù)測(cè)量，不考慮A類不確定度，則ul=uh=uB=0.29 mm，uA=0,則光柵常量的不確定度ud=2×10-8m；即對(duì)于光柵A，其理論預(yù)測(cè)光柵常量值d=(8.20±0.02) μm. 由以上分析可知，儀器精度對(duì)預(yù)測(cè)光柵常量的影響較小，可采用多次測(cè)量的方法降低人為測(cè)量誤差.

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)光柵制備及表征實(shí)驗(yàn)，將全息技術(shù)、分光計(jì)應(yīng)用、光譜儀技術(shù)及應(yīng)用和夫瑯禾費(fèi)衍射等實(shí)驗(yàn)有機(jī)結(jié)合成光學(xué)模塊體系，不僅可以使學(xué)生對(duì)光學(xué)知識(shí)有更深入地理解，還能夠讓學(xué)生深入體會(huì)自主探究性學(xué)習(xí)的思路和方法，提高學(xué)生創(chuàng)新思維和科學(xué)素養(yǎng).