葛新廣，龔景海，李創(chuàng)第，3，王昌盛

（1.上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240；2.柳州工學(xué)院土木建筑學(xué)院，廣西柳州 545616；3.廣西科技大學(xué)土木建筑學(xué)院，廣西柳州 545006；4.黃淮學(xué)院建筑工程學(xué)院，河南駐馬店 463000）

引言

地震是人類生存面臨的最主要威脅之一，其威脅體現(xiàn)在強(qiáng)烈地震對(duì)工程結(jié)構(gòu)的嚴(yán)重破壞以及導(dǎo)致的大量人員傷亡和財(cái)產(chǎn)損失上。為此，人們對(duì)地震的研究由來已久。隨著地震記錄資料的不斷積累和對(duì)地震發(fā)生規(guī)律研究的逐漸深入，地震動(dòng)的隨機(jī)特性成為工程界的共識(shí)［1-4］。自Housner［5］首次提出的白噪聲激勵(lì)模型以來，各國(guó)學(xué)者陸續(xù)提出了用于模擬地震動(dòng)隨機(jī)性的模型，如Kanai-Tajimi 譜［6-7］、Clough-Penzien 譜［8］、胡聿賢譜［9］、歐進(jìn)萍譜［10］、李鴻晶譜［11］等。Kanai-Tajimi 譜是首次提出利用基于白噪聲的濾波方程來表示復(fù)雜的隨機(jī)地震動(dòng)激勵(lì)的模型，而Clough-Penzien 譜、胡聿賢譜、歐進(jìn)萍譜、李鴻晶譜等又是Kanai-Tajimi 譜的改進(jìn)模型，因此地震動(dòng)隨機(jī)模型越來越接近實(shí)際地震動(dòng)，但表達(dá)式越來越復(fù)雜。李鴻晶譜對(duì)Kanai-Tajimi 譜中的基巖低頻和高頻范圍同時(shí)進(jìn)行修正，提出了適用性更強(qiáng)的隨機(jī)地震動(dòng)模型，但該模型表達(dá)式復(fù)雜，濾波方程含有頻域項(xiàng)，傳統(tǒng)方法分析結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)時(shí)結(jié)果均較為復(fù)雜。目前，鮮有關(guān)于李鴻晶譜的工程應(yīng)用文獻(xiàn)。

結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)分析方法分為時(shí)域法［12-14］和頻域法［15-18］。在時(shí)域法中，結(jié)構(gòu)響應(yīng)協(xié)方差與激勵(lì)協(xié)方差存在二重積分的關(guān)系。因此，時(shí)域法應(yīng)用的前提是隨機(jī)激勵(lì)要有協(xié)方差表達(dá)式，且表達(dá)式越簡(jiǎn)單越容易獲得簡(jiǎn)明的響應(yīng)解。李創(chuàng)第等［19-20］基于復(fù)模態(tài)方法研究了結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi譜或Clough-Penzien 譜的地震動(dòng)響應(yīng)，但僅獲得方差且表達(dá)式比較復(fù)雜。在頻域法中，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的功率譜與激勵(lì)的功率譜存在簡(jiǎn)明的代數(shù)關(guān)系，而所有的隨機(jī)激勵(lì)都是具有功率譜表達(dá)式的，因此，該方法應(yīng)用較為廣泛。矩陣直接譜法［16］、虛擬激勵(lì)法［15，21］和傳遞函數(shù)法［17-18］都是頻域法中的典型方法。李春祥等［22］利用傳遞函數(shù)法研究了MTMD 結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi譜或Clough-Penzien 譜的地震動(dòng)響應(yīng)特征，但結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)方差分析采用的方法為數(shù)值計(jì)算。頻域法中結(jié)構(gòu)響應(yīng)的0 階譜矩等于其方差，2 階譜矩等于響應(yīng)變化率的方差，1 階譜矩則是基于首超破壞和Markov 過程假設(shè)進(jìn)行可靠度分析的重要參數(shù)［12，23-25］。然而，無論哪種頻域法在獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜密度函數(shù)之后，都需要數(shù)值求解獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的譜矩和方差，計(jì)算工作量會(huì)隨著振動(dòng)系統(tǒng)的增大而成倍增加。

本文的主要工作有：首先，利用留數(shù)原理，給出了李鴻晶譜等效的二次正交式，利用復(fù)模態(tài)法將結(jié)構(gòu)的二階地震動(dòng)方程解耦為一階系統(tǒng)的線性組合；其次，利用一階系統(tǒng)的虛擬激勵(lì)法建立線性結(jié)構(gòu)系列地震動(dòng)響應(yīng)（相對(duì)于地面位移及速度、層間相對(duì)位移及其變化率）的頻響函數(shù)的二次正交式，進(jìn)而獲得結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)功率譜的二次正交式；最后，基于譜矩的定義及隨機(jī)振動(dòng)理論，獲得了結(jié)構(gòu)地震動(dòng)系列響應(yīng)方差和0 階、1 階和2 階譜矩的簡(jiǎn)明封閉解。

1 線性結(jié)構(gòu)地震動(dòng)系列響應(yīng)頻域解的統(tǒng)一表達(dá)式

1.1 線性結(jié)構(gòu)廣義復(fù)模態(tài)變量的頻域解

對(duì)于n層的多、高層線型結(jié)構(gòu)，在地震隨機(jī)激勵(lì)下的動(dòng)力方程：

式中M，C和K分別為結(jié)構(gòu)體系的質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣，元素均為常數(shù)和分別為結(jié)構(gòu)層相對(duì)于地面的位移、速度和加速度向量；I為n×1 階常矩陣，用來定位地震動(dòng)激勵(lì)；為地震動(dòng)隨機(jī)激勵(lì)。

目前工程上常用的平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)激勵(lì)模型有Kanai-Tajimi 譜［6-7］、Clough-Penzien 譜［8］、胡聿賢譜［9］、歐進(jìn)萍譜［10］、李鴻晶譜［11］等，它們的功率譜均以有理式的形式表示。其中，李鴻晶譜是一種同時(shí)考慮基巖擾動(dòng)低頻和高頻，較為準(zhǔn)確的隨機(jī)地震動(dòng)激勵(lì)譜，其表達(dá)式為［11］：

式中ωl和ωh分別為控制基巖擾動(dòng)低頻和高頻成分的參數(shù)；ωg和ξg分別為場(chǎng)地基巖上土層的特征頻率和阻尼比；S0為基巖擾動(dòng)白噪聲的強(qiáng)度。

由式（2）可知，該表達(dá)式極其復(fù)雜，且該功率譜的濾波方程為非線性的，用時(shí)域法無法求解。若采用頻域法，結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)的譜矩為含有式（2）的積分，只能用數(shù)值積分，故存在計(jì)算效率和精度的問題。為了獲得結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)的簡(jiǎn)明封閉解，本文基于留數(shù)定律［26］提出了李鴻晶譜的等效二次正交式：

式中

基于隨機(jī)激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)主要是時(shí)域法和頻域法，時(shí)域法應(yīng)用的前提是激勵(lì)要有協(xié)方差，而被工程界認(rèn)可的地震動(dòng)激勵(lì)模型都是以功率譜形式提出，時(shí)域法應(yīng)用時(shí)所得解均比較復(fù)雜；頻域法應(yīng)用時(shí)易于獲得結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的功率譜，但響應(yīng)的方差和譜矩的計(jì)算為數(shù)值法。為此，本文提出了結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)的二次正交法。為獲得結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)的二次正交形式，引入狀態(tài)變量：

則式（1）改寫為：

式中

式中o1為元素為0 的n×1 階向量；o2為元素為0的n×n階方陣。

由復(fù)模態(tài)法理論［12，20］，式（5）存在右、左特性向量矩陣U，V和特征值矩陣P，并滿足：

式中 特征值矩陣P為對(duì)角陣；U和V分別為式（5）的右、左特性向量矩陣。

引入復(fù)模態(tài)變量：

式中Z為廣義變量。

把式（5）代入式（6）并利用復(fù)模態(tài)理論［12，20］，式（5）變?yōu)椋?/p>

式中γ為復(fù)模態(tài)振型強(qiáng)度系數(shù)向量，其表示為：

式（8）的分量形式為：

式中zj，γj和pj分別為Z，γ和P的分量。

由虛擬激勵(lì)法［15，21］，式（10）的頻域解為：

譜密度函數(shù)。

1.2 結(jié)構(gòu)地震動(dòng)系列響應(yīng)頻域解的統(tǒng)一表達(dá)式

結(jié)構(gòu)層相對(duì)于地面的地震動(dòng)位移和層間地震動(dòng)變形是工程結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)的關(guān)鍵參數(shù)；而結(jié)構(gòu)層相對(duì)于地面的地震動(dòng)位移變化率方差和層間地震動(dòng)位移變化率方差是結(jié)構(gòu)抗震動(dòng)力可靠度分析的基礎(chǔ)。本文研究了上述地震動(dòng)系列響應(yīng)的統(tǒng)一解表達(dá)式。

式中uj，k為右特征向量矩陣U的第j行第k列元素。

至此，結(jié)構(gòu)各層位移及其變化率，層間變形及其變化率頻域解可統(tǒng)一表示為：

式中X(t)表示地震動(dòng)響應(yīng)。κk表示響應(yīng)量對(duì)應(yīng)的模態(tài)系數(shù)，對(duì)于結(jié)構(gòu)第j層位移，κk=uj，k；對(duì)于結(jié)構(gòu)第j層速度κk=uj+n，k；對(duì)于結(jié)構(gòu)第j（j＞1）層層間位移，κk=uj，k-uj-1，k；對(duì)于結(jié)構(gòu)第j（j＞1）層層間位移變化率，κk=uj+1+n，k-uj+n，k。

2 結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜的二次正交化

2.1 結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)特征值函數(shù)的二次正交化

由虛擬激勵(lì)法及式（14），結(jié)構(gòu)響應(yīng)X的功率譜為［15，21］：

把式（11）代入式（15）：

對(duì)式（16）進(jìn)行簡(jiǎn)化：

式中

式中ηk=κkγk。

由式（18）可知，GX(ω)與地震動(dòng)激勵(lì)無關(guān)，而僅與結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特征值和要分析的具體響應(yīng)量有關(guān)，它相當(dāng)于傳遞函數(shù)法中的頻響函數(shù)模值的平方，為區(qū)別于傳統(tǒng)方法，稱之為結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)特征值函數(shù)。對(duì)GX(ω)做如下等價(jià)變化：

式（19）進(jìn)一步簡(jiǎn)化（簡(jiǎn)化過程見附錄1）為：

從式（20）可知，結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)特征值函數(shù)GX(ω)表示成結(jié)構(gòu)體系的振動(dòng)復(fù)特征值pi的平方與頻域變量ω平方和的倒數(shù)的線性組合，即結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)HX(ω)的二次正交化。結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)特征值函數(shù)的二次正交式，表達(dá)式簡(jiǎn)潔明了，為后文獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)0～2 階譜矩的簡(jiǎn)明封閉解奠定基礎(chǔ)。

2.2 響應(yīng)功率譜密度函數(shù)的二次正交化

由式（3），（17）及（20），則結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)的功率譜可表示為（具體過程見附錄2）：

式中

由式（21）及（22）可知，結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)功率譜密度函數(shù)轉(zhuǎn)化為地震動(dòng)卓越頻率與結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)的簡(jiǎn)明關(guān)系，為后文結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差和0～2 譜矩的分析奠定了基礎(chǔ)。

3 響應(yīng)0～2 階譜矩及方差的封閉解

由譜矩定義［12］，地震動(dòng)響應(yīng)的q階譜矩αX，q：

3.1 響應(yīng)的0 階譜矩及1 階譜矩簡(jiǎn)明封閉解

把式（21）代入式（23），則結(jié)構(gòu)響應(yīng)的譜矩為：

式中

把q=0 及q=1 分別代入式（25）中，可獲得和的值（具體見附錄3）：

由式（24）和（26a）可獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的0 階譜矩；由式（24）和（26b）可獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的1 階譜矩。

3.2 地震動(dòng)響應(yīng)的2 階譜矩封閉解

由隨機(jī)振動(dòng)理論［12］，平穩(wěn)地震動(dòng)響應(yīng)變化率的0 階譜矩等于其平穩(wěn)響應(yīng)的2 階譜矩。因此，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的2 階譜矩可由對(duì)于響應(yīng)量的變化率的0 階譜矩表示：

由式（24）和（27）可知，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的2 階譜矩均具有封閉解，且表達(dá)式簡(jiǎn)潔明了。

3.3 地震動(dòng)響應(yīng)的方差的封閉解

由隨機(jī)振動(dòng)理論［12］，結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差等于其0 階譜矩，結(jié)構(gòu)響應(yīng)變化率的方差等于其2 階譜矩：

由式（24），（27）和（28）可知，本文獲得了結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)及其變化率的方差。

4 數(shù)值算例

4.1 算例1

單自由度質(zhì)量為1，結(jié)構(gòu)的自振圓頻率ω0=5 rad/s，結(jié)構(gòu)的阻尼比ξ0=0.05。李鴻晶功率譜參數(shù)為文獻(xiàn)［11］中表3 的廣元石井觀測(cè)站擬合值：S0=1.147 cm2/s3，ξg=0.5，ωg=9.414 rad/s，ωl=3.404 rad/s，ωh=8.955 rad/s。

傳統(tǒng)方法的質(zhì)點(diǎn)位移響應(yīng)功率譜Sx(ω)和速度響應(yīng)功率譜分別為：

本文方法獲得的質(zhì)點(diǎn)位移、速度響應(yīng)功率譜密度函數(shù)為式（21），式中pj依據(jù)式（6）按照復(fù)模態(tài)方法獲得，κj依據(jù)式（14）獲得。其中，式（5）的參數(shù)如下：

圖1 和2 分別為傳統(tǒng)方法和本文方法的位移響應(yīng)功率譜和速度響應(yīng)功率譜的對(duì)比圖（圖上橫坐標(biāo)間距為0.25 rad/s）。從圖中可知，本文方法與傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法完全一致，說明本文所獲得的李鴻晶譜等效形式、結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)特征值函數(shù)二次正交式和結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜的二次正交式的正確性。

圖1 位移功率譜對(duì)比圖Fig.1 Comparison diagram of PSDF of displacement

圖2 速度功率譜對(duì)比圖Fig.2 Comparison diagram of PSDF of velocity

4.2 算例2

對(duì)10 層鋼筋混凝土一榀框架進(jìn)行地震動(dòng)響應(yīng)分析，結(jié)構(gòu)參數(shù)為：柱子截面取600×600 mm2，材料彈性模量E為3.0×1010N/m2，框架跨度為6 m，各層層高為4.2 m，結(jié)構(gòu)阻尼比為0.05，考慮結(jié)構(gòu)自重及荷載等效質(zhì)量為45 t/層；按剛性樓板假定，結(jié)構(gòu)層間抗側(cè)剛度k=24EI/h3，式中，I為柱截面的慣性矩，h為層高；結(jié)構(gòu)的基本頻率為7.08 rad/s。頂層設(shè)置TMD 阻尼器，質(zhì)量為12.4 t，抗側(cè)剛度為6.5×105N/m，阻尼比0.15，TMD的自振頻率為7.24 rad/s。李鴻晶功率譜參數(shù)與算例1 相同。

頂層設(shè)置TMD 的建筑結(jié)構(gòu)可看作在頂層增加一層的結(jié)構(gòu)，采用與傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式一致的運(yùn)動(dòng)方程，只是結(jié)構(gòu)部分的阻尼采用瑞利阻尼。

4.2.1 本文方法的正確性驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文所獲得的結(jié)構(gòu)地震動(dòng)系列響應(yīng)0～2階譜矩及加速度方差的正確性，與虛擬激勵(lì)法進(jìn)行對(duì)比分析。由于虛擬激勵(lì)法（PEM）分析結(jié)構(gòu)響應(yīng)譜矩和方差時(shí)受積分步長(zhǎng)和積分區(qū)間的影響較大，積分區(qū)間上限暫定200 rad/s，積分步長(zhǎng)取3 種，具體如圖3～8所示。由圖可知，隨著積分步長(zhǎng)的減少，虛擬激勵(lì)法所得譜矩與本文方法越來越接近，說明本文方法的正確性。同時(shí)說明，虛擬激勵(lì)法在分析隨機(jī)響應(yīng)譜矩時(shí)積分步長(zhǎng)的選擇對(duì)于分析精度至關(guān)重要。

圖3 位移0 階譜矩對(duì)比圖Fig.3 Comparison diagram of 0-order spectral moment of displacement

圖4 位移1 階譜矩對(duì)比圖Fig.4 Comparison diagram of 1st order spectral moment of displacement

圖5 位移2 階譜矩對(duì)比圖Fig.5 Comparison diagram of 2nd order spectral moment of displacement

圖6 層間位移0 階譜矩對(duì)比圖Fig.6 Comparison diagram 0-order spectral moment of interlayer displacement

圖7 層間位移1 階譜矩對(duì)比圖Fig.7 Comparison diagram of 1st order spectral moment of interlayer displacement

圖8 層間位移2 階譜矩對(duì)比圖Fig.8 Comparison diagram of 2nd order spectral moment of interlayer displacement

4.2.2 虛擬激勵(lì)法（PEM）積分區(qū)間對(duì)其精度的影響分析

由“4.2.1 節(jié)”可知，本文方法所獲得譜矩為封閉解，且可用來驗(yàn)證虛擬激勵(lì)法的精度。而目前文獻(xiàn)對(duì)于虛擬激勵(lì)法的積分區(qū)間沒有明確的規(guī)定，為此，本文對(duì)其合理的積分區(qū)間進(jìn)行了研究?！?.2.1 節(jié)”研究表明積分步長(zhǎng)取0.05 rad/s 時(shí)虛擬激勵(lì)法基本與本文方法重合，為此，取積分區(qū)間上限分別為7.5，15和30 rad/s，取積分步長(zhǎng)0.05 rad/s 進(jìn)行分析，如圖9～14所示。

由圖9～14 可知，積分區(qū)間［0，7.5］rad/s 的虛擬激勵(lì)法的誤差較大；當(dāng)積分區(qū)間為［0，15］rad/s 時(shí)，位移和層間位移的0 階和1 階譜矩接近精確解（本文方法），而對(duì)應(yīng)的二階譜矩誤差存在一定的偏差；當(dāng)積分區(qū)間為［0，30］rad/s 時(shí)，響應(yīng)的0～2 階譜矩均與本文方法重合。因此，對(duì)于虛擬激勵(lì)法在分析譜矩時(shí)，需要試算積分區(qū)間才能保證計(jì)算精度。因此，本文方法可用于校核虛擬激勵(lì)法的分析精度。

圖9 PEM 分析位移0 階譜矩與積分區(qū)間關(guān)系Fig.9 Relationship between 0-order spectral moment of displacement and integrating range analyzed by PEM

圖10 PEM 分析位移1 階譜矩與積分區(qū)間關(guān)系Fig.10 Relationship between 1st order spectral moment of displacement and integrating range analyzed by PEM

圖11 PEM 分析位移2 階譜矩與積分區(qū)間關(guān)系Fig.11 Relationship between 2nd order spectral moment of displacement and integrating range analyzed by PEM

圖12 PEM 分析層間位移0 階譜矩與積分區(qū)間關(guān)系Fig.12 Relationship between 0-order spectral moment of interlayer displacement and integrating range analyzed by PEM

圖13 PEM 分析層間位移1 階譜矩與積分區(qū)間關(guān)系Fig.13 Relationship between 1st order spectral moment of interlayer displacement and integrating range analyzed by PEM

圖14 PEM 分析層間位移2 階譜矩與積分區(qū)間關(guān)系Fig.14 Relationship between 2nd order spectral moment of interlayer displacement and integrating range analyzed by PEM

5 結(jié)論

針對(duì)既有方法分析平穩(wěn)激勵(lì)下線性結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)方差和0～2 階譜矩頻域法無解析解或時(shí)域法解析解復(fù)雜的問題，本文提出了結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜密度函數(shù)的二次正交化法，并成功獲得線性結(jié)構(gòu)基于李鴻晶地震動(dòng)功率譜的0～2 階譜矩和方差的簡(jiǎn)明封閉解，主要結(jié)論如下：

（1）利用復(fù)模態(tài)方法對(duì)線性結(jié)構(gòu)地震動(dòng)方程進(jìn)行解耦，將結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)化為一階微分方程組的線性組合；利用一階微分方程的虛擬激勵(lì)法，獲得了結(jié)構(gòu)響應(yīng)的頻域解，并獲得了結(jié)構(gòu)層位移和速度，結(jié)構(gòu)層相對(duì)位移及其變化率的統(tǒng)一形式的簡(jiǎn)明頻域解；最后給出了結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)特征值函數(shù)的二次正交式。

（2）基于留數(shù)定理給出了李鴻晶功率譜的二次正交式，本方法同樣適用于其他平穩(wěn)功率譜的二次正交化。

（3）在獲得結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)的頻率響應(yīng)特征值函數(shù)二次正交式和地震動(dòng)激勵(lì)二次正交式的基礎(chǔ)上，進(jìn)而獲得了結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)功率譜密度函數(shù)的二次正交式，為獲得結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)的0～2 階譜矩和方差的簡(jiǎn)明封閉解奠定基礎(chǔ)。

（4）通過一單自由度和一多自由度TMD 結(jié)構(gòu)對(duì)比分析了本分方法和傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法，研究表明本文方法所獲得系列響應(yīng)功率譜密度函數(shù)和0～2階譜矩的封閉解的正確性。本文方法可用來驗(yàn)證虛擬激勵(lì)法積分步長(zhǎng)和積分間距對(duì)于結(jié)構(gòu)響應(yīng)譜矩和方差的精度。

（5）由于本文獲得了結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的0～2 階譜矩和方差的簡(jiǎn)明封閉解，可為結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度分析提供新思路。

附錄1 式（19）的簡(jiǎn)化過程

附錄2 式（21）的簡(jiǎn)化過程

所以

式中

附錄3和的推導(dǎo)