葛仁余，張金輪，呂良偉，朱浩杰，聶子龍

( 安徽工程大學 力學重點實驗室，安徽 蕪湖241000 )

0 引 言

在機械工程等專業(yè)的材料力學課程教學中，平面彎曲梁撓度和轉角的求解, 采用的基本方法是彎矩方程積分法，即首先建立撓曲線近似微分方程, 進行二次積分運算和結合邊界條件獲得撓度方程和轉角方程。但是彎矩方程積分法分析梁的彎曲變形時，需要事先獲得梁上任意位置的彎矩方程，當梁上作用任意分布荷載時確定梁的彎矩方程十分困難，也就是說彎矩方程積分法失效[1，2]。另一方法是荷載方程積分法，需要進行四次積分運算和結合邊界條件才能得到撓度方程。當任意分布荷載為簡單表達式時，由荷載方程積分法可以獲得彎曲變形的精確解，但是，當任意分布荷載為復雜的表達式時，荷載方程積分法亦失效[3]。

正是彎矩方程積分法或荷載方程積分法在工程實際計算中受到較大的限制，本文基于微分求積法原理，采用Fortran 語言編程求解復雜分布荷載下梁的彎曲變形問題。微分求積法是Bellman和Casti于1971 年提出的基本理論[4]，該法求解微分方程具有公式簡單、編程方便、計算量少和精度高等優(yōu)點。微分求積法是將荷載方程的邊值問題轉化為求解線性代數(shù)方程組問題，通過Fortran 語言編制通用程序計算，從而獲得梁的撓度和轉角的數(shù)值解, 該法使梁的全部變形計算得以程序化，可避免彎矩方程積分法和荷載方程積分法中確定積分常數(shù)時一系列繁瑣的代數(shù)運算，在梁的彎曲變形教學中具有巨大的功效。

1 微分求積法求解梁的荷載方程

如圖1 所示，梁長為L，抗彎剛度為EI，q0為常數(shù)，作用在梁上的任意分布荷載為q( x )= q0f ( x )，以變形前的梁軸線為x 軸，垂直向上的軸為y 軸，變形后梁的軸線將成為xy 平面內的一條曲線，稱為撓曲線，記為y = y( )x ，變形中梁的橫截面對其原來的位置轉過的角度θ，稱為轉角，記為θ = y′( )x ，在圖1所示的坐標系中，向上的撓度和逆時針方向的轉角為正，反之為負。

圖1 任意分布荷載作用下的梁

根據(jù)文獻[3]，荷載方程積分法中，梁的荷載方程為

2 教學實例分析

2.1 簡單分布荷載下梁的彎曲變形

圖2 簡單分布載荷作用下的懸臂梁

在課堂教學中，實例2.1 作用在梁上的任意分布荷載較為簡單，將其積分運算，可以求得其原函數(shù)，因此，運用荷載方程積分法可以獲得如表1和表2 所列的精確解[3]。為了驗證本文微分求積法分析梁彎曲變形問題的可行性和精確性，使用Fortran 語言編制通用程序計算式（12），用程序代替繁雜的積分運算。采用等步長方式布置離散節(jié)點，在梁長區(qū)間x ∈[0,L]劃分離散單元數(shù)n = 10，由表1和表2計算結果可知，采用微分求積法編程計算值與精確解完全吻合。

表1 懸臂梁的彎曲變形（q(x)=q0cos(πx/2L)）

表2 懸臂梁的彎曲變形（q(x)=q0(1-x2/L2)）

2.2 復雜分布荷載下梁的彎曲變形

參考圖1 所示，簡支梁AB 長為L，抗彎剛度EI為常量，q0為常數(shù)，試求簡支梁AB 分別在任意復雜分布載荷q(x) = q0(1-(x L)2)cos(x L)e-xL和q(x)= q0cos[sin(x L)]作用下的撓度y(x)和轉角θ(x)。

由于教學實例2.2 作用在梁上的任意分布荷載q(x)表達式比較復雜，積分運算無法求得其原函數(shù)，所以，運用荷載方程積分法求解梁的撓度和轉角在實際計算中受到較大的限制。若采用Fortran語言編制通用程序計算式（12），問題迎刃而解，采用等步長方式布置離散節(jié)點，在梁長區(qū)間x ∈[0,L]劃分離散單元數(shù)n = 20，作用在梁上的任意分布荷載無論有多么復雜，受彎梁的撓度和轉角皆可獲解。圖3，圖4是任意復雜分布載荷作用下簡支梁的撓度y(x)和轉角θ(x)微分求積法獲得的正確結果。

圖3 復雜分布載荷作用下簡支梁的撓度

圖4 復雜分布載荷作用下簡支梁的轉角

其它條件不變，若將圖1所示簡支梁AB改為懸臂梁AB（A 端固定、B 端自由），計算其撓度y(x)和轉角θ(x)，圖5，圖6 是任意復雜分布載荷作用下懸臂梁的撓度和轉角微分求積法的編程計算結果。

圖5 復雜分布載荷作用下懸臂梁的撓度

圖6 復雜分布載荷作用下懸臂梁的轉角

3 總 結

（1）當梁上作用任意簡單分布荷載時，文中算例2.1 給出了數(shù)值解與精確解完全吻合的計算結果，驗證了Fortran 語言編程計算在彎曲變形教學中的可行性和精確性。文中算例2.2 作用在梁上為復雜分布荷載時，傳統(tǒng)的積分法分析梁的彎曲變形問題失效，若采用Fortran 語言編程計算，無論分布荷載表達式多么復雜，都可以獲得受彎梁的撓度和轉角正確解。

（2）在彎曲變形課堂教學中，當彎矩方程積分法或者荷載方程積分法分析梁的彎曲變形問題失效時，可以借助Fortran 語言編程計算獲得數(shù)值解，這一教學過程既讓學生體會到求解方法的多樣性，提高學生的學習積極性和興趣，也讓學生們掌握編制程序解決力學問題的一技之長，對他們今后的學習與工作都有較大幫助。