呂 霖， 樊自建， 孫海濤

(國防科技大學空天科學學院，湖南 長沙 410073)

氣囊具有重量輕、收納體積小、充氣后承載能力大等優(yōu)點，在航空航天、船舶工程、建筑工程等領域被廣泛采用。由于囊體屬于柔性結構，受力后變形較大，因此囊體的工程應用案例大都可以簡化為剛性面板與氣囊相結合的板囊組合結構；在這一結構中，囊體在剛性面板擠壓作用下的變形特性直接關系到板囊組合結構的承載性能和使用安全。剛性面板的擠壓載荷與囊體變形之間的關系表現(xiàn)為復雜的非線性關系，且受到囊體結構外形、尺寸及囊體初始超壓等多種因素的影響。從現(xiàn)有文獻看，有關板囊組合結構中囊體受壓變形的研究主要集中在剛性面板受均布下壓載荷作用時囊體壓縮變形、內部超壓與外部載荷關系方面的研究。文獻[1]通過試驗和數(shù)值仿真研究了剛性面板均勻下壓作用下氣囊承壓、變形和內部超壓變化的關系；文獻[2-3]通過靜力分析簡化氣囊為線性彈簧模型得出氣囊受力變形與剛性面板上中心載荷作用關系的近似公式；文獻[4-6]通過有限元仿真計算研究了剛性面板受中心載荷作用時，囊體尺寸、內部超壓等因素對氣囊變形特性的影響。

但是，工程應用中的板囊組合結構常由于載荷的偏心作用或囊體支撐平面傾斜等因素的影響出現(xiàn)偏心受壓的工況[7]，而有關氣囊在剛性面板受偏心載荷作用時囊體的靜態(tài)力學特性未見相關研究報道。本文在已有剛性面板均勻下壓作用下囊體變形特性研究成果基礎上，通過對板囊組合結構中囊體結構變形過程中幾何變形與相互作用力的合理簡化，建立了適用于均勻下壓變形和橫向傾斜下壓變形情況下囊體變形、內壓及剛性面板承載力關系的數(shù)學模型，并進一步對比分析了不同變形狀態(tài)下氣囊靜態(tài)承載性能與內壓的關系。

1 數(shù)學模型建立與驗證分析

1.1 囊體受力變形過程分析簡化與幾何描述

板囊組合結構如圖1所示。當外力作用在剛性面板上時，剛性面板將外部集中力的作用均勻分散到與囊體的接觸表面，囊體在上部剛性面板的下壓和下部剛性地面的約束作用下發(fā)生癟化變形，使得上下接觸面面積增大，從而可提供更大的支撐力與上面板外部荷載作用相平衡。如果外部作用力的合力作用點在剛性面板的中心，則囊體發(fā)生均勻下壓變形；如果合力作用點偏離剛性面板的中心，則板囊組合結構將會發(fā)生傾斜變形。為了建立囊體變形與外力作用的關系，需對這一作用過程做如下簡化假設：

圖1 板囊組合結構

(1)認為各變形工況下，囊體與上部面板、下部地面緊密貼合，呈面面接觸。非接觸處囊體外形始終與上下接觸面相切且呈半圓弧狀；由于氣囊兩端錐體段所占囊體總體積比例很小，因此忽略錐體段的影響，認為僅囊體圓柱段提供有效支撐。

(2)忽略承壓變形過程中，囊體材料周向、軸向與厚度方向的變形，即認為承壓變形前后囊體表面積不變[4]。

(3)忽略因囊體表面變形不協(xié)調而產(chǎn)生的褶皺現(xiàn)象對囊體承載能力的影響，忽略氣囊端部封頭對氣囊承載力的影響。

(4)認為氣囊承壓變形過程為準靜態(tài)過程，囊體內氣體溫度無變化，且在各變形工況下均保持受力平衡。

1.2 建立囊體受力變形過程數(shù)學模型

基于以上假設，認為氣囊在初始超壓P1作用下充分張緊，呈直徑為D、母線長為L、厚度為t的薄壁圓柱形結構。當上部面板承受沿縱向對稱軸y軸偏離中心一定位置的載荷FG作用，面板中心產(chǎn)生的位移為w，并導致面板產(chǎn)生橫傾，橫傾角度為θ，氣囊在面板偏心荷載作用下發(fā)生的變形如圖2所示。此時，氣囊變形以yoz平面為對稱面，內部超壓為P2；氣囊所能提供的支撐力為FR，方向垂直于作用面；所能提供的豎向承載力為FC，此力與剛性面板上的載荷FG作用相平衡。

圖2 氣囊承壓變形

將氣囊沿母線方向分為n段，每段長δ=L/n，設從上面板最低端部起第i段受壓氣囊的工作高度為Hi(i≤n)，接觸段長度為Bi。則氣囊承壓變形后第i段氣囊參數(shù)滿足：

2Ri=Hi=H0+iδtanθ

(1)

Bi=π(D-Hi)/2

(2)

di=D-Hi

(3)

式中：H0為氣囊最低工作高度；Ri為囊體非接觸處圓弧半徑；di為第i段氣囊位移壓縮量。

氣囊初始體積V1與承壓變形后體積V2分別為：

V1=πD2L/4

(4)

(5)

氣囊與剛性面板的接觸面積S：

(6)

視氣囊為封閉容器，當環(huán)境氣壓為P0時，由于承壓變形過程中忽略了囊體內氣體溫度變化的影響，故可認為其滿足理想氣體狀態(tài)方程[8]:

(P0+P1)V1=(P0+P2)V2

(7)

根據(jù)基本力學關系，可得接觸面支撐力FR、承載力FC及其作用點坐標(0,y)滿足如下關系：

FR=P2S

(8)

FC=FG=FRcosθ

(9)

(10)

至此根據(jù)以上假設分析，本文建立了適用于各種變形工況下氣囊變形與承載力、內壓關系數(shù)學模型。通過式(1)～式(10)，在已知氣囊直徑、長度、初始內壓和變形狀態(tài)時，即可計算氣囊內壓的變化以及氣囊的承載力和外部載荷的偏心距。

1.3 數(shù)學模型試驗驗證與分析

文獻[1]對某直徑D=0.8 m的氣囊，在初始超壓P1=50 kPa下，豎直變形過程中氣囊承載力FC、內壓P2和上部面板中心位移量w之間的關系開展了試驗研究。表1給出了試驗測得的數(shù)據(jù)。

表1 試驗結果[1]

由上述受囊體受力分析模型可知，當氣囊處于均勻豎直下壓變形工況時，即θ=0°，每段氣囊的豎向壓縮量di等于上部面板中心位移量w，即滿足di=di+1=w，B=πw/2。對于表面積為SA=πDL的氣囊，通過基本力學關系式(8)、式(9)，理想氣體狀態(tài)方程式(7),以及相關變形幾何公式(1)～式(6)，可推得承載力FC與面板中心位移w滿足如下關系式：

(11)

圖3給出了囊體豎直均勻變形下氣囊承載力變化曲線的理論計算值和試驗值。從圖中可以看出，試驗數(shù)據(jù)與本文數(shù)學模型計算結果基本吻合，數(shù)學模型較好地反映了承載力隨囊體豎向均勻壓縮位移增加呈非線性增長的趨勢。

圖3 囊體豎直變形與承載力、氣囊內壓關系

此外從式(11)還可看出豎直變形時，對于表面積SA相同的氣囊，在相同初始超壓P1下其所能提供承載力FC的大小只與壓縮比w/D有關。在相同的壓縮比w/D下，承載力FC會隨著初始超壓P1的增長呈線性增長。從生產(chǎn)制作經(jīng)濟性角度考慮，由此說明，相同表面積SA下，長徑比L/D越大、初始超壓P1越高的氣囊具有越高的剛度。

依據(jù)上述數(shù)學模型，通過整理還可得出氣囊內壓P2與上面板均勻下移位移w的關系式如下：

(12)

圖3給出了囊體豎直均勻變形下氣囊內壓變化曲線的理論計算值和試驗值。從圖中可以看出，當囊體壓力較低時兩者吻合較好；當上部面板中心位移量大于50%D囊體內壓快速增長時，數(shù)學模型計算結果明顯小于試驗數(shù)據(jù)，且隨著壓力的升高兩者之間的差距逐漸增大。分析建模假設可知，這主要是由于數(shù)學模型忽略了氣囊大變形下必然發(fā)生的囊壁褶皺以及囊體內氣體溫度升高等影響因素，而最終導致了誤差的產(chǎn)生。

此外，從式(12)可以看出豎直均勻變形時，氣囊在相同初始超壓P1下，其內壓P2只與壓縮比w/D有關，且隨著上部面板中心位移量w的增大呈非線性的增長。在相同的壓縮比w/D下，內壓P2會隨著初始超壓P1的增長呈線性增長。

綜上所述，本文建立的數(shù)學模型計算數(shù)據(jù)與試驗結果一致性較好，可以較為準確描述囊體在壓縮變形過程中囊體結構尺寸、初始壓力與囊體承載性能之間的關系。

2 剛性面板偏心受壓下囊體變形與承載性能分析

當上部剛性面板所受載荷沿軸向偏離面板中心一定距離時，載荷偏心作用一側囊體受力變形增大，上部面板向該側傾斜，氣囊呈一端高，一端低的傾斜變形狀態(tài)。為討論不同橫傾變形工況下氣囊靜態(tài)力學特性變化，將偏心受壓過程分為兩步：第一步為載荷中心正壓作用下的豎直變形，第二步為力矩作用下繞某旋轉中心產(chǎn)生的橫傾變形，認為旋轉中心保持第一步豎直變形高度不同。

鑒于對氣囊進行橫傾變形測量有一定的難度，難以獲得試驗實測數(shù)據(jù)。為研究不同承壓變形時氣囊力學特性的差異，以某母線長度L為2.8 m、直徑D為0.8 m型號氣囊為計算對象[9]，通過研究不同變形工況下氣囊承載力與內壓的變化關系，為板囊組合結構載荷通行提供參考指導。且由于不同旋轉中心均可通過簡單的換算使其與某變形工況下上部面板中心重合，為便于討論，下文均以上部面板中心作為旋轉中心。

2.1 囊體傾斜變形與氣囊內壓變化關系

依據(jù)本文建立的模型分析計算了剛性面板中心位移、橫傾偏斜角度、初始壓力與囊體內壓變化百分比之間的關系，如圖4所示。

圖4 氣囊內壓變化百分比與橫傾角關系

從圖中可以看出在剛性面板中心豎向位移一定時，囊體的內壓隨面板橫向傾斜角度的增加呈非線性增長。同一傾斜角度、同一初始內壓下，囊體內壓變化百分比與面板中心豎向位移亦呈非線性增長關系；在中心豎向位移一定的情況下，傾角與內壓的變化百分比的非線性變化趨勢不受初始內壓變化的影響；同一豎向位移、同一傾斜角度下，高初始內壓的內壓變化百分比要遠低于低內壓的內壓變化百分比。

2.2 囊體變形與承載力變化關系

圖5為不同變形工況下，囊體變形與承載力變化關系。從圖中可以看出,當面板中心位移一定時，隨著面板傾角的增大，囊體的承載能力緩慢非線性增大；對比圖中不同初始壓力、相同中心豎向位移的傾角變化關系，可以看出此變化關系不受初始壓力變化的影響。

圖5 承載力大小與橫傾角關系

以承載力作用點偏離面板中心的y向距離作為偏心距，由數(shù)學模型易知偏心距只與氣囊變形情況有關，即相同變形條件下，初始內壓的大小只影響承載力的大小，而不會改變其作用點位置。

圖6為不同中心豎向位移條件下，承載力的偏心距與囊體傾斜變形角度之間的關系。從圖中可以看出，在相同中心位移下，隨著橫傾角度的增加偏心距呈線性增長，且隨著中心位移的增加其增長速率會逐漸減緩。在相同橫傾角度下，偏心距隨著中心位移的增加呈非線性減小，且隨著橫傾角度的增大該非線性會愈加顯著。

圖6 偏心距與橫傾角關系(P1=50 kPa)

3 結論

(1)本文建立的囊體靜力特性分析模型與試驗測量結果具有較好的一致性，可用于剛性面板中心載荷作用和偏心荷載作用下囊體靜力特性的分析。

(2)在豎向均勻壓縮下，氣囊在相同初始超壓P1作用下，其內壓P2只與壓縮比w/D有關，且隨著上部面板中心位移量w的增大呈非線性的增長。

(3)在偏心受壓下，相同中心位移時囊體內壓P2與承載力FC隨橫傾角增大呈非線性增長的趨勢不受囊體初始超壓P1的影響。

(4)在偏心受壓下，相同中心位移時隨著橫傾角度的增加偏心距呈線性增長，且隨著中心位移的增加其增長速率會逐漸減緩。對于相同橫傾角度，偏心距隨著中心位移的增加呈非線性減小，且隨著橫傾角度的增大該非線性會愈加顯著。