任芳國(guó)， 申 明

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710119)

作為一類重要的正規(guī)矩陣，酉矩陣具有良好的性質(zhì)，在量子信息理論及控制理論中有重要應(yīng)用，其中廣義Pauli矩陣是一類重要的酉矩陣，它是解決量子信息問(wèn)題的重要工具之一.Pauli矩陣是一種特殊的廣義Pauli矩陣，文獻(xiàn)[1]中指出量子力學(xué)中任意密度矩陣都可由Pauli矩陣表示，并為判斷量子態(tài)為純態(tài)或混合態(tài)提供了簡(jiǎn)便方法，文獻(xiàn)[2—4]中給出了Pauli矩陣與量子邏輯門(mén)及量子運(yùn)算之間的密切關(guān)系.同時(shí)，由廣義Pauli矩陣構(gòu)造出的Weyl信道在量子信息理論中扮演著重要角色.文獻(xiàn)[5]給出了廣義Pauli矩陣的部分性質(zhì)和可用于構(gòu)造MUBS的完備集，文獻(xiàn)[6]通過(guò)廣義Pauli矩陣構(gòu)造出完全保跡映射，文獻(xiàn)[7]中主要研究的廣義Bell態(tài)與廣義Pauli矩陣有密切聯(lián)系.文獻(xiàn)[8]研究了由廣義Pauli矩陣構(gòu)成的Pauli群的性質(zhì).基于此，本文從矩陣?yán)碚摮霭l(fā)對(duì)廣義Pauli矩陣進(jìn)行深入研究.

1 符號(hào)說(shuō)明與預(yù)備知識(shí)

1.1 符號(hào)說(shuō)明

1.2 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]Pauli矩陣是指4個(gè)常用矩陣：

定義2[1]稱跡為1且為半正定的矩陣為密度矩陣.

定義3[9]設(shè)A∈Mn.若A*A=In，則稱A是酉矩陣.

注1W0,0=Wn,n=In.

定義5Δ,Ω分別表示矩陣空間Mn上的兩個(gè)變換:

Δ(A)=diag(a11,…,ann),?A=(aij)n∈Mn;

引理1[1]設(shè)A,B是矩陣空間Mn上的任意兩個(gè)矩陣，函數(shù)(A,B)=tr(A*B)是Mn上的一個(gè)內(nèi)積函數(shù).

2 主要結(jié)論

下面先討論兩個(gè)特殊的酉矩陣及其關(guān)系.

定理1設(shè)n是給定的正整數(shù)，令Z=diag(1,ε,…,εn-1)是n階矩陣，其中ε為n次基本單位根，則下列結(jié)論成立：

(ⅲ)令GZ={In,Z,…,Zn-1}，GZ關(guān)于矩陣的普通乘法是n階循環(huán)群；

(ⅴ)GZ={In,Z,…,Zn-1}是Mn中對(duì)角矩陣子空間的一組正交基；

(ⅵ)設(shè)?A=(aij)n∈Mn，則

即Z是n階酉矩陣，再由ε為n次單位根知Zn=diag(1,εn,…,εn(n-1))=In.?k∈Z，由帶余除法知存在整數(shù)q,r，使得k=nq+r，其中0≤r≤n-1，則由Z是酉矩陣及Zn=In可知Zk=Znq+r=ZnqZr=(Zn)qZr=Zr是酉矩陣.

(ⅴ)顯然GZ={In,Z,…,Zn-1}中元素全為對(duì)角酉矩陣且當(dāng)0≤j,k≤n-1,j≠k時(shí)，0<|j-k|≤n-1.因此，由引理1可得

(Zj,Zk)=tr((Zj)*Zk)=tr(Z-jZk)=

從而GZ中元素兩兩正交，再由Mn中對(duì)角矩陣子空間的維數(shù)為n知GZ={In,Z,…,Zn-1}是Mn中對(duì)角矩陣子空間的一組正交基.

于是

diag(a11,…,ann).

綜上所述，定理1證畢.

k

(ⅱ)GX={X0,X,…,Xn-1}是n階酉群中的一個(gè)n階循環(huán)子群.

(ⅵ)GX={In,X,…,Xn-1}是Mn中循環(huán)矩陣組成的子空間的一組正交基.

X2=X(en,e1,…,en-1)=

(Xen,Xe1,…,Xen-1)=(en-1,en,…,en-2)=

假設(shè)結(jié)論對(duì)k成立，即

現(xiàn)在討論k+1的情況，由于

Xk+1=XXk=X(en-k+1,…,en,e1,…,en-k)=

(Xen-k+1,…,Xen,Xe1,…,Xen-k)=

(en-k,…,en-1,en,e1,…,en-k-1)=

(ⅱ)由X是酉矩陣及(ⅰ)知，?m∈Z，由帶余除法知，存在整數(shù)q,r，使得m=nq+r，其中0≤r≤n-1，則由X是酉矩陣及Xn=In可得Xm=Xnq+r=XnqXr=(Xn)qXr=Xr；?s,t∈{0,1,…,n-1}，XsXt=Xs+t∈GX，(Xs)-1=(Xs)*=(X*)s=(Xn-1)s=Xs(n-1)∈GX.再由(ⅰ)知，對(duì)整數(shù)s,t，當(dāng)0≤s,t≤n-1,s≠t時(shí)Xs≠Xt，則GX={X0,X,…,Xn-1}是n階酉群中以X為生成元的n階循環(huán)子群.

XkA(Xk)*=

則由(ⅳ)知

(ⅵ)GX={In,X,…,Xn-1}中元素全為非零循環(huán)矩陣，再由(ⅲ)知j,k∈{0,…,n-1}，

(Xj,Xk)=tr((Xj)*Xk)=

則(ⅵ)得證.

綜上所述，定理2證畢.

(ⅰ)存在酉矩陣U∈Mn，使得X=U*ZU.

(ⅱ)XZ=εZX，XkZ=εkZXk,XZj=εjZjX，XkZj=εjkZjXk，其中j,k是任意給定的非負(fù)整數(shù).

(ⅲ)XkZj=εjkZjXk，其中j,k是任意給定的整數(shù).

(ⅳ)設(shè)j,k是任意給定的整數(shù)，則XkZj=In當(dāng)且僅當(dāng)n|k且n|j.

(ⅴ)設(shè)j,k是任意給定的整數(shù)，則XkZj是對(duì)角矩陣當(dāng)且僅當(dāng)n|k.

證明(ⅰ)由于fX(λ)=|λIn-X|=λn-1，X的特征值是全體n次單位根，再由酉矩陣是正規(guī)矩陣知，存在酉矩陣U∈Mn，使得X=U*ZU.

(ⅱ)由定理2(ⅴ)知XZX*=diag(ε,…,εn-1,1)=diag(ε,…,εn-1,εn)=εZ，再由X是酉矩陣知XZ=εZX；對(duì)k做數(shù)學(xué)歸納證明XkZ=εkZXk.如果k=0結(jié)論顯然成立，下面只考慮k是正整數(shù)的情形. 由于X2Z=X(XZ)=X(εZX)=ε(XZ)X=ε2(ZX)X=ε2ZX2，假設(shè)XkZ=εkZXk，則

Xk+1Z=X(XkZ)=εkX(ZXk)=

εk(XZ)Xk=εk(εZX)Xk=εk+1ZXk+1，

所以XkZ=εkZX成立.同理可證對(duì)任意非負(fù)整數(shù)j,k，XZj=εjZjX，XkZj=εjkZjXk成立.

(ⅲ)由帶余除法知，存在整數(shù)q1,q2,r,s，使得k=nq1+r，j=nq2+s，其中0≤r,s≤n-1，則由X,Z的周期都是n知XkZj=XrZs=εrsZsXr，再由ε的周期為n知

εrsZsXr=εrsεn(nq1q2+q2r+q1s)Znq2ZsXnq1Xr=

εrs+n(nq1q2+q2r+q1s)Znq2+sXnq1+r=εkjZjXk，

從而XkZj=εkjZjXk.

(ⅵ)充分性：由帶余除法知，存在整數(shù)q1,q2,r,s，使得k=nq1+r，j=nq2+s，其中0≤r,s≤n-1，則由X,Z的周期都是n知XkZj=XrZs.

顯然tr(XkZj)=0；

下面討論廣義Pauli矩陣的性質(zhì).

定理4(ⅰ)Wa,b是酉矩陣且

(ⅴ)集合{Wa,b|a,b∈Z}={Wa,b|a,b∈{0,1,…,n-1}}的勢(shì)為n2.

(ⅵ){Wa,b|a,b∈{0,1,…,n-1}}是矩陣空間Mn的一組正交基.

證明(ⅰ)由于Xa,Zb都是酉矩陣，由酉矩陣關(guān)于乘法封閉知Wa,b是酉矩陣.由定理3知

ZbX-a=εabX-aZb=εabW-a,b，

Z-bX-a=ε-abX-aZ-b=ε-abW-a,-b.

(ⅲ)Wa,bWc,d=(XaZb)(XcZd)=Xa(ZbXc)Zd=

ε-bcXaXcZbZd=ε-bcXcXaZdZb=

εad-bcXcZdXaZb=εad-bcWc,dWa,b,

(ⅳ)設(shè)α是Wa,b的屬于特征值eiθ(θ∈R)的特征向量，即Wa,bα=eiθα，那么

εad-bc(Wa,bα)*Wc,dWa,bα=

εad-bc(eiθα)*Wc,d(eiθα)=

εad-bce-iθeiθα*Wc,dα=εad-bcα*Wc,dα，

(ⅴ)由帶余除法知，對(duì)任意的整數(shù)a,b，存在整數(shù)q1,q2,r,s，使得a=nq1+r，b=nq2+s，其中0≤r,s≤n-1，則由X,Z的周期都是n知

Wa,b=XaZb=Xnq1+rZnq2+s=Xnq1XrZnq2Zs=XrZs，

{Wa,b|a,b∈Z}={Wa,b|a,b∈{0,1,…,n-1}}.

下證?a,b,c,d∈{0,1,…,n-1}，若(a,b)≠(c,d)，則Wa,b≠Wc,d.假設(shè)(a,b)≠(c,d)，但Wa,b=Wc,d，即XaZb=XcZd，于是Xa-c=Zd-b，由于Zd-b是對(duì)角矩陣，從而Xa-c是對(duì)角矩陣，因此Xa-c=In.于是由X的周期是n知n|(a-c)，此時(shí)由Zd-b=In及Z的周期是n知n|(b-d)，由(a,b)≠(c,d)知a≠c，b≠d至少有一個(gè)滿足.不妨設(shè)a≠c，由a,c∈{0,1,…,n-1}可知0<|a-c|

(ⅵ)由定理3知

tr(Z-bX-aXcZd)=tr(Xc-aZd-b)=

再由Wa,b是酉矩陣顯然非零及dim(Mn)=n2知{Wa,b|a,b∈{0,1,…,n-1}}是矩陣空間Mn的一組正交基.

注2①對(duì)廣義Pauli矩陣Wa,b,若無(wú)特別說(shuō)明，一般a,b∈{0,1,…,n-1}.

下面給出廣義Pauli矩陣的一個(gè)應(yīng)用.

定理5設(shè)A=(aij)n∈Mn，則

從而

所以(ⅰ)成立.

(ⅱ)由定理4(ⅲ)知

從而

即(ⅱ)成立.

(ⅲ)由定義5及(ⅰ)～(ⅱ)的證明即得.

綜上所述，定理5得證.

注3設(shè)A=(aij)n∈Mn，則

①存在A的酉相似的凸組合為diag(a11,…,ann)；