彭鑫鑫，張邦杰，李浩林，盛佳戀，江利中，徐 剛

（1.東南大學 毫米波國家重點實驗室，江蘇 南京 210096；2.中國空間技術(shù)研究院，北京 100098；3.上海無線電設(shè)備研究所，上海 201109）

0 引言

作為一種全天候、全天時的微波遙感工具，逆合成孔徑雷達（Inverse Synthetic Aperture Radar，ISAR）在民用和軍用領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。為了獲得二維高分辨率圖像，ISAR 不僅需要在發(fā)射機上發(fā)射寬帶信號以獲得距離維高分辨率，同時也需要依靠雷達和目標之間較大的視角變化來獲得方位維高分辨率。具體來說，方位維的分辨率取決于因目標運動而引起的雷達與目標之間的相對角度變化，即在相干處理時間（Coherent Processing Interval，CPI）內(nèi)形成的合成孔徑。分辨率是成像雷達的一項極其重要的指標，更高的分辨率可以得到更多的目標信息。隨著雷達技術(shù)不斷飛速的發(fā)展，雷達能夠?qū)崿F(xiàn)的任務(wù)也更加多樣化，包括成像、定位、跟蹤等。多功能雷達通過轉(zhuǎn)換為不同模式來實現(xiàn)不同的功能需求。由于多功能雷達工作狀態(tài)交換、觀測目標進行非協(xié)同機動運動等不可避免的因素存在，在一些實際應(yīng)用中只能對目標進行稀疏孔徑（Sparse Aperture，SA）測量。通過SA 測量得到的稀疏回波直接進行距離-多普勒（Range-Doppler，RD）成像，所得結(jié)果的方位維會產(chǎn)生嚴重模糊，使得ISAR 成像的結(jié)果與觀測目標有很大的差異。

目前已有的一類稀疏孔徑ISAR 成像方法是基于稀疏先驗信息的壓縮感知方法。通過對ISAR 圖像稀疏表征，壓縮感知方法可實現(xiàn)稀疏孔徑非模糊成像。然而，現(xiàn)有的壓縮感知類方法在進行稀疏重構(gòu)時，不可避免地會使用離散字典對信號進行稀疏表示，這類方法往往會因為模型不匹配而導致恢復誤差，是其固有缺點。相比較而言，矩陣填充（Matrix Completion，MC）不僅可以突破對數(shù)據(jù)的采樣限制，還可以直接進行稀疏數(shù)據(jù)重構(gòu)以避免直接成像引入的模型匹配問題。近年來，矩陣填充理論被引入到雷達成像應(yīng)用中，只要被隨機觀測的矩陣具有低秩特性，就可以通過矩陣填充技術(shù)實現(xiàn)雷達高分辨成像。從本質(zhì)上看，相較于使用離散字典的CS 方法，MC 方法沒有離散失配的問題，可被歸類為無網(wǎng)格技術(shù)。此外，還可以通過將得到的SA 回波構(gòu)造成Hankel 結(jié)構(gòu)來增強矩陣的低秩特性，從而獲得更好的MC 性能。

本文提出了一種基于Hankel 矩陣填充的稀疏ISAR 成像方法。根據(jù)每個距離單元的回波數(shù)據(jù)構(gòu)建Hankel 矩陣。然后對構(gòu)造的Hankel 矩陣的低秩性質(zhì)進行了驗證，為方位維成像提供先驗信息。最后，對基于增廣拉格朗日乘子（Augmented Lagrange Multiplier，ALM）的Hankel 矩陣填充進行逐步迭代求解，從而實現(xiàn)方位維成像。本文所提出的算法能夠克服CS 方法中的固有缺點，即因為模型不匹配導致恢復的二維圖像在方位維上仍然存在較大誤差。最后，使用實測數(shù)據(jù)進行了實驗驗證，通過比較Hankel 矩陣填充與全孔徑成像結(jié)果的擬合度，確認所提出算法的有效性。

1 信號模型

1.1 ISAR 成像信號模型

典型的ISAR 是在觀測時間內(nèi)雷達位置保持不變，目標發(fā)生運動。ISAR 通過距離-多普勒算法處理來自運動目標的回波，實現(xiàn)對運動目標的成像。在實際應(yīng)用場景中，觀測的運動目標的尺寸要遠大于發(fā)射波長，即目標位于雷達光學區(qū)，從而運動目標表面的散射特性保持穩(wěn)定。將觀測的運動目標近似為由多個散射點組成，當雷達發(fā)射寬頻帶信號且雷達與目標之間發(fā)生相對運動時，可同時實現(xiàn)距離維和方位維的分辨率成像。在目標與雷達的觀測視角發(fā)生變化的過程中，目標中存在的較強方向性部件會導致散射點的分布發(fā)生變化。對于ISAR 成像，在視角變化較小的情況下（一般為3°～5°左右），散射點在目標上的位置和強度可視為不變，即目標散射系數(shù)和散射點位置不變。在這種情形下，ISAR 可應(yīng)用散射點模型表示觀測目標，通過距離-多普勒算法得到目標高分辨率圖像。

雷達與目標之間的相對運動包括平移運動和旋轉(zhuǎn)運動。假設(shè)已完成精確穩(wěn)健的平動補償，即可用轉(zhuǎn)臺模型解釋ISAR 的成像幾何，如圖1所示。

圖1 ISAR 成像幾何Fig.1 Geometry of ISAR imaging

在圖1 轉(zhuǎn)臺模型中，將參考點視為在CPI 內(nèi)保持靜止的點。假設(shè)觀測目標由個散射點組成，并以恒定角速度圍繞參考原點做旋轉(zhuǎn)運動，那么，在遠場假設(shè)下散射點p(x，y)相對雷達的距離在慢時間域下可以表示為

式中：R為參考點到雷達的距離；x、y分別為散射點p在轉(zhuǎn)臺模型中的橫坐標和縱坐標。

基于散射點模型，所有個散射點疊加后的接收回波信號可以寫為

式中：雷達發(fā)射的寬帶信號為線性調(diào)頻（LFM）信號；σ為散射點p的散射系數(shù)；為電磁波在真空中的傳播速度；為快速時間，全時間=+；、和分別為LFM 信號的脈沖寬度、中心頻率和調(diào)頻率。

需注意，由于目標轉(zhuǎn)動角度較小，本文假設(shè)這里的旋轉(zhuǎn)運動并沒有產(chǎn)生越距離徙動（MTRC）。在完成匹配濾波、包絡(luò)對齊和相位校正后，距離維脈沖壓縮后的數(shù)據(jù)可以表示為

該公式忽略了一些常數(shù)相位項，為距離維脈沖壓縮后的快時間。式（3）的離散形式可以表示為

式中：為雷達系統(tǒng)的脈沖重復頻率；=1，2，…，和=1，2，…，分別為快時間域 距離維和慢時間域方位維的指數(shù)。

在全孔徑情況下，可以直接應(yīng)用二維傅里葉變換獲得ISAR 高分辨圖像。在SA 下得到的目標回波信號具有稀疏性，因此可以先進行矩陣填充，然后得到二維成像。

1.2 低秩特性分析

對于第個距離單元，式（4）中距離維脈沖壓縮后的數(shù)據(jù)可以用向量形式表示為

式中：為束參數(shù)。

為了說明所構(gòu)建矩陣的低秩特性，可將該Hankel 矩陣進行范德蒙分解：

觀察范德蒙分解可以看出，H的秩以為界。因此，基于稀疏孔徑回波構(gòu)造的Hankel矩陣是低秩的。

2 所提出的矩陣填充稀疏成像方法

利用第1 章中證明過的低秩特性，即可將稀疏孔徑成像問題轉(zhuǎn)化為低秩Hankel 矩陣的重構(gòu)問題，即

式中：X為待求的矩陣，其在觀測位置(，)∈Ω處元素與H相同，而在稀疏孔徑位置處的元素被設(shè)置為0。利用ALM 算法多次迭代來求解該問題。

首先，通過核范數(shù)最小化來替換秩最小化問題，從而將MC 問題表述為

然后，可以通過最小化增廣拉格朗日函數(shù)進行求解，從而獲得全孔徑回波

式中：X為要求解的結(jié)構(gòu)化低秩矩陣；E為H的未知項為零的矩陣；μ為一個給定的正數(shù)；Y為對偶變量。

整個算法流程如圖2 所示。

圖2 算法流程Fig.2 Flow chart of the proposed algorithm

接下來，可以通過迭代計算每一步的優(yōu)化問題來最小化目標函數(shù)(X，，，)。具體來說，主要步驟如下所示：

式中：svd(·)為奇異值分解操作；(·)為軟閾值操作；(·)為向區(qū)域Ω 投影。

算法流程如下。

最后，對本文所提算法的運算復雜度進行分析。所提算法的主要運算量在于式（11）和式（12）的求解：式（11）中矩陣奇異值分解的計算復雜度為(+·)，式（12）中矩陣乘積的計算復雜度為(·+(-+1)·)。假設(shè)所提ALM算法的循環(huán)迭代次數(shù)為，個距離單元，那么所提算法的運算復雜度為(··(·+(-+1)·))。

3 實驗分析

使用Yak-42 飛機的實際測量數(shù)據(jù)來驗證所提方法的性能。文中實驗均在Matlab R2021b 版本軟件實現(xiàn)，所用計算機主頻2.1 GHz，內(nèi)存16 GB。該雷達系統(tǒng)中心頻率為5.52 GHz，發(fā)射信號帶寬為400 MHz，脈沖重復頻率（Pulse Repetition Frequency，PRF）為400 Hz。實驗中使用了256 個距離采樣和256 個脈沖。在進行實現(xiàn)前首先對該數(shù)據(jù)進行了包絡(luò)對齊和相位自聚焦，使用均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）和相關(guān)系數(shù)（Correlation Coefficient，CORR）作為評估圖像質(zhì)量的指標，定義為

式中：=vec() 為矢量化的SA 圖像；=vec()為在全孔徑下的參考圖像。

使用本文所提出方法得到的圖像如圖3（a）所示，基于L1范數(shù)約束的CS 方法的圖像如圖3（b）所示，作為參考的全孔徑距離多普勒算法的結(jié)果如圖3（c）所示，0.5 稀疏率下的隨機SA 模式如圖3（d）所示。不同方法得到的圖像之間的差異用紅色虛線表示。

圖3 使用不同方法的性能表現(xiàn)Fig.3 Performance images with different methods

在圖3 中，在稀疏率為0.5 的情況下，直接使用稀疏孔徑得到的回波進行二維成像的效果是很不理想的，方位維產(chǎn)生嚴重模糊，R-D 算法結(jié)果與運動目標嚴重不匹配。Hankel 矩陣填充和CS 方法在低稀疏率下都可以彌補由SA 引起的方位維的模糊性。通過與全孔徑參考圖像結(jié)果對比，兩種算法的成像結(jié)果與運動目標具有很高的一致性。此外，通過對比所提方法與CS 算法的成像結(jié)果可知，本文所提方法的成像結(jié)果與全孔徑參考圖像具有更高的一致性。

比較兩者的運行程序時間：本文所提算法用時70.27 s，CS 算法用時18.74 s，兩者基本在一個數(shù)量級（需要說明的是，兩個算法均是未優(yōu)化版本，其中CS 算法利用快速傅里葉變換，具有較高的運算效率）。

為了更細致地觀察不同算法在SA 下的成像的準確性，本文選擇了一個距離單元，觀察該距離單元內(nèi)的散射點在不同的方位維單元的脈沖響應(yīng)恢復結(jié)果，細節(jié)如圖4 所示?？梢钥吹奖疚乃岱椒ǎ≒roposed）的恢復結(jié)果接近全孔徑，表明所提出方法的有效性和準確性。結(jié)合實驗結(jié)果可知，由于所提算法做的是全孔徑數(shù)據(jù)補全，其稀疏孔徑成像分辨率不會超過理想情況下全孔徑分辨率，其極限情況對應(yīng)全孔徑分辨率。

圖4 第125 距離單元方位維度上某一散射的脈沖響應(yīng)Fig.4 Pulse response of a certain scatter in the crossrange dimension of the 125th range cell

此外，為了定量分析各算法的性能，本文通過20 次蒙特卡羅模擬進一步評估了所提出方法在0.1到0.8 的不同稀疏采樣率（步長為0.1）下的性能，得到的RMSE 和COOR 的變化如圖5 所示。通過定量結(jié)果分析，相較于SA 和CS 方法，本文所提出的方法具有最低的RMSE 和最高的COOR，證明MC方法優(yōu)異的性能。

圖5 不同稀疏率下性能Fig.5 Performance versus the sparse rate

4 結(jié)束語

本文基于稀疏孔徑ISAR 成像方位維模糊，提出了一種無網(wǎng)格的Hankel 矩陣填充方法。相較于傳統(tǒng)CS 方法，本文所提方法的成像結(jié)果誤差更小，與全孔徑成像一致性更高，在不發(fā)生離散模型失配的情況下彌補由SA 引起的模糊并獲得高分辨率圖像。最后使用實測數(shù)據(jù)進行了性能測試，證明了所提出算法的有效性和優(yōu)越性。