唐義恒 王安國 陳 亮

(重慶市合川中學,401520) (重慶市合川區(qū)教育科學研究所,401520)

拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形,它具有許多有趣的性質.在近幾年的高考試題中,多次出現(xiàn)涉及阿基米德三角形的面積問題.本文以拋物線x2=2py(p>0)為例,闡述如何利用阿基米德三角形的兩個基本性質求解相應問題.

一、性質與面積公式

性質1阿基米德三角形底邊上的中線平行(或重合)于拋物線的對稱軸.

證明如圖1,設點A(x1,y1),B(x2,y2)在拋物線x2=2py(p>0)上,弦AB為阿基米德三角形的底邊,M為底邊AB的中點,D為兩切線DA,DB的交點.

易知過點A,B的切線方程分別為

x1x=p(y+y1),

①

x2x=p(y+y2).

②

下面利用該結論求解阿基米德三角形面積問題.

二、真題解答

(1)證明:直線AB過定點;

解(1)略.

例2(2021年全國高考題)己知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,且點F與圓M:x2+(y+4)2=1上點的距離的最小值為4.

(1)求p;

(2)若點P在圓M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點,求?PAB面積的最大值.

解(1)p=2.(過程略)

評注以上兩道試題求解的關鍵在于用兩切線橫坐標的和與積去銜接阿基米德三角形面積公式.這樣的思路不但可以避免求兩切點所在的直線方程、點到直線的距離及弦長,還能減少運算,提高解題速度.

三、變式拓展

變式已知拋物線C:x2=4y,PA,PB為C的切線,切點為A,B.

(1)若點P在直線y=x-3上,求?PAB面積的最小值;

(2)若點P在雙曲線y2-x2=1的下支上,求?PAB面積的最小值．

解設點P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2x0,x1x2=4y0.

與此同時,我們也能感受到,恰當使用阿基米德三角形的性質能簡化運算過程,減少運算量,可以使一些較難的問題得到比較方便的解決,從而提高解題速度和準確度.當然,阿基米德三角形中還隱藏有其他有趣的性質,等待著同學們?nèi)ヌ骄咳グl(fā)現(xiàn).