王長平，王 鵬

(福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，福建省分析數(shù)學(xué)及應(yīng)用重點實驗室,福建 福州 350117)

子流形的整體幾何與拓?fù)涫俏⒎謳缀晤I(lǐng)域研究的核心研究方向之一，其中一個代表性的問題為英國數(shù)學(xué)家Willmore[1]在1965年提出的Willmore猜想：

Willmore猜想Sn中的任何一個二維環(huán)面都滿足

其中H為其平均曲率向量，并且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)此環(huán)面(相差Sn的一個共形變換)為Clifford環(huán)面.

關(guān)于Willmore泛函和其變分臨界曲面的研究由來已久，歷史上最初見于1816年左右法國女?dāng)?shù)學(xué)家Germain關(guān)于彈性曲面能量的研究．1920年左右德國幾何學(xué)家Blaschke及其學(xué)生Thompsen已經(jīng)證明Willmore泛函是共形不變的，并將其變分臨界曲面-Willmore曲面- 稱為共形極小曲面，其研究成果寫入Blaschke關(guān)于微分幾何的德語專著之中[2]．由于Willmore能量是共形不變的，其研究自然成為共形幾何研究中的核心問題，吸引了全世界幾何學(xué)家的研究目光．而在此問題的研究中，數(shù)學(xué)家們也發(fā)展了很多重要的研究工具并開創(chuàng)了新的研究方向，其中一些典型的成果包括：Li等[3]建立了譜幾何中的特征值問題和Willmore泛函的不等式，從而第一個給出了這一猜想的部分證明，這一工作已成為了幾何分析研究的一個重要部分并被推廣到各種情形;Simon[4]第一個利用幾何測度論，證明存在Rn中的光滑環(huán)面，其Willmore能量為所有浸入二維環(huán)面的Willmore能量的最小值; Marques和Neves進(jìn)一步發(fā)展了幾何測度論方法，在n=3時完全解決了Willmore猜想，并利用他們的理論證明幾何和拓?fù)溲芯恐械囊恍┢渌匾孪?Bryant[5]研究了Willmore能量臨界曲面，即Willmore曲面，給出了二維球面的分類定理，開創(chuàng)了Willmore曲面研究的新領(lǐng)域; Burstall等[6-7]通過四元數(shù)分析等方法來研究Willmore球面和Willmore 環(huán)面及Willmore 猜想; Kuwert[8]和Rivière[9]等通過曲率流或者PDE方法在Willmore猜想和Willmore曲面研究取得一系列進(jìn)展，并推動了幾何偏微分相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展.

本文將首先回顧Sn的共形幾何，然后簡要介紹一下關(guān)于Willmore二維球面的研究進(jìn)展; 接下來回顧以下近年來Willmore猜想研究中的主要進(jìn)展;關(guān)于Willmore猜想在各個方向的推廣也是一個重要的主題，將簡要介紹一下Willmore猜想的兩個推廣，即關(guān)于Lawson嵌入極小曲面刻畫的廣義Willmore猜想和關(guān)于Willmore超曲面刻畫的廣義Willmore猜想.

1 Sn中的Willmore曲面

這里H為y在Sn中的平均曲率向量，1則是來自于Sn的截面曲率．稱y為Willmore，若它是Willmore能量的變分臨界曲面．由Gauss方程可知

由于Willmore能量和Willmore曲面是共形不變的，接下來將回顧一下Sn的射影光錐模型，主要參見文[7,10-11]．定義如下同胚：

Sn?P(L):y?[(y，1)]=[Y],

這一子空間與提升Y和復(fù)坐標(biāo)z的選擇無關(guān)，因此可以定義一個曲面的共形高斯映射[5,13]：

從幾何上來看，Vp恰好代表y在p點的二維平均曲率球[5,7,13-14].

選取V?C的一個局部標(biāo)架如下：

其中N∈V滿足〈N，N〉=0,〈N，Y〉=-1,〈N，Yz〉 =0．記V⊥為y的共形法叢，ξ∈Γ(V⊥)為法叢V⊥的任意一個截面，D為法聯(lián)絡(luò)，則曲面的結(jié)構(gòu)方程如下：

在此標(biāo)架下，y為Willmore曲面當(dāng)且僅當(dāng)Gr為調(diào)和映射，當(dāng)且僅當(dāng)Willlmore方程成立[5,7,13-14]：

注意到這是4階橢圓型偏微分方程組，于是 Willmore及相關(guān)的幾何量均為實解析的.

Bryant的一個重要結(jié)果說明，S3中的Willmore曲面均存在對偶曲面，這也是其分類Willmore二維球面的一個核心出發(fā)點．在高余維的情形，一般情況下Willmore曲面不再具有對偶曲面，由Ejiri的一個經(jīng)典結(jié)果[11,13-14]，如果一個Willmore曲面滿足

(1)

則它具有對偶曲面．將所有這樣的Willmore曲面稱為S-Willmore曲面，注意這與Ejiri原始定義稍有不同，這樣定義的好處在于，它恰好刻畫了具有對偶曲面的所有的Willmore曲面[11,13-14].

由于Sn中的Willmore曲面一般不再具有對偶曲面，馬翔引入了伴隨曲面的概念[10-11,14]．稱y1=[Y1]為y的伴隨曲面，若它滿足以下3個條件：(1)Y1∈V; (2)〈Y1z，Y1z〉≡0;(3)Y1z≡ 0mod{Y，Y1，Yz} 且V⊥?C.關(guān)于伴隨曲面的詳細(xì)討論，參見文[10-11,14-15].

定理1[10]Willmore曲面y的伴隨曲面y1=[Y1]:M2→Sn仍為分支Willmore曲面，并且在y1為浸入時，y也是y1的伴隨曲面．特別地，若y1退化為單點，或者y1在M的一個開稠集上的平均曲率球和y的平均曲率球重合時，y1為y的對偶曲面.

2 Willmore二維球面

簡要回顧一下Willmore二維球面研究的歷史．1984年Bryant關(guān)于S3中Willmore球面的分類定理[5,16]簡潔深刻，從Willmore曲面的整體幾何這一研究方向開啟了對于Willmore猜想的探索．這一工作對于理解Willmore曲面的分析性質(zhì)具有重要基礎(chǔ)價值．回顧此定理如下：

(2)當(dāng)k=2，3，5，7時不存在這樣的極小曲面; 當(dāng)k取其它值時，存在這樣的極小曲面[5,16-17].

Ejiri[13]，Musso[18]和Montiel[19]分別從不同角度將Bryant的分類定理推廣到S4中的Willmore二維球面．此時新的Willmore二維球面還包括了S4的twistor叢投影到S4中的twistor曲線，將一大類幾何中的重要曲面與Willmore曲面研究關(guān)聯(lián)起來.

(1)y為S-Willmore曲面，且屬于以下2種曲面之一:

(2)[19]對于以上Willmore二維球面，均有W(y)=4πk; 且對任意k∈Z+，存在S4中Willmore二維球面y，使得W(y)=4πk.

關(guān)于Twistor幾何的內(nèi)容，可參見文[13,20-23].

對于更高余維數(shù)的情形，Ejiri分類了具有對偶曲面(即S-Willmore)的所有Willmore二維球面，得到了類似的結(jié)果，并在論文最后提出公開問題，是否Sn中任何一個Willmore二維球面都是S-Willmore的？

在文[24]中，利用Dorfmeister等關(guān)于Willmore曲面的可積系統(tǒng)的研究方法[25-26]，給出S6中的第一個非S-Willmore的Willmore二維球面; 在文[27]中，利用文[28]和文[29]等工作，通過可積系統(tǒng)方法給出了Willmore二維球面的一個粗略的可積系統(tǒng)刻畫.通過進(jìn)一步對Willmore二維球面的分析性質(zhì)的討論，馬翔等給出了S5中Willmore球面的幾何分類，并構(gòu)造了第三類Willmore球面的例子.

關(guān)于此定理的詳細(xì)討論，參見文[11]．這里簡要回顧一下證明的概要．其核心的思想是構(gòu)造如下全純微分形式:

由于S2不存在非平凡的全純形式，因此Θ≡0．進(jìn)一步利用余維數(shù)的限制，可以證明或者S-Willmore條件(1)成立，或者此曲面的法叢有一個整體正交分解:T⊥S2=W1⊕W2，其中W2定義了一個新的整體調(diào)和映射，利用此調(diào)和映射，可以重新構(gòu)造出y的伴隨曲面y1，并證明其為R5中的某個特殊分支極小曲面．反之， 從R5中的某個特殊分支極小曲面出發(fā)，通過求解一個Riccati方程，給出了一些具體的S5的Willmore球面，這些Willmore球面不具有對偶曲面．詳細(xì)證明見文[11].關(guān)于齊性Willmore二維球面分類見文[30].

關(guān)于Sn中的一般Willmore二維球面，有如下猜想[11,14]：

(1)Rn中的一個虧格為0的具有平坦嵌入端的完備極小曲面.

在n≤8時可以證明此猜想成立，但更高維數(shù)的時候的由于伴隨變換產(chǎn)生的奇點難以消除，需要引入新的方法.

3 關(guān)于二維環(huán)面的Willmore猜想

本節(jié)回顧一下關(guān)于Willmore猜想的研究進(jìn)展．首先將介紹Li-Yau[3]關(guān)于Willmore猜想的部分證明的思路，接下來介紹一下Marques和Neves關(guān)于S3中的Willmore猜想證明的大致思路，最后大致介紹一下Lawson嵌入極小曲面ξg,1和關(guān)于它們的廣義Willmore猜想.

3.1 共形面積和Li-Yau關(guān)于Willmore猜想的部分證明

在文[3]中Li等引入了共形面積這一基本概念，并成功用于曲面的第一特征值估計和Willmore能量估計，第一個給出了限定共形結(jié)構(gòu)下Willmore猜想的證明.

定義1設(shè)(Mm，gM)為一個m維黎曼流形.

(2)記C(M，Sn)為從M到Sn的所有非常值分支共形映射組成的集合．黎曼流形(Mm，gM)的n維共形體積VC(M，n)定義如下：

(3)黎曼流形(Mm，gM)的n維共形體積VC(M，n)定義為：

由定義可知VC(y，n)，VC(M，n)和VC(M)為共形不變的．特別地，當(dāng)M為具有共形度量gM的二維黎曼面，n=2時，VC(y，2)恰好是4πdeg(y).

定理5[3]設(shè)M為一個黎曼面，具有共形度量gM.

(1)記λ1為gM的Laplace算子第一特征值，則有

λ1Area(M)≤2VC(M),

這里簡要介紹一下證明概要：第一部分的證明核心是利用Sn的共形變換，使得坐標(biāo)函數(shù)可以作為特征值的試探函數(shù)，用于估計第一特征值，從而給出結(jié)論; 第二部分則是基于Willmore能量和共形面積的共形不變性以及Willmore能量顯然大于面積這一簡單的不等式．具體證明參見文[3]或文[31]中的第3章3.8 節(jié).

回顧一下二維環(huán)面的共形類的如下模空間：令T2(a，b)=R2/Λ， 其中Λ=2πZ+2π(a+bi)Z，a2+b2≥1， 0≤a≤1/2,0

W(y)≥2π2，

(3)關(guān)于具有其他共形結(jié)構(gòu)的二維環(huán)面T2(a，b)的Willmore能量下界估計的近期工作參見文[34].

3.2 Marques和Neves關(guān)于S3中的Willmore猜想的證明

Marques[35]和Neves[36]關(guān)于Willmore猜想的證明,是過去十幾年中微分幾何研究的重要進(jìn)展，簡要回顧一下其證明的核心概要.

他們的工作的第一個出發(fā)點是Urbano關(guān)于S3中Clifford二維環(huán)面的面積指標(biāo)刻畫：

這里的面積指標(biāo)5=1+4有著清晰的幾何意義：其中4來自于S3的非等距的共形變換導(dǎo)致的極小曲面面積的減少; 1來自于面積變分的Jacobi算子的第一特征值，由于此時第一特征值的重數(shù)必須為1．由于通常這一特征值對應(yīng)的第一特征函數(shù)無法給出表達(dá)式，因此很難刻畫這一方向?qū)е碌拿娣e變換．這一困難的解決思路，來源于Ros的這一不等式[38-39].

此外，由Li-Yau的一個經(jīng)典結(jié)果[3]，如果y為一個非嵌入的定向閉曲面，則W(y)≥ 8π．因此要證明Willmore猜想，只需對嵌入曲面證明即可.

(2)通過Almgren-Pitts極小極大理論證明存在取得面積極值的嵌入極小曲面，其面積大于等于2π2;

(3)利用Ros的結(jié)論證明上述曲面的面積≤W(y);

(4)在等式成立時，證明此極小曲面的面積指標(biāo)Index(y)≤5，加上此時曲面虧格不為0(因此非全測地)，由Urbano定理可知此時曲面為Clifford極小環(huán)面.

關(guān)于此定理的進(jìn)一步細(xì)節(jié)參見文[35-36,40-41]．而進(jìn)一步利用此方法證明S4中的二維環(huán)面的Willmore猜想仍舊具有很多困難，Marques和Neves曾經(jīng)提出希望有一個Urbano型定理的推廣.近期，Kusner等給出了如下推廣：

如何將此結(jié)果推廣到Sn，n≥ 5，或者將其中虧格1的假定改為虧格≥ 1，仍舊是公開問題.

3.3 Lawson嵌入極小曲面和廣義Willmore猜想

首先回顧一下Lawson嵌入極小曲面ξm，k?S3的構(gòu)造．考慮S3中的兩個異面且互相垂直的大圓周:

γ={(0， 0，cosθ，sinθ)|θ∈[0，2π]}，γ⊥={(cosθ，sinθ，0， 0)|θ∈[0，2π]}.

考慮兩個圓周上的點

其中j∈Z2k+2，l∈Z2m+2．則{Pj}將γ均勻分為2k+2個大圓弧， {Ql}將γ⊥均勻分為2m+2個大圓弧.令Γj,1為S3經(jīng)過Pj和Ql的大圓周．令Γ0,1為S3中的測地四邊形P0Q0P1Q1，其邊界為連接兩個相鄰頂點的最短測地線(長度為π/2)．于是，由關(guān)于邊界Γ0,0的Plateau問題的解[43]，存在一個極小圓盤δ0,0使得其為S3中以Γ0,0為邊界的面積最小曲面．由Schwarz反射定理及Pj，Ql的對稱性，將δ0,0關(guān)于大圓Γj,1的反射給出了S3中的一個嵌入閉極小曲面， 記為ξm，k.Lawson證明這一曲面是嵌入的，虧格為mk的閉極小曲面，關(guān)于此曲面的幾何和分析性質(zhì)，詳見文[40，43-47].

這里簡要回顧一下近年來關(guān)于ξm,k的幾何和分析性質(zhì)進(jìn)展：

猜想2Sn中的任何一個虧格為g的二維定向閉曲面M都滿足

并且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)此環(huán)面在相差Sn的一個共形變換的意義下等價于ξm,k.

(2)Choe等證明[44]，Lawson嵌入極小曲面ξm,k?S3的第一特征值λ1=2，證明了這些曲面滿足關(guān)于極小超曲面的第一特征值的Yau猜想[31]．關(guān)于極小超曲面的第一特征值的研究，參見唐梓洲等關(guān)于等參超曲面的重要進(jìn)展[48]，及Brendle的重要論文[40,49].

(3)Kapouleas[45]和Wiygul[50]給出了Lawson極小曲面的幾個重要刻畫：

(i)[45]證明Lawson嵌入極小曲面ξg,1在S3中的面積指標(biāo)(Morse index)為2g+3，nullity為6.

(4)利用以上結(jié)果，以及Li-Yau等的共形面積，Kusner和王鵬證明:

(ii)Lawson極小曲面ξg,1是Willmore穩(wěn)定的.

4 Willmore超曲面的廣義Willmore猜想

這里I和II分別為M的第一和第二基本形式，H為平均曲率.

當(dāng)m≥ 3的時候，Willmore超曲面和Willmore子流形的研究變得非常復(fù)雜，特別地，此時極小子流形不一定仍是Willmore子流形．關(guān)于Willmore子流形的更多研究參見文[52-58]，其中文[53]在共形幾何框架下給出了Willmore子流形的基本理論，文[52]給出了Willmore子流形的第二變分公式，文[53-56]則分別側(cè)重于從黎曼幾何的框架下研究Willmore子流形的Simon型不等式及一般黎曼流形中的Willmore子流形，文[57-58]則是結(jié)合等參超曲面理論研究Willmore子流形及相關(guān)問題; 此外，在關(guān)于空間形式中子流形的積分型不等式方法有一系列相關(guān)重要工作，詳見文[59]，這里由于篇幅問題從略.

這里首先回顧經(jīng)典的Willmore-Clifford超曲面WTm,k的例子:

2001年，郭震等[52]提出了關(guān)于超曲面Willmore泛函的廣義Willmore猜想：

目前關(guān)于此猜想的研究進(jìn)展甚微，已知的一個重要的如下定理.

定理10[52]Willmore-Clifford超曲面WTm,k在Sm+k+1中是Willmore穩(wěn)定的.

一個自然的想法是在一些特殊情形證明這一猜想成立，或者將之前關(guān)于經(jīng)典的Willmore猜想的成功經(jīng)驗用于這一猜想研究，比如:

(1)在超曲面具有較好對稱性如S1-對稱性假定下證明這一猜想;

(2)對于具有Sr-葉狀結(jié)構(gòu)的超曲面證明這一猜想，這里1≤r≤max{m，k};

(3)Li-Yau定義的關(guān)于超曲面的共形體積這一共形幾何基本不變量和超曲面的Willmore泛函之間此時也缺少一個自然的關(guān)系，如何建立這兩者之間的關(guān)系式并用于以上猜想的研究，也是一個很有價值的問題，關(guān)于此方向的部分工作，參見文[16,60];

其中