顏閩秀, 接敬鋒

(沈陽化工大學信息工程學院, 沈陽 110142)

混沌理論被廣泛應用于環(huán)境污染、圖像或通信加密、故障診斷和土壤鹽漬化處理等方面[1-2]. 混沌系統對初始條件的強敏感性使得吸引子共存現象及其同步控制成為研究熱點[3-4]. 通常, 當混沌系統自身存在對稱特性時, 易產生多吸引子共存現象[5]. 具有對稱性的非線性動力學系統更能表現出多穩(wěn)態(tài)特性, 系統可根據外部環(huán)境在不同的穩(wěn)態(tài)之間進行切換[6-7]. 近年來, 多吸引子共存的實現方法備受關注. Lai等[8]利用非線性反饋控制輸入實現了多吸引子共存; Fang等[9]構造的四維分數階混沌系統能夠產生共存隱藏吸引子且存在極端多穩(wěn)態(tài)情況; Bao等[10]使用憶阻器代替耦合電路實現具有1個鞍點和2個穩(wěn)定焦點的混沌電路, 提出無限多吸引子共存的問題, 探究得出長期動力學行為與憶阻器的初始條件密切相關的結論; Huang等[11]認為混沌系統復變量的實部與虛部之間存在線性相關性, 并采用經典Lorenz系統表示其線性相關關系, 再利用復雜系統驗證了簡化定律; Rashidnejad等[12]通過研究混沌系統的有限時間同步, 提出分數階滑動面并進行實例評估; Yu等[13]在蔡氏電路中通過構造復合雙曲正切三次非線性函數成功產生多渦卷吸引子; 筆者[14]運用Silnikov定理引入零點分段函數, 通過擴展系統平衡點增加系統不變集, 構建出共存吸引子個數可調的混沌系統. 上述文獻主要是針對整數階混沌系統多吸引子共存現象開展的研究, 而分數階混沌系統的多吸引子共存鮮見報道. 本文擬應用Caputo定義Sprott A系統, 并在分數階Sprott A系統的基礎上增加含有余弦周期函數的非線性項,得到具有唯一平衡點的新分數階混沌系統, 以期在不同的初始條件下產生多重吸引子共存現象.進一步地, 設計自適應控制器, 以實現對新分數階混沌系統在參數未知情況下的同步控制.

1 混沌系統方程

經典Sprott A系統[15]為

(1)

應用Caputo定義系統(1), 得到

(2)

當系統(2)的初始值選取(0.1,0.1,0.1)時, 其動力學特性分析結果如圖1所示.

圖1 系統(2)的動力學特性分析Fig.1 Analysis of dynamic characteristics of system (2)

由圖1可見: 系統(2)在階次變化時存在從周期向混沌的轉化過程; 系統(2)在大范圍內的Lyapunov指數之和不為0, 具有混沌吸引子; 龐加萊截面圖中的密集成片點和時序圖中所展現的連續(xù)性都顯示出系統的混沌特性.

雖然系統(2)能產生混沌吸引子, 但是由于系統電路結構簡單而無法實現多重吸引子共存. 現對系統(2)增加非線性項和不確定參數, 得到新的分數階混沌系統

(3)

系統(3)相較于系統(2)結構更加復雜,余弦函數以及非線性項的添加使得共存吸引子的出現成為可能.設定初始條件a=6,b=5,q=0.98, 初始值為(1,1,1), 系統(3)產生的混沌吸引子如圖2所示.

圖2 系統(3)的混沌吸引子圖Fig.2 Chaotic attractor diagram of system (3)

2 系統的動力學特性分析

將系統(3)左端賦值為0,得到

(4)

選取參數a=6,b=5, 得到式(4)的唯一平衡點(133.5,0.447 2,49.76).據分析, Jacobian矩陣

(5)

的特征值為298.5, 0.040 2, -49.76, 故可判定其平衡點為一個不穩(wěn)定的鞍點.

當初始值為(1,1,1)時, 系統(3)的Lyapunov指數圖如圖3(a)所示, 其中Lyapunov指數L1=0.212 5,L2=0,L3=-0.379 9, 對應的Lyapunov維數

(6)

由圖3(a)可見系統(3)的Lyapunov指數存在正數、0和負數共存的情況.選取z=0, 得到x-y平面的龐加萊截面圖如圖3(b)所示. 由圖3(b)可知, 大量無規(guī)則密集點的存在表明系統(3)為混沌系統.

圖3 系統(3)的動力學特性分析Fig.3 Analysis of the dynamic characteristics of system (3)

3 系統的吸引子共存現象

設定參數b=5, 初始值為(1,1,1), 階數q=0.98, 得到a∈[3,10]時系統(3)的最大Lyapunov指數和分岔圖, 如圖4所示.由圖4可見, 系統(3)在a∈[3,4.2)時處于周期狀態(tài);a∈[4.2,4.5)時處于倍周期狀態(tài);a∈[4.5,10]時處于混沌狀態(tài).進一步地, 選取a=3,4.3,5,10, 系統(3)的吸引子圖如圖5所示.

圖4 a[3,10]時, 系統(3)的最大Lyapunov指數和分岔圖Fig.4 The maximum Lyapunov exponent diagram and bifurcation diagram of system (3) when a[3,10]

圖5 b=5時, 系統(3)的吸引子圖Fig.5 Attractor diagram of system (3) when b=5

設定參數b=3.8,a∈[3,6],q=0.98, 初始值分別選取x01=(-2.5, -2.5, -2.5),x02=(0.5, 0.5, 0.1).系統(3)在不同初始值時的分岔圖及共存吸引子圖如圖6～7所示.

圖6 b=3.8, 不同初始值下系統(3)的分岔圖Fig.6 b=3.8, bifurcation diagram of system (3) with different initial values

圖7 b=3.8, 不同初始值下系統(3)的共存吸引子圖Fig.7 b=3.8, coexistence attractor diagram of system (3) with different initial values

由圖6～7可見: 系統(3)在不同初始值作用下的動力學軌跡存在差異;a=3時, 存在周期吸引子共存現象;a=3.7時, 存在周期吸引子和倍周期吸引子共存現象;a=4時, 存在混沌吸引子與周期吸引子共存現象;a=5.3時, 存在混沌吸引子共存現象.

上述研究表明, 系統(3)存在大量來自不同區(qū)域的共存吸引子.當參數a=0.5,b=0.9, 階次q=0.98, 初始值選擇(-0.1k,-0.1,-0.1),k=π,1.5π,2π,2.5π時, 系統(3)的吸引子共存圖如圖8(a)所示. 圖8(a)顯示系統(3)存在4個周期吸引子.當參數選取a=5,b=10, 初始值選擇(0.1k,0.5,0.5),k=π, 1.5π,2π, 2.5π時, 系統(3)的吸引子共存圖如圖8(b)所示. 圖8(b)顯示系統(3)存在周期吸引子、倍周期吸引子和混沌吸引子共存的現象.仿真結果表明, 系統(3)可以通過選擇不同的初始條件產生不同的吸引子. 由于系統(3)中存在余弦周期函數, 這為無窮多混沌吸引子的產生奠定了條件, 當k趨近于無窮時能夠產生無窮多的共存吸引子.

圖8 系統(3)的多重吸引子共存圖Fig.8 Coexistence diagrams of multiple attractors in system (3)

4 自適應同步控制器的設計

選取系統(3)作為驅動系統, 并改寫形式為

(7)

其中xi為狀態(tài)變量,i=1,2,3;a,b為未知參數.

響應系統為

(8)

定義同步誤差ei=yi-xi.根據式(7)(8)得到誤差動態(tài)方程

(9)

(10)

選取控制參數k, 得到自適應控制器

(11)

設計參數自適應律

(12)

DqV≤e1Dqe1+e2Dqe2+e3Dqe3+eaDqea+ebDqeb.

(13)

將式(9)(10)(12)代入式(13), 得

根據Lyapunov穩(wěn)定性理論可知誤差系統處于漸近穩(wěn)定狀態(tài), 驅動系統(7)與響應系統(8)趨于同步.

5 仿真分析

為了驗證控制器的有效性, 應用MATLAB軟件進行仿真實驗. 設置驅動系統初始值為(1.5, 0.2, 2.5), 響應系統初始值為(1,2,-2), 誤差系統初始值為(-0.5,1.8,-4.5), 估計參數a=6,b=5, 階次q=0.98, 控制參數k=10.基于上述數據進行仿真, 得到同步仿真結果如圖9所示.由圖9可見, 驅動系統與響應系統可在短時間內實現同步, 誤差系統能快速趨近于0.進一步驗證了自適應控制器的可行性與有效性.

圖9 同步誤差Fig.9 Synchronization error

6 結論

本文對Sprott A系統進行分數階處理, 并在分數階Sprott A系統的基礎上增加非線性項, 得到能夠產生多重吸引子共存的分數階混沌系統.通過探討新分數階混沌系統的動力學特性和設計自適應控制器,實現了含未知參數情況下分數階系統的自適應同步.結果表明,新分數階混沌系統的混沌特性極其豐富,具有對初始條件強烈的敏感性, 能夠在不同參數和初始值的作用下產生多重吸引子共存乃至無窮多吸引子共存的情況. 本文設計的自適應控制器可在參數未知的條件下實現系統同步,具有一定的實際意義.