費德軍

摘要：利用數(shù)學(xué)軟件 Mathematica 的解方程組函數(shù)NSolve和繪圖函數(shù)ParametricPlot分析NaHCO3溶液中粒子濃度，并通過自動生成的圖形對粒子濃度變化趨勢進行深入分析。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)軟件;粒子濃度;NaHCO3溶液

文章編號：1008-0546（2022）07-0017-04中圖分類號：G632.41文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

doi：10.3969/j.issn.1008-0546.2022.07.004

Mathematica 是美國 Wolfram 研究公司生產(chǎn)的一種數(shù)學(xué)分析型軟件，以符號計算見長，也具有高精度的數(shù)值計算功能和強大的圖形功能。水溶液中的離子平衡部分內(nèi)容是高中化學(xué)的重點和難點。而粒子濃度大小比較中，弱酸酸式鹽的粒子濃度分析更是難點，一些教師得出的結(jié)論是片面的甚至是錯誤的。因此，筆者利用Mathematica對NaHCO3溶液中各種粒子的濃度進行全面深入的分析，假設(shè)溶液都處于室溫。

一、利用解方程組函數(shù)NSolve求算0.1000 mol·L-1 NaHCO3溶液中的各粒子濃度

NaHCO3在水溶液中會完全電離成 Na+和 HCO 3（-）， HCO 3（-）既能發(fā)生電離又能發(fā)生水解，即存在下列兩個平衡：

電離平衡： H++CO3（2）-

Ka2=[H+][CO3（2）-]/[HCO3（-）]= 4.84×10-11

水解平衡：HCO3（-）+H2OH2CO3+OH-

Kh2=[OH-][H2CO3]/[HCO3（-）]

水解平衡實際上是由水的電離平衡和H2CO3的電離平衡耦合而得。

水的電離平衡：H2OH++OH-

Kw=[H+][OH-]=10-14

H2CO3的電離平衡：H2CO3 H++HCO3（-）

Ka1=[H+][ HCO3（-）]/[H2CO3]=4.45×10-7

結(jié)合上述平衡，可以得出下列三個守恒式[1]：

電荷守恒（CBE）：[Na+]+[H+]=[HCO3（-）]+2[CO3（2）-] +[OH-]（4）

物料守恒（MBE）：[Na+]=[H2CO3]+[HCO3（-）]+[CO3（2）-] （5）

質(zhì)子條件（PBE）：[H2CO3]+[H+]=[CO3（2）-]+[OH-]

由于質(zhì)子條件式可以通過（4）式和（5）式推導(dǎo)而得，所以不算獨立的方程式。又[Na+]=0.1000 mol·L-1，因此可以利用（1）～（5）聯(lián)立解出[H+]、[H2CO3]、[HCO 3（-）]、[ CO 3（2）-]、[OH-]。但由于求解過程中會出現(xiàn)高次方程，所以很多文章里都提到了近似求解的方法，筆者在這里采取的是精確求解。為了方便起見，分別用x，y，z， m，n 代表上述濃度，則將方程簡化為：

=4.84× 10-11;xn =10-14; =4.45× 10-7;

0.1+ x = z +2m + n;0.1= y + z + m

啟動Mathematica，界面如圖1所示，然后輸入圖2所示的代碼并按Shift+Enter運行，可得出結(jié)果，由于NSolve函數(shù)給出的是所有可能的實數(shù)解，所以有三組解，但只有全為正數(shù)的一組解符合題意。因此可以得出：

[H+] =4.646× 10-9 mol · L-1;[H2CO3] =1.023× 10-3 mol·L-1;[HCO3（-）]= 9.796× 10-2 mol·L-1

[CO 3（2）-] =1.021× 10-3 mol · L-1;[OH-] =2.153× 10-6 mol·L-1

由此可知，0.1000 mol·L-1 NaHCO3溶液中各粒子的濃度大小順序為：[Na+]>[HCO3（-）]> [H2CO3]> [CO3（2）-] >?????? [OH-] >[H+]。由上述順序中可以得到結(jié)論：由于 HCO 3（-）的水解能力大于電離能力，所以溶液顯堿性（pH =8.33）且[H2CO3]大于[CO3（2）-]。

二、利用繪圖函數(shù)ParametricPlot描述 NaHCO3溶液中各粒子濃度與起始濃度的關(guān)系

討論完0.1000 mol·L-1 NaHCO3溶液中的各粒子濃度后，筆者準(zhǔn)備探究溶液中各粒子濃度隨 NaHCO3起始濃度 c 的變化關(guān)系。這里主要討論稀溶液，即 c≤0.1000 mol·L-1，因為稀溶液更接近理想溶液[2]，實驗值與理論值吻合度較高。根據(jù)H2CO3的分布系數(shù)可以得到NaHCO3溶液中[H2CO3]、[HCO3（2）-]、[CO3（2）-]的濃度：

又將（1）～（3）代入NaHCO3溶液的質(zhì)子條件中，并結(jié)合（6）～（8），整理得出下列四個表達(dá)式：

為了方便起見，分別用 x，y，z，m，n 代表[H+]、[H2CO3]、[HCO3（-）]、[CO3（2）-]、[OH-]，則將方程（2）及（9）～（ 12）簡化為：

利用上述方程，再結(jié)合 Mathematica 中的參數(shù)方程繪圖函數(shù)ParametricPlot可得出NaHCO3溶液中的各粒子濃度與NaHCO3起始濃度c的關(guān)系。繪圖之前，先利用上述方程組合成下列參數(shù)方程：

由于各粒子的濃度必須為正值，所以10-7 mol·L-1> [ H+] >4.64× 10-9 mol·L-1，即10-7 mol·L-1> x >4.64× 10-9 mol·L-1，繪圖時，將x限定在10-10～10-6之間。由于 x，y，z，m，n，c數(shù)值較小，所以在繪圖時，采取了負(fù)對數(shù)坐標(biāo)，代碼如圖3所示。

ParametricPlot函數(shù)運行結(jié)果如圖4所示，并在Mi? crosoft Office Word 中對曲線進行了標(biāo)注。從圖4中可以得到以下結(jié)論：

①當(dāng) c 在一定范圍內(nèi)（大致為10-1 mol·L-1～10-3 mol·L-1），溶液pH基本保持不變，約為8.33。

②隨著c減小，除[H+]增大之外，其余粒子濃度均減小，其中[HCO3（-）]變化可以近似地看成線性的。

③對于[H2CO3]和[CO 3（2）-]，在稀溶液中，相差不大;在極稀溶液中，相差1～2個數(shù)量級。對于[H+]和[OH-]，在稀溶液中，相差較大;在極稀溶液中，幾乎相等，接近10-7 mol·L-1。

④隨著c減小，始終有：[HCO3（-）]> [H2CO3]> [CO3（2）-] 和[OH-] >[H+]，但完整的順序可能有：

從上述離子濃度大小變化關(guān)系可以看出，當(dāng) NaHCO3溶液濃度越來越小時，水的電離的影響將越來越顯著，所以在分析各離子的濃度時，一定要全面地分析。

綜上所述，高中化學(xué)教師在教學(xué)中對于一些司空見慣的知識要敢于質(zhì)疑，敢于提出自己的想法，并利用自身的專業(yè)知識進行論證，只有通過這種途徑才能進一步提高自身的專業(yè)技能。

參考文獻(xiàn)

[1] 武漢大學(xué).分析化學(xué)（第5 版）[M]. 北京：高等教育出版社，2006：114-116.

[2] 韓德剛，高執(zhí)棣，高盤良.物理化學(xué)（第2版）[M]. 北京：高等教育出版社，2009：92-93.