THE USE OF MAJOR THIRD AND ITS CORRELATION WITH WELL-TEMPERAMENT IN

MOZART’S AND BEETHOVEN’S PIANO SONATAS

摘 要：有學(xué)者認(rèn)為，從巴赫到肖邦都是優(yōu)律的時(shí)代。巴赫使用的并非平均律已有良多討論，也有材料顯示，莫扎特、貝多芬，乃至19世紀(jì)的調(diào)律師都體現(xiàn)出對(duì)非平均律制的認(rèn)同。對(duì)莫扎特19首、貝多芬32首鋼琴奏鳴曲中大三度使用量的統(tǒng)計(jì)顯示，某些大三度比另一些大三度更常用，且大三度的使用量與在優(yōu)律中大三度的大小成反比關(guān)系。兩人鋼琴奏鳴曲的大三度使用量與18世紀(jì)下半葉各優(yōu)律大三度音分值的線性回歸顯示，當(dāng)時(shí)音樂家們對(duì)鍵盤律制有共同追求且律制之間有繼承的可能性很大。

關(guān)鍵詞：貝多芬;莫扎特;優(yōu)律;大三度;漸變?nèi)嚷?鋼琴奏鳴曲

中圖分類號(hào)： J624.1? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004-2172（2022）03-0088-18

DOI：10.15929/j.cnki.1004 - 2172.2022.03.010

在18世紀(jì)的音樂實(shí)踐中，存在著一些混合不同大小的五度調(diào)制而成的律制，它們和平均律一樣能實(shí)現(xiàn)24個(gè)大小調(diào)貫通使用，但又因?yàn)楦骱拖矣胁煌亩杜亩鴵碛衅骄伤鶝]有的調(diào)性色彩對(duì)比，人們稱之為“well-temperament/優(yōu)律”。像非平均律一樣，優(yōu)律是一種類稱，不是特指某一種律制。巴赫的鍵盤曲集Das Wohltemperierte Clavier的名稱所指的也是“well temperament/優(yōu)律”而非“equal temperament/平均律”，但中文一直沿用“平均律”的翻譯，可見在國內(nèi)人們并沒有意識(shí)到此中存在某種誤解，或者沒有引起重視。而西方學(xué)界在20世紀(jì)下半葉和21世紀(jì)初，圍繞巴赫所用優(yōu)律的問題已經(jīng)有過兩次規(guī)模不小的討論，赫伯特·安東·凱爾納①、約翰·巴恩斯②、馬克·林德利③、布拉德利·萊曼④、約翰·查爾斯·弗朗西斯⑤等若干學(xué)者均就此提出了各種證據(jù)，并發(fā)表了自己認(rèn)可的巴赫優(yōu)律方案。

律制的使用勢必對(duì)音樂風(fēng)格有所影響、對(duì)音樂創(chuàng)作有所規(guī)限。諸如阿拉伯的微分音、中國西北的歡苦音等，這些特別的音律產(chǎn)生了偏離常規(guī)的特殊色彩和別有意味的表達(dá)，姑且勿論是先有這些音律還是先有特殊的表達(dá)需要，實(shí)際的調(diào)律都是獲得這些色彩、實(shí)現(xiàn)這些表達(dá)的必要基礎(chǔ)。而后人對(duì)之前某個(gè)歷史時(shí)期律制使用狀況的了解，則會(huì)影響其對(duì)該時(shí)期音樂音響效果的想象以及對(duì)當(dāng)時(shí)音樂家某些創(chuàng)作特征的認(rèn)識(shí)。例如明確知道巴赫所用的鍵盤律制，就有助于更深入細(xì)致地理解他的48首前奏曲與賦格以及其它鍵盤作品的不同寫法及其表現(xiàn)力。事實(shí)上，目前的研究已初步揭示出，在巴赫音樂創(chuàng)作的年代——18世紀(jì)上半葉，歐洲鍵盤樂器調(diào)律采用的是優(yōu)律。那么，巴赫之后古典主義時(shí)期的鍵盤音樂是否也基于優(yōu)律？在此以一項(xiàng)對(duì)莫扎特、貝多芬鋼琴奏鳴曲大三度使用量的統(tǒng)計(jì)分析及其與優(yōu)律大三度大小的相關(guān)性研究，來對(duì)這一問題進(jìn)行探討。

一、研究假設(shè)：來自文獻(xiàn)的史實(shí)依據(jù)

到了18世紀(jì)下半葉，歐洲的鍵盤調(diào)律其實(shí)仍未定型。1744年，喬治·安德烈亞斯·佐爾格①

提出了一套律制，并于1750年造出兩尺長的測弦器拿到萊比錫市場上出售②，1758年又提出了相似的供卡莫頓管風(fēng)琴所使用的律制③。相繼地，1762年，焦?fàn)栠_(dá)諾·里卡蒂④發(fā)表了一個(gè)他認(rèn)為符合當(dāng)時(shí)實(shí)踐的律制⑤。1774年，約翰·海因里?！だ什尢岢鲆旬呥_(dá)哥拉斯音差分成7份放在F—C—G—D—A—E—B—F 的7個(gè)五度上⑦。1776年，費(fèi)里德里克·威廉·馬普格⑧發(fā)表了調(diào)音調(diào)律文獻(xiàn)《論樂律》⑨，不僅呈現(xiàn)了以純律為基礎(chǔ)的測弦器，還提出了若干套能調(diào)出非常接近平均律音律的調(diào)音法。1777年，讓·巴普蒂斯特·梅卡迪耶⑩提出過一種律制，和湯瑪斯·楊的律制很像。1771年，巴赫的學(xué)生和追隨者約翰·菲利普·基恩貝爾格提出了基恩貝爾格第Ⅱ律;1779年，他又提出了基恩貝爾格第III律。除這幾人之外，弗朗切斯科·安東尼奧·瓦洛蒂①

也提出了一種律制，可以說是18世紀(jì)幾種重要的優(yōu)律之一，研制于1754年，發(fā)表于1779年。②

巴倫·馮·維澤③在《聲音、發(fā)音和調(diào)律的分類》④中一共提出了4種律制。⑤貝多芬同時(shí)代的英國人托瑪斯·楊⑥在1800年提出的律制與內(nèi)德哈特的第1號(hào)循環(huán)律非常相似，與弗朗切斯科·安東尼奧·瓦洛蒂1779年提出的律制也僅是在兩個(gè)音上有2音分的差異。（詳見表1）

從表2中大三度的音分值來看，這些律制大體分成兩類。第一類是大三度呈有序漸變的，第二類是近似平均律的。第一類其實(shí)就是優(yōu)律，除了費(fèi)里德里克·威廉·馬普格，其他人提出的律制都屬這類。這類律制雖然對(duì)稱軸（即“最小大三度—最大大三度”）和漸變斜率有所不同，大三度的漸變傾向卻很清晰，支持了詹姆斯·默里·巴伯提出的以漸變?nèi)嚷勺鳛閮?yōu)律理想模型（詳見下文）的合理性。除了巴倫·馮·維澤的兩個(gè)律制之外，其他律制中F、C、G這3個(gè)音上的大三度均是最小的，最接近純律大三度。WIESE-No.3更像是“相反的中庸全音律”，4個(gè)大三度為408音分，另外8個(gè)為396音分，說“相反的”是因?yàn)橄馚—D、F—A、C—E、G—B這些在中庸全音律中本該較窄的大三度在這里反而是最大的。WIESE-No.1的大三度大小兩極分化比較嚴(yán)重，有6個(gè)偏大的大三度。WIESE-No.1最大的大三度位于D、A、E、B、F和C上，WIESE-No.3最大的大三度則位于B、F、C和G上，與其他律制相反。第二類就是費(fèi)里德里克·威廉·馬普格的11種律制，其中有5種都有均等的400音分大三度，另外6種的大三度偏離也不大，且排列相對(duì)雜亂，顯然他的思路更傾向于平均律。

可見，在18世紀(jì)下半葉，平均律還未成為調(diào)音的泛用標(biāo)準(zhǔn)，而且支持優(yōu)律的人更多。

除此之外，一些歷史線索也很能說明問題。海頓對(duì)查爾斯·克拉格特的專利——每個(gè)八度分成39個(gè)音的鋼琴（Telio-chordon）——贊譽(yù)有加，他認(rèn)為，雖然可能要花一些時(shí)間來熟習(xí)鍵盤布局，但這種鍵盤對(duì)音律的呈現(xiàn)是普通十二音鍵盤所難以企及的。⑦在莫扎特學(xué)生托馬斯·亞特伍德的筆記本里，記錄了莫扎特對(duì)大半音和小半音的手寫標(biāo)記，清楚地顯示了莫扎特認(rèn)為半音并不都是平均的。⑧巴赫的兒子C.P.E.巴赫在《論鍵盤演奏的真正藝術(shù)》中描述楔錘鍵琴與羽管鍵琴的調(diào)音時(shí)，只是提到調(diào)節(jié)“大多數(shù)的”五度而非“全部的”五度，此外，他還提到某些調(diào)在鍵盤樂器上的聽覺效果比在非鍵盤樂器上的更為純凈。①德國著名的音樂出版商、經(jīng)紀(jì)人海因里?！し评铡た枴げ┧估赵谒?782年出版的《音樂藝術(shù)初級(jí)教程》中提出②，可以先把一個(gè)八度分成3個(gè)均等的部分，如C—E—G—C，然后根據(jù)每個(gè)大三度調(diào)出相應(yīng)的4個(gè)稍微窄的五度。這樣的調(diào)音貌似能夠調(diào)出平均律，不過，可能是他自己也認(rèn)識(shí)到人耳辨音并非那么的可靠，所以他還是推薦讀者去買來自法蘭克?；蛘呷R比錫的十二音音叉。曾在1818年送過一架鋼琴給貝多芬的樂器制造商布羅德伍德（Broadwood），直到1841年才逐漸開始嘗試把所造的鋼琴調(diào)成平均律③（有學(xué)者認(rèn)為，那時(shí)調(diào)的并不是平均律）。貝多芬的傳記作者和抄寫員安東·費(fèi)利克斯·辛德勒曾提及，貝多芬在一定程度上接受對(duì)鋼琴獨(dú)奏和三重奏的調(diào)色彩描述，美國音樂學(xué)家羅斯·達(dá)芬認(rèn)為，這是貝多芬根據(jù)其鋼琴上某種非平均律思考的結(jié)果。④美國學(xué)者詹姆斯·默里·巴伯在研究平均律演變歷史時(shí)，梳理出一系列“復(fù)劃分體系”①以及70多種不規(guī)則調(diào)節(jié)律，佐證了優(yōu)律曾一度繁榮這一說法。歐文·喬根森在1977年寫道，“1854年通常被認(rèn)為是歐洲音樂世界最終并完全采用平均律的大致轉(zhuǎn)折點(diǎn)”②。更重要的證據(jù)是，亞歷山大·艾利斯在翻譯赫爾曼·馮·赫爾姆霍茨《論音感》時(shí)，邀請(qǐng)了7位當(dāng)時(shí)著名的調(diào)律師進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)他們調(diào)的都不是平均律③。

綜上所述，莫扎特、貝多芬時(shí)代的鍵盤使用優(yōu)律的可能性是很大的。但目前尚未發(fā)現(xiàn)對(duì)兩人用律的直接描述，筆者試圖從他們的作品中尋找線索。

二、研究設(shè)計(jì)：基于數(shù)字化樂譜的統(tǒng)計(jì)分析

自文藝復(fù)興時(shí)期起，人們?cè)桨l(fā)重視三度、六度音程的使用，為了保證大三度的聽覺品質(zhì)而犧牲五度純度的中庸全音律的出現(xiàn)就是有力的證明。但文化的變遷、音樂風(fēng)格的更迭都有過渡時(shí)期，原有的習(xí)慣在新時(shí)期會(huì)有所延續(xù)。在純律中，大三度音程的冠音正好是音程根音的泛音之一，在調(diào)準(zhǔn)的情況下，兩音同時(shí)發(fā)聲不會(huì)產(chǎn)生抖拍，有稍微音準(zhǔn)偏差的大三度則會(huì)有較慢的抖拍，而不好的或者跑調(diào)的大三度則會(huì)產(chǎn)生較快的抖拍。兩音同時(shí)發(fā)聲的時(shí)值越長，節(jié)奏越慢，抖拍越容易被聽出，即音程中的“不準(zhǔn)”越容易被辨認(rèn)出來。所以，除非有特別的意圖，否則，習(xí)慣于純律音響的音樂家們?cè)跁r(shí)值越長的音符上想要的應(yīng)是越接近純律的大三度。人們對(duì)純律的聽覺審美在中庸全音律時(shí)代有所延續(xù)，四分之一中庸全音律也正是因?yàn)槠渲杏?大三度最接近純律的音響而獲得了大批支持者。

然而，在中庸全音律中，前11個(gè)五度被收窄，致使最后第12個(gè)五度變成了“狼音五度”。寬出的“狼音五度”是跑調(diào)的，少則寬出15音分，多則寬出55音分，所以凡是包含這個(gè)五度的音階便不能用了。音樂家們不得不被限制，只能在少數(shù)可用的調(diào)上進(jìn)行創(chuàng)作。所以人們想方設(shè)法去突破，優(yōu)律和平均律都是解決方案。

平均律是“一刀切”的，全部大三度都“跑調(diào)”④，而優(yōu)律的情況則不同，由于可以混合使用不同大小的五度，所以其三度的大小自然可以有不同的變化。詹姆斯·默里·巴伯認(rèn)為，維克邁斯特、內(nèi)德哈特等人所設(shè)計(jì)的各種律制，無論是改良的中庸全音律還是優(yōu)律，都體現(xiàn)出他們想要讓常用的調(diào)聽上去更接近純律，而不常用的調(diào)可以“跑調(diào)”多一些的想法⑤。

10個(gè)指頭有長短，既然優(yōu)律12個(gè)大三度有優(yōu)有劣，音樂家們?cè)谑褂脮r(shí)必定有所偏倚。人們?cè)谡{(diào)制中庸全音律的時(shí)候，保留有對(duì)純律大三度聽覺審美的慣性。那么在使用優(yōu)律時(shí)偏向更純的大三度也合乎情理。約翰·巴恩斯⑥認(rèn)為作曲家會(huì)少用甚至不用不悅耳的音程，又或者對(duì)這些音程作不同時(shí)發(fā)聲的分解處理以弱化沖突，他通過對(duì)巴赫24首大調(diào)前奏曲中大三度的形態(tài)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)巴赫使用大三度的規(guī)律與維克邁斯特第III律中大三度的純度趨勢大致吻合，越純的大三度被使用得越多，所以他認(rèn)為巴赫當(dāng)時(shí)用的可能是維克邁斯特第III律。

所以，可以合理推斷，如果在18世紀(jì)下半葉優(yōu)律確實(shí)存在且更受支持，那么莫扎特、貝多芬對(duì)大三度的使用應(yīng)該也會(huì)像巴赫的那樣，呈現(xiàn)出一定的規(guī)律——更純的大三度用得更多。

（一）目的與方法

莫扎特的19首鋼琴奏鳴曲、貝多芬的32首鋼琴奏鳴曲是鋼琴學(xué)習(xí)者的經(jīng)典曲目，數(shù)量有一定規(guī)模且具有代表性。本研究將分別對(duì)兩人所有奏鳴曲中的12組大三度的使用量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并觀察他們大三度的使用量與大三度的大小之間是否存在關(guān)系。

考慮到作品篇幅長大，人手統(tǒng)計(jì)耗時(shí)漫長，所以筆者運(yùn)用了計(jì)算機(jī)程序來輔助。Humdrum Toolkit①是由大衛(wèi)·休倫（David Huron）于20世紀(jì)80年代開發(fā)的音樂分析工具，其中包括.kern格式的數(shù)字化樂譜及可以利用C++、Python等計(jì)算機(jī)語言進(jìn)行二次開發(fā)的分析軟件。本次分析就是基于.kern格式的數(shù)字化樂譜進(jìn)行的。

.kern格式是把五線譜中的音高、節(jié)奏等信息轉(zhuǎn)化為數(shù)字、字母、符號(hào)等組合，以方便計(jì)算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算。這種樂譜格式以時(shí)間為順序往下展開，相當(dāng)于把從左至右的五線譜變成從上往下的縱向形式，每一行表示新的音符或休止符出現(xiàn)的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖1中的框選所示。

部分符號(hào)標(biāo)記示例見表3。在樂譜之前，還可以通過注釋行補(bǔ)全作曲家、作品集、作品號(hào)及相關(guān)版權(quán)的信息。需要注意的是，在圖1中，每行譜只有一個(gè)聲部，所以一共只有兩列，若有雙音或多聲部則可以通過增加相應(yīng)數(shù)量的列來表示，例如有3個(gè)聲部就分三列，如此類推。要注意“.”的作用，如圖1第4小節(jié)第1拍，左手低音譜號(hào)第1個(gè)音是四分音符的D，“4D”，而右手第1個(gè)音是八分音符的a，“8a”， 右手第2個(gè)八分音符出現(xiàn)時(shí)左手“D”的聲音依然在延續(xù)，所以用“.”來表示，以此可區(qū)分是新出現(xiàn)的音符還是延續(xù)上一音符的聲音。裝飾音等會(huì)由其他特殊符號(hào)表示①。

（二）數(shù)據(jù)的采集

首先，要明確哪些情況需要納入統(tǒng)計(jì)。一個(gè)八度有12個(gè)音，以C音為例，要統(tǒng)計(jì)的是C—E大三度的使用量，分為如下幾類：

1.同時(shí)出現(xiàn)的，只包含C和E、不包含其他音符的大三度，轉(zhuǎn)位的六度及超過八度的復(fù)音程及也納入統(tǒng)計(jì)。由于旋律音程是兩音先后發(fā)聲的，不會(huì)出現(xiàn)聲音疊加，不納入統(tǒng)計(jì)。帶有延留音的大三度，如C音先出現(xiàn)，然后在其延留的過程中出現(xiàn)E音，在這種情況下，先出現(xiàn)的聲波經(jīng)過了一定時(shí)間的減弱，這樣即便有抖拍也會(huì)被弱化，所以也不納入統(tǒng)計(jì)。

2.考慮到在實(shí)際作品中只用三、六度音程的情況相對(duì)較少，包含大三度的三和弦及其轉(zhuǎn)位也可以納入統(tǒng)計(jì)范圍。大三和弦與小三和弦中均包含大三度，但是三和弦更多強(qiáng)調(diào)三音的色彩，大三和弦中強(qiáng)調(diào)的是大三度，而小三和弦強(qiáng)調(diào)的是小三度，所以在統(tǒng)計(jì)中只包括大三和弦而排除小三和弦。對(duì)于七和弦及其他不協(xié)和和弦，其中所包含的二度是產(chǎn)生不協(xié)和聽覺效果的主要因素，所以均排除在外。

以莫扎特《第一號(hào)奏鳴曲》第一樂章前9小節(jié)為例，譜例1中框出的音程與和弦會(huì)納入統(tǒng)計(jì)。

其次是要明確統(tǒng)計(jì)的單位。約翰·巴恩斯②和米歇爾·迪蓋③都是先統(tǒng)計(jì)出現(xiàn)的次數(shù)，然后再按照一定的重要性進(jìn)行加權(quán)。但是，這樣的權(quán)重是由文章作者自己提出的，并非作曲家本身的意愿，并不客觀。考慮到時(shí)值會(huì)影響聽眾對(duì)抖拍的辨認(rèn)，而且時(shí)值也是由作曲家親自決定的，所以筆者認(rèn)為用作品中大三度出現(xiàn)的時(shí)值來計(jì)算更為合理。統(tǒng)計(jì)中以三十二分音符為單位，大三度出現(xiàn)的時(shí)值有多少個(gè)三十二分音符則計(jì)數(shù)為幾。如上例中第一個(gè)和弦時(shí)值長為一個(gè)十六分音符，計(jì)數(shù)2。這樣，所出現(xiàn)的大三度和聲音程或大三和弦，其擁有的時(shí)值越長其權(quán)重越大。裝飾音不納入計(jì)數(shù)。

（三）實(shí)施步驟

利用基于網(wǎng)頁的JupyterLab可以編寫計(jì)算機(jī)程序?qū)?kern格式的樂譜進(jìn)行分析。以統(tǒng)計(jì)作品中C—E大三度為例：

第一步，從https：//kern.humdrum.org/下載需要分析的. kern格式的樂譜，并設(shè)定好文件路徑。

第二步，統(tǒng)計(jì)出現(xiàn)C—E音程的行。如上文所述，對(duì)于需要計(jì)數(shù)的行，C音和E音必定是同時(shí)出現(xiàn)的，而G音是可有可無的，即要選出樂譜中同時(shí)出現(xiàn)的“C”和“E”，但不包含除了“G”以外的其他字母以及“C#”“C-”“E#”“E-”的字符組合的行①。由于大字組和小字組的音高會(huì)用大小寫字母來區(qū)分，所以用“[Cc]”命令來表示“無論字母為大寫或小寫均包含在內(nèi)”。

第三步，確定所選行的權(quán)重。每個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)可能出現(xiàn)不同時(shí)值的音符，所以一行中可能有表示不同時(shí)值的數(shù)字。根據(jù). kern格式的設(shè)定，時(shí)值越小，表示該時(shí)值的數(shù)字越大，所以只需要把所選行的字母與數(shù)字拆分，并選出該行最大的數(shù)字，再倒數(shù)乘以32，即可得到該行時(shí)值等于多少個(gè)三十二分音符，這就得出了該行的權(quán)重。

第四步，求出一首作品中出現(xiàn)C—E大三度的行的權(quán)重的總和。

程序代碼如下：

printf $（echo “ ＼

$（cat $1 ＼

|grep -n ''.*''|grep -v -e '[！*]'＼

|grep -e '[Cc]'|grep -e '[Ee]'＼

|grep -Ev '[Cc]#|[Cc]-|[Dd]|[Ee]#|[Ee]-|[Ff]|[Gg]-|[Gg]#|[Aa]|[Bb]' ＼

|grep -Ev ''/]''|sed -E 's：（[0-9]+）（[^[：digit：]]+）：＼1＼t：g'＼

|awk 'BEGIN{SUM=0} {max=0;for（i=2;i<=NF;i++）if（$i>max）max=$i;SUM+=32/max} END{print SUM}'） ＼

''|bc）

對(duì)于存在等音的黑鍵音要分次進(jìn)行統(tǒng)計(jì)再求和。如要統(tǒng)計(jì)“C#/D-”上的大三度使用量就需要統(tǒng)計(jì)“C#—E#”和“D-—F”兩組之和。這組音程還有一種等音可能，重升B—三重升D，但已超出正常用音范圍，故不計(jì)算。

第五步，求出所有奏鳴曲中C—E使用量之和。

其他音上的統(tǒng)計(jì)如此類推。

三、統(tǒng)計(jì)結(jié)果與分析：對(duì)假設(shè)的支持

對(duì)貝多芬32首鋼琴奏鳴曲中大三度使用量統(tǒng)計(jì)見圖2（以三十二分音符為單位“1”，下同）。

莫扎特19首鋼琴奏鳴曲①中大三度使用量統(tǒng)計(jì)見圖3。

根據(jù)圖2、圖3的統(tǒng)計(jì)顯示，莫扎特、貝多芬兩人鋼琴奏鳴曲中大三度的使用量均呈“山形”，有雙峰，只是前者峰值位于“F”和“D”，后者峰值位于“E”及“C”上。明顯有些大三度較其他大三度更為常用，且呈現(xiàn)出一定的漸變。

（一）與漸變?nèi)嚷纱嬖诟呦嚓P(guān)

1.漸變?nèi)嚷伞獌?yōu)律的理想模型

詹姆斯·默里·巴伯是美國聲學(xué)家、音樂學(xué)家。他的博士學(xué)位論文就是研究平均律的發(fā)展史，后來他根據(jù)該論文擴(kuò)寫，形成音律專著《調(diào)音與調(diào)律》（Tuning and Temperament： A Historical Survey）。他研究分析了眾多律制之后提出，對(duì)于優(yōu)律，人們想要的其實(shí)是從常用調(diào)到非常用調(diào)大三度呈有序變化的律制，所以提出了漸變?nèi)嚷伞獌?yōu)律的理想模型。他提出的漸變?nèi)嚷墒且环N開放式的理論結(jié)構(gòu)：

為了獲得有序變化的大三度大小，真正需要的是對(duì)所有五度作變量調(diào)節(jié)而非限定一種大小的五度。設(shè)D—A的五度是最窄的，其五度鏈兩側(cè)的五度相繼逐漸變寬，最后A上的五度最寬。依次遞增的總量為1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36單位。因?yàn)檫@些量是分配到12個(gè)五度上的……我們可以選擇每單位的值以獲得想要的大三度大小。如果每單位為1音分，五度D—A為697音分，實(shí)際上就是一個(gè)中庸全音五度，而A—

E的五度就是703音分，差不多是純律五度;最優(yōu)的大三度C—E和G—B是392音分，擴(kuò)寬1/4音差;最差的大三度G—B和D—F是408音分，正好是畢達(dá)哥拉斯大三度①。

按圖4所示，若想要閉合五度循環(huán)，X和Δ必須滿足：12X+36Δ=12×平均律五度=12×700音分;若希望最小的大三度能是純律大三度，X和Δ就必須滿足：（X+2Δ）+（X+Δ）+（X）+（X+Δ）=4X+4Δ=386+2400音分。該模型沒有對(duì)最小五度的位置和三度漸變的斜率進(jìn)行限制，音樂家和調(diào)律師可以根據(jù)對(duì)八度、五度和大三度的偏好加以權(quán)衡自行微調(diào)。

若根據(jù)莫扎特、貝多芬的對(duì)稱軸，把X安排在G—D上，按照上述方法可以算出各音大三度和五度音分值，見表4、表5②。從表中可見，五度大小的變化趨勢與大三度大小的變化趨勢基本一致。

2.與漸變?nèi)嚷纱笕纫舴种档南嚓P(guān)性分析

對(duì)比圖2和圖5，能看出貝多芬大三度的使用量和漸變?nèi)嚷纱笕鹊囊舴种涤幸欢ǖ南嚓P(guān)性。

由于各大三度的計(jì)算以音分為單位，越接近純律的大三度音分值越小，而在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中，使用得越多的大三度統(tǒng)計(jì)量越大，兩者輪廓相反。為了方便從數(shù)理上進(jìn)行驗(yàn)證分析，需先把“山形”倒過來。把各音分值減去集合中最大的音分值，再取絕對(duì)值，這樣就在不改變遞變斜率的前提下把“倒山形”曲線變成了“正山形”，見圖6。

用卡方檢驗(yàn)來考察兩組數(shù)據(jù)分段概率結(jié)構(gòu)的相似度，原假設(shè)H0為兩組數(shù)據(jù)每個(gè)大三度上的值占該組數(shù)據(jù)總和的比例結(jié)構(gòu)相同?？紤]到卡方檢驗(yàn)每單元格頻數(shù)不低于5，或頻數(shù)大于1且小于5的格數(shù)不超過總格數(shù)的1/5，而且即便是“最不喜歡的”大三度，貝多芬也有一定的使用。所以根據(jù)貝多芬的最低使用量的比例對(duì)各值疊加一個(gè)基礎(chǔ)量，使兩曲線處于相仿的水平位置，見表6、圖7。

漸變?nèi)嚷傻拇笕纫舴种凳铅さ姆侄我辉淮魏瘮?shù)，常數(shù)的增加減少只改變曲線的高低位置，不改變其斜率，所以不會(huì)改變“山形”的坡度。至此，兩曲線的相似度已肉眼可辨。

計(jì)算得卡方值為6.073，自由度為11，P值為0.868。兩組數(shù)據(jù)各大三度的概率相似程度較高，有86.8%概率可以接受原假設(shè)，即有86.8%概率可以認(rèn)為貝多芬各大三度占所有大三度使用量之和的比例以及漸變?nèi)嚷筛鞔笕戎谠撀芍凶罴兇笕鹊囊舴制x占總音分偏離的比例的結(jié)構(gòu)相同。

在初步確定了貝多芬大三度使用量與大三度純度的相關(guān)性之后，筆者將對(duì)兩者進(jìn)行回歸分析做進(jìn)一步驗(yàn)證。通過繪制貝多芬大三度使用量

（Y）與漸變?nèi)嚷纱笕纫舴种担╔）的散點(diǎn)圖（圖8），可見兩組數(shù)據(jù)之間具有一定的線性相關(guān)。

以漸變?nèi)嚷傻拇笕纫舴种禐樽宰兞浚╔），貝多芬的大三度使用量做因變量（Y），進(jìn)行線性回歸分析，可求出Y=120515.294 - 287.851X的回歸方程。模型擬合優(yōu)度R為0.868，ANOVA分析見表7。

0.868的模型擬合優(yōu)度已經(jīng)很不錯(cuò)了，但還可以繼續(xù)優(yōu)化。在貝多芬的數(shù)據(jù)中，F(xiàn)和B音有明顯的偏離，剔除這兩個(gè)點(diǎn)后，模型擬合優(yōu)度上升至0.949，擬合方程為Y=153525.721 - 369.388X。

以上數(shù)據(jù)表明，貝多芬大三度使用量與漸變?nèi)嚷纱笕纫舴种涤泻艽蟮南嚓P(guān)性。

莫扎特的19首鋼琴奏鳴曲的大三度數(shù)據(jù)也顯示出相仿的結(jié)果。用相同的方式對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理（見表8、圖9），用于與莫扎特鋼琴奏鳴曲數(shù)據(jù)對(duì)比的漸變?nèi)嚷傻男甭视兴煌?，Δ?音分變成0.5音分，基礎(chǔ)疊加值為0，求得卡方值為6.292，自由度為11，P值為0.853。但由于有兩個(gè)單元格頻數(shù)為0，6個(gè)單元格期望計(jì)數(shù)小于5，雖然數(shù)據(jù)很漂亮，但卻是無效檢驗(yàn)。所以改成用Fisher精確概率法進(jìn)行計(jì)算，得到值為6.199，精確顯著性（雙側(cè)）為0.785，即兩組數(shù)據(jù)概率組成相似度達(dá)78.5%。

以漸變?nèi)嚷傻拇笕纫舴种禐樽宰兞浚╔），莫扎特的大三度使用量做因變量（Y），繪制成散點(diǎn)圖（圖10）。通過線性回歸分析，可求出Y=95145.190 - 232.736X的回歸方程，莫扎特的斜率與貝多芬的斜率其實(shí)非常接近。在未經(jīng)任何處理的情況下，R已經(jīng)為0.925，擬合優(yōu)度非常高，ANOVA分析見表9。

（二）18世紀(jì)下半葉普遍使用優(yōu)律的可能性

漸變?nèi)嚷芍皇且粋€(gè)理想模型，并非實(shí)際存在，所以本節(jié)對(duì)18世紀(jì)下半葉真實(shí)存在的律制和莫扎特、貝多芬兩人的數(shù)據(jù)分別進(jìn)行線性回歸，并作進(jìn)一步分析。具體系數(shù)與常量、顯著性及相關(guān)系數(shù)見表10、表11、圖11。

需要特別說明的是，費(fèi)里德里克·威廉·馬普格那些各大三度均為400音分的類平均律，由于只有一種大三度，是無法做線性回歸的（見圖12）。而且對(duì)其進(jìn)行討論也是沒有意義的，各大三度大小一致，抖拍一致，也就說明不存在任何差別，那么如何使用這些大三度就全憑作曲家意愿或其他因素的影響了。如果莫扎特、貝多芬用的是平均律，那么他根本不需要在乎哪些音程好聽不好聽、哪些調(diào)好用不好用，因?yàn)槿渴且粯拥摹?/p>

在表10、表11中，顯著性及相關(guān)系數(shù)是各律與貝多芬大三度統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作線性回歸優(yōu)劣的參考值。顯著性的值越小回歸方程擬合度越好，顯著性大于0.05表示擬合無效，相關(guān)系數(shù)越大說明兩組數(shù)據(jù)相關(guān)可能性越大。可以從兩點(diǎn)進(jìn)行討論：

其一，相關(guān)系數(shù)的高低與大三度布置的對(duì)稱軸有關(guān)。YOUNG1800和VALLOTTI1779在兩人數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)排名中均列前二，WIESE-No.1和KIRNBERGER1771均是最后兩名。對(duì)比大三度音分值可知，前兩者大三度的對(duì)稱軸是“C”—“#F”，即C最小—大三度依次往兩翼遞增—F最大。而后兩者則是對(duì)稱中心明顯不同，WIESE-No.1對(duì)稱軸位于“E-B”—“A-E”，而KIRNBERGER1771對(duì)稱軸則是“A-E”—“G”。除WIESE-No.3是完全相反的布置外，對(duì)稱軸越接近“C”—“F”的優(yōu)律相關(guān)系數(shù)越高。這說明在大三度的對(duì)稱軸布置上，莫扎特和貝多芬有一致的想法。

其二，在兩組數(shù)據(jù)各自的排序中，相關(guān)系數(shù)與律制發(fā)表年份有一定關(guān)系。貝多芬的第三、第四名是SORGE1758和KIRNBERGER1779，而莫扎特的第三、第四名是SORGE1744和

RICCATI1762， 前兩者比后兩者的發(fā)表年份更晚，不但與莫扎特、貝多芬兩人的年代吻合，也顯示出兩人對(duì)大三度的使用與自身所處時(shí)代的律制更貼合。貝多芬的第五、第六名是SORGE1744和RICCATI1762，剛好就是莫扎特的第三、第四名，莫扎特的第六名剛好是貝多芬的第四名，VALLOTTI1779研究的時(shí)間是在1754年，這與喬治·安德烈亞斯·佐爾格律制的發(fā)表時(shí)間又非常接近，這顯示出這些律制之間很可能有繼承關(guān)系。

這是巧合還是必然？不同時(shí)間不同地方的作者調(diào)出相似的律制，不排除有巧合的可能性，但解釋為來自18世紀(jì)音樂的聽覺經(jīng)驗(yàn)和理論積淀則更符合邏輯。在18世紀(jì)下半葉的歐洲音樂家們很有可能確如詹姆斯·默里·巴伯認(rèn)為的那樣，有著相同的調(diào)律追求，但只是由于調(diào)律技術(shù)的問題而致使最終效果有微小的差異。這十分耐人尋味。

余 論

從18世紀(jì)下半葉關(guān)于音律的歷史材料看，平均律在當(dāng)時(shí)并未成為泛用標(biāo)準(zhǔn)，支持優(yōu)律的人更多。優(yōu)律中有某些大三度更接近純律大三度，其他大三度則根據(jù)一定的對(duì)稱軸和斜率有序漸變。統(tǒng)計(jì)顯示，莫扎特19首鋼琴奏鳴曲、貝多芬32首鋼琴奏鳴曲的大三度使用量呈現(xiàn)出某些大三度更常用的“山形”趨勢，與大三度的大小成反比，與優(yōu)律的大三度漸變存在高相關(guān)。與18世紀(jì)下半葉各優(yōu)律大三度音分值的線性回歸表明，當(dāng)時(shí)音樂家們對(duì)大三度對(duì)稱軸的布置有相同的追求，而且律制之間有繼承的可能性很大。筆者認(rèn)為，雖然暫未有充分的材料證明莫扎特、貝多芬使用的是哪一種優(yōu)律，但從他們的作品中確實(shí)看到了優(yōu)律的影子。

變化的大三度讓優(yōu)律具有了平均律所沒有的調(diào)性色彩對(duì)比，聽覺效果與平均律也會(huì)有所不同?，F(xiàn)代學(xué)者已經(jīng)開始關(guān)注用優(yōu)律來演奏貝多芬鋼琴作品的效果，如威廉·卡瓦根①認(rèn)為用基恩貝爾格第Ⅲ律來演奏貝多芬《迪亞貝利變奏曲》特別合適，他訝異于非平均律在現(xiàn)代鋼琴上也能有如此明顯的效果;調(diào)音與調(diào)律專家馬克·林德利在《新格羅夫音樂與音樂家辭典》中寫道，“（Mercadier1776、Thomas Young1800、Lambert1774等）這些精良的律制通常是最適合用于18世紀(jì)晚期音樂的”①。像某些律制的降

A大調(diào)中，D音因?yàn)樗偷囊舾咴偌由吓cC音的密切關(guān)系，聽上去會(huì)特別溫柔。林德利認(rèn)為，這樣的色彩能為如貝多芬鋼琴奏鳴曲《悲愴》的柔板樂章這類用了許多降號(hào)的作品帶來難以想象的美感。Chuan C. Chang提出，貝多芬鋼琴奏鳴曲《月光》的第一樂章、《華爾斯坦》的第三樂章是能考察基恩貝爾格第Ⅱ律和平均律之異同的作品。②筆者也親自嘗試在用布拉德利·萊曼構(gòu)建的巴赫優(yōu)律來調(diào)律的鋼琴上演奏貝多芬的奏鳴曲《春天》（為小提琴和鋼琴而作），確實(shí)有和平均律截然不同的聽覺體驗(yàn)。③所以，我們可以嘗試基于優(yōu)律來思考、理解古典主義時(shí)期的鍵盤作品，特別是莫扎特，從數(shù)據(jù)看，他與優(yōu)律的關(guān)系甚至比貝多芬更為密切。

① Herbert Anton Kellner，“Baroque temperament，” 詳見http：//plaza.ufl.edu/wnb/baroque_temperament.htm，訪問日期：2022年2月22日;同見李玫：《東西方樂律學(xué)研究及發(fā)展歷程》，中央音樂學(xué)院出版社，2007，第184頁，注①。

② John Barnes，“Bach’s keyboard temperament： Internal evidence from the ‘well-tempered clavier’，” Early Music，vii/2 （1979）： 236-249.

③ Mark Lindley，“Bach’s temperament，” Early Music，xxxx/1（2012）： 167.

④ Bradley Lehman，“Bach’s extraordinary temperament： our Rosetta Stone-1，” Early Music，xxxiii/1（2005）： 3-23 及Bradley Lehman，“Bach’s extraordinary temperament： our Rosetta Stone-2，” Early Music，xxxiii/2（2005）： 211-31.

⑤ John Charles Francis，“The Keyboard Temperament of J. S. Bach，”Eunomios，06/25/2004.

① Georg Andreas Sorge（1703—1778）是18世紀(jì)德國的理論家、管風(fēng)琴家和作曲家。他在1747年加入了米茲勒社團(tuán)，同年約翰·塞巴斯蒂安·巴赫也加入該社團(tuán)。

② Willem Kroesbergen et al.，“18th century quotations relating to J.S. Bach’s temperament，” retrieved from https：//www.huygens-fokker.org/docs/Kroesbergen_Bach_Temperament.pdf.

③ Bradley Lehman， “Variant of the temperament for vocal ensemble accompaniment，” http：//www-personal.umich.edu/～bpl/larips/vocal.html.引用日期：2022年4月5日。

④ Giordano Riccati（1709—1790）是意大利的物理學(xué)家，他曾與瓦洛蒂有多次信件往來。

⑤ Mark Lindley，“Temperaments，§7： Irregular temperaments from 1680，”in THE NEW GROVE：Dictionary of Music and Musicians（second edition），ed.Stanley Sadie（Oxford：Oxford University Press，2001），湖南文藝出版社2012年引進(jìn)出版，第25卷，第257頁。

⑥ Johann Heinrich Lambert（1728—1777）出生于法國牟羅茲（當(dāng)時(shí)瑞士的飛地），后卒于柏林，終年49歲，對(duì)數(shù)學(xué)、物理、哲學(xué)、天文學(xué)等學(xué)科做出了重要貢獻(xiàn)。

⑦ Mark Lindley，“Well-tempered clavier，”in THE NEW GROVE：Dictionary of Music and Musicians（second edition），ed. Stanley Sadie，第27卷，第276頁。

⑧ Friedrich Wilhelm Marpurg（1718—1795）是德國的作曲家、音樂批評(píng)家、音樂理論家、重要的調(diào)音調(diào)律學(xué)家。

⑨Friedrich Wilhelm Marpurg，Versuchüber die musikalische Temperatur（Breslau：Johann Friedrich Korn， 1776）.

⑩Jean Baptiste Mercadier de Belesta （1750—1816），法國科學(xué)家、工程師、音樂理論家。

James Murray Barbour，Tuning and Temperament： A Historical Survey（East Lansing： Michigan State Press， 1951），p.168f. 詹姆斯·默里·巴伯轉(zhuǎn)述了安東尼·舒爾曼-米瑟里的觀點(diǎn)，其文獻(xiàn)參見：Antoine Suremain-Missery，Théorie acoustico-musicale （Paris： Fran?ois Didot， 1793）.

Johann Philipp Kirnberger（1721—1783）是18世紀(jì)德國的理論家、音樂評(píng)論家、作曲家。

① Francesco Antonio Vallotti（1697—1780）是18世紀(jì)意大利的音樂理論家、作曲家和管風(fēng)琴家。1722年成為帕多瓦圣安東尼奧教堂的管風(fēng)琴師;1730年成為合唱樂長，在任長達(dá)50年。

②劉寶利：《談巴赫〈十二平均律〉曲集的律制及鍵盤樂器的“十二非平均律”》，《樂府新聲（沈陽音樂學(xué)院學(xué)報(bào)）》2009年第3期，第154～158頁。

③Christian Ludwig Gustav Baron von Wiese （1732—1800），德國人，1732年出生于安斯巴赫，曾發(fā)表樂律理論及實(shí)踐指導(dǎo)專著和若干論文。

④Christian Ludwig Gustav Baron von Wiese，Versuch über die logisch-mathematische Klangeintheilungs- Stimmungs- und Temperatur-Lehre（Dresden- Friedrichstadt： Wittwe Gerlach， 1793）.

⑤James Murray Barbour，Tuning and Temperament： A Historical Survey，p.158f.

⑥ Thomas Young（1773—1829）是英國的物理學(xué)家。

⑦ Ross W. Duffin，How Equal Temperament Ruined Harmony （and Why You Should Care ）（New York·London： W.W.Norton & Company， 2007），pp.84-85.

⑧Ross W.Duffin，How Equal Temperament Ruined Harmony （and Why You Should Care），p.65.

①各律按“造律者姓+序號(hào)（如有）+發(fā)表年份”標(biāo)記。

②John O’Donnell，“Bach’s temperament， Occam’s razor， and the Neidhardt factor，”Early Music， xxxiv/4（2006）： 625-633.

③根據(jù)“More Complicated Temperaments”“Variant of the temperament for vocal ensemble accompaniment”及“Circular 12-note temperaments”所述的調(diào)音法計(jì)算并移至實(shí)際音高。3篇文章分別參見：http：//www.quadibloc.com/other/mus01.htm、http：//www-personal.umich.edu/～bpl/larips/vocal.html及https：//www.prismnet.com/～hmiller/music/warped-canon-12note.html。

④根據(jù)“Temperaments，§7： Irregular temperaments from 1680”的描述計(jì)算所得，音分值四舍五入取整。Stanley Sadie，THE NEW GROVE：Dictionary of Music and Musicians（second edition），第25卷，第257頁。

⑤根據(jù)“Well-tempered clavier”表1中的調(diào)音法計(jì)算所得，音分值四舍五入取整。Stanley Sadie，THE NEW GROVE：Dictionary of Music and Musicians（second edition），第27卷，第276頁，表1。

⑥James Murray Barbour，Tuning and Temperament： A Historical Survey，table 153.

⑦James Murray Barbour，Tuning and Temperament： A Historical Survey，table 132.

⑧根據(jù)“Well temperament”及“Temperaments Ⅶ： Werckmeister Ⅲ”的調(diào)音法計(jì)算所得，音分取整四舍五入。兩篇文章分別參見：https：//www.teoria.com/en/articles/temperaments/04-well-temperament.php及https：//www.hpschd.nu/index.html？nav/nav-4.html&t/welcome.html&https：//www.hpschd.nu/tech/tmp/werckmeister.html.

⑨劉寶利：《談巴赫〈十二平均律〉曲集的律制及鍵盤樂器的“十二非平均律”》，《樂府新聲（沈陽音樂學(xué)院學(xué)報(bào)）》，2009年第3期，第154～158頁。

⑩James Murray Barbour，Tuning and Temperament： A Historical Survey，table 133-134。由于沒有找到更多相關(guān)資料，在此僅羅列詹姆斯·默里·巴伯提及的兩種。

James Murray Barbour，Tuning and Temperament： A Historical Survey，table 152.

James Murray Barbour，Tuning and Temperament： A Historical Survey，table 139（I律），144（G律），147（F律），154（D律），159（C律），161（B律），163（No.1），164（No.2），165（A律），166（E律），143（H律）.

① C.P.E. Bach ， Essay on the True Art of Playing Keyboard Instruments，trans.William J. Mitchell（New York： W. W. Norton & Company，1948）， p.37.

②Heinrich Philipp Bossler， Elementarbuch der Tonkunst （Speier： gedrukt mit Enderesischen Schriften，1782），pp.xxiv-xxvi. 同見James Murray Barbour，Tuning and Temperament： A Historical Survey，p.49.

③ Alexander Ellis，“On the History of Musical Pitch，”Journal of the Society of Arts， xxviii（1880）： 295.

④ Ross W. Duffin，How Equal Temperament Ruined Harmony（and Why You Should Care），p.85. 同見Constance S. Jolly，Beethoven as I knew Him，ed. D.W. MacArdle（Chapel Hill：The University of North Carolina Press，1966），p.367.

⑤ 費(fèi)里德里克·威廉·馬普格的No.1、No.2、C律、F律、I律所有大三度均為400音分，不重復(fù)羅列。

① 英文原文為“Multiple Division”，分別是把八度均分成17、19、22、24、31、34、36、41、42、43、50、53、55、56、65、67、74、81、98、105、112、117、118等份，涉及6種微分音鍵盤以及23種可以用于制作微分音鍵盤的八度均分體系。

② Owen Jorgensen，Tuning the Historical Temperaments By Ear（Marquette： Northern Michigan University Press，1977），pp.1-2.

③ Alexander J. Ellis，“Additions by the Translator，”in On the Sensations of Tone，ed. Hermann von Helmholtz （London： Longmans，Green，and CO.，1895），p.485，and Figure 1.7.

④ 這里的“跑調(diào)”指的是之于純律的偏離。

⑤ James Murray Barbour，Tuning and Temperament： A Historical Survey，pp.178-184.

⑥ John Barnes， “Bach’s keyboard temperament： Internal evidence from the Well-Tempered Clavier，” Early Music， vii/2 （April 1979）： 236-249.

① 詳見www.humdrum.org .

② 詳見https：//www.humdrum.org/guide/ch02/， example 2.2 .

① 更詳細(xì)的介紹參見www.humdrum.org .

② John Barnes，“Bach’s keyboard temperament： Internal evidence from the Well-Tempered Clavier，” Early Music， vii/2 （April 1979）： 236-249.

③ Michèle Duguay，The Influence of Unequal Temperament on Chopin’s Piano Works. Schulich School of Music，McGill University，2016.

① 此節(jié)因涉及編程代碼，為便于閱讀，升降記號(hào)保留原有標(biāo)記方式。

① 在kern數(shù)據(jù)庫中，莫扎特鋼琴奏鳴曲只有17首，缺失的K.533和K.547由筆者進(jìn)行人工統(tǒng)計(jì)補(bǔ)上。

① James Murray Barbour， Tuning and Temperament： A Historical Survey， Chapter VII：181-184.

② 需要注意的是，這里的計(jì)算只是一個(gè)假設(shè)的理論方案，僅供參考。在古典時(shí)期沒有能準(zhǔn)確測量音分值的儀器，只能靠耳朵分辨。

① 實(shí)線示意漸變?nèi)嚷筛鞔笕戎谠撀芍凶罴兇笕鹊囊舴制x占總音分偏離的比例，虛線示意貝多芬鋼琴奏鳴曲中各大三度的使用量占所有大三度使用總量之和的比例。

① Marpurg的No.1、No.2、C律、F律、I律所有大三度均為400音分，不重復(fù)羅列。

① William Carragan，“Beethoven： Diabelli variations： The record connoisseur's magazine，”American Record Guide（Nov.，1997）： 60，99-101.

①M(fèi)ark Lindley，“Temperaments，§7： Irregular temperaments from 1680，”in THE NEW GROVE：Dictionary of Music and Musicians（second edition），ed.Stanley Sadie，第25卷，第257頁。

② Chaun C. Chang，F(xiàn)undamentals of Piano Practice，p.235，http：//www.pianopractice.org/book.pdf.

③ 余思韻：《21世紀(jì)初歐美學(xué)者再論“巴赫律”的英文論文選譯及述評(píng)》，碩士學(xué)位論文，星海音樂學(xué)院，2019。

收稿日期：2022-04-19

作者簡介：余思韻（1988— ），女，碩士，上海音樂學(xué)院音樂藝術(shù)研究院（音樂研究所）編譯（上海 200031）。