張增場

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引言

對于測量技術(shù)人員來說,“數(shù)學(xué)精度檢測”這個詞并不陌生。“數(shù)學(xué)精度”是成果主要的質(zhì)量元素之一,通常以成果“中誤差”來衡量。對于大比例尺地形圖來說,“數(shù)學(xué)精度”占成果質(zhì)量的權(quán)重為0.2,正確計算成果的“數(shù)學(xué)精度”對于測繪成果質(zhì)量評定來說尤為重要。

“數(shù)學(xué)精度檢測”是評定成果數(shù)學(xué)精度的主要方法,規(guī)范上還有“高精度檢測”、“同精度檢測”的區(qū)別,計算成果中誤差的公式相應(yīng)也不同。

GB/T 24356-2009《測繪成果質(zhì)量檢查與驗收》中對“高精度檢測”定義為:“檢測的技術(shù)要求高于生產(chǎn)的技術(shù)要”;對“同精度檢測”定義為:“檢測的技術(shù)要求與生產(chǎn)的技術(shù)要求相同”[1]。該定義僅從技術(shù)要求上對高精度檢測與同精度檢測加以區(qū)別,并沒有從明確的精度指標(biāo)加以區(qū)別。這樣在某些方面應(yīng)用時會引起歧義,比如:航空攝影測量中采用空中三角測量加密保密點的方式用以檢測數(shù)字線劃圖(DLG)成果精度,到底屬于“高精度檢測”還是“同精度檢測”呢?按照上述規(guī)范定義,這種采用空三加密保密點的技術(shù)要求明顯高于數(shù)字線劃圖生產(chǎn)的技術(shù)要求,那到底能不能算作“高精度檢測”呢?

筆者總結(jié)其多年的測繪工作經(jīng)驗,提出了從“精度指標(biāo)”的角度來區(qū)分“高精度檢測”與“同精度檢測”,即檢測點(邊)的精度指標(biāo)(中誤差)小于成果精度指標(biāo)(中誤差)的某個倍數(shù)值時,才能算作高精度檢測;同時推導(dǎo)出一般情況下數(shù)學(xué)精度檢測計算成果中誤差的公式。這樣更方便測繪技術(shù)人員區(qū)分“高精度檢測”與“同精度檢測”,更能夠準確的計算成果中誤差。

由于筆者水平有限,不到之處還請批評指正。

1 數(shù)學(xué)精度檢測概述

“數(shù)學(xué)精度檢測”是指采用一定的技術(shù)手段,對成果的數(shù)學(xué)精度進行檢測統(tǒng)計,并與規(guī)范要求的精度指標(biāo)比較,評定成果“數(shù)學(xué)精度”的質(zhì)量。數(shù)學(xué)精度一般以“中誤差”表示,GB/T 24356中規(guī)定:當(dāng)檢測點(邊)數(shù)大于20個(條),高精度檢測時,中誤差的計算公式為式(1):

式中:

M:成果中誤差;

n:檢測點(邊)總數(shù);

Δi:較差。

同精度檢測時(檢測點(邊)數(shù)大于20),中誤差計算公式為式(2):

式中:

M:成果中誤差;

n:檢測點(邊)總數(shù);

Δi:較差。

顯然,高精度檢測與同精度檢測計算中誤差的公式是不同的,這就是我們在數(shù)學(xué)精度檢測計算成果中誤差的時候為什么首先要明確是高精度檢測還是同精度檢測的原因。

2 中誤差計算公式的推導(dǎo)

下面我們來推導(dǎo)數(shù)學(xué)精度檢測中成果中誤差計算的公式:

設(shè)對一列n個真值分別為l1、L2、L3…Ln的量進行了兩次觀測(假設(shè)每次觀測精度相同,兩次相對獨立,如:對數(shù)字線劃圖實施精度檢測,精度檢測過程為第一次觀測,數(shù)字線劃圖生產(chǎn)過程為第二次觀測),得到兩組觀測列:

顯然,Δi就是兩次觀測值的較差。

我們用σΔi表示每個量兩次觀測值較差的中誤差,σXi表示每個量第一次觀測值的中誤差,σYi表示每個量第二次觀測值的中誤差,因每次觀測精度相同,可以認定:

數(shù)學(xué)精度檢測為兩次對同一個量進行觀測,其較差真值應(yīng)為“0”,故Δi為真誤差,根據(jù)中誤差的定義[2],有

因兩次觀測互相獨立,應(yīng)用誤差傳播定率,得:

在數(shù)學(xué)精度檢測中,假定:σΔ代表檢測中誤差(檢測后與待檢測成果比較計算出的中誤差),σX代表檢測點(邊)中誤差(檢測點本身的中誤差),σY代表成果中誤差(被檢測成果的中誤差)。

式(8)即為一般數(shù)學(xué)精度檢測計算成果中誤差的公式。

3 檢測點(邊)中誤差對成果中誤差的影響關(guān)系式

我們知道,檢測中誤差σΔ由檢測點(邊)的中誤差σX和成果中誤差σY兩部分組成,因σX與σY相互獨立,且為線性傳播,由式(6)可得:

式(9)可以看出,當(dāng)檢測點(邊)的中誤差σX越小,檢測的結(jié)果σΔ越接近成果精度σY,當(dāng)σX對σY的結(jié)果影響小到可以忽略時,我們就可以認為是高精度檢測。

在此,我們做定義:當(dāng)σX對σY的結(jié)果影響小于1/10時(不同的數(shù)量級),可以忽略σX的影響,就可以認定為高精度檢測。也就是說,當(dāng)σX對σY的結(jié)果影響:

時,就可以認定為高精度檢測。

令:σX=σY/a,式(10)中小于號左側(cè)

下表1為Excel表中計算的a與式(11)的取值對照表:

表1 a與式(11)的取值對照表

a 式(1 1)值 備注1.5 0.2 0 1 8 5 0 4 2 5 1.6 0.1 7 9 2 4 7 6 4 2 1.7 0.1 6 0 1 8 1 3 4 8 1.8 0.1 4 3 9 5 8 9 0 5 1.9 0.1 3 0 0 4 7 9 2 4 2 0.1 1 8 0 3 3 9 8 9 2.1 0.1 0 7 5 9 0 7 9 5 2.1 8 2 0.1 0 0 0 1 5 6 5 3 2.2 0.0 9 8 4 5 8 7 2 5 2.3 0.0 9 0 4 2 9 2 3 5 2.4 0.0 8 3 3 3 3 3 3 3 2.5 0.0 7 7 0 3 2 9 6 1 2.6 0.0 7 1 4 1 4 4 8 3 2.7 0.0 6 6 3 8 3 7 0 7 2.8 0.0 6 1 8 6 2 0 5 3 2.9 0.0 5 7 7 8 3 5 6 2 3 0.0 5 4 0 9 2 5 5 3

表1可以看出,a取值越大,式(11)的值也就越小,當(dāng)a=2.182(約等于2)時,式(11)的值約等于0.1。也就是說:當(dāng)檢測點(邊)中誤差小于成果中誤差的1/2時,才可認定為高精度檢測。

4 驗證

(1)首先,我們驗證本文引言中“航空攝影測量中采用空中三角測量加密保密點的方式用以檢測數(shù)字線劃圖(DLG)成果精度”的作法是否可以認定為高精度檢測:

GB/T 78930-2008《1:500 1:1000 1:2000地形圖航空攝影測量內(nèi)業(yè)規(guī)范》中內(nèi)業(yè)加密點和地物點相對于鄰近野外控制點的平面位置中誤差分別是圖上0.4mm、0.6mm,以1:1000圖為例,這兩項精度指標(biāo)分別為0.4m、0.6m。也就是說,加密點的中誤差(σX)是0.4m,成圖地物點的中誤差(σY)是0.6m,代入式(9),得σΔ=0.72m,顯然,此時σY是不能用σΔ代替的,σX的影響不能忽略,不能認定為高精度檢測。

(2)下面我們再驗證“采用GNSS-RTK測量高程點的方式檢測1:500地形圖高程精度”的作法是否可以認定為高精度檢測:假定GNSS-RTK測量高程點的高程中誤差為0.05m,1:500地形圖平坦地區(qū)高程注記點高程中誤差要求為0.15m(城市測量規(guī)范),即σX=0.05m,σY=0.15m,代入式(9)得σΔ=0.158m,σΔ與σY較差也就僅僅8mm,σX的影響可以忽略,σY完全可以用σΔ代替,可以認定為高精度檢測。

當(dāng)然,并非所有事物“非黑即白”。同樣,并不是所有的數(shù)學(xué)精度檢測非“高精度檢測”即“同精度檢測”,也有介于二者之間的精度檢測。對于介于二者之間的精度檢測,我們要想準確求出成果中誤差,就不能簡單的按照GB/T 24356規(guī)范中“高精度檢測”或“同精度檢測”的計算公式去計算了,這時我們必須考慮檢測點(邊)中誤差的影響,用式(8)準確求出成果中誤差。

再回到“航空攝影測量中采用空中三角測量加密保密點的方式用以檢測數(shù)字線劃圖(DLG)成果精度”的話題,按照本節(jié)第(1)例的指標(biāo),同樣σX=0.4m,σY=0.6m,代入式(9),得σΔ=0.72m,若采用高精度檢測公式(式(1))計算,得σY=0.72m;采用同精度檢測公式(式(2))計算,得σY=0.51m;按式(8)計算,得σY=0.6m?？梢钥闯?不論是采用高精度檢測公式還是同精度檢測公式計算,得出的結(jié)果與真值(0.6m)較差均超過了1/10,只有按式(8)計算的成果中誤差才是最可靠的。

5 結(jié)論

綜上所述,在數(shù)學(xué)精度檢測中,當(dāng)檢測點(邊)的中誤差小于成果中誤差的1/2時,才可認定為高精度檢測。一般情況下,計算成果中誤差時還需考慮檢測點(邊)中誤差的影響,按式(8)準確計算。

6 結(jié)束語

數(shù)學(xué)精度檢測的概念對于測繪技術(shù)人員來說并不陌生,但要想準確求出成果中誤差,還應(yīng)明確檢測點(邊)的中誤差與成果中誤差的倍數(shù)關(guān)系,這樣才能正確運用好高精度檢測與同精度檢測的計算公式,或本論文式(8),準確求出成果中誤差,對成果的數(shù)學(xué)精度做出準確、客觀的評價。