吳霞飛 孔繁 朱杰 王勝國

（中國電子科技集團(tuán)公司第二十七研究所 河南省鄭州市 450047）

1 引言

陣列天線的數(shù)字波束形成技術(shù)是相控陣天線數(shù)字化發(fā)展的研究進(jìn)展。技術(shù)優(yōu)勢明顯，該系統(tǒng)具有可靠性高、穩(wěn)定性好、抗干擾能力強(qiáng)等特點(diǎn)。雷達(dá)在方位和俯仰維的測量精度直接與天線口面尺寸相關(guān)，天線口面尺寸的增加，特別是對于大型或者超大型陣列，意味著天線陣元數(shù)目的增加，如果采用數(shù)字波束形成天線，導(dǎo)致硬件成本急劇增大，資金負(fù)擔(dān)嚴(yán)重，是陣列天線的一大缺陷。研究不減小天線尺寸減少通道數(shù)的方法稱為關(guān)鍵。采用優(yōu)化算法的稀疏布陣，例如采用遺傳算法的稀疏布陣，缺點(diǎn)是雖然陣元數(shù)減少了，但是旁瓣抬升了很多嚴(yán)重影響了數(shù)字波束形成的性能。雖然通過優(yōu)化算法可以降低方向圖旁瓣，但是優(yōu)化算法針對的是靜態(tài)方向圖優(yōu)化，對于需要掃面的情況無法做到任意掃描方向上的旁瓣都很低。研究既能減少陣元數(shù)目又能降低旁瓣和無柵瓣的布陣和波束形成算法成為熱點(diǎn)，壓縮感知，壓縮感知,CS）理論為實(shí)現(xiàn)稀疏布陣的波束形成算法提供了新的方向。

根據(jù)奈奎斯特采樣定理，當(dāng)信息量不斷地加大，增加信號帶寬是必要的，信號處理對采樣率的要求越來越高。為了解決該問題，壓縮感知價值理論被提出，其核心企業(yè)思想是將信息技術(shù)壓縮與數(shù)據(jù)采樣合并方式進(jìn)行，將信號的采樣轉(zhuǎn)換為信息的直接采樣，從大量無用信息的較少采樣，然后，根據(jù)相應(yīng)的重構(gòu)算法，從測量數(shù)據(jù)中準(zhǔn)確地重構(gòu)出原始信號。這樣，信號的采樣率和數(shù)據(jù)進(jìn)行存儲與傳輸?shù)某杀竟芾砜梢源蟠蠼档停盘柼幚砉ぷ鲿r間和計算企業(yè)成本控制可以顯著降低。

本文所研究的方法是利用壓縮感知理論，借助目標(biāo)空間來波的稀疏特性，對空域稀疏信號的采樣矩陣進(jìn)行壓縮采樣，然后建立并求解目標(biāo)函數(shù)重構(gòu)出滿陣時的通道數(shù)據(jù)，最后波束輸出是采用重構(gòu)的滿陣的數(shù)據(jù)進(jìn)行自適應(yīng)數(shù)字波束形成后得到相應(yīng)的陣列權(quán)重系數(shù)實(shí)現(xiàn)的。通過該方法可以大量減少陣元數(shù)目，實(shí)現(xiàn)稀疏布陣，而且具有滿陣狀態(tài)下的自適應(yīng)波束形成算法的優(yōu)勢，旁瓣低，波束控制靈活，有效地對干擾位置形成零陷，可是應(yīng)用于靜態(tài)和波束掃描的場合。

2 壓縮感知理論算法原理

奈奎斯特采樣模式定理是傳統(tǒng)的信號進(jìn)行采集和壓縮生產(chǎn)過程的準(zhǔn)則，原始信號需要通過三步完成對原始信號的傳輸和儲存。

圖1 中可以看到原始信號首先需要經(jīng)過高速采樣，通過對高速采樣進(jìn)行變換和壓縮之后的信號為壓縮信號，通常傳輸和存儲的都是壓縮后的信號。當(dāng)需要恢復(fù)原始信號的時候，進(jìn)行逆操作，對壓縮信號解壓和反變換恢復(fù)出原始信號。由于變換和壓縮是在高速采樣之后，大量的采樣值被丟棄，導(dǎo)致了采樣和內(nèi)存資源的浪費(fèi)。

圖1： 傳統(tǒng)信號處理框架

壓縮感知理論將信號的采樣和壓縮集中在一個步驟中。如圖2 所示，采用低速壓縮采樣直接得到可傳輸和存儲的信號。前提是信號必須稀疏,這是稀疏信號表示的先驗(yàn)條件，通過選擇穩(wěn)定的測量矩陣，且該矩陣必須能夠滿足 RIP 性質(zhì)進(jìn)行約束，通過測量矩陣對原始信號進(jìn)行線性投影得到測量值，最后通過解優(yōu)化問題重構(gòu)原始信號。

圖2： 壓縮感知框架

使用壓縮感知技術(shù)的前提是，信號可以在特定的基礎(chǔ)上稀疏地表示，在采樣的同時對信號可以進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮是必要的，從而能夠大大降低了采樣率。壓縮感知利用了信號的稀疏結(jié)構(gòu)，也就是說，信號空間中系數(shù)的一小部分包含了信號的大部分能量。定義一維信號 x，x 屬于信號空間 RN，為一個 N×1 維列矢量，假設(shè)存在 N 個 N 維的基向量 {Ψi}Ni=1構(gòu)成 N × N 維基矩陣 Ψ ，信號 x 在該基下可以表示為：

如果0 ≤p ≤2，K ≥0 同時成立，所以我們可以說x 在太陽底下是稀疏的，特殊的當(dāng)p=0 時，信號x 在變換域下被稱為k-稀疏的。因此找到信號的稀疏域，選擇合適的基信號代表信號是保證信號系數(shù)度和恢復(fù)精度的唯一途徑。近年來，冗余字典下信號的稀疏分解已經(jīng)成為稀疏表示領(lǐng)域的一個研究熱點(diǎn)。這是一種全新的表示理論，它用超完全冗余函數(shù)取代基函數(shù)，成為冗余字典。其構(gòu)成沒有任何限制，字典的選擇只要求能夠盡可能好的逼近信號結(jié)構(gòu)。在冗余字典表示稀疏信號的研究中主要關(guān)心設(shè)計冗余字典和快速有效地稀疏分解算法，如MP和BP算法。

當(dāng)可壓縮信號經(jīng)過變換得到原始信號的稀疏表示以后，需要用到一個觀測矩陣，使得在這個觀測矩陣上的投影得到的觀測值能夠包含原始信號的絕大部分信息，從而保證從觀測值里對信號精確重構(gòu)。若過觀測研究過程破壞了原始數(shù)據(jù)信息則重構(gòu)不可為了實(shí)現(xiàn)。通常觀測矩陣Φ 是M×N 維的，其中M?N，觀測矩陣Φ 的M 行對稀疏系數(shù)向量投影，即觀測數(shù)據(jù)部直接對信號采樣，相反，用稀疏表示的信號和觀測矩陣的內(nèi)積，得到M 個觀測值：

3 數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型的建立以線陣為例，設(shè)置一個均勻直線的滿陣，單元數(shù)量為N，間距為 λ/2。當(dāng)k 個信號入射到天線陣列上時，信號的復(fù)包絡(luò)為s(t)，來波方向是θ。其中包含了對于一個企業(yè)期望通過信號和K-1 個干擾信號。N 個天線單元每個天線單元所接收得信號可以表示為下式：

陣列接收信號向量X（t）可以寫成矩陣Ψ 表示的矩陣形式：

其中，S(t)是接收信號矢量 x(t)在變換矩陣上的投影系數(shù)矢量。我們假設(shè)θ是θ,θ,…,θ中的一個。則S(t)具有稀疏性，其中的非零元素只有少數(shù)幾個。根據(jù)壓縮傳感理論，采用該算法可以精確恢復(fù)陣列接收信號X(t)。壓縮采樣不是直接對滿陣信號測量，稀疏布陣相當(dāng)于對陣列進(jìn)行壓縮采樣，設(shè)矩陣Φ，與變化進(jìn)行矩陣Ψ 不相關(guān)，X 除以φ 的投影矢量 z 是測量參數(shù)。

通過算法，可以把滿陣的原始陣列的N×M 個陣元進(jìn)行的空間采樣進(jìn)行還原。對于式（15）的觀測矩陣，當(dāng)容性條件被滿足時，向量S(t)被解出，滿陣信號X(t)被重構(gòu)。常用的壓縮采樣矩陣有 hadamard 矩陣、 garandom 矩陣、隨機(jī)稀疏矩陣等。P 滿足RIP 條件的隨機(jī)稀疏矩陣可以方便得到，所以本文采用隨機(jī)稀疏矩陣。在得到M 個壓縮采樣陣元的采樣值矩陣后，采用CVX 工具箱等方法估計出投影系數(shù)向量SNq，然后，根據(jù)矩陣ψ，可以重建接收向量XN 的全陣列。

再進(jìn)行自適應(yīng)數(shù)字波束形成，用恢復(fù)的通道數(shù)據(jù)計算權(quán)重值，設(shè)置天線主瓣方向?yàn)樗谕男盘柗较颍炀€的波束零陷自動設(shè)置在干擾的預(yù)計方向，實(shí)現(xiàn)在抑制干擾的同時可以實(shí)現(xiàn)企業(yè)期望的接收數(shù)據(jù)信號。

4 仿真結(jié)果

假設(shè)在空間設(shè)計上有兩個來自中國不同發(fā)展方向的信號，其中作為一個為期望通過信號S(t)，另一個為干擾進(jìn)行信號，不考慮信號之間的相關(guān)性，信干比均SIR=-30dB。陣列天線形式為均勻線陣，滿陣時的陣元數(shù)N 為100，陣元間距為l/2。通過壓縮采樣方式從N=100 個陣元中選取M=26個壓縮采樣陣元，然后上文描述的方法進(jìn)行壓縮采樣和滿陣接收信號向量重構(gòu)，權(quán)重系數(shù)采用自適應(yīng)波束形成算法。

恢復(fù)數(shù)據(jù)時快拍數(shù)為20， M = 26 為預(yù)期的壓縮采樣單元數(shù)量，通過壓縮采樣，從100 個完整陣列中選擇序列號壓縮采樣陣列元素：4,15, 19, 21, 22, 25, 31, 35, 36, 37, 38, 39,46, 47, 49, 50, 53, 54, 56, 65, 75, 82, 87, 89, 96, 99。模擬分析目標(biāo)和干擾情況，已知條件是目標(biāo)方向，未知的是干擾方向，為方便分析，假設(shè)干擾方向30 度，目標(biāo)方向40 度。

由圖 3 可知，在保持天線表面尺寸不變的情況下，天線元件數(shù)量從100 減少到26 個時，普通方法直接形成的最大光束為-8.9dB；壓縮傳感數(shù)據(jù)和數(shù)字光束形成，方向精確、零干擾方向、低側(cè)瓣、無門瓣，與全陣列（100 陣列）的光束性能相同。

圖3： 單個信號和干擾下情況的稀布陣壓縮感知算法仿真結(jié)果

干擾增多的情況下，繼續(xù)仿真算法，假設(shè)目標(biāo)指向40 度，干擾增多為2 個，分別在30 度和50 度。信干噪比為-30dB。此時的隨機(jī)稀布陣元序號為1, 2, 4, 9, 10, 12, 13, 15, 18, 19,20, 23, 24, 36, 39, 44, 57, 65, 66, 71, 73, 75, 82, 85, 94, 95。如圖4 所示，稀布的26 個陣元的方向圖旁瓣非常高有-5.9dB。本文方法產(chǎn)生的方向圖和壓縮感知波束形成算法的效果抑制，能夠在目標(biāo)位置形成指向，在30 度和50 度形成零陷對抗干擾。如圖4 右圖，其他條件不變，生成針對雙目標(biāo)的雙波束，目標(biāo)在10 度和40 度方向。可以看出采用壓縮感知的波束形成算法在陣元數(shù)減少到26 個的情況下依然和滿陣100 陣元的效果抑制。

圖4： 改變目標(biāo)和干擾數(shù)量下情況的稀布陣壓縮感知算法仿真結(jié)果

如圖5 所示，在不同干擾噪聲條件下，進(jìn)行了100 次蒙特卡洛仿真分析。在干噪比從0dB 變化到30dB 的過程中采用26 陣元稀布的旁瓣電平始終非常高，不利于實(shí)際應(yīng)用。采用壓縮感知方法的波束形成在零陷1 和零陷2 形成的零陷深度對干噪比變化，隨著干噪比的增強(qiáng)，零陷深度不斷加深，說明了波束性能良好。

圖5： 蒙特卡洛仿真分析

5 結(jié)論

針對稀疏陣列情況推出的壓縮感知數(shù)字波束形成算法，在不減少天線直徑和保證波束性能的情況下，大大減少了陣列元件的數(shù)量。這是一種新的稀疏陣元處理方法，大大減少了射頻前端的數(shù)量。即通過利用空域中空間信號的稀疏性，采用壓縮感知的方法恢復(fù)出與滿陣口面尺寸相當(dāng)?shù)母魍ǖ赖臄?shù)據(jù)，將恢復(fù)后的全陣列信道信息數(shù)據(jù)可以用于自適應(yīng)學(xué)習(xí)數(shù)字波束形成，仿真結(jié)果表明了該方法的有效性。