趙宇星, 徐定華

(浙江理工大學(xué) 理學(xué)院, 杭州 310018)

熱傳遞規(guī)律廣泛應(yīng)用于目標(biāo)體識別、 智能設(shè)計(jì)與制造領(lǐng)域, 如高爐煉鋼、 熱防護(hù)服設(shè)計(jì)、 機(jī)器制造等[1-2]. 該類問題的共性特點(diǎn)是通過熱傳導(dǎo)方程描述熱傳遞現(xiàn)象, 給定初始溫度分布和邊界溫度場, 研究區(qū)域內(nèi)部溫度場的分布. 這類熱傳導(dǎo)方程定解問題在數(shù)學(xué)上通常稱為正問題.

熱傳導(dǎo)方程反問題在識別、 控制、 設(shè)計(jì)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[3-4]. 文獻(xiàn)[5-6]用Fourier正則化方法研究了熱傳導(dǎo)反問題的數(shù)值解法； 文獻(xiàn)[7]給出了無初始值的逆時(shí)熱傳導(dǎo)反問題的數(shù)值方法； 文獻(xiàn)[8]基于直接和伴隨模型方程的迭代提出了一種求解傳熱反問題的算法, 使擬合泛函最小化; 文獻(xiàn)[9]利用同倫攝動方法研究了含Neumann邊界條件的熱傳導(dǎo)反問題； 文獻(xiàn)[10-11]研究了熱傳導(dǎo)反問題轉(zhuǎn)化為Fredholm積分方程系統(tǒng)的Tikhonov正則化理論.

本文考慮一維Neumann邊界條件的熱傳導(dǎo)方程：

(1)

其中a2為熱傳導(dǎo)系數(shù).{u0(x),f(t),g(t)}均已知的熱傳導(dǎo)定解問題(1), 稱為正問題.本文討論g(t)已知, 但{u0(x),f(t)}均未知且需確定的反問題.

反問題(IP): 利用測量的右端溫度值u(l,t)|t∈[0,T]和終止時(shí)刻溫度值u(x,T)|x∈[0,l], 給定g(t)|x∈(0,T], 由系統(tǒng)(1)確定{u0(x),f(t)}.

文獻(xiàn)[7]利用右邊界溫度值的一組數(shù)據(jù)確定兩個(gè)未知函數(shù){u0(x),f(t)}, 因不具備唯一性, 故經(jīng)對未知的f(t)給定先驗(yàn)性約束條件(即f(t)滿足對稱性)可使其滿足唯一性.本文利用兩組數(shù)據(jù)可同時(shí)反演出左邊界熱流密度與初始溫度, 而不需要對解進(jìn)行對稱性先驗(yàn)約束.本文首先將反問題(IP)轉(zhuǎn)化為不適定的第一類Fredholm積分方程組, 離散為兩個(gè)病態(tài)線性方程組, 分別采用改進(jìn)的Tikhonov正則化方法和BV(bounded variation)正則化方法求解連續(xù)解與非連續(xù)解； 其次, 針對誤差較大的數(shù)據(jù), 采用多次重復(fù)測量及預(yù)處理方法提高數(shù)據(jù)精度, 再經(jīng)正則化方法反演初始值和邊界值, 從而獲得滿足精度要求的近似解； 最后通過數(shù)值算例驗(yàn)證算法的有效性.

1 反問題(IP)的唯一性

1.1 反問題(IP)轉(zhuǎn)化為Fredholm積分方程組

針對含Neumann邊界條件的熱傳導(dǎo)方程定解問題, 給定右端溫度值u(l,t)|t∈[0,T]和終止時(shí)刻溫度值u(x,T)|x∈[0,l], 需同時(shí)反演初始溫度u0(x)和左邊界熱流密度f(t).

文獻(xiàn)[12]給出了正問題(1)的解：

(2)

(3)

分別將x=l和t=T代入式(3)可得Fredholm積分方程組：

(4)

其中0≤x≤l, 0≤t≤T,

由上述推導(dǎo)可知, 反問題(IP)與方程組(4)等價(jià).

1.2 唯一性

定理1設(shè)u0(x)∈L2[0,l],f(t)∈L2[0,T], 則反問題(IP)的解u0(x)和f(t)必唯一.

證明： 設(shè)方程組(4)有兩組不同的解, 分別為(u0,1(x),f1(t))和(u0,2(x),f2(t)).記U(x)=u0,1(x)-u0,2(x),F(t)=f1(t)-f2(t), 則可得積分方程組:

(5)

(6)

將方程組(6)的第二個(gè)方程進(jìn)行移項(xiàng), 并化簡整理可得

(7)

代入方程組(6)的第一個(gè)方程, 化簡為

(8)

其中

注1相比于文獻(xiàn)[7], 本文不需要對解進(jìn)行對稱性先驗(yàn)約束, 而是通過另外測量的終止時(shí)刻溫度值u(x,T)|x∈[0,l]構(gòu)成方程組, 保證了反問題(IP)解的唯一性.

2 反問題(IP)的數(shù)值算法

2.1 離散格式及不穩(wěn)定性

取a=1, 則方程組(4)變形為

(9)

其中0≤x≤l, 0≤t≤T.

將方程組(9)中的核函數(shù)依次記為K1(t,y),K2(t,s),K3(x,y),K4(x,s), 當(dāng)t

2) 利用矩形求積公式對方程組(9)中的積分進(jìn)行數(shù)值求積：

(10)

記

u=(u0(yj))n×1,f=(f(sj))n×1,A=(K1(ti,yj)Δy)n×n,B=(K2(ti,sj)Δs)n×n,

C=(K3(xi,yj)Δy)n×n,D=(K4(xi,sj)Δs)n×n,M=(ω(l,ti))n×1,L=(ω(xi,T))n×1,

則方程組(10)的矩陣形式為

(11)

經(jīng)計(jì)算當(dāng)n=50時(shí), 矩陣A,C,D的條件數(shù)均處于1018的數(shù)量級, 且節(jié)點(diǎn)選取越多, 矩陣A,C,D病態(tài)程度越嚴(yán)重, 可見反問題(IP)的不穩(wěn)定性.觀察到矩陣B為滿秩的可逆良態(tài)矩陣, 因此可先處理矩陣B, 對方程(11)進(jìn)行“消元”消去向量f, 得到關(guān)于向量u的方程：

Ku=G,

(12)

其中K=DB-1A-C,G=DB-1M-L.易知, 矩陣K的病態(tài)程度較嚴(yán)重, 需使用穩(wěn)定化方法求解方程(12).

2.2 改進(jìn)的Tikhonov正則化

對方程Ku=G利用Tikhonov正則化方法求解連續(xù)函數(shù)u0(x)在節(jié)點(diǎn)處的近似值.方程(12)的正則化解是Tikhonov泛函的極小值, 用緊算子的奇異值系統(tǒng)可表示為

(13)

本文采用文獻(xiàn)[13]提出的改進(jìn)正則化濾波函數(shù)：

(14)

(15)

2.3 BV正則化

當(dāng)u0(x)不屬于連續(xù)函數(shù)空間時(shí), 本文用BV正則化方法將其轉(zhuǎn)化為非線性最優(yōu)化問題. TV(total variation)正則化方法是求解

(16)

本文利用一個(gè)光滑泛函逼近TV(u0), 加參數(shù)β>0得到穩(wěn)定泛函, 此時(shí)全變差泛函對應(yīng)的非線性優(yōu)化反問題表示為

(17)

該方法通常稱為BV正則化算法[14].

3 數(shù)值實(shí)例

為方便數(shù)值模擬, 將計(jì)算區(qū)域劃分為[0,1]×[0,1]的網(wǎng)格.考慮u0(πx)=x2,f(t)=sin(πt),g(t)=2πcos(πt), 利用中心差商[15]對正問題(1)進(jìn)行離散.正問題(1)的數(shù)值解如圖1所示.在下面反問題的計(jì)算中, 將正問題的結(jié)果賦予加性噪聲后作為反問題的測量數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值模擬.

圖1 正問題(1)的數(shù)值解u(x,t)Fig.1 Numerical solution u(x,t) of direct problem (1)

3.1 連續(xù)函數(shù)重構(gòu)

例1考慮精確解u0(πx)=x2,f(t)=sin(πt).誤差水平δ分別為5%,1%,0.1%, 用改進(jìn)的Tikhonov正則化方法得到數(shù)值解, 參考文獻(xiàn)[13]取r=1.5,σ=4, 先驗(yàn)選取的正則化參數(shù)α=δ6/7, 反演后的初始值如圖2所示, 反演后的左邊界值如圖3所示.由圖2和圖3可見, 隨著測量數(shù)據(jù)誤差的減小, 反演效果逐漸增強(qiáng).當(dāng)誤差水平為5%時(shí), 反演效果不理想.

圖2 不同誤差水平下單次測量反演初始值Fig.2 Initial values inversion via single measurement under different error levels

圖3 不同誤差水平下單次測量反演左邊界值Fig.3 Left boundary values inversion via single measurement under different error levels

3.2 不連續(xù)函數(shù)重構(gòu)

步驟1) 固定正則化參數(shù)α=αi, 得到關(guān)于β和誤差err的圖像, 其最低點(diǎn)坐標(biāo)為(βi,erri)； 固定βi, 得到關(guān)于α和誤差err的圖像, 其最低點(diǎn)坐標(biāo)為(αi+1,erri+1),i=0,1,2,…,n；

步驟2) 給定ε=10-9, 當(dāng)erri+1

圖4 最優(yōu)正則化參數(shù)Fig.4 Optimal regularization parameters

根據(jù)上述方法選取的最優(yōu)參數(shù)利用BV正則化方法反演后的初始值如圖5所示, 反演后的左邊界值如圖6所示. 由圖5和圖6可見, 隨著測量數(shù)據(jù)誤差的減小, 反演效果逐漸增強(qiáng).

圖5 不同誤差水平下多次測量反演初始值Fig.5 Initial values inversion via multiple measurements under different error levels

圖6 不同誤差水平下多次測量反演左邊界值Fig.6 Left boundary values inversion via multiple measurements under different error levels

3.3 基于重復(fù)測量數(shù)據(jù)的函數(shù)重構(gòu)

求解

得到的f*,N即為經(jīng)過預(yù)處理后提高了精度的數(shù)據(jù), 最后再利用改進(jìn)的Tikhonov正則化方法求解.

在誤差水平為5%和1%的情形下, 加噪聲函數(shù)與原函數(shù)擬合的對比結(jié)果如圖7所示.圖7顯示了數(shù)據(jù)預(yù)處理的必要性.圖8為經(jīng)過數(shù)據(jù)預(yù)處理后得到的函數(shù)(σ2=0.001 6,N=30). 由圖8可見, 數(shù)據(jù)預(yù)處理為增強(qiáng)反演效果提供了高精度的數(shù)據(jù).

圖7 不同誤差水平下原函數(shù)與加噪聲函數(shù)的對比結(jié)果Fig.7 Comparison results between original function and noisy function under different error levels

圖8 不同誤差水平下的數(shù)據(jù)預(yù)處理結(jié)果Fig.8 Data preprocessing results under different error levels

參考文獻(xiàn)[16], 選取最優(yōu)的正則化參數(shù), 在誤差水平為5%的情形下, 經(jīng)過數(shù)據(jù)預(yù)處理后反演得到的初始值和左邊界值如圖9所示； 在誤差水平為1%的情形下, 經(jīng)過數(shù)據(jù)預(yù)處理后反演得到的初始值和左邊界值如圖10所示. 本文不考慮誤差為0.1%的情形, 因?yàn)榇藭r(shí)誤差較小, 若進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理則會增加計(jì)算成本.

圖9 在誤差水平為5%情形下的雙函數(shù)反演Fig.9 Double function inversion with error level of 5%

圖10 在誤差水平為1%情形下的雙函數(shù)反演Fig.10 Double function inversion with error level of 1%

表1 近似解和的相對誤差

綜上, 本文討論了含Neumann邊界條件的熱方程定解問題. 首先, 給定右端溫度值和終止時(shí)刻溫度值, 確定初始值和左邊界值的反問題. 通過建立Fredholm積分方程組, 證明了反問題(IP)解的唯一性, 并利用改進(jìn)Tikhonov正則化算法和BV正則化算法反演了初始值和左邊界值； 其次, 本文對誤差較大的數(shù)據(jù)先進(jìn)行預(yù)處理再進(jìn)行正則化； 最后, 借助MATLAB數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行了數(shù)值模擬. 對于Robin邊界條件, 該條件可以刻畫邊界有熱交換的情況. 針對高維問題, 由于數(shù)據(jù)本身的復(fù)雜性及測量時(shí)不可避免的誤差, 更需進(jìn)行數(shù)據(jù)的預(yù)處理, 從而得到高精度的數(shù)據(jù)便于進(jìn)行函數(shù)反演.