程智勇,陳勝垚,吳 文,劉 中

(南京理工大學 電子工程與光電技術學院,江蘇 南京 210094)

偶極子陣列是由可探測電磁波極化信息的偶極子矢量傳感器組成的陣列。相較于傳統(tǒng)標量傳感器陣列,該陣列因獲取了所接收電磁波所有的物理信息,具有抗干擾能力強、分辨能力高、檢測能力穩(wěn)健等優(yōu)點,并且可以實現(xiàn)信號的極化編碼[1]。但是,偶極子陣列對信號極化信息的探測是靠增加傳感器數(shù)目實現(xiàn)的,導致系統(tǒng)開銷大幅增長,限制了其在陣列規(guī)模較大、供電能力較低或成本限制較大的場景中的應用,例如,大規(guī)模多輸入多輸出(Multiple input multiple output,MIMO)雷達與無人機等。

在陣列信號處理[2,3]中,業(yè)已發(fā)展的單比特采樣技術[4]與稀疏陣列技術[5-8]分別從采樣和陣列結構的角度降低了陣列的系統(tǒng)開銷。為了將偶極子陣列應用于更多系統(tǒng)開銷受限的場景,文獻[9]在偶極子陣列的基礎上,提出了綜合使用上述2種技術的單比特稀疏偶極子陣列,并給出了用于該陣列波達角(Direction of arrival,DOA)估計的單比特多重信號分類(One-bit multiple signal classification,OBMUSIC)算法。OBMUSIC的估計精度受到2個方面的制約:在單比特采樣信號處理方面,該方法采用反正弦法則恢復歸一化的無量化接收信號協(xié)方差矩陣,但是反正弦法則理論上僅適用于無限快拍場景,在有限快拍場景下其準確性沒有理論保證;在稀疏陣列信號處理方面,該方法構造了稀疏陣列對應的差分陣列輸出,而差分陣列消耗了接收信號的統(tǒng)計有效性[10],導致高信噪比下OBMUSIC的DOA估計精度遠離其克拉美羅界。

業(yè)已發(fā)展的稀疏化方法為解決以上2個問題提供了新的解決方案。對于單比特采樣信號的處理,文獻[11]和[12]分別給出了基于凸優(yōu)化和基于迭代硬閾值的信號重構方法,恢復了單比特壓縮采樣前的歸一化信號;文獻[13]和[14]給出了用于單比特采樣的無網(wǎng)格稀疏線譜估計方法。以上方法均將單比特采樣后的信號恢復問題或者參數(shù)估計問題轉化為帶有符號約束的凸優(yōu)化問題求解,不依賴于信號的統(tǒng)計特性并與快拍數(shù)無關。對于稀疏陣列接收信號的處理,文獻[15]和[16]將DOA估計問題轉化為核范數(shù)與原子范數(shù)優(yōu)化問題,擺脫了DOA估計對差分陣列的依賴;而稀疏參數(shù)化算法(Sparse and parametric approach,SPA)[17]和強化矩陣補全(Enhanced matrix completion,EMaC)算法[18]分別利用托普利茲矩陣和漢克矩陣的結構擬合稀疏陣列協(xié)方差矩陣。以上方法均將稀疏陣列的陣元視為空域的稀疏采樣,并采用稀疏重構算法重構了具有同樣自由度的均勻線陣的協(xié)方差矩陣,不需要構造差分陣列的輸出,可同時有效抑制有限快拍誤差。綜合這2種解決方案,將單比特稀疏偶極子陣列的DOA估計問題轉化為有符號約束的稀疏重構問題,可以重構有同樣自由度的均勻線陣的歸一化無量化接收信號協(xié)方差矩陣,從而有效抑制有限快拍誤差,且避免了差分陣列帶來的統(tǒng)計有效性下降。

本文針對單比特稀疏偶極子陣列的DOA估計問題,提出一種單比特稀疏協(xié)方差矩陣估計(One-bit sparse covariance matrix estimation,OB-SCME)算法。OB-SCME不使用反正弦法則恢復無量化接收信號協(xié)方差矩陣,亦不構造差分陣列輸出,而是直接采用具有符號一致性約束與托普利茲結構約束的凸優(yōu)化方法,減小了有限快拍誤差,并恢復了具有托普利茲結構的接收信號協(xié)方差矩陣,提高了后續(xù)子空間類方法的DOA估計精度。首先,OB-SCME利用單比特稀疏偶極子陣列的結構,將該陣列的DOA估計問題轉化為單比特稀疏標量陣列的DOA估計問題;然后,通過引入符號一致性的約束,將單比特采樣協(xié)方差矩陣擬合問題轉化為歸一化無量化接收信號協(xié)方差矩陣擬合問題;隨后,將該問題松弛為凸問題,并通過凸優(yōu)化獲得接收信號協(xié)方差矩陣估計的全局最優(yōu)解。仿真實驗表明,OB-SCME有效提升了單比特稀疏偶極子陣列的DOA估計精度,相較于OBMUSIC有較大的性能優(yōu)勢,特別是在低快拍場景下和互質陣上,其估計精度接近于采用無量化接收信號的MUSIC算法。

1 信號模型

1.1 稀疏偶極子陣列

偶極子傳感器是將2個位置相同的單極化傳感器(極子)正交放置構成的電磁矢量傳感器。因2個極子分別探測x軸方向電場強度與y軸方向電場強度,所以被稱為偶極子傳感器。將L個偶極子傳感器排布在x軸上,便組成了偶極子陣列。第l個偶極子的位置為ωlλ/2,其中,λ為波長,ωl∈S代表陣元位置,S為陣元位置的集合,稱為陣元布置集。對于K個窄帶電磁源,第l個偶極子的接收信號xl(t)[xl,x(t)xl,y(t)]T如下

(1)

Bkdiag(bk,x,bk,y)為偶極子響應矩陣,其中,而歸一化DOA表示為第k個源的實際DOA表示為為第l個陣元的空間響應,sk(t)[sk,x(t)sk,y(t)]T表示入射信號矢量,加性噪聲表示為nl(t)[nl,x(t)nl,y(t)]T。入射信號sk(t)的協(xié)方差矩陣為

(2)

式中:pk為入射信號的能量,εk,1、εk,2和εk,3是與信號極化狀態(tài)有關的極化參數(shù)。本文對源與噪聲做出以下假設:

(1)所有的K個源均為獨立遠場高斯源;

(2)每個源的DOA各不相同;

(3)所有的噪聲獨立且服從復高斯分布;

(4)噪聲與源統(tǒng)計獨立。

下文考慮陣列問題。當陣元布置集S為由0開始的連續(xù)正整數(shù),即S={0,1,…,L}時,稱該陣列為均勻線性偶極子陣列;而當S中的元素并不是連續(xù)的正整數(shù)時,稱為稀疏偶極子陣列。較為常見的稀疏陣列布置集有2種,第1種由1個陣元間距為1、陣元個數(shù)為L1的均勻線陣與1個陣元間距為L1、陣元個數(shù)為L2的均勻線陣嵌套構成,稱之為嵌套陣(Nested array)[5,6],其陣元布置集為

Sn={1,2,…,L1,L1+1,…,L2(L1+1)}

(3)

第2種稀疏陣列由陣元間距分別為L1與L2,陣元個數(shù)分別為L2與2L1-1的2個均勻線陣構成,其中,L1與L2互質,稱之為互質陣(Coprime array)[7,8],其陣元布置集為

Sc={0,L1,…,L2L1,L2,…,2(L1-1)L2}

(4)

除此之外還有最小冗余陣[19]、超級嵌套陣[20]和最少孔洞陣列[21]等稀疏陣列。在后文中,為了表示簡便,將具有陣元布置集S的陣列簡稱為陣列S,例如,將具有陣元布置集Sc的互質陣稱為互質陣Sc。

1.2 單比特稀疏偶極子陣列

在稀疏偶極子陣列的基礎上,2個單比特模數(shù)轉換器(Analog to digital converters,ADC)被布置在同一個極子上,分別用于測量復信號的實部與虛部。因此,1個使用單比特采樣的偶極子由4個單比特ADC構成,用于2路復信號的采樣,稱為單比特偶極子。將單比特偶極子按照稀疏陣列布置集S的形式布置在x軸上,即為單比特稀疏偶極子陣列。圖1為單比特嵌套偶極子陣列,由6個單比特偶極子構成,陣元布置集為

Sn={1,2,3,4,8,12}

(5)

2個單比特ADC對1個復數(shù)c的采樣可以表示為1個單比特采樣算子作用在c上,其中,單比特采樣算子signc(·)定義為

(6)

式中:cR與cI分別表示復數(shù)c的實部與虛部,sign(·)為作用在實數(shù)a上的符號函數(shù),定義為

(7)

因此,陣列上第l個單比特偶極子的采樣信號可以表示為

yl(t)=signc(xl(t))

(8)

圖1 單比特嵌套偶極子陣列圖

2 基于協(xié)方差矩陣估計的DOA估計

2.1 接收信號重排

有別于傳統(tǒng)偶極子陣列DOA估計中的做法,本文分別考慮所有指向x軸的極子和所有指向y軸的極子。由圖1可知,朝向不同軸的極子分別構成了2個陣元位置相同的標量陣。將朝向x軸的極子構成的標量陣的無量化接收信號記為xS,x(t),朝向y軸的極子構成的相應信號記為xS,y(t),則2個標量陣的無量化接收信號可以表示為

nS,x(t)

(9)

nS,y(t)

(10)

D={0,1,…,ωL}

(11)

則式(9)與式(10)可以表示為

(12)

(13)

由于xS,x(t)與xS,y(t)均為接收信號能量與1個相同的導向矢量的乘積,可以合并表示為

(14)

對于單比特稀疏偶極子陣列,根據(jù)式(8)中的單比特采樣的定義,有

YS(t)=signc{XS(t)}

(15)

2.2 單比特采樣協(xié)方差矩陣估計

對于有限快拍的場景,設快拍數(shù)為Z,則無量化接收信號可以表示如下矩陣形式

(16)

XS=ΓXD

(17)

標量陣D的采樣協(xié)方差矩陣

(18)

(19)

式中:E{a}為隨機變量a的數(shù)學期望,vec(·)為矩陣矢量化算符。使用廣義最小二乘法求解RD的過程[22]可以表示為

(20)

式中:?表示克羅內(nèi)克積。

式(20)可以進一步化簡為

(21)

(22)

由式(8)可知,單比特采樣保留了無量化接收信號的符號,因此可以直接根據(jù)式(8)建立如下的關系

signc(YS)=signc(XS)

(23)

(24)

(25)

顯然,式(25)中的3個約束項均為等式約束,這導致式(25)為非凸優(yōu)化問題。不過,通過凸松弛的方式可以將式(25)松弛為凸問題,并通過半正定規(guī)劃(Semi-deffinite programming,SDP)求解。

首先考慮式(25)中的最小化項。根據(jù)矩陣F范數(shù)的性質,可得

(26)

冷戰(zhàn)是最傷人的，在婚姻中，要學會求同存異。有不同的看法或想法是很正常的事情，大方向是統(tǒng)一的就可以。夫妻間要經(jīng)常坐下來交換意見，溝通思想，把心中的歡樂與苦衷傾訴出來。一旦在婚姻中爆發(fā)冷戰(zhàn)，要學會主動向對方靠近，打破沉默。

(27)

(28)

根據(jù)矩陣Γ的結構,有

(29)

將式(28)、式(29)與式(27)帶入式(26),可得

(30)

將式(30)與式(28)的左邊部分帶入式(25)可得

(31)

(32)

(33)

式中:⊙表示矢量的哈達瑪積(Hadamard product),下標R與下標I分別表示相應矢量的實部與虛部。將式(32)與式(33)帶入式(31),可得松弛后的凸優(yōu)化問題

(34)

(35)

式(35)為典型的SDP問題,可以使用SDP算法比如SDPT3[25]求解u,進而獲得歸一化無量化均勻線陣接收信號協(xié)方差矩陣的估計T(u)。

2.3 DOA估計算法

(1)構造信號YS(t)=[yS,x(t)yS,y(t)],其中,yS,x(t)與yS,y(t)分別為所有指向x軸的極子與指向y軸的極子構成的標量陣的接收信號。

(2)使用SDP求解算法求解式(35)獲得u。

(3)通過u構造托普利茲矩陣T(u)。

(4)對T(u)進行特征分解,選擇|D|-K個最小的特征值對應的特征矢量構造噪聲子空間Un,其中,|D|表示集合D中的元素個數(shù),即與稀疏陣S具有同樣自由度的均勻線陣的陣元個數(shù)。

(36)

在此需要說明的是,步驟(4)與(5)為傳統(tǒng)MUSIC算法,亦可使用其他利用采樣協(xié)方差矩陣估計DOA的算法代替,例如root-MUSIC與旋轉不變子空間(Estimation of signal parameters via rotational invariance techniques,ESPRIT)[26]等,僅需將此類算法作用于步驟(3)中得到的T(u)即可。

3 仿真實驗與結果分析

3.1 實驗設置

計算OB-SCME的仿真結果,并利用仿真結果驗證所提算法的性能。在無特別說明的情況下,用于仿真的6陣元單比特稀疏偶極子陣列的布置集如下

Sn={0,1,2,3,7,11}

Sc={0,2,3,4,6,9}

(37)

式中:Sn為嵌套陣,Sc為互質陣。Sn由2個3陣元的均勻線陣嵌套組成,配置為L1=L2=3;Sc由L1=2和L2=3的2個均勻線陣組成。在實驗中,所有的極化源信號的能量均為1,而且極化源信號的個數(shù)均已知。所有源信號的極化度以及極化參數(shù)均為其定義域內(nèi)均勻分布的隨機變量。每個極子上接收的噪聲能量均相同。信噪比的定義為

(38)

(39)

實驗運行在1臺安裝了Windows 10操作系統(tǒng)、2塊INTER XEON E5-2660 v2 CPU(2.2 GHz*10*2核心)、56 GB內(nèi)存的惠普工作站上。對于SDP問題的求解,使用了安裝在MATLAB上的CVX凸優(yōu)化工具箱中的SDPT3算法包。

在第3.3與3.4小節(jié)的實驗中,選取了用于單比特稀疏偶極子陣列的OBMUSIC[9]算法作為對比,并且給出該陣列用于DOA估計時的克拉美羅界(Cramér-Rao bound,CRB)[9]以及用于無量化的稀疏偶極子陣列的MUSIC(Unquantilized MUSIC,UNQMUSIC)算法的估計性能[27]作為參照。

3.2 可分辨源數(shù)目

首先驗證OB-SCME算法用于不同稀疏陣時可分辨的源信號個數(shù)。由前文可知,OB-SCME利用稀疏陣列S的輸出估計與其具有相同自由度的均勻線陣D的協(xié)方差矩陣。這意味著,當OB-SCME用于單比特稀疏偶極子陣列S時,其可分辨源個數(shù)僅取決于S的自由度,即與S具有相同陣元間距與陣列長度的均勻線陣D的陣元個數(shù),跟S的陣列類型無關。

如圖2所示,繪制了嵌套陣上OB-SCME恢復協(xié)方差矩陣后的MUSIC譜,實驗信噪比為10 dB,快拍數(shù)為50,采用了11個DOA不同的極化源。由圖2可知,共計11個譜峰,這意味著對于自由度為12的嵌套陣,OB-SCME可成功分辨其能夠分辨的最大數(shù)目的源。

圖2 嵌套陣上OB-SCME的MUSIC譜

圖3 互質陣上OB-SCME的MUSIC譜

同樣繪制了互質陣Sc上OB-SCME恢復協(xié)方差矩陣后的MUSIC譜,如圖3所示,信噪比與快拍數(shù)均與圖2中相同,由于Sc的自由度為10,采用了9個DOA不同的極化信號。圖2中共計9個譜峰,意味著OB-SCME成功分辨了9個源。與文獻[7]中的OBMUSIC不同的是,OBMUSIC因采用了差分陣列的緣故,丟棄了互質陣的差分陣列孔洞之外的虛擬陣元,導致其陣列自由度下降。例如對于式(37)中的6陣元互質陣,因其8位置的孔洞,OBMUSIC僅可利用自由度為8的差分陣列,導致其可分辨源數(shù)目僅有7個。因此,相較于OBMUSIC,OB-SCME可以提高互質陣中的可分辨源數(shù)目。

3.3 估計精度與信噪比的關系

通過實驗驗證OB-SCME算法的估計精度與信噪比的關系。實驗采用5個極化參數(shù)隨機的極化源,其歸一化DOA為[-0.25 -0.15 0.1 0.2 0.3],快拍數(shù)為60,信噪比從-10 dB升高至25 dB,每次升高5 dB,實驗結果取200次蒙特卡洛實驗的均值。

嵌套陣Sn上的實驗結果如圖4(a)所示,可觀察到,OB-SCME的估計精度始終高于OBMUSIC,當信噪比為-10 dB與0 dB時,OB-SCME的估計精度有0.26 dB與6.2 dB的提升;當信噪比大于5 dB時,OB-SCME相對于OBMUSIC的估計精度優(yōu)勢較為恒定,平均為2.2 dB。相較于無量化測量的UNQMUSIC,OB-SCME的估計精度略低,當信噪比大于0 dB時,其精度低于UNQMUSIC,平均約2.5 dB。

圖4 2種陣列上MSE隨信噪比變化圖

互質陣Sc上的實驗結果如圖4(b)所示,與嵌套陣上不同,互質陣上OB-SCME相較于OBMUSIC的性能優(yōu)勢較大,當信噪比為0 dB、10 dB、20 dB與25 dB時,其精度提升分別為10.1 dB、7.8 dB、7.3 dB與8.3 dB。而OB-SCME的估計精度與UNQMUSIC較為接近,其估計精度差距平均為1.9 dB。該實驗說明了,OB-SCME在互質陣上的優(yōu)勢大于其在嵌套陣上。

3.4 估計精度與快拍數(shù)的關系

通過實驗驗證OB-SCME算法的估計精度與快拍數(shù)的關系。實驗中采用與上個實驗相同的源,信噪比為10 dB,快拍數(shù)從20提高到100,每次提高8個快拍,實驗結果同樣為200次蒙特卡洛實驗的均值。

由圖5(a)可知,嵌套陣Sn上OB-SCME算法的估計精度在OBMUSIC與UNQMUSIC之間,當快拍數(shù)小于60時,OBMUSIC估計精度曲線在200次蒙特卡洛實驗的情況下不夠平滑,但是OB-SCME的估計精度曲線較為平滑,這說明了OB-SCME對極化度的魯棒性較高。當快拍數(shù)大于60時,即OBMUSIC估計性能趨于穩(wěn)定時,OB-SCME的估計性能領先OBMUSIC平均2.0 dB。而當快拍數(shù)大于44時,OB-SCME的估計精度與UNQMUSIC的差距較為恒定,平均為2.2 dB。

圖5 2種陣列上MSE隨快拍數(shù)變化圖

由圖5(b)可知,互質陣Sc上OB-SCME的估計精度同樣在OBMUSIC與UNQMUSIC之間。但是,當快拍數(shù)小于68時,OB-SCME的估計精度相較于OBMUSIC有著大幅度的領先;隨著快拍數(shù)的增長,OB-SCME的估計精度優(yōu)勢逐漸減小;當快拍數(shù)分別為28、44、60、76時,OB-SCME精度領先OBMUSIC分別為13.8 dB、10.9 dB、7.9 dB、2.6 dB。該現(xiàn)象說明了OB-SCME在低快拍下有著較大的性能優(yōu)勢。其原因為,OB-SCME為一種稀疏化的方法,對低快拍導致的信號統(tǒng)計有效性的降低并不敏感。而且,隨著快拍數(shù)的增長,OB-SCME的估計精度與UNQMUSIC的差距逐漸變大,但是增長幅度不大。當快拍數(shù)分別為28、44、60、76、92時,該差距分別為0.9 dB、1.7 dB、2.8 dB、3.6 dB、3.7 dB。該現(xiàn)象進一步說明了,OB-SCME適用于低快拍場景下的互質陣。

4 結束語

本文利用單比特稀疏偶極子陣列接收信號的特征,將該陣列DOA估計轉化為單比特稀疏標量陣的DOA估計。鑒于DOA估計精度與協(xié)方差矩陣的估計精度直接相關,利用單比特采樣信號和無量化信號的符號一致性與標量均勻線陣接收信號的托普利茲性,將單比特稀疏標量陣的協(xié)方差矩陣問題轉化為有約束的優(yōu)化問題,并進一步將該約束問題松弛為可以使用半正定規(guī)劃求解的凸問題進行求解,獲得更準確的協(xié)方差矩陣估計值,從而改善子空間類DOA估計方法的性能。實驗結果表明,在嵌套陣上,OB-SCME的估計精度MSE相較于OB-MUSIC有平均2.2 dB的性能提升;在互質陣上,由于OB-SCME成功利用了差分陣列孔洞之外的虛擬陣元,在提升了可估計源數(shù)目的同時,在不同點的信噪比下,其估計精度MSE平均提升了8 dB,當信噪比為0且快拍數(shù)少于60時,其估計精度提升可達10 dB以上,因此,OB-SCME更適用于低快拍的互質陣。