桂 杰，曹 力,2，伯彭波，顧兆光

面向可展特征的網格模型去噪方法

桂 杰1，曹 力1,2，伯彭波3，顧兆光4

(1. 合肥工業(yè)大學計算機與信息學院，安徽 合肥 230601；2.安全關鍵工業(yè)測控技術教育部工程研究中心，安徽 合肥 230601；3. 哈爾濱工業(yè)大學(威海)計算機科學與技術學院，山東 威海 264209；4. 香港量子人工智能實驗室有限公司，香港 999077)

可展特征是三維網格模型的常見幾何特征。為了更好地對具備可展特征的網格模型進行去噪，提出一種面向可展特征的網格模型去噪方法。首先基于變分形狀逼近策略分割可展區(qū)域，識別出網格模型上可展特征區(qū)域，并對分割區(qū)域進行基于可展性度量的合并和劃分，改進現(xiàn)有0去噪算法中針對非均勻噪聲網格的正則優(yōu)化表達項，引入三角網格頂點的可展度量項，利用可展特征的曲面法向量0范數(shù)的優(yōu)化問題求解實現(xiàn)網格模型的去噪。通過對多個模型數(shù)據(jù)集中的大量模型數(shù)據(jù)進行處理，驗證了該方法的有效性。實驗表明，結合模型的可展特性的去噪方法在保持模型的幾何特征特別是可展特征上效果優(yōu)于已有方法。

計算機圖形學；網格模型處理；網格模型去噪；可展性分析；0范數(shù)

現(xiàn)實中存在大量復雜的幾何實體或構件，為了更好地處理幾何實體的拓撲信息關系，從而進行實際的生產應用，常使用激光掃描或其他基于三維掃描設備[1]獲取三維模型。因而不可避免地由于測量誤差[2]、方法誤差或實驗設備精度產生不同程度的噪聲。而噪聲模型難以直接有效地對其進行利用，去噪問題就成了模型處理的前序問題。

現(xiàn)有去噪算法一般重視尖銳幾何特征的保持，但未對可展特征進行去噪。由于可展曲面能不經拉伸和裁剪展開成平面，在服裝、建筑設計、船舶造型等應用領域有重要應用[3-4]，實際中的模型很多具有局部甚至整體的可展性。因此面向可展特征的網格模型去噪方法有著重要意義。

注意到可展曲面的法向量場在平坦區(qū)域變化并不劇烈，特征區(qū)域是稀疏的，適合0范數(shù)來優(yōu)化平坦性。為了處理可展特征，本文引入三角網格的可展性度量，利用基于0范數(shù)的模型法向量場優(yōu)化，實現(xiàn)對噪聲模型上的向量場進行去噪和光順的同時保持模型的可展幾何特征，進而利用優(yōu)化后的法向量場信息構造重建的可展曲面。為了應付具有局部可展性的復雜曲面，本文先進行近可展曲面的識別和分割，在分割基礎上進行0范數(shù)去噪。

1 相關工作

網格去噪為三維模型處理的前序問題，近年來研究已取得很多成果。早期的網格平滑算法拉普拉斯光順是一種經典的算法[5-6]，在利用規(guī)則的同時重復地調整每個頂點位置到其相鄰點的幾何中心，使去噪后結果過于光順，以致模型原有特征缺失和體積收縮；TAUBIN[7]平滑網格，采用了2個與拉普拉斯平滑算法相似過程的正負因子進行多次迭代平滑，光順網格的同時來避免網格萎縮。

隨著網格去噪算法的進一步發(fā)展，網格去噪算法逐漸摒棄了對網格頂點的直接修正方法，基于二步法的去噪算法逐漸形成主流。基于二步法[8]的網格去噪算法首先對網格表面的法向進行濾波，根據(jù)調整后的法向更新頂點坐標位置。由于曲面的可展幾何特征對噪聲具有敏感性，現(xiàn)有的二步法對法向量場進行優(yōu)化時并未考慮可展特征的約束。在光順法向量場時，常見的最小二乘法利用2范數(shù)構造法向量優(yōu)化函數(shù)，無法恢復模型的幾何特征?，F(xiàn)有的0去噪算法[9-10]在進行三角網格模型和點云數(shù)據(jù)的處理時，能在去噪的過成中極大化模型的平坦區(qū)域，保留尖銳特征的同時逐漸去除噪聲[11]。

面法向量能有效地表達模型表面的幾何信息，將圖像濾波的去噪原理遷移到網格去噪，YAGOU等[12]延用二步去噪方法，提出對面法向量的中值濾波、均值濾波、alpha裁剪濾波方法。ZHANG等[13]受圖像處理中的引導法向濾波算法影響，將原始法向信息作為引導濾波應用于雙邊濾波算法，起到了很好的去噪效果；受圖像平滑利用0范數(shù)[14]最小化的影響，HE和SCHAEFER[15]基于0范數(shù)最小化的三角網格去噪算法，通過網格頂點和拉普拉斯微分算子來代替圖像處理中的顏色向量，最大化了模型的平坦區(qū)域，保留尖銳特征的同時逐漸去除了噪聲；之后，SUN等[16]對點云進行0去噪。

將三角網格模型構造為可展曲面模型[17]也得到了深入研究。WANG[18]使用均勻三角網格表示近似可展曲面，通過優(yōu)化方法改善網格曲面的可展性；LIU等[19]對網格四邊形平面予以優(yōu)化并通過細分操作構造離散可展曲面；鄭玉健和伯彭波[20]基于可展曲面的船舶造型，以給定型線為邊界曲線進而構造擬可展曲面構造方向。

針對可展曲面進行去噪，伯彭波等[21]利用0算法對可展曲面進行去噪，將網格頂點法向量和其鄰域內的頂點法向量的差用0范數(shù)進行最小化，定義了特定鄰域來反映模型的可展幾何特征，并對其區(qū)域進行0的網格去噪，然后將去噪結果使用B樣條曲面擬合[22]獲取新的重建結果。該文獻對可展曲面的法向量在單位球上的映射呈現(xiàn)曲線的形式進行可展曲面的0去噪，而本文則是針對三角網格可展性約束進行去噪。針對法向量優(yōu)化，本文在約束鄰域間法向量關系的同時，還約束了三角網格的頂點領域形成的二面角的關系，這樣可以更好地使用0范數(shù)去噪算法處理模型，同時保持模型的可展特征。

2 可展分析和算法流程

2.1 可展分析

三維網格模型常常包含一定的可展區(qū)域，特別是平面、柱面和錐面等特殊可展曲面在工業(yè)零部件模型中較為常見。對SGA數(shù)據(jù)庫[23]中的網格模型進行分析，利用一個頂點的相鄰三角形的內角和等于2π作為頂點的可展性度量，通過遍歷三角模型的所有頂點，統(tǒng)計可展頂點的數(shù)目占所有頂點數(shù)目的比例。統(tǒng)計結果表明，一個網格模型的可展頂點數(shù)目占比很大，尤其是工業(yè)零部件和人造物體，可展頂點的數(shù)目常常占到一半以上。以SGA_Cup模型(圖1)為例，模型的統(tǒng)計頂點數(shù)為38 806個，可展的頂點數(shù)為28 988個，占比超過74%。SGA數(shù)據(jù)庫中的幾個網格模型的統(tǒng)計結果見表1。

圖1 面向可展特征的模型去噪方法處理流程

表1 SGA數(shù)據(jù)庫可展頂點數(shù)/頂點數(shù)對比表

表1結果說明，具有網格頂點的可展性是網格模型的重要特征。在很多常見的網格模型中，可展部分常常占據(jù)模型表面的多數(shù)區(qū)域。因此在網格去噪中，針對可展模型或模型的可展區(qū)域進行有針對性的去噪方法研究具有重要意義，考慮網格頂點的可展特性的網格去噪方法可能取得更好的去噪效果。

2.2 算法流程

本文曲面可展性的去噪方法，首先識別模型上的可展特征區(qū)域，利用變分逼近算法識別出網格的局部可展區(qū)域，然互通過可展性指導區(qū)域細分和區(qū)域合并，將模型進行分割，得到由可展區(qū)域和非可展區(qū)域的組合，并且由區(qū)域的邊界得到模型的特征輪廓線。針對不同的區(qū)域采用不同的去噪方法，對于具有可展特征的區(qū)域采用考慮了網格頂點的可展性的0去噪算法進行去噪。最后對特征輪廓線進行進一步處理，得到去噪后的網格模型(圖1)。主要步驟如下：

步驟1.將噪聲模型分割為多個區(qū)域，得到完整的局部可展區(qū)域；

步驟2.基于分割區(qū)域的可展性采取有針對性的去噪方法進行分區(qū)域的去噪；

步驟3.對特征輪廓線進行去噪；

步驟4.輸出完整去噪結果。

2.3 基于可展特征的模型分割(步驟1)

可展曲面是單參數(shù)的平面包絡，將通過識別模型的局部平面區(qū)域作為識別可展區(qū)域的基礎。變分逼近方法能有效得到模型的分片平面逼近表示[21,24]。本文首先采用變分逼近方法得到網格的初始分割，采用如平面、圓柱面等表示一個表面區(qū)域的幾何代理。

本文通過在三角網格中選取若干個三角面作為待擴展區(qū)域的聚類中心，對每個待擴展區(qū)域重新計算的網格內頂點內角和平均法向量來進行不斷地合并和更新，直到所有三角形均屬于某個區(qū)域作為一次迭代。重復迭代直至模型分割區(qū)域包含的三角面數(shù)目保持穩(wěn)定為止。區(qū)域劃分按照如下度量進行三角面的合并，即

其中，R為待擴展區(qū)域；為區(qū)域代理、表示待擴展區(qū)域法向量及代理向量。設定合并區(qū)域為R，選擇所有的三角面，計算其與每個合并區(qū)域平均法向量的差，將最小度量結果的R和合并，直至所有三角片都被合并到某一區(qū)域為止。

對于噪聲模型，直接計算模型的法向會出現(xiàn)偏差，為獲取更好地分割結果，根據(jù)文獻[24]進行平滑預處理。

同時由于聚類的結果一般依賴于初始種子點數(shù)目和位置的選擇，基于文獻[25]，已經可以很大程度解決模型分割時穩(wěn)定結果的選擇。

變分逼近的結果一般會得到可展區(qū)域的過分割，因此本文提出對分割區(qū)域進行基于可展性度量的合并和劃分的迭代策略，盡可能將模型區(qū)域分割成大片的可展區(qū)域，作為后續(xù)針對行的去噪處理。區(qū)域的合并和劃分策略如下：

(1) 區(qū)域劃分。對每個分塊形成的區(qū)域予以驗證，若三角面間法向量變化過于劇烈，如2相鄰區(qū)域法向夾角變化過大，則表明分塊區(qū)域相鄰法向夾角過于劇烈，同時計算分塊區(qū)域內非邊界頂點內角和；若分塊區(qū)域可展頂點數(shù)占比小于設定閾值(一般在65%～70%)，表明未將包含可展特征的區(qū)域分開?；伺袛啵瑢Υ址指罱Y果重新劃分。如圖2所示，以hanger為例，若對法向2個變化劇烈程度不加以限制，會導致模型將分割的圓柱面部分表面劃分到一個區(qū)域，即出現(xiàn)過分割，所以需要盡可能地將更多的可展平面分割到一起，本文通過大量實驗證明，2相鄰區(qū)域法向夾角變化在1/6π時效果較好，而對其他模型，可以通過調整相應數(shù)據(jù)獲取更好的實驗結果。將模型hanger的粗分割結果會與平面重新劃分，并將每個平面、圓柱面都劃分開。

圖2 模型hanger分割((a)粗分割結果；(b)分割區(qū)域再分割）

(2) 區(qū)域合并。為了將模型的可展區(qū)域更好地合并到一個區(qū)域，分割區(qū)域總數(shù)要予以一定的限制，區(qū)域劃分過細易導致模型的可展區(qū)域被劃分成多個分片區(qū)域，這樣對每片區(qū)域進行0范數(shù)去噪會導致面片總數(shù)過少致迭代出現(xiàn)偏差。于是首先對分割后的區(qū)域進行合并，將平坦區(qū)域劃分到一個區(qū)域內，通過計算每個分塊區(qū)域和其相鄰分塊之間的度量差，若小于閾值(本文設定為0.01)，則判斷2塊分區(qū)域同屬于一個分塊區(qū)域，將面數(shù)較少的分塊區(qū)域合并到面數(shù)較多的合并區(qū)域，消除模型的過度分割。圖3給出了模型onefold的變形逼近粗分割結果和采用本文的基于可展性區(qū)域重新劃分和合并策略得到的結果。

圖3 模型onefold分割((a)粗分割結果；(b)分割區(qū)域合并)

區(qū)域分割的結果給出了模型的輪廓線，即特征輪廓線。通常，模型的特征點存在于模型分割后形成的分割邊界，針對分割區(qū)域統(tǒng)計頂點信息，對劃分結果計算每個最終確定的劃分區(qū)域的平均法向和平均重心，并作為之后的待擴展區(qū)域的聚類中心。使用變分逼近算法重建，提取更新后的特征點集。提取后的特征點集(輪廓線)輔助更好地切分模型并在之后對其進行處理。如圖4所示，利用分塊結果，提取joint模型輪廓線，為后續(xù)去噪處理做中間處理。輪廓線的提取輔助了模型的分割。

圖4 特征區(qū)域提取((a)分割結果；(b)獲取輪廓線)

本文通過改進后的變形逼近算法更好地將模型分成不同的區(qū)域，并采用不同的去噪方式，將三維網格模型按照輪廓切成不同的區(qū)域，因為模型分為特征區(qū)域和非特征區(qū)域，直接通過現(xiàn)有的去噪方式對模型存在的邊角點進行去噪可能有整體偏差，故先通過變形逼近算法將模型整體劃分成若干塊，對每塊進行去噪，最后將去噪后的結果結合起來優(yōu)化特征區(qū)域，會得到比整體直接去噪更好的效果。

如圖5所示，依據(jù)改進后的分割結果進行去噪。

圖5 模型demesh切分示意圖

2.4 基于可展性質的L0去噪(步驟2)

網格模型的位置信息和法向信息是互補的，共同體現(xiàn)網格曲面的形狀信息。對于無噪聲的網格模型，平坦區(qū)域內的網格頂點的法向量基本與其鄰域邊垂直；而在包含特征的區(qū)域，由于幾何形狀變化劇烈，網格頂點的法向與其鄰域邊并不垂直。因為網格模型的特征往往是稀疏的，所以可利用0范數(shù)來約束這種垂直性，從而達到區(qū)分噪聲和特征的目的?？烧咕W格模型或模型的可展區(qū)域除了上述的性質外，每個點均存在相關的約束，根據(jù)上述確定的性質來改進0方法，求解關于0范數(shù)極小化的可展曲面去噪。對圖5中的一片分割區(qū)域的去噪效果如圖6所示。

將三角網格可展性質作為數(shù)據(jù)保真項加入到可展模型優(yōu)化。其中，為初始網格頂點坐標對應法向量，使用文獻[15]提出的離散拉普拉斯算子()，()是使用三角網格的可展性性質構造的參數(shù)，其為一個頂點的內角和。如果其偏離2π太多就表示破壞了頂點的可展性。式(2)中目標函數(shù)無法直接對進行優(yōu)化，為輔助優(yōu)化而引入的輔助變量。

0稀疏約束使用文獻[15]提出的離散拉普拉斯算子。其為一個頂點和單環(huán)的加權組合，其中權重由三角形的角的切線給出。拉普拉斯算子得到的是對該點進行微小擾動后可能獲得的總增益。故使用此進行0極小化。求解步驟如下：

步驟1. 固定優(yōu)化，即

步驟2. 固定優(yōu)化，即

該步驟需要求解稀疏矩陣方程組。循環(huán)迭代上述2個步驟直到達到預定條件，算法如下：

算法1.分片區(qū)域0去噪算法

輸入：含噪聲的三角網格模型分割區(qū)域。

輸出：去噪后的三角網格模型子區(qū)域。

BEGIN

1. Calculate each neighborhood p*,A(w),D(p);

2. Initialize parameters α,β,y;

3. Perform the following loop for p, w, δ;

While β<103

Optimize δ by fixing P according to equation (3);

Optimize P by fixing δ according to equation (4);

β→μβ,α→1/2α;

END

針對網格模型的不同分片，整個模型的能量優(yōu)化可以轉化為在每個頂點或每個邊上的能量的和。函數(shù)的極小化可以轉換為在每個邊上或頂點上的函數(shù)極小化的求和，這樣求解就變得易于計算。對于和的調參規(guī)則參照文獻[15]中的調參規(guī)則。反映了對于可展特征強的區(qū)域，本文盡可能將其設置大一些，一般設置為0.500～0.005之間，可根據(jù)模型的可展程度去調節(jié)的大小。

若分片區(qū)域不包含可展特征或可展特征弱，在去噪的過程中可限定式(2)中值為0或接近0，用以弱化此項對去噪效果的影響。

在優(yōu)化中，頂點的連接關系不會發(fā)生改變，若直接對整體模型進行相應地去噪處理，會導致模型的去噪結果發(fā)生變化，因為模型不是每個區(qū)域都含有很多的可展部分，對每個部分的參數(shù)占比也有不同，切開才能獲取更好的實驗結果，若不切開而進行模型的去噪將導致這個優(yōu)化項難以形成確定性的優(yōu)化結果。

2.5 特征輪廓的去噪(步驟3)

模型的幾何特征存在于模型分割后形成的分割邊界，尖銳特征相對兩側點的法線方向不同，而平滑區(qū)域點之間法線變化較小?；谖墨I[16]的方法，對于提取的特征點集，對每個頂點P重新定位，使其與P的鄰域內點P定義的所有平面的距離最小，且該點對應的法向量為。因此，點的新位置為

本文對每個分片區(qū)域進行L0去噪，將結果進行合并，將圖6分割結果進行去噪，得到最后的完整去噪結果(圖7)。

3 實驗結果

選取常見的近似可展的網格模型或含有可展區(qū)域的模型，使用變形逼近算法將模型分割成特征區(qū)域和非特征區(qū)域，對平坦區(qū)域采取基于可展性質的0去噪算法，對特征區(qū)域使用優(yōu)化后的法向量和頂點輔助優(yōu)化特征點集的位置，這樣可以使得模型分割后每塊的法向量場的變化率保持穩(wěn)定，避免去噪結果的過光順化，以保持模型形狀特征，同時使模型能盡量保持可展特征。

3.1 定性實驗

實驗中使用零均值的高斯函數(shù)來模擬噪聲，高斯函數(shù)的標準差與網格的平均邊長比例，本文中的噪聲均為高斯噪聲。對同一模型在不同強度高斯噪聲下進行實驗，當噪聲強度過大時，去噪效果有一定程度的減弱，模型的幾何特征會被噪聲數(shù)據(jù)嚴重破壞對分割結果造成影響，并難以獲取正確的分割信息。圖8為噪聲強度分別為0.2l，0.3l和0.5l時去噪效果的對比。當噪聲模型過大時，去噪效果會出現(xiàn)明顯的破壞，表面難以光順及平整。

圖8 不同噪聲強度下去噪對比圖

將本文方法和文獻[15]方法去噪結果相比，本文算法能更有效地對可展區(qū)域進行去噪并保持模型的可展特征。如圖9所示，選取2個模型進行對比，可以看到本文算法能取得更好的結果并提升去噪效果，具體的對比結果見表2。

圖9 文獻[15]L0去噪與本文方法對比((a)含噪聲模型；(b)L0去噪；(c)本文方法)

表2 去噪前后模型可展頂點數(shù)/頂點數(shù)占比表

經區(qū)分分片可展和不分片直接進行可展0去噪實驗結果表明(圖10)，分片去噪能夠靈活地控制可展項對于去噪結果的影響，從而獲取更好地去噪結果。

圖10 是否分片去噪對比圖((a)不分片去噪；(b)分片去噪)

同時實驗選取如雙邊濾波算法、非迭代的保特征去噪算法、快速有效的保特征的網格過濾算法、引導濾波去噪算法和本文方法進行對比實驗，在去噪的結果上本文方法可展模型的去噪效果優(yōu)于其他算法，如圖11所示。

3.2 定量實驗

本文方法對模型進行有效去噪的同時還能保持模型的相關特征，同時在平坦區(qū)域保持每個頂點內角和等于2π的情況下修正頂點。保證了每個頂點的可展性，進而保證了整個模型的可展性。表2和圖12給出了模型的可展占比的結果。本文選取具備高可展特征原始模型進行噪聲對比實驗，單個原始模型可展頂點數(shù)占比為70%以上，在添加高斯噪聲(0.3l)后占比數(shù)下降至25%左右，在添加噪聲后，模型頂點周圍的鄰域內其他頂點的位置和法向會改變，這樣頂點的可展性會受到破壞，由于本文方法是針對模型頂點的可展性進行去噪，使去噪模型的可展性得到盡可能還原，并保持較高的可展特征。不同模型的可展性不同，以規(guī)范的柱體、錐體構造的模型在模型分割時具有更好的優(yōu)勢，可以更好地對模型進行分割后處理。所以模型hanger比onefold去噪的可展性保持要好。

圖11 幾種去噪方法對比圖((a)原模型；(b)噪聲模型；(c) Bilateral mesh denoising (BNF)；(d) Non-iterative feature preserving mesh filitering (NIFP)；(e) Fast and effective feature-preserving mesh filltering (FEEP)；(f) Guided mesh normal filitering (GNF)；(g) Ours)

圖12 去噪前后模型可展頂點數(shù)/頂點數(shù)占比圖

為更好地進行定量分析，引入原模型和去噪模型面法向量之間差異的最小絕對誤差值(mean square angle error，MSAE)來計量模型的去噪定量結果，MSAE是對預測準確性的一種度量，本文對網格模型添加中等程度的高斯噪聲(實驗設定為0.3l)，本文方法對可展模型或含可展區(qū)域的模型的去噪效果優(yōu)于其他算法，實驗結果見表3。傳統(tǒng)去噪方法對中等程度的高斯噪聲去噪效果有限，0去噪方法對于模型的去噪效果能夠更好的進行去噪，本文方法相較于0去噪方法對可展性的區(qū)域做出了進一步的約束，進一步提升了效果，對onefold模型驗證去噪提升效果在10%以上，其他效果提升在5%～8%。

表3 模型去噪MSAE比較結果

4 結束語

本文針對含柱面、錐面等可展特征的網格模型，利用其可展特性，對模型進行分塊，對包含可展特征的平坦區(qū)域和分割提取的特征區(qū)域采取不同的去噪方式，可以很好地提升后續(xù)網格去噪的效果。針對現(xiàn)有的0去噪算法，改進該算法中對非均勻噪聲網格的正則優(yōu)化表達項，將三角網格關于頂點的可展性定義形成優(yōu)化表達項，在去噪基礎上保留了模型的可展特征。

本文亟待解決的問題是在0的去噪時間復雜度過高，處理模型迭代時間長，同時在模型的分處理時會產生對模型點數(shù)據(jù)的破壞，雖然已實現(xiàn)了對網格模型選擇按照可展性質進行分割，但仍需進一步歸納模型的其他特性進行去噪以期獲取更好的實驗結果。對于面數(shù)多的網格模型，仍存在計算出現(xiàn)偏差的問題，這是今后需要深入研究的問題。

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Denoise method for meshes with developable features

GUI Jie1, CAO Li1,2, BO Peng-bo3, KOO Siu-kong4

(1. School of Computer and Information, Hefei University of Technology, Hefei Anhui, 230601, China;2. Engineering Research Center of Safety Critical Industrial Measurement and Control Technology, Ministry of Education, Hefei Anhui 230601, China;3. School of Computer Science and Technology, Harbin Institute of Technology (Weihai), Weihai Shandong 264209, China;4. Hong Kong Quantum AI Lab, Hong Kong 999077, China)

Developable features can be commonly found in various meshes from different datasets. A novel denoising method was proposed for meshes with developable features. The developable features can be reflected by the sum of vertex interior angles of the mesh and well processed by0computation. According to the definition of the developability of the mesh, the existing0denoising algorithm was improved, and the sum of the internal angles formed in the neighborhood of a certain point was constrained to obtain the denoising effect conforming to the developable features. Compared with the existing methods, the denoising method combined with the developable features of the model can denoise more effectively while maintaining the original shape and the developable features of the model. The proposed method is particularly superior in the case of processing a large number of model data in multiple meshes datasets.

computer graphics; model processing; mesh denoising; develop analysis; developable features0norm

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2022030453

A

2095-302X(2022)03-0453-08

2021-09-13；

2022-02-07

13 September，2021；

7 February，2022

國家重點研發(fā)計劃重點專項(2020YFC1523100)；安徽省重點研究與開發(fā)計劃項目(202104e11020006)；國家自然科學基金項目(62072139，61602146)

National Key Research and Development Program of China (2020YFC1523100); Key Research and Development Program of Anhui Province (202104e11020006); National Natural Science Foundation of China (62072139, 61602146)

桂 杰(1996-)，男，碩士研究生。主要研究方向為計算機圖形學。E-mail：514615802@qq.com

GUI Jie (1996–), master student. His main research interest covers computer graphics. E-mail：l514615802@qq.com

曹 力(1982–)，男，副教授，博士。主要研究方向為計算機圖形學、幾何分析等。E-mail：lcao@hfut.edu.cn

CAO Li (1982–), associate professor, Ph.D. His main research interests cover computer graphics, geometric analysis. E-mail：lcao@hfut.edu.cn