陳嚴(yán)飛 ，高莫狄胡東宗優(yōu)劉宇馮瑋

1 中國(guó)石油大學(xué)(北京)油氣管道輸送安全國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室/石油工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室/城市油氣輸配技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102200

2 大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024

3 中集海洋工程有限公司， 深圳 518000

輸流管道振動(dòng)是引起管道機(jī)械磨損與疲勞失效的重要因素之一。當(dāng)輸流管道受到的激振力頻率與管道系統(tǒng)的頻率相等或者接近時(shí)，就形成了機(jī)械共振。此時(shí)，輸流管道會(huì)發(fā)生較大的振動(dòng)和變形，甚至破裂。在過(guò)去的幾十年中，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)輸流管道的動(dòng)力學(xué)和穩(wěn)定性開展了廣泛的研究。據(jù)paièdousis和Issid[1]報(bào)道，Bourrières[2]首次對(duì)輸送流體的管道動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了認(rèn)真的研究。Kuiper和Metrikine[3]分析了左固右簡(jiǎn)邊界條件下管道的穩(wěn)定性。懸臂管道在高流速下通過(guò)霍普夫分岔將發(fā)生顫振不穩(wěn)定性[4-5]。Lee Sen Yung等人[6-7]考慮科里奧利力的影響，求解了傾斜旋轉(zhuǎn)鐵木辛柯梁的自由振動(dòng)頻率。郝逸、王文明等人[8]利用微元法分析了深水隔水管橫向振動(dòng)固有頻率。厲曈曈、梁偉等人[9]運(yùn)用積分變換求解了變截面深水鉆井隔水管系統(tǒng)渦激振動(dòng)問(wèn)題。

功能梯度材料(簡(jiǎn)稱FGM)是指材料屬性隨空間位置呈連續(xù)梯度變化的新型復(fù)合材料[7]。FGM可以通過(guò)設(shè)計(jì)體積分?jǐn)?shù)的函數(shù)來(lái)任意調(diào)整功能梯度材料結(jié)構(gòu)的特性[10]。在材料制備技術(shù)高速發(fā)展的今天，F(xiàn)GM在抗斷裂[11]、耐磨損[12]等方面顯示出遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)材料的特性。然而，有關(guān)FGM的文獻(xiàn)主要集中在FGM的梁、板和殼[13-16]，關(guān)于FGM管道輸送流體的結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性研究文獻(xiàn)相對(duì)較少。

Sheng和Wang[17]研究了FGM管道在機(jī)械荷載和熱荷載作用下的振動(dòng)響應(yīng)。Setoodeh和Afrahim[18]采用Galerkin方法計(jì)算了FGM管道的固有頻率。邊祖光等人[19]對(duì)正交各向異性功能梯度圓柱殼的自由振動(dòng)開展了研究。Filiz和Aydogdu[20]研究了FGM納米管中的波傳播。Ansari等人[21]結(jié)合尺寸效應(yīng)和哈密頓原理對(duì)輸流管的固有頻率進(jìn)行了研究。Shen等人[22]、Dai等人[23]、You和Inaba[24]對(duì)非均勻材料輸流管的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。劉辰[25]通過(guò)微分求積法研究了功能梯度輸流管的振動(dòng)及失穩(wěn)。

雖然針對(duì)功能梯度材料輸流管道結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題國(guó)內(nèi)外開展了一些研究工作，但目前大多采用近似方法得到，但整體計(jì)算精度較低，高階收斂性較差。本文結(jié)合同倫分析方法[26]，給出了變材料輸流管道的固有頻率計(jì)算方法，并與其它近似方法進(jìn)行了對(duì)比分析，證明同倫方法在具有較好的準(zhǔn)確性同時(shí)具有非常好的計(jì)算效率，結(jié)合計(jì)算結(jié)果，進(jìn)而給出了常見四種邊界條件下臨界流速與體積分?jǐn)?shù)指數(shù)的圖像，可以直觀判斷管道是否發(fā)生失穩(wěn)，可以用于功能梯度材料輸流管道結(jié)構(gòu)分析和安全評(píng)價(jià)。

1 基本假設(shè)與基本方程

1.1 功能梯度材料輸流管問(wèn)題基本假設(shè)

假設(shè)管道材料為各向同性的黏彈性材料，流體不可壓縮且無(wú)黏性，忽略管道運(yùn)動(dòng)對(duì)流體的影響，假設(shè)流體的流動(dòng)速度方向垂直于管道橫截面，速度大小平均分布，考慮管道材料為FGM，假設(shè)從圓心到管道截面任一點(diǎn)處距離為r，稱為有效半徑，內(nèi)表面和外表面材料屬性均可用密度、彈性模量和體積分?jǐn)?shù)描述，則整條管道材料屬性為

其中，ρ—管道材料密度，kg/m3;

E—彈性模量，Pa;

G—剪切彈性模量，Pa;

V—體積分?jǐn)?shù)，%;

下標(biāo)i，o分別代表內(nèi)表面和外表面。

材料的體積分?jǐn)?shù)V可以用式（2）描述

其中Ri和Ro分別代表管道內(nèi)徑和外徑。

基于梁模型考慮以下4 種邊界條件：

兩端固支邊界條件

兩端簡(jiǎn)支邊界條件

懸臂梁邊界條件

左端固支右端簡(jiǎn)支

上述4 種邊界條件中，y(x，t)代表著管道沿y軸方向的撓度，x和t分別代表空間坐標(biāo)與時(shí)間坐標(biāo)，L為管道長(zhǎng)度。

1.2 功能梯度材料輸流管問(wèn)題基本方程

圖1描述的是一條水平放置長(zhǎng)為L(zhǎng)的輸送流體的管道，其橫截面積為A，慣性矩為I，泊松比v為常數(shù)，流體運(yùn)動(dòng)速度為U。管道內(nèi)徑為Ri，外徑為Ro，壁厚為h，則輸流管的控制方程可以描述為

圖1 功能梯度材料輸流管系統(tǒng)示意圖Fig. 1 Schematic of FGM pipe conveying fluid e system

式中，E—材料彈性模量，Pa；

mp—單位長(zhǎng)度管道質(zhì)量，kg/m；

mf—單位長(zhǎng)度流體質(zhì)量，kg/m；

p—流體壓強(qiáng)，Pa；

T——管道軸向拉力，N。

根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論，不考慮內(nèi)壓以及軸向力，管輸流體以恒定速度流動(dòng)，則輸流管系統(tǒng)控制方程可描述為

式(8)中，mp與mf分別代表單位長(zhǎng)度管道質(zhì)量與流體質(zhì)量，y(x，t)代表著管道沿y軸方向的撓度，x和t分別代表空間坐標(biāo)與時(shí)間坐標(biāo)。

式(9)中，ρ—管道材料平均密度，kg/m3；

ρi—管道材料內(nèi)表面密度，kg/m3；

ρo—管道材料外表面密度，kg/m3；

Vi—管道材料內(nèi)表面體積分?jǐn)?shù)，%；

Vo—管道材料外表面體積分?jǐn)?shù)，%；

Ei—管道材料內(nèi)表面彈性模量，Pa；

Eo—管道材料外表面彈性模量，Pa；

θ—有效半徑參考點(diǎn)與豎直平面的夾角，rad。

對(duì)于式(8)，引入如下無(wú)量綱參數(shù)

同時(shí)運(yùn)用分離變量技巧，假設(shè)撓度方程為

則方程(8)轉(zhuǎn)化為

2 功能梯度材料輸流管問(wèn)題的同倫分析解法

2.1 同倫分析

對(duì)于式(11)，取線性算子

輔助函數(shù)取為

初始猜測(cè)解取為

其中，a，b，c，d為4 個(gè)待定系數(shù)。

根據(jù)同倫分析法

結(jié)合(14)和式(15)，可依次迭代得到n階近似解

以兩端固支為例，上式代入邊界條件中，可得

將式(17)整理為列向量矩陣乘法形式

其中，矩陣μ中的每個(gè)元素都是關(guān)于?和ω的式子，矩陣λ= [a，b，c，d]T。

根據(jù)矩陣的性質(zhì)，欲保證式(18)非零解存在，則必有

2.2 參數(shù)選擇

式(19)描述的是?（收斂控制參數(shù)，無(wú)量綱）和ω的隱函數(shù)關(guān)系式，對(duì)于輸流管問(wèn)題，ω一般為復(fù)數(shù)，這給?—ω曲線的繪制造成了困擾。為了得到目標(biāo)圖像，本文將對(duì)[ -2，0]內(nèi)的?值離散為101 個(gè)點(diǎn)，對(duì)每一個(gè)離散點(diǎn)求解式(19)得到對(duì)應(yīng)的ω值，這樣就可以得到?—Re(ω)和?—In(ω)散點(diǎn)圖。

選擇表1 中的數(shù)據(jù)進(jìn)行?—ω的計(jì)算，考慮兩端簡(jiǎn)支邊界條件下不同體積分?jǐn)?shù)指數(shù)及流速流體，分別計(jì)算得到?—ω曲線圖。每個(gè)?—ω曲線圖中都存在著?的平整段。?只有在這個(gè)范圍內(nèi)取值，計(jì)算結(jié)果才收斂。無(wú)論實(shí)部Re(ω)和虛部Im(ω)在取?∈[-1.2， -0.8]的時(shí)候，同倫分析法可以計(jì)算得到收斂的近似解。同時(shí)圖2 表明隨著體積分?jǐn)?shù)指數(shù)和流體流速的不斷增加，?平整段逐漸變窄，說(shuō)明體積分?jǐn)?shù)指數(shù)比和流體流速越大的時(shí)候，收斂控制參數(shù)的選取越受限制。

圖2 基本輸流管系統(tǒng)的?-ω曲線Fig. 2 ?-ω curve of basic conveying fluid system

表1 FGM管道材料屬性Table 1 Material property of FGM pipeline

2.3 收斂性分析

圖3描述的是在兩端簡(jiǎn)支邊界條件下?=-1，n=2，U=5 m/s輸流管系統(tǒng)迭代20 次的前八階頻率，可以看出同倫分析法計(jì)算得出的一階頻率迭代3 次就已收斂，二階頻率迭代5 次收斂，三階頻率迭代7 次收斂，四階頻率迭代9 次收斂，更是在20 次迭代步數(shù)內(nèi)八階頻率皆收斂。

3 結(jié)果分析

3.1 準(zhǔn)確性驗(yàn)證

圖2和圖3 證明了同倫分析法解輸流管系統(tǒng)問(wèn)題的可行性，同時(shí)說(shuō)明同倫分析法收斂性很好。在表2 中，同倫分析法(HAM)的計(jì)算結(jié)果與解析解[27]及DTM的計(jì)算結(jié)果保持一致，與DQM計(jì)算結(jié)果略有差異，這說(shuō)明同倫分析法的計(jì)算結(jié)果是十分精確地，在計(jì)算精度上優(yōu)于DQM。根據(jù)Ni[28]，DTM方法得到收斂的四階頻率值是在30 階之后，而同倫分析法得到收斂的四階頻率僅需15 階，這說(shuō)明同倫分析法在計(jì)算速度上是優(yōu)于DTM的。

表2 在u=0 時(shí)同邊界條件下的輸流管自然頻率Table 2 Natural frequencies of conveying fluid pipeline under different boundary conditions with u=0

圖3 兩端簡(jiǎn)支邊界條件下?=-1，n=2，U=5 m/s 輸流管系統(tǒng)迭代20 次各階頻率值Fig. 3 Natural frequencies of conveying fluid pipeline system with 20 iteration times under pinned-pinned boundary condition with ?=-1， n=2， U=5 m/s

通過(guò)同倫分析法計(jì)算無(wú)量綱流速u=0 以及u=2 的工況，并與EI-Sayed[26]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。在表3 中，流速增加時(shí)，輸流管的自然頻率會(huì)顯著變化，而無(wú)量綱流速與管道長(zhǎng)度有關(guān)，管道越長(zhǎng)，無(wú)量綱流速越大，流體與管壁之間的相互作用也就越大。所以在對(duì)管道振動(dòng)頻率進(jìn)行研究時(shí)，要考慮到流體與管壁之間的相互作用。

表3 β=0.5 時(shí)左固右簡(jiǎn)邊界條件不同流速前四階頻率Table 3 First fourth order frequencies with different velocity under clamped-pinned boundary condition with β=0.5

3.2 臨界流速

在輸流管系統(tǒng)中，實(shí)部Re(ω)代表系統(tǒng)受到的阻尼，虛部Im(ω)代表系統(tǒng)的振動(dòng)頻率，當(dāng)Re(ω)＜0，Im(ω)=0 時(shí)，系統(tǒng)稱為靜態(tài)失穩(wěn)；當(dāng)Re(ω)＜0，Im(ω)＞0 時(shí)，稱為動(dòng)態(tài)失穩(wěn)；當(dāng)時(shí)Re(ω)＞0，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)Re(ω)=0，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，這時(shí)對(duì)應(yīng)的流體流速即為臨界流速，所以我們通過(guò)衡量臨界流速的大小即可判斷系統(tǒng)是否失穩(wěn)。

由于數(shù)值計(jì)算出的最終結(jié)果為虛數(shù)，其實(shí)部代表系統(tǒng)阻尼，虛部代表振動(dòng)頻率，所以很難直接繪制出振動(dòng)頻率與流體流動(dòng)速度的圖像，所以將U∈[0， 120]以1 為間隔離散為121 個(gè)點(diǎn)，對(duì)每一個(gè)流速進(jìn)行計(jì)算，分別得到系統(tǒng)阻尼與振動(dòng)頻率，而后將計(jì)算出的結(jié)果按照Im(ω)＞0 從小到大進(jìn)行排序，即可分別繪制U-Re(ω)與U-Im(ω)圖像。

經(jīng)過(guò)計(jì)算，得到了4 種邊界條件下U-Re(ω)和U-Im(ω)的圖像。由圖可知，流速為零時(shí)，系統(tǒng)阻尼Re(ω)=0，隨著流速增大，振動(dòng)頻率Im(ω)逐漸減小。圖4 展示了兩端固支條件下輸流管系統(tǒng)阻尼與振動(dòng)頻率隨流速的變化規(guī)律。對(duì)于兩端固支、左固右簡(jiǎn)、兩端簡(jiǎn)支邊界條件而言，當(dāng)一階頻率減小至零時(shí)，開始出現(xiàn)Re(ω)＞0，流速達(dá)到臨界值，此時(shí)輸流管系統(tǒng)平衡被破壞，整個(gè)系統(tǒng)處于靜態(tài)失穩(wěn)狀態(tài)。當(dāng)流速繼續(xù)增加到一定值時(shí)，振動(dòng)頻率再次出現(xiàn)，這時(shí)的系統(tǒng)處于動(dòng)態(tài)失穩(wěn)狀態(tài)。動(dòng)態(tài)失穩(wěn)狀態(tài)下，隨著流速的增加，U-Im(ω)圖像將會(huì)出現(xiàn)叉型分岔，分岔出現(xiàn)后，一階頻率曲線與二階頻率曲線重合；對(duì)于懸臂梁邊界條件，一階頻率減小至零時(shí)，系統(tǒng)阻尼仍然保持Re(ω)≤0，此時(shí)達(dá)到的速度不是臨界流速，在經(jīng)歷了霍普夫分岔(分岔點(diǎn)處兩階頻率并不重合)之后出現(xiàn)系統(tǒng)阻尼Re(ω)＞0，此時(shí)系統(tǒng)的流速為臨界流速。

圖4 兩端固支邊界條件下輸流管系統(tǒng)自然頻率與流體流速的圖像Fig. 4 Diagram of natural frequencies and fluid velocity under clamped-clamped boundary condition

由圖5 中可得，每一種邊界條件下，不同的體積分?jǐn)?shù)指數(shù)對(duì)應(yīng)著不同的臨界流速。同時(shí)隨著體積分?jǐn)?shù)指數(shù)φ的增加，臨界流速不斷減小，而且在φ≤10 的時(shí)候臨界流速變化非常顯著，在φ＞10 以后趨于平緩。因此在體積分?jǐn)?shù)指數(shù)較小時(shí)，不能忽略其對(duì)管道自然頻率的影響。在給定邊界條件下任取一點(diǎn)，在曲線下方時(shí)表明輸流管處于穩(wěn)定狀態(tài)，在曲線上表明輸流管處于臨界狀態(tài)，在曲線上方時(shí)表明輸流管處于失穩(wěn)狀態(tài)。所以在輸送質(zhì)量比不變，確定了管道材料的情況下，可以通過(guò)確認(rèn)體積分?jǐn)?shù)指數(shù)的值來(lái)確定輸流管系統(tǒng)臨界流速。

圖5 臨界流速—體積分?jǐn)?shù)指數(shù)關(guān)系圖Fig. 5 Diagram of critical flow velocity-volume fraction index

4 結(jié)論

本文基于同倫分析法提出了適用于不同邊界條件下功能梯度材料輸流管道自振頻率的計(jì)算方法，得到的主要結(jié)論如下：

(1) HAM方法可以較為準(zhǔn)確計(jì)算功能梯度材料輸流管道的固有頻率，計(jì)算高階頻率時(shí)收斂性好，收斂速度快，能提升計(jì)算效率。兩端簡(jiǎn)支邊界條件下，HAM方法得到一階收斂頻率僅需迭代3 次。同等條件下，DTM方法得到收斂的四階頻率值在30 步迭代之后，而同倫分析法僅需15 步迭代。

(2) 在體積分?jǐn)?shù)指數(shù)較小時(shí)，體積分?jǐn)?shù)指數(shù)對(duì)輸流管固有頻率的影響較大，隨著體積分?jǐn)?shù)指數(shù)的增加，輸流管系統(tǒng)的固有頻率迅速減小。因此，在體積分?jǐn)?shù)較小時(shí)不能忽略其對(duì)自然頻率的影響。

(3)給出4 種邊界條件下的臨界流速—體積分?jǐn)?shù)指數(shù)關(guān)系圖可以直觀準(zhǔn)確地判斷變材料輸流管道系統(tǒng)是否失穩(wěn)，具有一定的工程指導(dǎo)意義。