□梅 婭

“小數(shù)的意義”在小學(xué)階段的教學(xué)中有著非常重要的地位和作用。本文從小數(shù)意義的本源性出發(fā)，一方面通過分析小數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，理解小數(shù)的本質(zhì)含義；另一方面通過解讀學(xué)生的困難點(diǎn)，分析小數(shù)教學(xué)后的后測(cè)反饋，設(shè)計(jì)適合知識(shí)意義生長和學(xué)生認(rèn)知需求的教學(xué)。

一、整體建構(gòu)意義的需要

（一）小數(shù)意義知識(shí)建構(gòu)的需要

1.小數(shù)依分?jǐn)?shù)而來

有限小數(shù)是由“十等分”分割產(chǎn)生的。百分之一的分量可從十分之一的分量再十等分產(chǎn)生，而千分之一的分量可從百分之一的分量再十等分產(chǎn)生……因此，十等分的活動(dòng)可任意無限制繼續(xù)下去。無限被分割的觀念正可用來說明小數(shù)稠密性的性質(zhì)，也就是說任意兩個(gè)小數(shù)之間有無限多個(gè)小數(shù)存在。[1]為此，我們不難發(fā)現(xiàn)，計(jì)數(shù)單位是構(gòu)造小數(shù)數(shù)位可遷移的關(guān)鍵點(diǎn)。如果把抽象的計(jì)數(shù)單位構(gòu)造，放置在分?jǐn)?shù)和整數(shù)十進(jìn)制的大背景下，借助數(shù)線模型或面積模型，就能很好地溝通十進(jìn)分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間的聯(lián)系。

2.小數(shù)順整數(shù)而行

學(xué)習(xí)小數(shù)來自兩種需要：一是分?jǐn)?shù)書寫形式優(yōu)化改進(jìn)的需要，二是十進(jìn)制計(jì)數(shù)法擴(kuò)展完善的需要。無論是從數(shù)系發(fā)展的角度，還是從生活需要的角度而言，小數(shù)與整數(shù)的關(guān)系都是密不可分的。

通過將整數(shù)計(jì)數(shù)單位個(gè)、十、百、千……與小數(shù)相鄰計(jì)數(shù)單位之間的關(guān)系進(jìn)行對(duì)比，可以將小數(shù)系與自然數(shù)系的結(jié)構(gòu)進(jìn)行關(guān)聯(lián)（如圖1）。在建構(gòu)小數(shù)系的同時(shí)，將其自然納入以十進(jìn)制為核心概念的數(shù)系知識(shí)結(jié)構(gòu)體系中，與自然數(shù)系共同形成更大的具有內(nèi)在邏輯聯(lián)系的學(xué)科整體知識(shí)結(jié)構(gòu)。[2]在數(shù)系概念域中理解小數(shù)，我們可以看到，小數(shù)雖產(chǎn)生在分?jǐn)?shù)的家族中，卻是整數(shù)家族的寵兒；小數(shù)既是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的一種表達(dá)形式，又是按整數(shù)家族的方式計(jì)數(shù)、排列數(shù)序和運(yùn)算的。

圖1

（二）小數(shù)意義結(jié)構(gòu)化的需要

小數(shù)依從十進(jìn)分?jǐn)?shù)而來，教師通常在小數(shù)意義教學(xué)時(shí)讓十進(jìn)分?jǐn)?shù)“孤立”出現(xiàn)，沒有在整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)之間很好地建立邏輯關(guān)系。教師如何在教學(xué)中處理好小數(shù)意義的關(guān)系連接？將小數(shù)意義進(jìn)行整體建構(gòu)，與學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的整數(shù)、分?jǐn)?shù)建立聯(lián)系，是小數(shù)意義納入知識(shí)體系的關(guān)鍵。

1.正視十進(jìn)分?jǐn)?shù)的距離感和孤立感

從分?jǐn)?shù)到小數(shù)，學(xué)生在學(xué)習(xí)中覺得是抽象和困難的，因?yàn)閷?duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)基于初步認(rèn)識(shí)。學(xué)生首先要理解，接著才能理解0.001米。但在初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，一般僅停留在分母是一位數(shù)的認(rèn)識(shí)上，很少涉及分母是兩位或三位數(shù)的分?jǐn)?shù)。

在引出十進(jìn)分?jǐn)?shù)時(shí)，通常會(huì)采用數(shù)形結(jié)合的方式，如涂一涂格子圖，得到就是0.01，但有怎樣的關(guān)系又有怎樣的關(guān)系，這是一些學(xué)生的認(rèn)知“斷層”。

后續(xù)體會(huì)10 個(gè)0.001 是0.01 等十進(jìn)關(guān)系是勉強(qiáng)也很孤立的。從表面上看，讓學(xué)生通過十進(jìn)分?jǐn)?shù)理解小數(shù)的十進(jìn)關(guān)系是可行的，但在實(shí)踐中，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的十進(jìn)關(guān)系是陌生和模糊的，遷移到對(duì)小數(shù)十進(jìn)計(jì)數(shù)單位的理解是困難的。

2.正視小數(shù)后續(xù)學(xué)習(xí)的割裂化和無助感

從對(duì)后續(xù)練習(xí)以及教師教學(xué)小數(shù)性質(zhì)、小數(shù)的近似數(shù)等的分析來看，在小數(shù)意義的教學(xué)中，如果只是單一地從十進(jìn)分?jǐn)?shù)出發(fā)建立小數(shù)意義，僅僅停留在分?jǐn)?shù)的“部分與整體”的關(guān)系上，則在后續(xù)學(xué)習(xí)中，就會(huì)有很大的割裂感和無助感。因?yàn)樾?shù)性質(zhì)、小數(shù)近似數(shù)以及小數(shù)加減法等，教學(xué)的基礎(chǔ)是小數(shù)的十進(jìn)位值制。這就需要教師在小數(shù)意義的教學(xué)中，融入整數(shù)的十進(jìn)關(guān)系，遷移整數(shù)十進(jìn)關(guān)系與小數(shù)十進(jìn)計(jì)數(shù)單位之間的關(guān)聯(lián)，溝通十進(jìn)分?jǐn)?shù)、小數(shù)和整數(shù)之間的關(guān)系，在教學(xué)中實(shí)現(xiàn)意義網(wǎng)絡(luò)化建構(gòu)，促進(jìn)概念的遷移和內(nèi)化。

二、有序完善概念認(rèn)知的需要

小數(shù)的形成有兩個(gè)不可或缺的前提：一是分?jǐn)?shù)概念的完善，二是十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的使用。在教學(xué)實(shí)踐中，教師往往過多地關(guān)注有限小數(shù)就是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另一種表現(xiàn)形式，突出分?jǐn)?shù)“部分與整體”的關(guān)系，而忽略了小數(shù)同時(shí)也是整數(shù)十進(jìn)制計(jì)數(shù)法擴(kuò)展的需要。如何幫助學(xué)生將小數(shù)意義納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，理解內(nèi)涵并構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)呢？

（一）概念有序抽象建模的需要

在初步認(rèn)識(shí)小數(shù)階段，可結(jié)合學(xué)生的生活情境，以購物（元、角、分）、長度單位（米、分米、厘米）等一些十進(jìn)關(guān)系的單位為載體，讓學(xué)生借助已有的生活經(jīng)驗(yàn)，感知十分之一和0.1的關(guān)系，從而建立十分之幾和一位小數(shù)之間的聯(lián)系。

這需要教師適時(shí)地將具體的情境進(jìn)行抽象化、符號(hào)化，在已有一位小數(shù)的具體認(rèn)知基礎(chǔ)上，建立小數(shù)的模型，特別是兩位小數(shù)的模型建構(gòu)。

（二）認(rèn)知漸進(jìn)抽象完善的需要

學(xué)生的認(rèn)知過程是不斷發(fā)展、完善的過程。從具體操作到圖式的表征，從形的表征到抽象數(shù)的對(duì)應(yīng)，這是基于學(xué)生認(rèn)知的概念學(xué)習(xí)過程。

人教版教材四年級(jí)下冊(cè)“小數(shù)的意義”課后練習(xí)中設(shè)置了讓學(xué)生說說小數(shù)的含義的題目（第38頁第9題）。在對(duì)學(xué)生的后測(cè)反饋中，我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于小數(shù)的意義不僅可以借助具體量感從正反兩方面來理解，還可以借助各種圖形或者算式，從分?jǐn)?shù)“部分與整體”的關(guān)系來描述（如圖2）。

圖2 學(xué)生后測(cè)反饋

小數(shù)意義的建構(gòu)，需要通過抽象漸進(jìn)式和表征多元化進(jìn)行。多元表征下的意義理解，是建立在對(duì)計(jì)數(shù)單位的逐個(gè)計(jì)數(shù)和整體構(gòu)建的基礎(chǔ)上的。因?yàn)椤皵?shù)（shù）源于數(shù)（shǔ），量（liàng）源于量（liáng）”。數(shù)概念的教學(xué)，包括整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)，都可以看作是計(jì)數(shù)單位累計(jì)疊加而來的。數(shù)數(shù)，是學(xué)生自主意義建構(gòu)的前提。

三、主題呈現(xiàn)課堂探究式材料的需要

對(duì)于教學(xué)數(shù)學(xué)概念課，教師要給學(xué)生提供對(duì)數(shù)學(xué)模型反復(fù)認(rèn)識(shí)、深化理解的機(jī)會(huì)，并使之具有潛在的可遷移性。主題式的教學(xué)素材，通過同類素材的變化整合，凸顯概念原型和內(nèi)涵，有利于概念之間的比較辨析、溝通聯(lián)系，也有利于舉一反三、拓展延伸。在小數(shù)的意義的教學(xué)中，可充分利用數(shù)線模型和面積模型作為課堂主題式材料，在比較中連接整數(shù)、聯(lián)系分?jǐn)?shù)，在遷移中發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造小數(shù)，在抽象中完善有理數(shù)十進(jìn)制位值制。

（一）借助數(shù)線模型，在猜數(shù)中溝通比較聯(lián)系

【教學(xué)片段1】猜猜我是誰？

師：我們來玩猜數(shù)游戲。猜一猜，這個(gè)方框中的數(shù)可能會(huì)是幾？你是怎么想的？

生：我猜是30，只要將0~100 平均分成10 份，100的是10，10是100的。每一份是10，這里大約有3個(gè)10，是30。（如圖3）

圖3

圖4

師：如果變成0~10。猜一猜，這個(gè)方框中的數(shù)要填幾？你是怎么想的？（如圖4）生：是3，現(xiàn)在將0~10 平均分成10 份，10 的是1，1是10的每一份是1，3個(gè)1就是3。

師：這是以“1”為計(jì)數(shù)單位。想一想，1 與100有怎樣的關(guān)系呢？

師：那么0~1 之間還有數(shù)嗎？如果有，這個(gè)數(shù)會(huì)是幾呢？（如圖5）

圖5

生：有，把0~1 平均分成10 份，每1 份是0.1，3個(gè)0.1就是0.3。

師：這1 份是0.1，是怎么來的？這0.3 又是怎么回事呢？同伴討論。

，

也就是0.3。也可以說是3個(gè)0.1是0.3）

為什么都是平均分成10份，得到的3份卻是不同的數(shù)呢？因?yàn)橛?jì)數(shù)單位不同。隨著區(qū)間不斷縮小，當(dāng)無法精確表示時(shí)，需要用更小的計(jì)數(shù)單位去度量，從而產(chǎn)生小數(shù)。在理解小數(shù)的意義后可遷移到三位小數(shù)、四位小數(shù)……

（二）借助多元表征，在數(shù)數(shù)中促進(jìn)自主遷移

數(shù)的產(chǎn)生是因需要不斷擴(kuò)展而來的，小數(shù)概念的形成既是滿足現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量表達(dá)的需要，又是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要。如何在小數(shù)意義的教學(xué)中，改變?cè)械慕虒W(xué)方式，在數(shù)數(shù)中數(shù)出新的小數(shù)呢？

【教學(xué)片段2】依次疊加，數(shù)出1.2

師：3 個(gè)0.1 是0.3，如果繼續(xù)數(shù)，你還能數(shù)出哪些數(shù)？

生：4 個(gè)0.1 是0.4……9 個(gè)0.1 是0.9，10 個(gè)0.1是1。

生：10個(gè)0.1是1.0。

生：1.0 和1 的大小是一樣的，都在那個(gè)點(diǎn)上。（指數(shù)線上的點(diǎn)，如圖6）

圖6

師：那1后面的方框里會(huì)是什么數(shù)呢？要有理

由說明你的想法是正確的。生：12個(gè)0.1是1.2。

生：0.1+0.1+……+0.1=1.2，12個(gè)0.1。

生：1+0.2=1.2。

生：我可以以0.1 為計(jì)數(shù)單位，一個(gè)一個(gè)往后數(shù)，1后面是1.1，1.1后面是1.2。

師：通過剛才的數(shù)數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：幾個(gè)0.1就是幾點(diǎn)幾。

有限小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的表現(xiàn)形式，每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間都是十進(jìn)關(guān)系。通過數(shù)線模型上的數(shù)數(shù)，進(jìn)一步理解一位小數(shù)與0.1、之間的關(guān)系。數(shù)線的均分和擴(kuò)充，在數(shù)數(shù)中對(duì)應(yīng)了小數(shù)的擴(kuò)展，突破了只有純小數(shù)的思維定式，在數(shù)線模型上形象化地將小數(shù)意義與假分?jǐn)?shù)意義進(jìn)行對(duì)應(yīng)。學(xué)生在教學(xué)片段2 中對(duì)1.2 的表征是多元的，有乘法意義上的表征、加法算式的表征，還有小數(shù)意義文字化的表征，不同的表征都是基于計(jì)數(shù)單位的數(shù)數(shù)。

（三）改變學(xué)習(xí)方式，在表達(dá)中激發(fā)認(rèn)知需求

如果說數(shù)線模型能滿足小數(shù)的均分和擴(kuò)展，那么面積模型則更好地滿足形象化的視覺支持。

【教學(xué)片段3】精確刻畫，畫出0.83

變換不同的模型。從1.2數(shù)起，按每份0.1依次從大到小減少，當(dāng)減少到比0.8 多比0.9 少的時(shí)候，就產(chǎn)生了對(duì)兩位小數(shù)的認(rèn)知擴(kuò)展需求（如圖7）。

圖7

師：用什么數(shù)表示圖上陰影部分比較合適呢？

生：要分一分才知道這是個(gè)什么數(shù)。

師：怎么才能分出一個(gè)合適的數(shù)呢？請(qǐng)你試著分一分，畫一畫。

（學(xué)生獨(dú)立思考，動(dòng)手操作，全班交流反饋）生：將0.1 平均分成10 份，0.1 的是0.01，0.01 是0.1 的，每份是0.01，3 個(gè)0.01 就是0.03。比0.8多了0.03，0.8+0.03=0.83，就是0.83。

生：8個(gè)0.1加3個(gè)0.01等于0.83。（如圖8）

圖8

圖9

在數(shù)數(shù)中產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感知當(dāng)一位小數(shù)不能精確表達(dá)時(shí)，繼續(xù)十進(jìn)均分。借助面積、數(shù)軸模型十等分再十等分，學(xué)生不斷感受細(xì)分的過程，逐漸體會(huì)到兩位小數(shù)是兩個(gè)一位小數(shù)之間的十進(jìn)等分，從而將整數(shù)“1”的十進(jìn)均分得到一位小數(shù)，遷移到將一位小數(shù)“0.1”十進(jìn)均分得到兩位小數(shù)，借助面積圖，溝通整數(shù)與兩位小數(shù)、一位小數(shù)與兩位小數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系，遷移聯(lián)想三位小數(shù)和無限小數(shù)的十進(jìn)均分。在分一分、畫一畫、說一說、數(shù)一數(shù)等活動(dòng)中，發(fā)現(xiàn)小數(shù)產(chǎn)生的本質(zhì)需求，體驗(yàn)具體到抽象的理解過程，從而刻畫和理解小數(shù)的稠密性。在這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生對(duì)于整數(shù)、分?jǐn)?shù)自然地進(jìn)行了聯(lián)系溝通。[3]

（四）雙向充分溝通，擴(kuò)充整個(gè)有理數(shù)數(shù)系

在課后總結(jié)回顧時(shí)，從“1”出發(fā)，不斷地均分10 份，產(chǎn)生0.1、0.01、0.001……幫助學(xué)生建立小數(shù)部分相應(yīng)的數(shù)概念體系。但這樣的認(rèn)知是孤立的。教師還可以讓學(xué)生反過來：從“0.001”出發(fā)，10 個(gè)0.001是0.01、10個(gè)0.01是0.1、10個(gè)0.1是1、10個(gè)1是10、10 個(gè)10 是100……進(jìn)一步感知不管是整數(shù)部分，還是小數(shù)部分，每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是十，從整數(shù)數(shù)系擴(kuò)充至有理數(shù)數(shù)系，從而對(duì)后續(xù)小數(shù)的進(jìn)一步探究積累認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。

概念的學(xué)習(xí)，其最終目的不是為了記住定義，而是要理解概念的本質(zhì)。不同的認(rèn)知過程會(huì)形成不同的理解水平，若是單純教學(xué)定義，其認(rèn)知過程主要是模仿、記憶、強(qiáng)化，只能達(dá)成“工具性理解”；若突出數(shù)學(xué)知識(shí)之間的本質(zhì)聯(lián)系，其認(rèn)知過程則重在經(jīng)歷、感知、體驗(yàn)，就會(huì)形成“關(guān)系性理解”[4]。在學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，各種數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立存在的，而是有著緊密聯(lián)系的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，這樣的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，有利于學(xué)生將新知納入到原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，并形成自己的知識(shí)體系。