張康鋒，李蓓智，王慶霞

（東華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 201620）

0 引言

在制造業(yè)中,公差分配是指在滿足零件裝配要求的前提下,按照一定的約束條件和優(yōu)化準(zhǔn)則,優(yōu)化分配各組成環(huán)的尺寸公差,同時要盡量符合經(jīng)濟(jì)性原則。目前,傳統(tǒng)的公差分配方法是通過結(jié)合零部件的設(shè)計(jì)手冊和設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)來確定的。對于一些高精密制造產(chǎn)業(yè),現(xiàn)有的方法不能夠完全滿足公差分配要求,難以做到出廠產(chǎn)品一致性。另外,若分配給各個零件的公差范圍過大,則達(dá)不到裝配要求,若分配給各個零件的公差范圍過小,則會導(dǎo)致加工難度過大,成本急劇增加,因此進(jìn)一步研究公差分配方法具有重要理論價值和意義。

近年來,國內(nèi)外許多學(xué)者對公差分配方法展開了研究,并取得了一些成果。Tao等[1]提出了新的成本容差模型,該模型考慮了多種替代制造工藝對零件制造成本和質(zhì)量損失的影響,結(jié)合蒙特卡羅仿真和自適應(yīng)差分進(jìn)化（SADE）的混合優(yōu)化算法,在保證高裝配精度的前提下實(shí)現(xiàn)成本最小化；MarouaGhali等[2]提出了一種基于失效模式、影響和危害性分析（FMECA）和拉格朗日乘數(shù)（LM）方法的創(chuàng)新公差分配方法；Xinhui等[3]通過研究車門裝配偏差與制造成本的關(guān)系,提出集成制造成本和田口工序能力指數(shù)的公差分配模型,以粒子群優(yōu)化算法求解裝配體關(guān)鍵特性的最優(yōu)公差；劉鵬等[4]針對當(dāng)前機(jī)床幾何精度建模忽視裝配過程中的調(diào)整量,以及機(jī)床公差分配時缺乏科學(xué)可行的方法問題,考慮裝配過程中的調(diào)整控制量,建立了更加準(zhǔn)確的機(jī)床裝配精度模型,以自適應(yīng)遺傳算法進(jìn)行求解；吳文等[5]以制造成本和質(zhì)量損失成本之和最小為目標(biāo)函數(shù),以概率邊界為約束,利用拉格朗日乘數(shù)法對公差分配進(jìn)行求解；王瑜等[6]以加工成本和產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)健性損失成本為目標(biāo)函數(shù),以模糊度可靠度和可取公差極限范圍為約束,利用遺傳算法實(shí)現(xiàn)了公差的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)；鄭丞[7]等基于合作博弈理論和裝配產(chǎn)品公差穩(wěn)健設(shè)計(jì)建模,提出基于Nash仲裁均衡的公差穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法。

以上研究對象主要針對單一裝配尺寸鏈,只需滿足最終封閉環(huán)的公差要求即可。但在實(shí)際某些零件的裝配過程中,需同時滿足多個裝配要求。因此本文將公差分配拓展到多裝配尺寸鏈。通過構(gòu)建串行布置的多裝配尺寸鏈組,將每個裝配要求分配給其中一條裝配尺寸鏈,然后構(gòu)建基于加工成本和質(zhì)量損失的公差分配多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,采用基于Pareto機(jī)制的快速非支配排序遺傳算法（NSGA-Ⅱ）,利用MATLAB軟件進(jìn)行模型的求解,進(jìn)而得到多裝配尺寸鏈組的公差優(yōu)化分配方案。

1 串行布置的多裝配尺寸鏈組構(gòu)建

裝配尺寸鏈?zhǔn)侵冈跈C(jī)器的裝配關(guān)系中,由有關(guān)零件的尺寸或相互位置關(guān)系連接而成的封閉尺寸組。如圖1所示為航空航天產(chǎn)品復(fù)材箱體Z-J2型縱筋與環(huán)筋裝配示意圖,縱筋兩個槽口需同時與環(huán)筋進(jìn)行裝配。與傳統(tǒng)的軸孔配合只需滿足一個間隙值目標(biāo)不同,縱、環(huán)筋裝配后,環(huán)筋與縱筋槽口兩側(cè)均需滿足一定間隙。如圖2所示,采用傳統(tǒng)尺寸鏈構(gòu)建方法,以縱筋第二槽口與對應(yīng)環(huán)筋右側(cè)面的間隙為封閉環(huán),其余為組成環(huán)構(gòu)建裝配尺寸鏈。由于需同時滿足多個間隙值,采用傳統(tǒng)的公差分配方法難以計(jì)算。因此考慮將單個槽口與環(huán)筋重新構(gòu)成裝配尺寸鏈進(jìn)行公差分配的計(jì)算。如圖3所示,以縱、環(huán)筋每個右端間隙為封閉環(huán),以縱筋槽口寬度,左端間隙,環(huán)筋寬度為組成環(huán)構(gòu)建裝配尺寸鏈,將兩組尺寸鏈組合成為串行布置的多裝配尺寸鏈組,縱筋槽口與環(huán)筋的裝配尺寸鏈稱為成員尺寸鏈。進(jìn)而基于加工成本—公差模型和質(zhì)量損失模型對多裝配尺寸鏈組進(jìn)行公差優(yōu)化分配。

圖1 縱、環(huán)筋裝配示意圖

圖2 傳統(tǒng)尺寸鏈構(gòu)建

圖3 串行布置的多裝配尺寸鏈組

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 加工成本-公差模型

目前國內(nèi)外許多學(xué)者對零件加工成本與公差的關(guān)系展開了深入研究。加工成本-公差模型主要可分為以下幾種：指數(shù)模型、負(fù)平方模型、冪指數(shù)模型、倒數(shù)模型、多項(xiàng)式模型和復(fù)合模型等[8]。本文選用負(fù)平方模型建立加工成本-公差模型。設(shè)串行布置的多裝配尺寸鏈組含n個成員尺寸鏈,設(shè)第i個成員尺寸鏈由N個組成環(huán)組成,則多裝配尺寸鏈組中第i(1≤i≤n)個成員尺寸鏈的第j(1≤j≤N)個組成環(huán)的加工成本可以表示為：

式(1)中：tij為第i個成員尺寸鏈第j個組成環(huán)的公差值；a1,a2為待定系數(shù)。它們與加工過程中的具體因素有關(guān),如零件材料,加工方法,零件批量大小,零件結(jié)構(gòu)等。

2.2 質(zhì)量損失函數(shù)

著名日本學(xué)者田口玄一第一次提出了質(zhì)量損失概念,他將質(zhì)量損失作為連續(xù)變量,零件的質(zhì)量損失隨著零件公差值偏離目標(biāo)值增大而增大。質(zhì)量損失函數(shù)L(x)可表示為：

式(2)中,x為質(zhì)量特性值,y為零件公差目標(biāo)值,k為質(zhì)量損失系數(shù)。

當(dāng)尺寸公差呈對稱雙向分布時,x-y=t/2,因此可以得出：

則在多裝配尺寸鏈組中,第i個成員尺寸鏈的第j個組成環(huán)的質(zhì)量損失函數(shù)可以表示為：

式(4)中,kij為第i個成員尺寸鏈第j個組成環(huán)的質(zhì)量損失常數(shù),i=1,2,...,n，j=1,2,...,N。

2.3 多裝配尺寸鏈組約束條件

1）成員尺寸鏈公差約束

裝配尺寸鏈?zhǔn)怯闪慵叽纾ńM成環(huán)）和裝配要求（封閉環(huán)）構(gòu)成的。在裝配過程中,尺寸鏈的封閉環(huán)公差對零件的加工尺寸具有重大影響。裝配公差約束可以選用兩種方法：極值法和統(tǒng)計(jì)法。本文以極值法公差分配為依據(jù),成員尺寸鏈中的組成環(huán)與封閉環(huán)具有如下約束關(guān)系：

式(5)中,tij第i個成員尺寸鏈第j個組成環(huán)的公差值,ti0第i個成員尺寸鏈封閉環(huán)公差。因此,多裝配尺寸鏈組成員尺寸鏈公差約束為：

式(6)中,i取1～n。

2）原裝配尺寸鏈公差約束

串行布置的多裝配尺寸鏈組是由原裝配尺寸鏈轉(zhuǎn)換而來,需滿足原裝配尺寸鏈裝配要求,以極值法引入裝配約束條件,其中不參與多裝配尺寸鏈組的組成環(huán)以原始公差進(jìn)行賦值,其表達(dá)式為：

式(7)中，Ti為原裝配尺寸鏈的第i個組成環(huán)，T0為原裝配尺寸鏈的封閉環(huán)。

3)加工能力約束

在實(shí)際加工過程中，受限于機(jī)器人，機(jī)床等設(shè)備的加工精度、運(yùn)動性能和功能指標(biāo)等因素，需將公差的取值極限考慮進(jìn)去，即裝配尺寸鏈中各組成環(huán)的公差不能超過加工設(shè)備的加工能力,其表達(dá)式為：

式(8)中,tijmin和tijmax分別為第條成員尺寸鏈第個組成環(huán)加工能力公差上極限和下極限。

2.4 模型建立

綜上所述,以總加工成本和總質(zhì)量損失兩個函數(shù)作為優(yōu)化目標(biāo),以成員尺寸鏈公差、原裝配尺寸鏈公差,加工能力作為約束條件,建立串行布置的多裝配尺寸鏈組公差優(yōu)化分配模型。模型的表達(dá)式為：

3 基于Pareto最優(yōu)概念的多目標(biāo)優(yōu)化問題求解

針對多目標(biāo)優(yōu)化問題求解,一些傳統(tǒng)的優(yōu)化算法如粒子群算法、遺傳算法、螞蟻算法等通常將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題后進(jìn)行求解,計(jì)算時常常陷入局部最優(yōu),導(dǎo)致這些傳統(tǒng)的優(yōu)化算法很難找到使多個目標(biāo)函數(shù)同時取得最優(yōu)的解。意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家維弗雷多·帕累托在1896年首次提出了非支配解概念,后被稱為Pareto最優(yōu)解概念,目前,有大量學(xué)者對基于Pareto最優(yōu)解概念求解多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行了研究。

與傳統(tǒng)的優(yōu)化算法不同,Pareto遺傳算法得出的Pareto最優(yōu)解并非唯一的,而是由多個解形成的最優(yōu)解解集,最優(yōu)解集在空間中形成的曲面稱之為Pareto前沿[9]。一般多目標(biāo)優(yōu)化問題可以表示為如下形式：

式(9)中,x為d維決策向量,f(x)為目標(biāo)向量,N為優(yōu)化目標(biāo)數(shù)量；gi(x)和hj(x)分別為第i個不等式約束和第j個等式約束。

基于Pareto架構(gòu),Deb K等[10]對非支配排序遺傳算法（NSGA）進(jìn)行了改進(jìn),提出了帶精英策略的非支配遺傳算法（NSGA-Ⅱ）。該算法引入了精英策略,保證在進(jìn)化過程中某些優(yōu)秀種群個體不會被遺棄,提高了優(yōu)化精度。NSGA-Ⅱ的基本思想為：

1）隨機(jī)產(chǎn)生規(guī)模為N的初始種群,非支配排序后通過遺傳算法的選擇、交叉、變異三個基本操作得到第一代子代種群；

2）從第二代開始,將父代種群與子代種群合并,進(jìn)行快速非支配排序,同時對每個非支配層中的個體進(jìn)行擁擠度計(jì)算,從而組成新的父代種群；

3）通過遺傳算法的基本操作產(chǎn)生新的子代種群：依此類推,直到滿足程序結(jié)束的條件。

NSGA-Ⅱ流程圖如圖4所示。

圖4 NSGA-Ⅱ流程圖

4 實(shí)例分析

本文以某航天企業(yè)產(chǎn)品復(fù)材箱體中的Z-J3型縱筋（3槽口）與環(huán)筋裝配為例進(jìn)行驗(yàn)證。原裝配尺寸鏈和串行布置的裝配尺寸鏈組如圖5和圖6所示,其中成員尺寸鏈為三個縱筋槽口與環(huán)筋的裝配尺寸鏈。設(shè)原裝配尺寸鏈中的組成環(huán)尺寸為Li，封閉環(huán)為L0；設(shè)串行布置的多裝配尺寸鏈組中第個成員尺寸鏈第個組成環(huán)的尺寸為lij，公差值為tij,根據(jù)企業(yè)設(shè)計(jì)書要求,各成員尺寸鏈封閉環(huán)公差要求分別為必須小于0.3mm,0.4mm,0.3mm。原裝配尺寸鏈封閉環(huán)需小于1mm。

圖5 Z-J3型縱、環(huán)筋裝配尺寸鏈

圖6 串行布置的多裝配尺寸鏈組

本文通過式(1)的負(fù)平方模型來描述縱、環(huán)筋裝配過程中各公差與加工成本的關(guān)系,在企業(yè)協(xié)助下,對生產(chǎn)廠中實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,得到縱、環(huán)筋多裝配尺寸鏈組的模型參數(shù)值a1,a2如表1所示。

表1 各組成環(huán)參數(shù)

同時在企業(yè)幫助下,統(tǒng)計(jì)了多裝配尺寸鏈組的質(zhì)量損失成本。其中,成員尺寸鏈中的對應(yīng)位置組成環(huán)具有相同質(zhì)量損失常數(shù),所有公差皆為雙向?qū)ΨQ分布,質(zhì)量損失成本函數(shù)如式(13)～式(15)所示：

基于以上分析,可得縱、環(huán)筋裝配尺寸鏈組的加工成本—質(zhì)量損失的公差優(yōu)化模型如下：

目標(biāo)函數(shù)：

約束條件：

1）成員尺寸鏈裝配公差約束

2）原裝配尺寸鏈裝配公差約束

3）加工能力約束

使用MATLAB軟件迭代300次后求解結(jié)果如圖7所示。從Pareto前沿圖中可以發(fā)現(xiàn)曲線在總制造成本f1＜120時,總質(zhì)量損失的變化幅度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于總制造成本的變化,在此階段減少總制造成本將會造成總質(zhì)量損失急劇增加,導(dǎo)致質(zhì)量損失過大；當(dāng)曲線在120＜f1＜160時,改變總制造成本對總質(zhì)量損失具有顯著影響：增加總制造成本,總質(zhì)量損失明顯降低；減少總制造成本,總質(zhì)量損失明顯增大；當(dāng)曲線在f1＜160時,增加總制造成本并不能使總質(zhì)量損失明顯減少,若執(zhí)意追求零件質(zhì)量,會導(dǎo)致總制造成本大大增加,而質(zhì)量損失減少非常緩慢。

圖7 Pareto最優(yōu)前沿

5 結(jié)語

本文以航天產(chǎn)品復(fù)材箱體中的縱筋與環(huán)筋裝配為研究對象,構(gòu)建了縱、環(huán)筋串行布置的多裝配尺寸鏈組,基于加工成本—公差模型和質(zhì)量損失模型,以成員尺寸鏈公差,原裝配尺寸鏈公差和加工能力為約束條件,建立了串行布置的多裝配尺寸鏈組多目標(biāo)公差優(yōu)化分配數(shù)學(xué)模型。采用帶精英策略的非支配排序遺傳算法（NSGA-Ⅱ）在MATLAB軟件中進(jìn)行求解,從而得到分布均勻的總制造成本—總質(zhì)量損失Pareto前沿曲線圖,曲線圖中的點(diǎn)集可為公差分配方案提供多種解決方案和理論依據(jù),從而統(tǒng)籌兼顧產(chǎn)品的質(zhì)量和成本。