劉 斌, 范翔宇, 張自偉, 張 燁

(1. 國(guó)防大學(xué)聯(lián)合作戰(zhàn)學(xué)院, 北京 100091; 2. 空軍哈爾濱飛行學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150088)

0 引 言

二進(jìn)制相移鍵控(binary phase shift keying, BPSK)信號(hào)已被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)有的通信協(xié)議之中,如IEEE 802.11a以及第二代數(shù)字地面電視廣播系統(tǒng)[1],用于保證較差的無(wú)線信道的服務(wù)質(zhì)量(quality of service, QoS)。由于實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單技術(shù)成熟,BPSK信號(hào)與其調(diào)制樣式在光學(xué)、通信等領(lǐng)域中有都著廣泛的應(yīng)用[2-4]。因此,對(duì)BPSK信號(hào)的檢測(cè)技術(shù)一直是學(xué)術(shù)界研究的熱點(diǎn)。

學(xué)者們致力于相關(guān)應(yīng)用領(lǐng)域的研究并取得了豐碩的成果。文獻(xiàn)[5]利用相敏放大器(phase sensitive amplifiers,PSAs)的低噪聲放大以提升BPSK信號(hào)的功率,有利于信號(hào)的檢測(cè)。文獻(xiàn)[6-7]在PSAs的基礎(chǔ)上對(duì)信號(hào)進(jìn)行相位再生,得到BPSK信號(hào)相位維度的信息以提升檢測(cè)效能。受到電子元件帶寬的限制,此類方法只適用于單通道操作。文獻(xiàn)[8]對(duì)上述方案加以改進(jìn),然而依舊受到帶寬的影響。文獻(xiàn)[9-10]基于應(yīng)用物理層網(wǎng)絡(luò)編碼(physical-layer network coding,PNC)設(shè)計(jì)了信號(hào)傳輸系統(tǒng),其中文獻(xiàn)[9]利用PNC的改進(jìn)算法抑制載波頻率偏移所產(chǎn)生的載波間干擾,從而降低了BPSK信號(hào)傳輸?shù)恼`碼率。文獻(xiàn)[11-12]利用Cramer-Rao下限(Cramer-Rao lower bound, CRLB)來(lái)估計(jì)BPSK信號(hào)的信噪比(signal to noise ratio, SNR)。文獻(xiàn)[13]基于最小誤碼率準(zhǔn)則對(duì)信道進(jìn)行估計(jì),上述方法均為提升系統(tǒng)輸出SNR奠定了理論基礎(chǔ),提升BPSK信號(hào)的估計(jì)準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[14]理論推導(dǎo)出BPSK信號(hào)在干擾條件下的誤碼率的表達(dá)式,通過(guò)提升Rice因子的方式改善信號(hào)的誤碼率,但該方法受SNR影響較大。文獻(xiàn)[15]指出,BPSK信號(hào)在傳輸過(guò)程中,通過(guò)保證傳輸矩陣為滿秩即可實(shí)現(xiàn)最大的SNR,其滿足恒定模數(shù)約束,然而該方法需要保證協(xié)方差矩陣滿秩。文獻(xiàn)[16]利用對(duì)Godard函數(shù)簡(jiǎn)單修正來(lái)改進(jìn)恒模算法(constant modulus algorithm,CMA)實(shí)現(xiàn)對(duì)具有相同的速率和相同的載波頻率的BPSK信號(hào)的盲分離,然而該方法需要知道接收器的BPSK源頻率偏移。文獻(xiàn)[17]利用正交頻分復(fù)用的BPSK(BPSK-orthogonal frequency division multiplexing,BPSK-OFDM)信號(hào)的在時(shí)變信道中實(shí)值特性來(lái)精確設(shè)計(jì),該方法具有更準(zhǔn)確的檢測(cè)能力和更低的計(jì)算復(fù)雜度,然而該方法需要知道均衡矩陣結(jié)構(gòu)中BPSK-OFDM信號(hào)的先驗(yàn)信息,在實(shí)際中是難以實(shí)時(shí)得到。文獻(xiàn)[18]通過(guò)增加子帶階數(shù)增強(qiáng)系統(tǒng)性能,來(lái)降低BPSK信號(hào)在多諧波干擾條件下的誤碼率,該方法性能受系統(tǒng)參數(shù)影響較大。文獻(xiàn)[19]采用自適應(yīng)窗口交叉Wigner-Ville分布方法來(lái)檢測(cè)BPSK信號(hào),其結(jié)果在特定情況下接近Cramer-Rao下限。然而不同應(yīng)用背景條件下核函數(shù)的選取與參數(shù)設(shè)置,以及時(shí)頻分辨率彼此之間的矛盾,制約著時(shí)頻分析方法性能。文獻(xiàn)[20]利用壓縮感知理論以遠(yuǎn)小于奈奎斯特采樣率的頻率對(duì)BPSK信號(hào)進(jìn)行采樣,降低對(duì)存儲(chǔ)資源的需求,提升了處理速度,削弱了迭代干擾對(duì)BPSK信號(hào)檢測(cè)的影響。然而,壓縮感知理論要求信號(hào)自身具有稀疏性,限制了該方法在實(shí)際中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[21]利用循環(huán)自相關(guān)將信號(hào)轉(zhuǎn)換到循環(huán)平穩(wěn)維度上,提取信號(hào)特征以實(shí)現(xiàn)對(duì)BPSK信號(hào)的檢測(cè),但在非高斯噪聲背景下,方法的效能下降。

上述方案在其設(shè)定的背景下具有良好的性能,然而3個(gè)共性的問(wèn)題制約上述方法性能的進(jìn)一步提升:一是在抑制噪聲的同時(shí),信號(hào)的能量也被削減甚至丟失了部分信息,只是相較于噪聲被削弱的程度,信號(hào)被削弱的程度較小。在低SNR條件下,很容易在處理過(guò)后混合信號(hào)SNR依舊不理想,從而影響后續(xù)的信號(hào)檢測(cè)。二是信號(hào)處理系統(tǒng)自身也是噪聲源,在抑制背景噪聲的過(guò)程中,系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的噪聲,在處理過(guò)程中出現(xiàn)的高次諧波、鏡像信號(hào)等也影響著信號(hào)的檢測(cè)。三是隨著噪聲強(qiáng)度的增加,上述系統(tǒng)效能惡化明顯,檢測(cè)效能大幅衰落。這3個(gè)問(wèn)題產(chǎn)生的根源是學(xué)者們認(rèn)為噪聲始終不利于信號(hào)的檢測(cè)。鑒于此,提升弱信號(hào)檢測(cè)性能的方法,主要通過(guò)降低噪聲的影響以及改善信號(hào)特性兩方面進(jìn)行。在這種思想下,提出的方法始終會(huì)受到上述3個(gè)問(wèn)題的限制。

在傳統(tǒng)的線性理論中,噪聲對(duì)于信號(hào)而言是有害的。而在非線性理論的雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振(bistable stochastic resonance, BSR)系統(tǒng)中,當(dāng)系統(tǒng)、信號(hào)和噪聲三者達(dá)到某種匹配關(guān)系時(shí),系統(tǒng)產(chǎn)生隨機(jī)共振,其效果在宏觀上看是噪聲的能量向弱信號(hào)移動(dòng),即信號(hào)自身的能量不僅沒(méi)有損失,反而得到增強(qiáng),從而提升了信號(hào)的SNR,更有益于信號(hào)檢測(cè)?，F(xiàn)有的方法分為調(diào)節(jié)噪聲特性[22-23]與系統(tǒng)參數(shù)[24-25]兩種。而在實(shí)際中,噪聲很難設(shè)定或調(diào)節(jié),為此,論文借鑒隨機(jī)共振理論,將其運(yùn)用到BPSK信號(hào)檢測(cè)中,并基于Neyman-Pearson準(zhǔn)則設(shè)計(jì)非線性檢測(cè)器,對(duì)系統(tǒng)的輸出信號(hào)進(jìn)行進(jìn)一步的檢測(cè)。

論文結(jié)構(gòu)安排如下,首先第1節(jié)簡(jiǎn)要介紹BPSK、BSR以及Neyman-Pearson準(zhǔn)則,然后第2節(jié)利用尺度變換改進(jìn)BSR并構(gòu)建信號(hào)檢測(cè)的完備流程,并在第3、4節(jié)中采用基于Neyman-Pearson準(zhǔn)則設(shè)計(jì)非線性檢測(cè)器,并推導(dǎo)出系統(tǒng)的輸出SNR和BER,最后利用仿真證明所提方法的有效性,并與主流方法對(duì)比突出算法的優(yōu)勢(shì)。

1 相關(guān)理論

1.1 BPSK信號(hào)模型

對(duì)于長(zhǎng)距離通信和無(wú)線傳輸,通常使用帶通調(diào)制,也稱載波調(diào)制,通過(guò)一串?dāng)?shù)字符號(hào)用來(lái)改變高頻正弦載波的參數(shù)。正弦信號(hào)有3個(gè)參數(shù):幅度、頻率和相位。所以在帶通調(diào)制中有3種基本的調(diào)制方式:幅度調(diào)制、頻率調(diào)制和相位調(diào)制。圖1給出了3種基本的二進(jìn)制載波調(diào)制,分別是振幅鍵控(amplitude shift keying, ASK)、頻移鍵控(frequency shift keying, FSK)和相移鍵控(phase shift keying, PSK)。在ASK調(diào)制中,當(dāng)發(fā)送的符號(hào)是“1”時(shí)調(diào)制器輸出載波,當(dāng)發(fā)送的符號(hào)是“0”時(shí)沒(méi)有輸出,所以這種調(diào)制又稱為通斷鍵控(on off keying, OOK)。在一般的ASK調(diào)制方案中,發(fā)送符號(hào)為“0”時(shí)的載波幅度也不一定是“0”。在FSK調(diào)制中,當(dāng)發(fā)送的符號(hào)是“1”時(shí)輸出一個(gè)較高頻率的載波,當(dāng)發(fā)送的符號(hào)是“0”時(shí)輸出一個(gè)較低頻率的載波,或者反過(guò)來(lái)也可以。在PSK調(diào)制中,當(dāng)發(fā)送的符號(hào)是“1”時(shí)輸出初始相位為“0”的載波,當(dāng)發(fā)送的符號(hào)是“0”時(shí)輸出初始相位為180的載波。

相移鍵控是一種通過(guò)改變載波相位進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸?shù)臄?shù)字調(diào)制方案。通過(guò)特定的相位表示由比特形成的符號(hào)。其中,BPSK只有兩個(gè)相位表示數(shù)據(jù)比特“0”和“1”。BPSK信號(hào)通常定義為

(1)

式中:A為信號(hào)的幅度;fc為載波頻率;θ0和θ1分別為0比特和1比特的相位偏移。

BPSK復(fù)合調(diào)制信號(hào)由于具有大時(shí)寬帶寬積、高分辨率和低截獲概率的特性,在信號(hào)處理領(lǐng)域引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注[26-27]。典型的疊加高斯白噪聲的信號(hào)模型如下所示:

x(n)=Aexp[j(2πfΔtn+θ(n))]·rect(n)+ω(n)

(2)

式中:rect(·)為矩形方波;f為BPSK信號(hào)的頻率編碼;Δt為采樣間隔;θ(n)為相位編碼;ω(n)為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的高斯白噪聲序列。BPSK信號(hào)調(diào)制方式主要體現(xiàn)在相位函數(shù)上,其中

θ(n)=π·d(n)

(3)

1.2 雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振

具有雙勢(shì)阱性質(zhì)的郎之萬(wàn)方程是最為經(jīng)典的雙穩(wěn)態(tài)非線性系統(tǒng),該系統(tǒng)模型可以表示為

(4)

式中:U(x)為雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù);系統(tǒng)的輸入信號(hào)為s(t)設(shè)系統(tǒng)背景是均值為0、方差為D、幅度為N(t)的高斯白噪聲(white Gaussian noise, WGN),a,b為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)且均為大于0的實(shí)數(shù);x為系統(tǒng)的輸出變量,用于描述在系統(tǒng)的影響下,信號(hào)和噪聲發(fā)生共振后系統(tǒng)的輸出,且統(tǒng)計(jì)均值及自相關(guān)函數(shù)為

(5)

式中:δ(t)為沖激函數(shù)。

當(dāng)D=0時(shí),假設(shè)只有在信號(hào)輸入時(shí)才有噪聲,系統(tǒng)在勢(shì)阱的阱底具有兩個(gè)穩(wěn)態(tài)。兩個(gè)阱底之間有一個(gè)勢(shì)壘ΔU,只有越過(guò)勢(shì)壘系統(tǒng)才能在兩個(gè)阱底之間產(chǎn)生共振,勢(shì)壘的高度為

(6)

為了越過(guò)該勢(shì)壘,輸入信號(hào)的幅度需要超過(guò)閾值A(chǔ)c。令式(4)中勢(shì)函數(shù)的極點(diǎn)與拐點(diǎn)重合,即

(7)

得到閾值A(chǔ)c的表達(dá)式為

(8)

將系統(tǒng)的輸出看作在勢(shì)函數(shù)曲線上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)。當(dāng)信號(hào)輸入系統(tǒng)后,勢(shì)阱在信號(hào)的調(diào)制驅(qū)動(dòng)下,按信號(hào)的頻率發(fā)生周期性的傾斜變化,如圖2和圖3所示。

當(dāng)輸入信號(hào)的幅度小于閾值A(chǔ)c時(shí),質(zhì)點(diǎn)不能從一個(gè)勢(shì)阱躍遷到另外一個(gè)勢(shì)阱,此時(shí)只能在這兩個(gè)勢(shì)阱之間進(jìn)行周期運(yùn)動(dòng)。只有當(dāng)輸入信號(hào)的幅度大于閾值A(chǔ)c時(shí),質(zhì)點(diǎn)才能從一個(gè)勢(shì)阱躍遷至另外一個(gè)勢(shì)阱,然而由于需要向系統(tǒng)中添加噪聲,此時(shí)則會(huì)因?yàn)樾盘?hào)與噪聲的相互作用,導(dǎo)致勢(shì)阱的傾斜程度將會(huì)逐漸變大,最終同樣能夠使質(zhì)點(diǎn)從一個(gè)勢(shì)阱躍遷到另外一個(gè)勢(shì)阱。此外,對(duì)于添加的噪聲而言,當(dāng)其為最佳的噪聲強(qiáng)度時(shí),此時(shí)能夠保證輸出的SNR達(dá)到最大,有利于后續(xù)的信號(hào)檢測(cè)。而在此強(qiáng)度上繼續(xù)增加則會(huì)導(dǎo)致質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)會(huì)失去規(guī)律性,使得系統(tǒng)輸出SNR明顯下降。

但這里對(duì)信號(hào)和噪聲是有相應(yīng)要求的。對(duì)于信號(hào)來(lái)說(shuō),由于雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)存在如式(6) 所示的勢(shì)壘,信號(hào)能量只有在超過(guò)勢(shì)壘時(shí)才能激發(fā)隨機(jī)共振,即要求信號(hào)的幅值超過(guò)式(8)中的閾值,否則系統(tǒng)不會(huì)產(chǎn)生隨機(jī)共振效應(yīng)。從前文敘述中可知,雖然向隨機(jī)共振系統(tǒng)中添加噪聲能夠有效增強(qiáng)信號(hào)能量,但是所添加的噪音強(qiáng)度并不是越高越好,一旦信號(hào)SNR低于可檢測(cè)SNR下界,任何處理方法都無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)于信號(hào)的檢測(cè)。因此,對(duì)所添加噪聲的要求是不能使SNR低于可檢測(cè)SNR下界。

雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振可以將噪聲的能量轉(zhuǎn)換為信號(hào)的能量,從而不僅保留了原始信號(hào)的信息同時(shí)更有利于對(duì)其實(shí)現(xiàn)檢測(cè)。然而經(jīng)典的雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振只能應(yīng)用于強(qiáng)度小、頻段低的周期信號(hào),上述3個(gè)條件一旦缺失其一就會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不能匹配工作。這樣的條件嚴(yán)重的限制了隨機(jī)共振理論的應(yīng)用。而在實(shí)際應(yīng)用中,信號(hào)強(qiáng)度的大小、頻段的高低都只是背景中的相對(duì)值,同時(shí)基于傅里葉變換的思想,非周期信號(hào)也可以看成周期無(wú)限大的信號(hào)。因此,有可能將雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振理論的適用范圍進(jìn)一步拓展,論文也將利用尺度變換的思想來(lái)拓展雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振理論的適用性。

1.3 Neyman-Pearson準(zhǔn)則

雷達(dá)信號(hào)檢測(cè)本質(zhì)上是將輸入信號(hào)x(t)進(jìn)行處理后與檢測(cè)門限做比較,判斷目標(biāo)是否存在。其中有兩種情況,一是包含信號(hào)和噪聲,即x(t)=s(t)+n(t),此時(shí)稱為H1假設(shè);二是僅含有噪聲,即x(t)=n(t),稱為H0假設(shè),表示為

(9)

如圖4所示,二元檢測(cè)的過(guò)程也是劃分觀測(cè)空間D的問(wèn)題,即根據(jù)判決門限將D劃分為判決域D1(有信號(hào))和判決域D2(無(wú)信號(hào))兩個(gè)子空間,且D=D1∪D0,D1∩D0=?。H0假設(shè)成立的條件是觀測(cè)量(x|H1)或(x|H0)處于D0子空間;同樣,H1假設(shè)成立的條件是觀測(cè)量處于D1子空間。

根據(jù)檢測(cè)判決情況,可將結(jié)果表示為

(10)

式中:Pd稱為檢測(cè)概率;Pn稱為正確不發(fā)現(xiàn)概率;Pfa稱為虛警概率;Pm稱為漏警概率。P(H1|H1)代表H1假設(shè)下判決目標(biāo)存在的概率,其他表達(dá)式類似。

設(shè)H1出現(xiàn)的先驗(yàn)概率為P(H1),H0出現(xiàn)的先驗(yàn)概率為P(H0),則P(H1)=1-P(H0)。若觀測(cè)信號(hào)x(t)的兩種概率密度函數(shù)分別為p(x|H1)和p(x|H0),檢測(cè)門限為VT,則有:

(11)

(12)

檢測(cè)門限VT取決于采用的檢測(cè)準(zhǔn)則,在雷達(dá)信號(hào)檢測(cè)中最常用的是Neyman-Pearson準(zhǔn)則,即在虛警概率一定的情況下,使檢測(cè)概率最大化。用數(shù)學(xué)表示如下:在Pfa=α(α為常數(shù))的約束條件下,使得Pd最大化。

2 基于變尺度隨機(jī)共振的信號(hào)處理流程

2.1 尺度變換模型與證明

隨機(jī)共振系統(tǒng)的理論分析和定量推導(dǎo)是以絕熱近似理論和線性響應(yīng)理論為基礎(chǔ)的,上述理論均要求待測(cè)信號(hào)在頻率極低且幅度極小的雙重限定條件下進(jìn)行。因此,經(jīng)典的隨機(jī)共振理論只能處理不超過(guò)幾個(gè)赫茲的小振幅低頻信號(hào)[28-30]。然而在實(shí)際的科學(xué)研究與工程應(yīng)用中,信號(hào)的中心頻率較高且頻帶較寬。因此,為提高所提算法的適用性,本節(jié)引入雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)模型的歸一化尺度變化,并在結(jié)合推導(dǎo)證明的基礎(chǔ)上,論證可通過(guò)調(diào)整參數(shù)拓展BSR的適用范圍。

本節(jié)對(duì)式(4)進(jìn)行變量替換,即實(shí)現(xiàn)尺度變換。令

(13)

τ=at

(14)

將式(4)和式(5)代入式(2)中,整理可得

(15)

令

(16)

則式(16)滿足

(17)

將式(17)代入式(15)中可得

(18)

將式(18)整理可得

(19)

式(19)是式(4)的歸一化形式,即兩者是等價(jià)關(guān)系,此時(shí)的信號(hào)頻率為原始信號(hào)頻率的1/a。因此,對(duì)于高頻信號(hào)可以通過(guò)選擇加大系統(tǒng)參數(shù)a,同時(shí)提高信號(hào)的采樣頻率,即可使待檢測(cè)信號(hào)歸一化為等效的低頻信號(hào),進(jìn)而可以利用隨機(jī)共振理論進(jìn)行分析與求解。且由于信號(hào)與噪聲均乘相同的比例因子,因此對(duì)于原始系統(tǒng)而言,其SNR并沒(méi)有改變。

2.2 算法流程

第2.1節(jié)論述了利用尺度變換方法拓展隨機(jī)共振的可行性,本節(jié)構(gòu)建基于雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的信號(hào)處理流程。其流程如圖5所示。

該算法步驟可歸納總結(jié)為如下6個(gè)步驟:

步驟 1根據(jù)郎之萬(wàn)方程構(gòu)建BSR系統(tǒng),初始化BSR系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)a0=b0=1,選取信號(hào)振幅A0=0.5,頻率f0=0.5,噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差σ0=0。

步驟 2估計(jì)待檢測(cè)BPSK信號(hào)頻率fBPSK為f1量級(jí),設(shè)置采樣頻率fs為f1量級(jí)的100倍,即使待檢測(cè)信號(hào)的頻率f1遠(yuǎn)小于采樣頻率fs,并保證尺度變換后信號(hào)轉(zhuǎn)換為等價(jià)的低頻區(qū)。

步驟 3利用a1?a0(f1/f0),并令b1?a1,得到尺度變換后的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)參數(shù)a1、b1,從而構(gòu)建隨機(jī)共振系統(tǒng)。其中，?表示約等為此量級(jí)。

步驟 4對(duì)待檢測(cè)的混合信號(hào)進(jìn)行采樣,并計(jì)算信號(hào)的均方根(root mean square, RMS)值σ1。由于本節(jié)設(shè)定為低SNR條件,即設(shè)定混合信號(hào)的均方根值與噪聲的均方根值幾乎相同,利用K=σ0/σ1,可以得到比例因子K。

步驟 5將待檢測(cè)混合信號(hào)乘以比例因子K,并將結(jié)果輸入到隨機(jī)共振系統(tǒng)中,然后將共振系統(tǒng)輸出的結(jié)果輸入信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng),得到系統(tǒng)的誤碼率,若誤碼率未達(dá)到理想值,則以此微調(diào)a1并返回步驟3進(jìn)行重新計(jì)算,以降低結(jié)果的誤碼率,若達(dá)到理想值則進(jìn)行步驟6。

步驟 6調(diào)整參數(shù)使誤碼率最低,此時(shí)信號(hào)處理結(jié)果最為理想。輸出系統(tǒng)的檢測(cè)波形與對(duì)應(yīng)的誤碼率即可實(shí)現(xiàn)對(duì)于BPSK信號(hào)的檢測(cè)。關(guān)于信號(hào)檢測(cè)與誤碼率的計(jì)算部分,將會(huì)在后文進(jìn)行詳細(xì)論述。

3 基于Neyman-Pearson準(zhǔn)則的非線性閾值系統(tǒng)檢測(cè)流程

為了進(jìn)一步有效地從噪聲中提取弱信號(hào),本節(jié)基于Neyman-Pearson準(zhǔn)則設(shè)計(jì)了信號(hào)檢測(cè)器,以實(shí)現(xiàn)信號(hào)處理流程中的信號(hào)檢測(cè)部分,即為圖5中的信號(hào)檢測(cè)部分。

由于通過(guò)BSR系統(tǒng)的BPSK信號(hào)與噪聲的混合信號(hào)會(huì)受到非線性作用的影響,導(dǎo)致噪聲的概率密度函數(shù)發(fā)生變化。本節(jié)設(shè)定在較高的SNR條件下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),輸入信號(hào)為0.03 Hz,SNR為-10 dB,所得結(jié)果如圖6所示。

通過(guò)對(duì)比圖6中的結(jié)果可以看出,在經(jīng)過(guò)隨機(jī)共振系統(tǒng)的非線性處理后,噪聲的功率向著信號(hào)所在頻點(diǎn)方向聚集,即通過(guò)隨機(jī)共振系統(tǒng)后,噪聲已經(jīng)不再服從正態(tài)分布。為此,利用Neyman-Pearson準(zhǔn)則設(shè)計(jì)非線性閾值系統(tǒng)(nonlinear threshold system, NTS),其函數(shù)模型如圖7所示。

其表達(dá)式如下:

(20)

式中:T和P是兩個(gè)常數(shù),其值在后文給出。由于本節(jié)要檢測(cè)BPSK信號(hào)是否存在,對(duì)其離散化處理可得

(21)

式中:N為采樣點(diǎn)數(shù)。

由于BPSK信號(hào)每個(gè)碼元會(huì)持續(xù)一段時(shí)間,且采樣頻率遠(yuǎn)高于信號(hào)的頻率,即當(dāng)BPSK信號(hào)存在時(shí),系統(tǒng)會(huì)連續(xù)采集到s1(k)與噪聲或s2(k)與噪聲的混合信號(hào),本節(jié)將以此作為信號(hào)檢測(cè)的依據(jù)。

如果存在信號(hào)時(shí),系統(tǒng)接收到s1(k)與s2(k)的概率均為0.5。先假設(shè)系統(tǒng)接收到的是s1(k),噪聲為n(k),則信號(hào)的有無(wú)可用二元假設(shè)檢驗(yàn)表示,即

(22)

由于高斯白噪聲通過(guò)BSR系統(tǒng)時(shí),其概率密度函數(shù)會(huì)發(fā)生變化,此外,由于非線性系統(tǒng)的處理機(jī)制難以通過(guò)理論分析得到,且非線性系統(tǒng)具有初值敏感性,故本節(jié)不推導(dǎo)高斯白噪聲通過(guò)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)后的概率密度函數(shù)。為設(shè)計(jì)檢測(cè)器,且保證算法的普適性,假設(shè)噪聲服從廣義高斯噪聲,其概率密度函數(shù)如下:

(23)

式中:μn、σn分別為噪聲的均值和方差;p>0、β>0;Γ(x)和β的表達(dá)式為

(24)

(25)

式中:p的值表示噪聲類型,不同的p值對(duì)應(yīng)于不同的噪聲概率密度函數(shù)。根據(jù)BSR的輸出結(jié)果,分析噪聲特性并對(duì)其進(jìn)行參數(shù)化建模,根據(jù)所得結(jié)果來(lái)確定近似的噪聲分布模型,從而確定p的取值。

本節(jié)假設(shè)T=1、P=-1,則此時(shí)閾值系統(tǒng)可以看作為一個(gè)符號(hào)函數(shù),可表示為

(26)

首先,計(jì)算輸出信號(hào)y的均值,可以表示為

E[y]=P(y=1)-P(y=-1)=P(s1+n≥θ)-P(s1+n<θ)=1-2Fn(θ-s1)

(27)

式中:

(28)

式中:fn(u)是式(23)中廣義高斯噪聲的概率密度函數(shù)。

計(jì)算輸出信號(hào)y的方差為

E[y2]=(1)2P(y=1)+(-1)2P(y=-1)=1

(29)

(30)

得到非線性閾值系統(tǒng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

(31)

在H0與H1假設(shè)條件下,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量具有不同的均值和標(biāo)準(zhǔn)差,分別設(shè)為μ0、σ0、μ1、σ1。根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì),其值分別為

μ0=1-2Fn(θ)

(32)

μ1=1-2Fn(θ-s1)

(33)

(34)

(35)

由于BPSK信號(hào)的第一個(gè)碼元會(huì)存在一段時(shí)間,且系統(tǒng)的采樣率足夠高,即對(duì)信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)足夠大,根據(jù)中心極限定理,在上述兩種假設(shè)條件下,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均服從高斯分布,其概率密度函數(shù)為

(36)

(37)

為提升檢測(cè)系統(tǒng)對(duì)于信號(hào)處理的效能,本節(jié)采用Neyman-Pearson準(zhǔn)則來(lái)設(shè)計(jì)檢測(cè)器,以保證有用的信息盡可能多地進(jìn)入系統(tǒng),同時(shí)也避免了過(guò)多的虛假數(shù)據(jù)進(jìn)入檢測(cè)器,從而影響系統(tǒng)的工作效率。即當(dāng)虛警概率PF恒定時(shí),使檢測(cè)概率PD最大。兩者表示為

(38)

(39)

由于Neyman-Pearson準(zhǔn)則是在設(shè)定虛警概率PF后,對(duì)式(38)進(jìn)行變下限定積分,從而得到門限值α的。本節(jié)假設(shè)PF已設(shè)定,將式(36)代入式(38)中,可得

(40)

對(duì)式(40)進(jìn)行變量代換,令

(41)

則式(27)可表示為

(42)

式(42)沒(méi)有理論解,而在實(shí)際應(yīng)用中,可結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)的分布表,即下式所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,進(jìn)行輔助計(jì)算:

(43)

則虛警概率可表示為

(44)

即當(dāng)虛警概率設(shè)定后,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)的函數(shù)值可以確定,則μ0、σ0可通過(guò)計(jì)算得到,最終通過(guò)查表和簡(jiǎn)單計(jì)算即可以得到門限值α,進(jìn)而可以得到檢測(cè)概率為

(45)

經(jīng)過(guò)隨機(jī)共振系統(tǒng)處理后的混合信號(hào)檢測(cè)流程即如圖8所示。利用Neyman-Pearson準(zhǔn)則,能夠在沒(méi)有先驗(yàn)信息條件下,進(jìn)一步對(duì)BPSK信號(hào)的檢測(cè)能力。由于上述的推導(dǎo)是基于接收到的信號(hào)為“+1”進(jìn)行的,通過(guò)上述計(jì)算可以得到檢測(cè)概率PD。然而,在實(shí)際應(yīng)用中BPSK信號(hào)的第一個(gè)碼元可正可負(fù)。為此本節(jié)采用兩套相同檢測(cè)系統(tǒng),第一套正常處理,將信號(hào)倒轉(zhuǎn)輸入到第二套檢測(cè)系統(tǒng),即將s(t)變成-s(t),雙系統(tǒng)同時(shí)工作,得到第二套檢測(cè)系統(tǒng)的檢測(cè)概率PDv,對(duì)比PD與PDv,兩者大小區(qū)別會(huì)很大,取較大值為此時(shí)的信號(hào)檢測(cè)概率,同時(shí)也可以確定信號(hào)為正或?yàn)樨?fù)。即第一套系統(tǒng)只檢測(cè)正信號(hào),第二套檢測(cè)負(fù)信號(hào),將兩者檢測(cè)出的信號(hào)序列相加,即可得到BPSK信號(hào)的完整序列。

4 算法性能分析

4.1 檢測(cè)性能分析

為定量分析算法性能,本節(jié)將對(duì)所提算法對(duì)于信號(hào)檢測(cè)能力的提升進(jìn)行量化描述。

由BPSK信號(hào)的表達(dá)式可以看出,在每個(gè)碼元之間信號(hào)為正弦波,此時(shí)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的單邊輸出功率譜密度(power spectral density, PSD)函數(shù)可以表示為

(46)

式中:A是BPSK信號(hào)的幅度;D是WGN的噪聲強(qiáng)度;ωc=2πfc是BPSK信號(hào)的角頻率,fc是信號(hào)的調(diào)制載波頻率。在絕熱近似的條件下,要確保雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)能夠產(chǎn)生隨機(jī)共振,BPSK信號(hào)調(diào)制頻率應(yīng)滿足:

(47)

則輸出信號(hào)功率Ps可以表示為

(48)

噪聲功率Pn可表示為

(49)

則通過(guò)整理可得,輸出信號(hào)的信噪比SNRout可以表示為

(50)

輸入信號(hào)的SNRin為

(51)

則雙系統(tǒng)信號(hào)輸入前后的SNR增益為

(52)

為保證G大于1,式(52)應(yīng)滿足:

0

(53)

求解上述關(guān)于D的一元二次不等式組,可得

(54)

即當(dāng)原始噪聲強(qiáng)度滿足上述條件時(shí),系統(tǒng)的輸出SNR會(huì)提升。

為研究噪聲與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系,設(shè)

(55)

由式(55)可以看出,系統(tǒng)增益與參數(shù)a呈正相關(guān)。為保證增益大于1,參數(shù)a應(yīng)滿足:

(56)

求解可得

(57)

由于系統(tǒng)增益是關(guān)于a的單調(diào)遞增函數(shù),因此,當(dāng)a的取值接近上限時(shí),系統(tǒng)的增益會(huì)達(dá)到最大。

從式(52)中也可以看出,隨著a的增大SNR也在逐步提升,此外本節(jié)所提出的尺度放縮也要求a盡可能大,即增大a既可以拓展隨機(jī)共振的適用性,同時(shí)也可以提升系統(tǒng)的增益,這也是所提的尺度放縮方法的一個(gè)重要優(yōu)勢(shì)。

4.2 誤碼率與系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化匹配分析

通過(guò)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)后信號(hào)的SNR得以提升,為評(píng)估檢測(cè)器的性能,本節(jié)利用誤碼率Pe作為評(píng)判指標(biāo),同時(shí)也作為信號(hào)處理系統(tǒng)中的反饋量。其表達(dá)式如下:

Pe=P0P(0|1)+P1P(1|0)

(58)

式中:P1和P0分別表示有無(wú)碼元的概率。在Neyman-Pearson準(zhǔn)則的條件下,本節(jié)將BPSK信號(hào)轉(zhuǎn)換為兩組二元檢測(cè),即P(0|1)表示為漏警概率,P(1|0)為虛警概率,有:

(59)

結(jié)合第3節(jié)的推導(dǎo)結(jié)果,檢測(cè)器的誤碼率可以表示為

(60)

由式(60)可得,虛警概率PF設(shè)置的越高,檢測(cè)門限α越低,檢測(cè)概率PD越高,漏警概率越低,反之亦然。因此,式(60)表明,誤碼率會(huì)隨著人為設(shè)定虛警概率的降低而呈現(xiàn)出先降低后上升的過(guò)程,即存在一個(gè)理想的虛警概率PFopt,使系統(tǒng)的誤碼率最低。同時(shí)也可從Φ函數(shù)看出,誤碼率Pe與通過(guò)檢測(cè)器前的噪聲強(qiáng)度相關(guān),而經(jīng)過(guò)雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)的處理,輸出信號(hào)的SNR得到了提升,從而降低了檢測(cè)信號(hào)的誤碼率。上述過(guò)程即為信號(hào)處理流程中誤碼率計(jì)算的部分,根據(jù)誤碼率的大小調(diào)整系統(tǒng)參數(shù),以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)檢測(cè)。

在步驟3中,a1近似為a0的f1/f0倍,雖然可以實(shí)現(xiàn)比例縮放,但并不需要實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的參數(shù)匹配。因此,應(yīng)該調(diào)整a1與a0的比例。式(60)表明,系統(tǒng)的誤碼率與信號(hào)的傳輸概率P0和P1以及所設(shè)定的虛警率PF有關(guān)。同時(shí),根據(jù)Neyman-Pearson準(zhǔn)則,當(dāng)設(shè)置了接收器的虛警概率時(shí),其檢測(cè)概率PD也可以根據(jù)觀測(cè)者操作特征(receiver operating characteristic, ROC)曲線來(lái)確定。

為了實(shí)現(xiàn)a1的最優(yōu)匹配,可以在對(duì)信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)前將接收機(jī)的參數(shù)進(jìn)行調(diào)整。首先,設(shè)置P0、P1和PF,用已知的編碼方法構(gòu)建與待檢測(cè)信號(hào)的幅度和頻率相似的BPSK信號(hào),然后將其輸入到強(qiáng)噪聲檢測(cè)系統(tǒng)中。根據(jù)信號(hào)和噪聲參數(shù)計(jì)算PD,進(jìn)而得到式(60)的結(jié)果,即理想條件下的誤碼率Peopt,并計(jì)算系統(tǒng)在第q次調(diào)整后的實(shí)際誤碼率為Per(q),算得這兩個(gè)值之間的誤差為err(q)。根據(jù)所得誤差對(duì)a1和a0的比值進(jìn)行調(diào)整,并設(shè)計(jì)控制律如下所示:

(61)

初始條件為

(62)

式(61)是比例控制的經(jīng)典方法,技術(shù)成熟且易于實(shí)現(xiàn)。當(dāng)誤差為0時(shí),調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)并記錄調(diào)整次數(shù)Q,這里有q∈[1,Q]。在確保在此系統(tǒng)參數(shù)的條件下對(duì)參數(shù)a1進(jìn)行調(diào)整,可有效降低誤檢測(cè)率。

4.3 算法復(fù)雜度分析

算法流程表明,所提算法首先通過(guò)雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)對(duì)混合噪聲信號(hào)進(jìn)行處理,然后根據(jù)Neyman-Pearson準(zhǔn)則對(duì)輸出信號(hào)進(jìn)行檢測(cè),再根據(jù)誤檢測(cè)率對(duì)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行調(diào)整,直至獲得最低的誤碼率。因此,有必要對(duì)隨機(jī)共振和檢測(cè)算法的疊加計(jì)算量進(jìn)行分析,然后進(jìn)行Q次迭代以獲得最優(yōu)解的次數(shù),即為算法的復(fù)雜度。

首先,分析經(jīng)過(guò)尺度變換的雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)。第一步是尺度變換,即式(13)和式(14),將信號(hào)的尺度和頻率變?yōu)樵贾档?/a,該算法的復(fù)雜度為O(n)。然后將尺度變化的結(jié)果輸入到雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)中即式(4),該步驟的計(jì)算量主要來(lái)源于bx3,其復(fù)雜度為O(n3)。因此,該雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)的算法復(fù)雜度為O(n+n3),即O(n3)。

其次,對(duì)信號(hào)檢測(cè)進(jìn)行分析。在確定概率密度函數(shù)中的廣義噪聲分布后,根據(jù)雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸出結(jié)果選擇p的值,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)噪聲的近似描述,則算法復(fù)雜度為O(1),然后計(jì)算參數(shù)μ0、σ0、μ1、σ1的值。式(32)～式(35)表明該σ算法的復(fù)雜度比μ更高,因此,我們只研究σ的算法復(fù)雜度。Fn由式(28)進(jìn)行積分計(jì)算得到的,被積函數(shù)和積分的界是已知的,且被積函數(shù)是一個(gè)典型的分布函數(shù),因此,可以通過(guò)查表來(lái)確定Fn的值,其計(jì)算復(fù)雜度為O(n)。對(duì)于σ復(fù)雜度的計(jì)算可以通過(guò)式(34)和式(35)得到,則計(jì)算σ的復(fù)雜度為O(n3)。接下來(lái),通過(guò)設(shè)定的PF推導(dǎo)出閾值α。同樣,式(42)表明被積函數(shù)和積分的界是已知的,且被積函數(shù)滿足典型的高斯分布,則閾值α可以通過(guò)查表和簡(jiǎn)單的計(jì)算得到,其計(jì)算復(fù)雜度為O(n2)。最后,對(duì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行分析。根據(jù)式(31),將檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為輸出信號(hào)的平均值與閾值進(jìn)行比較,這兩部分的算法復(fù)雜度為O(n)。綜上所述,信號(hào)檢測(cè)部分的算法復(fù)雜度為O(1+n+n3+n2+n),即O(n3)。

最后,根據(jù)圖5中的算法流程,除雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振和信號(hào)檢測(cè)外,其余大部分都是簡(jiǎn)單的四項(xiàng)操作和賦值,只有計(jì)算環(huán)境中的噪聲方差算法的復(fù)雜度為O(n2)。因此,系統(tǒng)的整體算法復(fù)雜度為O[Q(n3+n3+n2)],即O(2Qn3)。因此所提的非線性檢測(cè)算法與大多數(shù)信號(hào)檢測(cè)算法復(fù)雜度相近,并且能夠顯著提高弱信號(hào)的檢測(cè)能力,具有較好的性能。

5 仿真驗(yàn)證

5.1 尺度變換模型

尺度變換的可行性已在前文進(jìn)行過(guò)推導(dǎo)論述,為驗(yàn)證其可行性,本節(jié)對(duì)其進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。這里利用典型的BPSK信號(hào),對(duì)尺度變換方法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

系統(tǒng)的采樣頻率為600 kHz,系統(tǒng)參數(shù)a=b=107,BPSK信號(hào)的載波頻率為200 kHz,基帶頻率20 kHz,初始碼元任取,初始相位隨機(jī),+1、-1碼元隨機(jī)等概率隨機(jī)變換,噪聲與信號(hào)強(qiáng)度相同。仿真環(huán)境為I7-4960,主頻2.60 GHz,16 G內(nèi)存,基于Matlab 2014a為平臺(tái)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。將BPSK信號(hào)通過(guò)上述雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng),得到前后的波形對(duì)比如圖9所示。

圖9中由上至下依次為調(diào)制后的BPSK信號(hào)、與等強(qiáng)度噪聲混合的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)輸入信號(hào)以及雙穩(wěn)態(tài)的輸出信號(hào)。通過(guò)觀察圖9可以直觀地看出,上述設(shè)定的參數(shù)可以使系統(tǒng)產(chǎn)生隨機(jī)共振,即通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,本節(jié)的尺度放縮方法具有可行性。將上述混合信號(hào)與輸出信號(hào)進(jìn)行快速傅里葉變換分析其頻譜,如圖10所示。對(duì)比兩圖可得,信號(hào)在其頻點(diǎn)上的強(qiáng)度明顯增強(qiáng),約為原始信號(hào)強(qiáng)度的11倍,輸出信號(hào)的SNR得到明顯提升,有利于信號(hào)的檢測(cè)。且從圖10中的第一幅圖可以看出,原始噪聲為WGN,以一定強(qiáng)度均勻分布在整個(gè)頻段內(nèi),而經(jīng)過(guò)隨機(jī)共振系統(tǒng)處理過(guò)后,其分布明顯朝向信號(hào)頻點(diǎn)聚集,這也驗(yàn)證了在經(jīng)過(guò)變尺度隨機(jī)共振系統(tǒng)后,噪聲的分布改變,不再服從正態(tài)分布。為此,需要研究與設(shè)計(jì)非WGN背景下檢測(cè)器,對(duì)雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振的輸出信號(hào)進(jìn)行進(jìn)一步的檢測(cè)。

5.2 BPSK信號(hào)檢測(cè)分析

為保證隨機(jī)共振的效果,本實(shí)驗(yàn)設(shè)定接收信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)足夠大,根據(jù)中心極限定理,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從近似的高斯分布。系統(tǒng)參數(shù)和仿真環(huán)境與第5.1節(jié)仿真條件幾乎相同,SNR為-10 dB,虛警概率設(shè)為0.01,令廣義高斯白噪聲參數(shù)p=1,即假設(shè)噪聲經(jīng)過(guò)BSR系統(tǒng)后服從拉普拉斯噪聲分布。設(shè)定BPSK信號(hào)的時(shí)間長(zhǎng)度為0.1 s,且在該段時(shí)間內(nèi)進(jìn)行1 000次幅值轉(zhuǎn)換,將其通過(guò)第5.1節(jié)設(shè)定好參數(shù)的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng),將系統(tǒng)輸出信號(hào)通過(guò)非線性檢測(cè)器,解調(diào)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)輸出信號(hào)與檢測(cè)器輸出信號(hào)。為易于觀察,取0.01 s內(nèi)的波形,如圖11所示。通過(guò)對(duì)比兩條曲線可得,雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)能夠有效提升信號(hào)的能量,信號(hào)特性進(jìn)一步得到了凸顯,有利于非線性檢測(cè)器進(jìn)行后續(xù)檢測(cè)。將輸出信號(hào)通過(guò)非線性檢測(cè)器,得到檢測(cè)后的BPSK信號(hào)波形。

為進(jìn)一步評(píng)估檢測(cè)器輸出結(jié)果的正確性與計(jì)算系統(tǒng)的誤碼率,這里作出原始純凈信號(hào)與檢波器輸出信號(hào)之間的關(guān)系圖,如圖12所示。

對(duì)比上述兩組點(diǎn),可以看出在第28次信號(hào)調(diào)制時(shí),系統(tǒng)沒(méi)有檢測(cè)成功,其余99次全部實(shí)現(xiàn)了正確檢測(cè)。在整段1 000次調(diào)制的序列中,失敗檢測(cè)了6次,其誤碼率較低。將上述流程進(jìn)行100次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn),得到檢測(cè)系統(tǒng)的平均誤碼率為0.007 6?？梢?jiàn),在-10 dB及拉普拉斯噪聲背景條件下,所提算法具有良好的檢測(cè)性能。

5.3 算法性能對(duì)比

為進(jìn)一步衡量所提算法性能并體現(xiàn)算法優(yōu)勢(shì),在低SNR條件下,調(diào)整p的參數(shù)值,并將所設(shè)計(jì)的檢測(cè)器與最佳線性檢測(cè)器(best linear detection, BLD)進(jìn)行對(duì)比,仿真環(huán)境與參數(shù)值設(shè)定不變,仿真SNR為[-30, 0] dB,以3 dB為步進(jìn),所得仿真結(jié)果如圖13所示?？梢钥闯?所提的基于Neyman-Pearson準(zhǔn)則設(shè)計(jì)的非線性檢測(cè)器在低SNR條件下具有良好的檢測(cè)性能,且隨著SNR的提升檢測(cè)效能也明顯提升。同時(shí),在多數(shù)情況下,該檢測(cè)器性能優(yōu)于最佳線性檢測(cè)算法。當(dāng)p=2時(shí),此時(shí)噪聲為WGN,BLD對(duì)WGN背景下的檢測(cè)性能最優(yōu),且隨著p值的變化,所設(shè)計(jì)的檢測(cè)器性能優(yōu)勢(shì)逐步顯現(xiàn),誤碼率的下降更為明顯。

本文我們將所提算法與文獻(xiàn)[31]算法進(jìn)行了比較,采用與文獻(xiàn)[31]中圖9相同的仿真參數(shù),將虛警率設(shè)為0.05,進(jìn)行200次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn),并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行平均計(jì)算,則所提算法與其對(duì)比結(jié)果如圖14所示。橫軸為輸入信號(hào)的SNR,縱軸是輸出信號(hào)的信干噪比(signal to interference plus noise ratio, SINR)。

圖中Rp1、Rp2為文獻(xiàn)[31]所構(gòu)建發(fā)射波形的協(xié)方差矩陣，該矩陣的形式影響著信號(hào)檢測(cè)能力，其對(duì)應(yīng)的形式如下：

(63)

(64)

式中:Mt是發(fā)射端天線的個(gè)數(shù)。

可以看出,與文獻(xiàn)[31]所提算法相比,采用所提算法可獲得更高的SNR。這是因?yàn)樵诘蚐NR的情況下,所提算法可以通過(guò)非線性作用將噪聲能量轉(zhuǎn)化為信號(hào)能量。因此,所提算法具有比文獻(xiàn)[31]算法更好的檢測(cè)性能。

由于參數(shù)調(diào)整算法(parameter adjusted algorithm, PAA)的非線性特性,其檢測(cè)性能與SNR呈線性相關(guān),很難得到具體的解析表達(dá)式,這是與文獻(xiàn)[31]所用方法的主要不同,但這種算法的檢測(cè)效率卻有顯著的提升。然而,從圖13可以看出,隨著SNR的提高,PAA的檢測(cè)能力的提升是要慢于其他兩種方法的,即使隨著SNR的提高,所提算法的檢測(cè)性能也幾乎被其他兩種方法所超越。這是因?yàn)镻AA算法的效率與噪聲強(qiáng)度相關(guān),噪聲能量降低,檢測(cè)效率自然也就越低。換句話說(shuō),在高SNR條件下,PAA類似的檢測(cè)性能與主流方法相似甚至更差,然而,在低SNR條件下,這種算法的檢測(cè)性能顯然是比主流方法更好。因此,該方法更適合于弱信號(hào)的檢測(cè)。

為更具有針對(duì)性地比較論文所提算法性能,在此對(duì)于同樣基于隨機(jī)共振優(yōu)化的檢測(cè)算法進(jìn)行對(duì)比,即與文獻(xiàn)[32]中的檢測(cè)算法進(jìn)行對(duì)比,仿真參數(shù)的設(shè)置與文獻(xiàn)[32]中圖6仿真條件一致,并設(shè)虛警概率為0.1,同樣進(jìn)行200次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)并對(duì)結(jié)果取平均值,其對(duì)比結(jié)果如圖15所示。

由以上對(duì)比可以看出,參數(shù)調(diào)整算法的檢測(cè)性能雖然略優(yōu)于改進(jìn)的能量檢測(cè)(improved energy detection, IED),同樣也優(yōu)于經(jīng)典的能量檢測(cè)(energy detection, ED),但結(jié)果上并沒(méi)有明顯的改善。這是因?yàn)槲墨I(xiàn)[32]中所提的IED方法需要知道待測(cè)信號(hào)的參數(shù),然后在隨機(jī)共振系統(tǒng)中設(shè)置參數(shù)a和b。所提方法不需要知道待測(cè)信號(hào)的所有參數(shù),只需要估計(jì)信號(hào)的頻帶即可實(shí)現(xiàn)信號(hào)檢測(cè),減少了對(duì)先驗(yàn)信息的依賴性,放寬了適用條件。因此,所提方法具有更高的適用性。

此外,當(dāng)先驗(yàn)信息少于IED方法時(shí),所提算法的檢測(cè)結(jié)果略優(yōu)于IED方法的另一個(gè)原因是,IED方法致力于在高于SNR下界的情況下取得良好的效果,且該算法在SNR低于SNR下界情況其相應(yīng)的參數(shù)調(diào)整較為困難。因此,在實(shí)際應(yīng)用中適用范圍相對(duì)較窄。提出的算法以誤碼率作為反饋量,根據(jù)BPSK信號(hào)的參數(shù)特征自適應(yīng)地調(diào)整系統(tǒng)參數(shù),并進(jìn)行參數(shù)的動(dòng)態(tài)匹配,從而更好地實(shí)現(xiàn)信號(hào)的檢測(cè)。因此,盡管先驗(yàn)信息少于IED方法的信息,但是檢測(cè)結(jié)果可以優(yōu)于IED方法。

綜上,論文所構(gòu)建的信號(hào)處理與檢測(cè)流程可以在低SNR條件下對(duì)BPSK信號(hào)實(shí)現(xiàn)良好的檢測(cè)與解調(diào),使得在強(qiáng)噪聲背景下的弱信號(hào)檢測(cè)性能明顯提升。

6 結(jié) 論

(1) 利用BSR系統(tǒng)構(gòu)建了一套基于尺度變換的BSR模型,提升了對(duì)BPSK信號(hào)的檢測(cè)性能,并基于Neyman-Pearson準(zhǔn)則構(gòu)建了非線性信號(hào)檢測(cè)器。將兩者結(jié)合,構(gòu)建了一套完整的信號(hào)檢測(cè)流程,實(shí)現(xiàn)了在強(qiáng)噪聲與無(wú)先驗(yàn)信息條件下對(duì)弱BPSK信號(hào)的檢測(cè)。

(2) 針對(duì)經(jīng)典的BSR系統(tǒng)只能處理低頻段、小幅度周期信號(hào)的局限性,本章借鑒尺度變換的思想,將隨機(jī)共振模型進(jìn)行改進(jìn),拓展其適用范圍,通過(guò)理論推導(dǎo)與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證證明了所提方法的有效性。

(3) 在強(qiáng)噪聲背景下對(duì)BPSK信號(hào)進(jìn)行檢測(cè),首先要確定信號(hào)的有無(wú),然而由于針對(duì)BPSK信號(hào)的先驗(yàn)知識(shí)有限,同時(shí)在經(jīng)過(guò)隨機(jī)共振系統(tǒng)后,噪聲的概率密度函數(shù)發(fā)生改變。為此,基于Neyman-Pearson準(zhǔn)則設(shè)計(jì)非線性檢測(cè)器,并在廣義高斯噪聲的背景下,給出了檢測(cè)器的構(gòu)建及參數(shù)確定的完備流程,實(shí)現(xiàn)了在不同噪聲背景下相應(yīng)檢測(cè)器的設(shè)計(jì)。

(4) 通過(guò)理論分析與公式推導(dǎo),對(duì)所提出的系統(tǒng)算法性能進(jìn)行定量分析,此外,基于算法性能的表達(dá)式構(gòu)建反饋系統(tǒng),使檢測(cè)性能達(dá)到最優(yōu)。所提算法不僅適用于BPSK信號(hào),還可應(yīng)用于其他通信、光學(xué)甚至故障信號(hào)等,為后續(xù)的信號(hào)檢測(cè)理論與實(shí)際工程應(yīng)用提供了良好的借鑒。

所提方法由于基于二項(xiàng)極化的檢測(cè)方式,因此對(duì)于正交相移等多鍵控的信號(hào)檢測(cè)性能,會(huì)隨著鍵的增多而逐步降低,這也是后續(xù)的研究方向,將論文方法進(jìn)行修改與完善,推廣到不同鍵控的信號(hào)。