鄭斐峰， 靳凱媛， 宋沁睿， 劉 明

(1. 東華大學(xué) 旭日工商管理學(xué)院， 上海 200051；2. 同濟(jì)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院， 上海 200092)

在共享經(jīng)濟(jì)環(huán)境下，跨企業(yè)的共享加工模式能夠提高企業(yè)資源利用率，并解決生產(chǎn)領(lǐng)域資源結(jié)構(gòu)性矛盾以及資源短缺與閑置浪費并存的難題[1]。文獻(xiàn)[2-5]描述了制造行業(yè)分享經(jīng)濟(jì)的概念，并從加工資源平臺角度探討了資源分享的益處。對于服裝制造供應(yīng)鏈而言：在傳統(tǒng)的加工模式下，某客戶訂單所需的原材料由相應(yīng)的供應(yīng)商運輸至指定服裝制造商處，再由制造商完成加工并將成品運送給客戶。該指定制造商與供應(yīng)商及客戶的運輸距離相比其他制造商都是最近的。在分享加工模式下，某客戶訂單可能由多個供應(yīng)商提供原材料，由多個制造商進(jìn)行產(chǎn)品加工和成品配送，即同一客戶的訂單可以拆分成多個子訂單，并分配給不同制造商進(jìn)行同步加工。分享加工模式可有效解決不同制造企業(yè)的資源利用不均衡問題。

目前，考慮加工與運輸環(huán)節(jié)的研究多針對非共享環(huán)境下的調(diào)度優(yōu)化決策。文獻(xiàn)[6-8]同時考慮了加工環(huán)節(jié)與運輸環(huán)節(jié)的平行機(jī)調(diào)度問題。Yaghin等[9]研究不確定性條件下全球范圍內(nèi)的實體供應(yīng)渠道集成決策，包括供應(yīng)商選擇、訂單分配和運輸計劃，建立多目標(biāo)混合整數(shù)線性規(guī)劃模型以優(yōu)化總物流成本、延遲時間和采購價值，提出一種帶效用函數(shù)的模糊多選擇目標(biāo)規(guī)劃模型,用以解決多目標(biāo)規(guī)劃問題。Kim等[10]研究具有相同任務(wù)處理時間、交付時間和成本的雙層平行機(jī)調(diào)度問題，分別以最小化總加權(quán)完成時間和車輛總交付成本之和,以及最小化總延遲和車輛總交付成本之和為目標(biāo)，提出最佳調(diào)度和運輸交付策略。Jiang等[11]研究具有不同處理時間和尺寸的平行機(jī)調(diào)度問題，構(gòu)建了以最小化完工時間為目標(biāo)的混合整數(shù)規(guī)劃模型，并設(shè)計了離散粒子群優(yōu)化算法和遺傳算法相結(jié)合的混合算法。Li等[12]考慮動態(tài)的供應(yīng)商選擇和訂單分配，提出一種新的兩階段綜合數(shù)學(xué)模型。

部分文獻(xiàn)研究以完工時間為主要優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行建模與分析。蘭艷等[13]針對帶運輸機(jī)的流水車間調(diào)度問題，以最小化所有工件運往目的地的時間為目標(biāo)設(shè)計了不同情形下的最優(yōu)算法。Hu等[14]研究考慮機(jī)器具有維護(hù)時間間隔的訂單交付協(xié)調(diào)的調(diào)度問題，針對最小化完成時間的優(yōu)化目標(biāo)提出了近似算法。Liu[15]考慮在電子制造業(yè)中具有p-s-d交付時間和學(xué)習(xí)效應(yīng)的同型機(jī)調(diào)度問題，針對最小化總完成時間的絕對偏差、最小機(jī)器總負(fù)載，以及最小化總完成時間為優(yōu)化目標(biāo)的模型設(shè)計了多項式時間算法。薛梅等[16]提出批處理機(jī)環(huán)境下生產(chǎn)與兩階段運輸?shù)膮f(xié)同調(diào)度問題，根據(jù)問題進(jìn)行系統(tǒng)建模并引入交叉和變異算子改進(jìn)粒子群算法，對制造跨度時間進(jìn)行優(yōu)化。

總體而言，當(dāng)前文獻(xiàn)僅考慮成品配送的單個運輸階段，涉及上游原材料配送的兩階段運輸模型的研究較少，鮮有考慮加工資源分享下的生產(chǎn)與兩階段運輸情形。本文研究加工資源可分享環(huán)境下生產(chǎn)與兩階段運輸?shù)膮f(xié)同調(diào)度問題，著重考察加工資源共享對客戶訂單完工時間的影響，即以優(yōu)化所有訂單的總完工時間為目標(biāo)，通過與資源無分享的傳統(tǒng)加工模式進(jìn)行對比，從理論角度闡述分享加工模式在供應(yīng)鏈服務(wù)時間方面的優(yōu)勢。

1 問題描述與基本定義

1.1 問題描述

考慮一個由原材料供應(yīng)商、制造商以及客戶組成的訂單加工與兩階段配送供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)，即完成1個客戶訂單包括前后2個運輸環(huán)節(jié)和1個加工環(huán)節(jié)?？紤]在加工資源通過共享平臺進(jìn)行分享的加工模式下，對客戶的訂單進(jìn)行合理拆分以使多個制造商同步加工，從而最小化訂單的總完工時間。對比分析加工資源無分享的傳統(tǒng)加工模式與分享加工模式的優(yōu)劣。著重探討以下兩種供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)：(1)1個供應(yīng)商、2個制造商與1個客戶；(2)2個供應(yīng)商、2個制造商與2個客戶。每個客戶i只提出一個訂單需求Ji，并且訂單i的原材料供應(yīng)商是唯一確定的，因此，用相同的索引i表示該訂單對應(yīng)的供應(yīng)商。同時，作出如下假設(shè)：

(1)所有訂單在零時刻釋放，即訂單所需原材料可以在零時刻從供應(yīng)商運往制造商。

(2)訂單加工完成后成品無需等待，立即運送給客戶。

(3)任意供應(yīng)商與制造商、制造商與客戶之間的運輸時間均是已知常數(shù)，并且供應(yīng)商i距離制造商m=i最近，制造商m=i距離客戶i最近，i=1,2。

(4)在兩種加工模式下，客戶訂單Ji所需的原材料只由供應(yīng)商i提供。在傳統(tǒng)加工模式下制造商m只加工客戶i=m的訂單Ji，而在分享加工模式下制造商可以加工客戶i=m或者i≠m的訂單。

(5)所有制造商具有相同的加工速度，采用先到先服務(wù)(first-come-first-serve，F(xiàn)CFS)規(guī)則加工客戶訂單，且訂單加工過程無中斷。

1.2 參數(shù)及含義解釋

i為訂單以及對應(yīng)的客戶與供應(yīng)商的索引，i∈{1,2}；

m為制造商的索引，m∈{1,2}；

pi為訂單Ji的加工時間，i∈{1,2}；

pim為訂單Ji劃分給制造商m的子訂單Jim的加工時間，其中，pi1+pi2=pi，i∈{1,2}；

tim為訂單Ji的原材料到達(dá)制造商m處后等待啟動加工的時間，i,m∈{1,2}；

Lim為原材料從供應(yīng)商i到制造商m的第一階段運輸時間，i,m∈{1,2}；

Hmi為成品從制造商m到客戶i的第二階段運輸時間，m,i∈{1,2}；

Cbi為訂單Ji的完成時間，b=1表示傳統(tǒng)加工模式，b=2表示分享加工模式，i∈{1,2}。

在兩種加工模式下，訂單Ji(i=1,2)的成品送達(dá)客戶的時間可表示為

Cbi=maxm∈{1,2}{Lim+pim+tim+Hmi}

(1)

顯然，當(dāng)b=1時，有m=i，pim=pi且tim=0?？紤]最小化所有客戶訂單總交貨時間的優(yōu)化目標(biāo)，用經(jīng)典的三參數(shù)標(biāo)記法將問題記為Pn|b|∑Cbi，Pn為平行機(jī)。

2 單客戶的加工配送情形

對于由1個供應(yīng)商、2個制造商和1個客戶組成的供應(yīng)鏈：根據(jù)假設(shè)(3)，L11

圖1 單個客戶時兩種加工模式下的訂單加工配送流程Fig.1 Processing and distribution flow in the two manufacturing modes with single customer order

在傳統(tǒng)加工模式下，t11=0。結(jié)合式(1)與假設(shè)(4)，訂單J1的完成時間C11為

C11=L11+p1+H11

(2)

在分享加工模式下，在制造商1、2完成交付子訂單J11和J12的時間分別為C211和C212，且訂單J1的完成時間C21=max{C211,C212}。令Δ1=(L12+H21)-(L11+H11)，根據(jù)假設(shè)(3)有Δ1≥0。

定理1：若p1>Δ1，分享加工模式優(yōu)于傳統(tǒng)加工模式，且最優(yōu)分享策略為p11=(p1+Δ1)/2，p12=(p1-Δ1)/2；反之，若p1≤Δ1，則分享加工模式的最優(yōu)策略退化為傳統(tǒng)加工模式，即p11=p1。

證明：首先，傳統(tǒng)加工模式下的目標(biāo)函數(shù)如式(2)所示。討論兩種情形p1>Δ1和p1≤Δ1時分享加工模式下的目標(biāo)函數(shù)。

情形1：p1>Δ1

在分享加工模式下，子訂單J11的原材料由供應(yīng)商1運輸至制造商1處，子訂單J12的原材料由供應(yīng)商1運輸至制造商2處。根據(jù)式(1)，該模式下訂單J1的完成時間為

C21=max{L11+p11+H11,L12+p12+H21}

(3)

結(jié)合p1=p11+p12和情形1的條件p1>Δ1，令制造商1、2加工的子訂單時間滿足p11-p12=Δ1，即L11+p11+H11=L12+p12+H21，則C21=L11+p11+H11。由于p11=Δ1+p12

情形2：p1≤Δ1

情形2的條件等價于p1≤(L12+H21)-(L11+H11)，結(jié)合式(2)可得C11≤L12+H21。由式(3)可知，C21≥L12+H21≥C11。因此，分享加工模式下的最優(yōu)策略為p12=0,p11=p1，即退化為傳統(tǒng)加工模式。綜上，定理1成立。

以圖2為例解釋定理1。Δ1=(L12+H21)-(L11+H11)=37，訂單J1的加工時間p1=50。

圖2 定理1中p1>Δ1的例子Fig.2 Example of p1>Δ1 in theorem 1

因為p1>Δ1，根據(jù)定理1的最優(yōu)分享策略，p11=(p1+Δ1)/2=43.5，p12=(p1-Δ1)/2=6.5。

因此分享加工模式下的目標(biāo)函數(shù)值為C21=L11+p11+H11=66.5，而傳統(tǒng)加工模式下的目標(biāo)函數(shù)值C11=L11+p1+H11=73，表明前者優(yōu)于后者。

3 雙客戶的加工配送情形

對于2個供應(yīng)商、2個制造商和2個客戶的情形，根據(jù)假設(shè)4：在傳統(tǒng)加工模式下，制造商m(m=1,2)只加工客戶i=m的訂單Ji，加工配送流程圖如圖3(a)所示；在分享加工模式下，客戶i(i=1,2)的訂單Ji由原材料供應(yīng)商i運送給制造商1和制造商2分別進(jìn)行加工，完工后成品再交付給客戶i，加工配送流程如圖3(b)所示。

圖3 雙客戶時兩種加工模式下的訂單加工配送流程Fig.3 Processing and distribution flow in the two manufacturing modes with two customer orders

根據(jù)假設(shè)(3)，有L11

3.1 FCFS規(guī)則及目標(biāo)函數(shù)分析

基于FCFS規(guī)則的加工策略如下：

Step 1 將訂單Ji(i=1,2)拆分成2個子訂單Ji1,Ji2，其原材料同時從供應(yīng)商i處運往2個制造商處。

Step 2 由于L11

Step 3 制造商1完成子訂單J11后，再加工由供應(yīng)商2提供原材料的客戶2的子訂單J21；同理，制造商2完成子訂單J22后，再加工由供應(yīng)商1提供原材料的客戶1的子訂單J12。

給出兩種加工模式下基于制造商上述加工策略的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式?？蛻?的訂單類似于單客戶的加工配送情形，傳統(tǒng)加工模式和分享加工模式下客戶1的訂單完工時間分別如式(4)和(5)所示。

C11=L11+p1+H11

(4)

C21=max{L11+p11+t11+H11,

L12+p12+t12+H21}

(5)

在式(5)中根據(jù)FCFS規(guī)則加工策略的Step 2，制造商1先加工客戶1的子訂單J11，J11的等待時間為0，即t11=0。對于客戶1的另一個子訂單J12，J12的等待時間t12取值存在兩種情形：

情形1：子訂單J12在制造商2加工完成J22后到達(dá)制造商2處，即L12>L22+p22，則子訂單J12無需等待，即t12=0。此時，J12的完成時間為L12+p12+H21。

情形2：子訂單J12在制造商2加工完成J22前到達(dá)制造商2處，即L12≤L22+p22，則子訂單J12需等待的時間為t12=L22+p22-L12。此時，J12的完成時間為L12+p12+t12+H21=L22+p22+p12+H21。

上述兩種情形下訂單J1的完工時間整理如下：

(6)

類似定理1的分析，雙客戶情形下的最優(yōu)分享策略：

當(dāng)L12>L22+p22時，L11+p11+H11=L12+p12+H21或p11=(p1+Δ1)/2，p12=(p1-Δ1)/2；當(dāng)L12≤L22+p22時，有L11+p11+H11=L22+p22+p12+H21。

同理，得到客戶2的訂單J2在兩種加工模式下的完成時間，如式(7)和(8)所示。

C12=L22+p2+H22

(7)

(8)

對于傳統(tǒng)加工模式，2個客戶的訂單J1和J2的總完工時間為

C11+C12=L11+p1+H11+L22+p2+H22

(9)

3.2 分享加工模式的占優(yōu)情形分析

首先，證明同時拆分加工2個客戶的訂單時，不存在分享加工策略占優(yōu)的情形。

定理2：同時拆分客戶1和客戶2的訂單J1,J2給兩個制造商加工時，不存在分享方案優(yōu)于傳統(tǒng)加工方案的情形。

證明：反證法。兩個訂單同時分享(p11,p12,p21,p22>0)時，假設(shè)存在分享加工方案優(yōu)于傳統(tǒng)加工方案的情形，即滿足不等式C21+C22L22+p22的情形。此時，訂單J1的子訂單J12在制造商2處加工無需等待。如果L11+p11+H11>L12+p12+H21，則減小p11、增大p12可以降低分享加工模式下的C21。因此，假設(shè)L11+p11+H11≤L12+p12+H21。同理分析式(6)中L12≤L22+p22的情形以及式(8)，可將式(6)和(8)簡化為

(10)

(11)

根據(jù)式(9)，傳統(tǒng)加工模式下的訂單總完工時間為C11+C12=L11+p1+H11+L22+p2+H22。聯(lián)立式(10)和(11)，分4種情形證明假設(shè)C21+C22

情形1：L12>L22+p22且L21>L11+p11。

在情形1下，分享加工模式對應(yīng)的目標(biāo)值C21+C22滿足：

C21+C22=L12+p12+H21+L21+p21+H12>

(L22+p22)+p12+H21+(L11+p11)+p21+

H12=p1+p2+L22+H21+L11+H12>

L11+p1+H11+L22+p2+H22=C11+C12

(12)

式(12)的第1個不等式是依據(jù)該情形的條件L12>L22+p22以及L21>L11+p11，第2個不等式是依據(jù)假設(shè)3推導(dǎo)出的H21>H11與H12>H22。式(12)與假設(shè)C21+C22

情形2：L12>L22+p22且L21≤L11+p11。在該情形下，分享加工模式對應(yīng)的目標(biāo)值滿足：

C21+C22=L12+p12+H21+L11+p11+p21+

H12>(L22+p22)+p12+H21+L11+p11+

p21+H12=p1+p2+L22+H21+L11+H12>

L11+p1+H11+L22+p2+H22=C11+C12

(13)

式(13)第一個不等式依據(jù)該情形的條件L12>L22+p22，第二個不等式依據(jù)假設(shè)(3)的H21>H11與H12>H22。式(13)與假設(shè)C21+C22

情形3：L12≤L22+p22且L21>L11+p11。類似地，結(jié)合該情形條件L21>L11+p11以及假設(shè)(3)的H21>H11與H12>H22，有

C21+C22=L22+p22+p12+H21+L21+p21+

H12>L22+p22+p12+H21+(L11+p11)+

p21+H12=p1+p2+L22+H21+L11+H12>

L11+p1+H11+L22+p2+H22=C11+C12

(14)

式(14)與假設(shè)C21+C22

情形4：L12≤L22+p22且L21≤L11+p11。在該情形下，分享加工模式對應(yīng)的目標(biāo)值滿足：

C21+C22=L22+p22+p12+H21+L11+p11+

p21+H12=p1+p2+L22+H21+L11+H12>

L11+p1+H11+L22+p2+H22=C11+C12

(15)

式(15)與假設(shè)C21+C22

基于定理2的結(jié)論，分析僅分享1個客戶訂單情形下的最優(yōu)分享策略優(yōu)于傳統(tǒng)加工模式的充分條件。

定理3：若僅有1個客戶的訂單J1或J2分享加工，則該訂單的最優(yōu)分享策略優(yōu)于傳統(tǒng)加工模式的充分條件為

情形1：分享訂單J1，p1>Δ1并且p2

情形2：分享訂單J2，p2>Δ2并且p1

證明：

情形1：客戶1的訂單J1采用分享加工，客戶2的訂單J2完全由制造商2加工。結(jié)合L22Δ1。只需證明訂單J1在最優(yōu)分享策略下的完工時間C21小于傳統(tǒng)加工模式下的完工時間C11。由式(4)可知C11=L11+p1+H11；對于C21，因為訂單J2不拆分加工，式(6)中的p22=p2。討論式(6)中的以下兩種情形：

情形1.1：當(dāng)L12>L22+p2時，C21=L11+p11+H11=L12+p12+H21Δ1保證了滿足L11+p11+H11=L12+p12+H21的解的存在，即p11=(p1+Δ1)/2，p12=(p1-Δ1)/2。

情形1.2：當(dāng)L12≤L22+p2時，類似地，C21=L11+p11+H11=L22+p2+p12+H210，結(jié)合p11=p1-p12，可推導(dǎo)出p2

綜上，只要p1>Δ1且p2

情形2：客戶2的訂單J2采用分享加工而客戶1的訂單J1完全由制造商1加工。該情形的分析與情形1完全對稱。首先，訂單J1的完工時間始終為C11=C21=L11+p1+H11；其次，由定理1可知分享加工訂單J2要求滿足p2>Δ2；然后，因為訂單J1不拆分加工，式(8)中的p11=p1?；谂c情形1類似的分析可以得出，當(dāng)p2>Δ2且p1

舉例解釋定理3的情形1，如圖4所示。Δ1=(L12+H21)-(L11+H11)=7，訂單J1的加工時間p1=46，訂單J2的加工時間p2=40。

圖4 定理3中情形1的例子Fig.4 Example of case 1 in theorem 3

容易驗證滿足情形1的p1>Δ1且p2

上述3個定理的結(jié)論將給予整個制造供應(yīng)鏈協(xié)同調(diào)度管理一定的啟示。首先，對于某客戶訂單，只有當(dāng)訂單的產(chǎn)品需求量相對較大時，距離較遠(yuǎn)的制造商才能參與訂單加工，即采用多個制造商分享加工的方案才是有利可圖的；其次，考慮多個客戶訂單時，訂單的分享加工策略與制造網(wǎng)絡(luò)中各成員間的距離關(guān)系較為復(fù)雜。從定理1和3的結(jié)論可以看出，只有在訂單大小滿足一定條件時，才能設(shè)計合理的訂單拆分方案使其交貨速度快于傳統(tǒng)加工模式。

4 結(jié) 語

在分享經(jīng)濟(jì)環(huán)境下，制造供應(yīng)鏈通過共享平臺可以分享不同制造企業(yè)的加工資源，提高對客戶需求的響應(yīng)速度和客戶滿意度。研究由供應(yīng)商、制造商和客戶組成的供應(yīng)鏈加工配送網(wǎng)絡(luò)，著重考察分享加工模式與傳統(tǒng)加工模式對客戶訂單響應(yīng)速度的影響。給出了1個供應(yīng)商、2個制造商與1客戶供應(yīng)鏈情形下，分享加工模式優(yōu)于傳統(tǒng)加工模式的條件；對于2個供應(yīng)商、2個制造商與2個客戶的供應(yīng)鏈情形，針對制造商采用先到先服務(wù)加工規(guī)則，指出不能通過同時拆分加工兩個客戶的訂單來改進(jìn)傳統(tǒng)加工模式的效果，針對只有1個客戶訂單被拆分加工的情形給出了分享加工模式占優(yōu)的充分條件。本文著重關(guān)注供應(yīng)鏈的響應(yīng)速度指標(biāo)，但實際上，制造成本也是一個非常重要的度量指標(biāo)。因此，后續(xù)研究將進(jìn)一步考慮同時優(yōu)化供應(yīng)鏈響應(yīng)速度和生產(chǎn)成本的分享加工策略設(shè)計，此外可將雙客戶的情形拓展至考慮更多客戶的一般情形。