張斯，張必山*，馬忠軍

（1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004；2.廣西密碼學(xué)與信息安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（桂林電子科技大學(xué)），廣西 桂林 541004）（?通信作者電子郵箱bshzhang30@sina.com）

傳染病在多層星型耦合網(wǎng)絡(luò)上的資源控制

張斯1，張必山1*，馬忠軍2

（1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004；2.廣西密碼學(xué)與信息安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（桂林電子科技大學(xué)），廣西 桂林 541004）（?通信作者電子郵箱bshzhang30@sina.com）

針對(duì)已有傳染病傳播模型沒有考慮到具體的特殊網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與資源因素對(duì)控制疫情爆發(fā)的影響與作用機(jī)制，結(jié)合雙層星型耦合網(wǎng)絡(luò)與傳染病SIS模型，建立了一個(gè)離散動(dòng)態(tài)傳播模型。該模型利用星型網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特性與平均度概念推導(dǎo)各層感染人口比例關(guān)于資源及各種參數(shù)的離散方程。理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，多層星型耦合傳染病傳播網(wǎng)絡(luò)中存在資源閾值，當(dāng)節(jié)點(diǎn)為葉子節(jié)點(diǎn)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)存在兩個(gè)資源閾值，增加資源量投入以抑制傳染病傳播只在兩個(gè)資源閾值間有效，此時(shí)傳染病感染人口比例隨著投入資源的增加而減少；當(dāng)節(jié)點(diǎn)為中心節(jié)點(diǎn)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中的資源閾值隨其他層感染人口比例的增大由兩個(gè)減少至一個(gè)。此外，層間中心節(jié)點(diǎn)耦合強(qiáng)度、層間葉子節(jié)點(diǎn)耦合強(qiáng)度對(duì)疫情的控制效果隨著節(jié)點(diǎn)所處位置的不同而不同。

多層網(wǎng)絡(luò)；資源控制；傳染?。籗IS模型；星型網(wǎng)絡(luò)

0 引言

信息和病毒的擴(kuò)散、傳播與控制作為當(dāng)前多層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的主要研究方向之一，仍然是一個(gè)較新的研究領(lǐng)域，存在著許多具有挑戰(zhàn)性的研究課題。到目前為止，大多數(shù)有關(guān)傳染病的研究都集中在單一或單鏈路網(wǎng)絡(luò)［1-9］，這顯然是一種簡化，因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)過程中，傳染病往往是多渠道傳染的。因此，隨著具有允許節(jié)點(diǎn)間各種可能的連接以及各層網(wǎng)絡(luò)之間存在交互的固有特性的多層網(wǎng)絡(luò)這一概念的提出，多層網(wǎng)絡(luò)逐漸被應(yīng)用于研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的傳播動(dòng)力學(xué)，為研究疾病的傳播提供了一種更自然的方式［10-13］。

如今，多層網(wǎng)絡(luò)上有關(guān)傳染病傳播的研究工作已有不少。Chang等［14］從不同程度和狀態(tài)的個(gè)體中對(duì)感染任意個(gè)體的可能性作出了流行率的明確分析，并得出了網(wǎng)絡(luò)上離散時(shí)間感染易感性流行病的閾值，將其理論結(jié)果與蒙特卡洛模擬的結(jié)果進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)這兩種方法獲得的結(jié)果具有很好的一致性。此外，他們還發(fā)現(xiàn)感染可能性和流行率較大時(shí)，易感人群相較于被感染人群，會(huì)被更多的被感染鄰居包圍，而這是在連續(xù)時(shí)間的易感性感染易感流行病動(dòng)態(tài)中尚未發(fā)現(xiàn)的。程曉濤等［15］根據(jù)節(jié)點(diǎn)周邊鄰居節(jié)點(diǎn)的感染情況和權(quán)威的感染概率的計(jì)算，通過采集真實(shí)的微博網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，從而驗(yàn)證了相關(guān)管控措施對(duì)傳播效果的影響。葉曉夢等［16］建立了一個(gè)充分考慮免疫接種概率且具有階段免疫特點(diǎn)的SIRS（Susceptible-Infected-Recovered-Susceptible）計(jì)算機(jī)病毒傳播模型，并通過數(shù)值模擬證明了提高免疫接種率和設(shè)置合理的閾值可以有效抑制網(wǎng)絡(luò)中的病毒流行。Velásquez-Rojas等［17］研究了多元網(wǎng)絡(luò)中意見形成和疾病傳播過程是如何相互影響的。Jovanovski等［18］建立了一個(gè)多重傳染病SIS（Susceptible-Infected-Susceptible）模型，將不同的傳播渠道和疾病整合到一個(gè)多層網(wǎng)絡(luò)中，發(fā)現(xiàn)流行閾值與網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溆嘘P(guān)。Chen等［19］證明了有效分配醫(yī)療資源對(duì)控制流行病的傳播至關(guān)重要。馮麗萍等［20］提出了一種改進(jìn)的具有預(yù)先免疫措施的SIR（Susceptible-Infected-Recovered）計(jì)算機(jī)病毒傳播模型，發(fā)現(xiàn)提高預(yù)先免疫率和控制節(jié)點(diǎn)流動(dòng)可以有效控制病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播。Shai等［21］研究了耦合網(wǎng)絡(luò)上有約束SIR過程模型，模型中的節(jié)點(diǎn)被限制與最大數(shù)量的鄰居進(jìn)行交互。他們發(fā)現(xiàn)在沒有資源約束的情況下，正相關(guān)耦合比負(fù)相關(guān)耦合導(dǎo)致更低的流行閾值；然而，在存在約束的情況下，前者的擴(kuò)散效率低于后者。Chen等［22］假設(shè)恢復(fù)率與每個(gè)受感染個(gè)體的平均資源呈正相關(guān)，并觀察到只有當(dāng)資源量超過臨界值時(shí)，才能有效根除疾病爆發(fā)。B?ttcher等［23］認(rèn)為病人的康復(fù)取決于健康人群所產(chǎn)生的治療資源的可用性，他們發(fā)現(xiàn)，如果康復(fù)成本超過某一臨界值，流行病就會(huì)失控并迅速蔓延。

上述研究都是在多層網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上對(duì)傳染病的傳播動(dòng)態(tài)進(jìn)行的研究，對(duì)傳染病的爆發(fā)控制探討得較少，也沒有結(jié)合特殊的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，而現(xiàn)實(shí)世界中的疫情控制問題需要結(jié)合具體的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)以及相應(yīng)的控制機(jī)制才能有效地進(jìn)行研究并解決。就以資源作為控制機(jī)制而言，當(dāng)疫情開始蔓延時(shí)，若沒有投入足夠的資源就可能導(dǎo)致疫情的大規(guī)模爆發(fā)，但若超出資源閾值，則會(huì)造成不必要的資源損失，也不利于疫情后人們正常生活水平的快速恢復(fù)，因此找出資源閾值并通過資源閾值設(shè)計(jì)最優(yōu)策略，最大限度地抑制疫情爆發(fā)，使疫情快速最小化是十分有必要的。受文獻(xiàn)［16，24］研究的啟發(fā)，本文通過考慮兩個(gè)中心節(jié)點(diǎn)代表兩個(gè)中心城市、葉子節(jié)點(diǎn)代表縣城的雙層星型耦合網(wǎng)絡(luò)，并與傳染病SIS模型相結(jié)合建立了相應(yīng)的傳染病傳播模型，進(jìn)一步揭示了傳染病在城市中心和周邊地區(qū)的傳播擴(kuò)散過程以及資源控制規(guī)律，這將對(duì)政府制定用于疫情控制的政策具有一定的參考意義。

1 模型建立

SIS模型假設(shè)源頭的感染個(gè)體通過一定的概率將傳染病傳給易感個(gè)體，同時(shí)感染個(gè)體以一定的概率恢復(fù)為易感狀態(tài)；另一方面，易感人群一旦被感染，就又成為新的感染源。為揭示多層星型耦合網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上傳染病傳播的資源控制機(jī)制，本文建立了如圖1所示的由傳染病SIS模型與兩層星型耦合網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的傳染病傳播模型。圖中節(jié)點(diǎn)之間的鏈路表示疾病的傳播渠道，黑色虛線表示層間對(duì)應(yīng)葉子節(jié)點(diǎn)耦合，灰色實(shí)線表示層間中心節(jié)點(diǎn)耦合，黑色實(shí)線代表層內(nèi)節(jié)點(diǎn)耦合，變量、、分別代表傳染病在層間中心節(jié)點(diǎn)間、層內(nèi)節(jié)點(diǎn)間、層間葉子節(jié)點(diǎn)間的傳播概率，為模型中任何節(jié)點(diǎn)從已感染狀態(tài)恢復(fù)到易感狀態(tài)的概率。模型中任何節(jié)點(diǎn)都可在易感狀態(tài)S和已感染狀態(tài)I之間進(jìn)行切換，在任意時(shí)刻，S狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)可以同時(shí)受到層內(nèi)和層間已感染節(jié)點(diǎn)的感染，已感染節(jié)點(diǎn)也可以恢復(fù)到易感狀態(tài)，直至所有節(jié)點(diǎn)全部恢復(fù)才會(huì)停止傳染病的進(jìn)一步擴(kuò)散。特別地，不同于經(jīng)典SIS模型中將定義為常數(shù)，本文將定義為隨時(shí)間變化且受每個(gè)已感染節(jié)點(diǎn)所獲得的平均資源R影響的參數(shù)［24］。

圖1 雙層星型傳染病傳播耦合網(wǎng)絡(luò)Fig. 1 Two-layer star coupling network of infectious disease spread

2 模型分析

2.1 節(jié)點(diǎn)是葉子節(jié)點(diǎn)

若將A、B兩層網(wǎng)絡(luò)模擬為兩個(gè)地區(qū)，則這兩個(gè)地區(qū)的感染人群數(shù)量可分別定義為總?cè)丝诘囊徊糠郑矗?/p>

再運(yùn)用平均場方法得出式（8）：

此外，由于一個(gè)國家用于控制疫情的資源是有限的，因此，R應(yīng)與該國在控制傳染病中的實(shí)際財(cái)務(wù)能力有關(guān)。針對(duì)這個(gè)情況，本文假設(shè)R為一個(gè)國家的財(cái)政收入的百分比，再根據(jù)文獻(xiàn)［22，24］，則各地區(qū)恢復(fù)概率的函數(shù)形式定義如下：

結(jié)合式（1）～式（13），可以得出：

再根據(jù)式（14），可以推出：

由于R是資源比率，因此當(dāng)它取值足夠小時(shí)，可進(jìn)一步推出式（17）：

2.2 節(jié)點(diǎn)為中心節(jié)點(diǎn)

進(jìn)一步地，可以得出：

從而推出：

則可以進(jìn)一步得出：

3 數(shù)值模擬與結(jié)果分析

3.1 所測節(jié)點(diǎn)為葉子節(jié)點(diǎn)的模擬仿真

3.1.1 控制傳染病爆發(fā)的臨界資源閾值

由此，可以得出以下結(jié)論：Rc1的取值與無關(guān)，Rc2的取值有關(guān)，越小，Rc2越??；當(dāng)且僅當(dāng)R大于Rc1時(shí)，R、對(duì)才產(chǎn)生影響，此時(shí)隨著R的增加而單調(diào)遞減，且越小，對(duì)的控制效果越好。

3.1.2 耦合強(qiáng)度與資源數(shù)量對(duì)感染人口的影響

圖2 隨的演化趨勢（為葉子節(jié)點(diǎn)）Fig. 2 Trend of varying with （ is the leaf node）

圖3 不同時(shí)隨的演化趨勢（為葉子節(jié)點(diǎn)）Fig. 3 Trend of varying with when is different （ is the leaf node）

當(dāng)R與一定時(shí)，與、有關(guān)。取為0.1、0.3、0.6，再分別取R為0.1、0.3、0.4、0.5、0.7、1.0，并變化，得到的如圖4所示。由圖4（a）可知，除R為0.1時(shí)保持不變，其他R值下的均呈單調(diào)遞增趨勢，其中R為0.4時(shí)的增長幅度最大，表明此時(shí)的變動(dòng)對(duì)的影響最大。對(duì)比圖4可以發(fā)現(xiàn)，無論、為何值，R為0.1時(shí)的依舊保持不變；隨著的增加，R為0.3、0.4時(shí)的處于穩(wěn)定狀態(tài)所需要的值都越來越小，且處于穩(wěn)定狀態(tài)的值都越來越接近1，不同的是R為0.4時(shí)的在達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)之前的增長幅度遠(yuǎn)大于R為0.3時(shí)的；R為0.5、0.7、1.0時(shí)的由單調(diào)遞增逐漸形成先單調(diào)遞增后趨于穩(wěn)定的變化趨勢，并且處于穩(wěn)定狀態(tài)所需要的值都越來越小。另外，通過對(duì)比與在其他參數(shù)相同的條件下對(duì)的影響，發(fā)現(xiàn)在對(duì)的增長幅度的影響中大于。此外，通過對(duì)比與在其他參數(shù)相同的條件下對(duì)的影響，發(fā)現(xiàn)在對(duì)的增長幅度的影響中大于。

圖4 不同時(shí)隨的演化趨勢（為葉子節(jié)點(diǎn)）Fig. 4 Trend of varying with when is different （ is the leaf node）

3.2 所測節(jié)點(diǎn)為中心節(jié)點(diǎn)的模擬仿真

3.2.1 控制傳染病爆發(fā)的臨界資源閾值

圖5 隨的演化趨勢（為中心節(jié)點(diǎn)）Fig. 5 Trend of varying with （ is the central node）

3.2.2 耦合強(qiáng)度與資源數(shù)量對(duì)感染人口的影響

當(dāng)R與一定時(shí)，與、有關(guān)。觀察圖7（a）可以發(fā)現(xiàn)，除R為0.1時(shí)的保持不變，表明此時(shí)的變動(dòng)不影響，其他R值下的均呈單調(diào)遞增趨勢，其中R為0.4時(shí)的增長幅度最大，表明此時(shí)的變動(dòng)對(duì)的影響最大。

圖6 不同時(shí)隨的演化趨勢（為中心節(jié)點(diǎn)）Fig. 6 Trend of varying with when is different （ is the central node）

圖7 不同時(shí)隨的演化趨勢（為中心節(jié)點(diǎn)）Fig. 7 Trend of varying with when is different （ is the central node）

4 結(jié)語

與以往只考慮單層網(wǎng)絡(luò)而不考慮資源因素的研究不同，本文不僅考慮了兩層星型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，還考慮了控制疫情的資源量投入。根據(jù)本文對(duì)葉子節(jié)點(diǎn)、中心節(jié)點(diǎn)問題的研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)疫情爆發(fā)點(diǎn)為本地區(qū)某一縣城時(shí)，由于其他地區(qū)的疫情控制受其當(dāng)?shù)卣墓茌?，不在本地區(qū)控制范圍之內(nèi)，因此本地區(qū)快速控制疫情的策略為：首先增加本市的資源投入，其次采取措施減少縣城之間的傳播渠道，最后減少兩地區(qū)中心城市的來往。當(dāng)疫情爆發(fā)點(diǎn)為中心節(jié)點(diǎn)也就是本地區(qū)中心城市時(shí)，本地區(qū)快速控制疫情的策略為：首先增加本市的資源投入，其次采取措施減少兩地區(qū)中心城市的來往，最后減少縣城之間的傳播渠道。

同樣重要的是，通過對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果的對(duì)比與分析可以發(fā)現(xiàn)，無論傳染點(diǎn)處于葉子節(jié)點(diǎn)還是中心節(jié)點(diǎn)，較小的資源閾值均為0.3，但此時(shí)，無論其他層感染人口、層間中心節(jié)點(diǎn)耦合強(qiáng)度、層間葉子節(jié)點(diǎn)耦合強(qiáng)度為何值，對(duì)本層感染人口的控制效果都十分微弱。而當(dāng)資源量為0.4時(shí)，通過對(duì)層間中心節(jié)點(diǎn)耦合強(qiáng)度、層間葉子節(jié)點(diǎn)耦合強(qiáng)度的調(diào)節(jié)，也就是對(duì)中心城市之間、縣城之間的交通進(jìn)行調(diào)節(jié)，就可以很好地控制疫情，節(jié)約了寶貴的社會(huì)和醫(yī)療資源，這對(duì)政府控制疫情具有重要的參考意義。

雖然本文得到的結(jié)果都是定性的，與遵循網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特有性質(zhì)的參數(shù)選擇無關(guān)，但模型在許多方面都作了簡化。例如，在更現(xiàn)實(shí)的情況下，傳染病會(huì)在兩層以上的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行傳播，而本文的模型只考慮了兩層網(wǎng)絡(luò)；不同的子網(wǎng)絡(luò)會(huì)有不同的節(jié)點(diǎn)數(shù)，但本文的模型假設(shè)兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)數(shù)相同。另外，本文模型忽略了噪聲的影響，而噪聲能引起動(dòng)力系統(tǒng)不同狀態(tài)之間的隨機(jī)切換［25-26］。而且由于傳播因素或環(huán)境的不確定性，在傳染病傳播過程中噪聲是不可避免的。因此，在考慮資源投入因素的情況下，噪聲對(duì)傳染病傳播的影響是一個(gè)值得研究的課題。

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Resource control of infectious disease in multi-layer star coupling network

ZHANG Si1， ZHANG Bishan1*， MA Zhongjun2

（1.College of Mathematics and Computing Science，Guilin University of Electronic Technology，Guilin Guangxi541004，China；2.Guangxi Key Laboratory of Cryptography and Information Security（Guilin University of Electronic Technology），Guilin Guangxi541004，China）

Concerning that the existing infectious disease spread model do not consider the influence and mechanism of specific special network structure and resource factors on controlling infectious disease outbreak， a discrete dynamic propagation model was established by combining the two-layer star coupling network with the Susceptible-Infected-Susceptible （SIS） model of infectious disease. In this model，the structural characteristics and the concept of average degree of the star network were used to derive the discrete equations of the proportion of infected population in every layer with resources and various parameters. Theory analysis and simulation experimental results indicate that， the multi-layer star coupling infectious disease spread network has resource thresholds. When the node is a leaf node， the network has two resource thresholds. Increasing the number of resources to control the spread of infectious diseases is only effective between the two resource thresholds. At this time， the proportion of population infected with infectious diseases decreases with the increase of resources invested. When the node is a central node，the resource threshold in the network reduces from two to one with the increase of proportion of infected population in other layers. Additionally， the control effect of the coupling strength of the inter-layer central node and the inter-layer leaf node on the epidemic varies with the location of the nodes.

multi-layer network; resource control; infectious disease; Susceptible-Infected-Susceptible (SIS) model; star network

TP391.9；O231.5

A

1001-9081（2022）05-1547-07

10.11772/j.issn.1001-9081.2021030491

2021?03?31；

2021?07?15；

2021?07?15。

廣西科技計(jì)劃項(xiàng)目（桂科AD20297006）；廣西密碼學(xué)與信息安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室研究課題（GCIS202129）。

張斯（1994—），女，四川達(dá)州人，碩士研究生，主要研究方向：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播動(dòng)力學(xué)； 張必山（1969—），男，四川達(dá)州人，副教授，碩士，主要研究方向：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播動(dòng)力學(xué)； 馬忠軍（1973—），男，湖南隆回人，教授，博士，主要研究方向：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的群體動(dòng)力學(xué)。

This work is partially supported by Guangxi Science and Technology Program （Guike AD20297006）， Research Project of Guangxi Key Laboratory of Cryptography and Information Security （GCIS202129）.

ZHANG Si， born in 1994， M. S. candidate. Her research interests include propagation dynamics on complex networks.

ZHANG Bishan， born in 1969， M. S.， associate professor. His research interests include propagation dynamics on complex networks.

MA Zhongjun， born in 1973， Ph. D.， professor. His research interests include group dynamics on complex networks.