楊旭鋒，劉永壽

（1. 西南交通大學(xué) 機械工程學(xué)院，四川 成都；2. 西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑，陜西 西安）

一 引言

有限元法是一種求解連續(xù)復(fù)雜結(jié)構(gòu)響應(yīng)的數(shù)值計算方法，其廣泛應(yīng)用在航空航天、土木工程、軌道車輛、水利工程、生物力學(xué)、醫(yī)療機械等多個領(lǐng)域[1-2]。目前我國工業(yè)領(lǐng)域的大型企業(yè)，都已將計算機輔助分析（CAE）仿真分析作為結(jié)構(gòu)設(shè)計人員的必備技能，強度校核也早已成為設(shè)計人員開展設(shè)計的必經(jīng)階段。工業(yè)4.0 時代，頻繁提到的高精尖技術(shù)如“數(shù)字孿生”“在線監(jiān)測”“故障診斷”“剩余壽命評估”“輕量化設(shè)計”“可靠性設(shè)計”等，無一不以有限元法為基礎(chǔ)[3-4]。目前，我國大部分高等院校的土木、機械、力學(xué)等專業(yè)，都已將有限元法作為本科生的專業(yè)必修課[5-6]。有限元法也承載著助力學(xué)生將已有的數(shù)力學(xué)知識融會貫通并解決復(fù)雜工程問題的使命[7]。

二 問題描述

西南交通大學(xué)機械工程學(xué)院作為一家具有濃郁交通特色的工科類院校，考慮到有限元法在軌道交通、汽車、工程機械、工業(yè)機器人、機床等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，為本科生開設(shè)了《有限元法及應(yīng)用》的課程。目前該課程學(xué)時數(shù)目為32，為本科生專業(yè)必修課?？紤]到學(xué)時數(shù)目的限制，在開設(shè)之初，側(cè)重于有限元基礎(chǔ)理論的講解。這門課為學(xué)生講解了四方面內(nèi)容[8]：桁架和鋼架有限元分析、彈性力學(xué)基礎(chǔ)知識、連續(xù)體有限元分析和等參單元。理論內(nèi)容綜合涉及了大學(xué)的多個數(shù)學(xué)力學(xué)知識，例如多元函數(shù)的偏微分方程、矩陣論、數(shù)值計算方法、材料力學(xué)、彈性力學(xué)等。部分內(nèi)容涉及到研究生才學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，如基于Lagrange 基函數(shù)構(gòu)造復(fù)雜單元的形函數(shù)、高斯數(shù)值積分、基于最小二乘理論進(jìn)行應(yīng)力磨平等。涉及面廣，內(nèi)容晦澀難懂。單純數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)、復(fù)雜理論的講解，學(xué)生不免感到味同嚼蠟、學(xué)習(xí)興趣難以調(diào)動。同時，重理論、輕應(yīng)用的教學(xué)模式，降低了學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實際工程問題的能力。

三 教學(xué)改革實踐

為了提升課程的教學(xué)質(zhì)量，更好地培養(yǎng)本科生利用數(shù)學(xué)知識，分析和解決實際問題的能力，本文基于作者在《有限元法及應(yīng)用》教學(xué)中的經(jīng)驗，開展了一系列的有限元課程教改探索。

在理論講解的同時，輔助以計算機模擬，可以幫助學(xué)生理解艱深的數(shù)學(xué)知識、增強學(xué)生解決實際問題的能力。為此，課程團(tuán)隊針對課程的幾大塊內(nèi)容，設(shè)計合理的計算機模擬實驗，充分將有限元計算機模擬融入到有限元理論教學(xué)中。同時，對原有教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了精煉，探索了線上/ 線下混合教學(xué)在課程教學(xué)中的應(yīng)用，并引入“學(xué)為中心”的先進(jìn)教學(xué)模式，最大限度激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)生的接受程度。

（一） 教學(xué)內(nèi)容的精煉

由于本門課程只有32 學(xué)時，為了增加對學(xué)生利用仿真軟件解決工程問題能力的培養(yǎng)，需要對原有的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行壓縮。壓縮的基本原則是，在保留有限元理論全貌的前提下，刪減細(xì)枝末節(jié)的知識點。以此原則為指導(dǎo)，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了精煉，結(jié)果見表1。（1）新的教學(xué)內(nèi)容基本刪除或弱化了三維空間問題的知識點，重在講解簡單的二維平面問題；而空間問題重在二維向三維的規(guī)律性推演。（2）新的教學(xué)內(nèi)容刪除或弱化了彈性力學(xué)基礎(chǔ)知識和等參單元，因其涉及的數(shù)學(xué)知識太過艱深，且與工程應(yīng)用偏離較大。（3）保留的內(nèi)容基本涵蓋了有限元中的矩陣運算、單元剛度矩陣組裝等關(guān)鍵特點，學(xué)生通過精簡知識的學(xué)習(xí)，仍然能夠理解有限元法的求解過程，仍然能夠利用數(shù)學(xué)知識完成簡單平面問題的解題。

表1 教學(xué)內(nèi)容的精煉

（二） 理論驗證

通過理論的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)對有限元分析的基本概念、建模、求解有充分的認(rèn)識。但是，這些內(nèi)容涉及矩陣分析，公式推導(dǎo)仍然很多。僅僅依靠教師一言堂式的講解，難以觸及有限元分析的本質(zhì)。為此，基于Matlab，設(shè)計完整的桁架、鋼架有限元、平面應(yīng)力問題的數(shù)值模擬實驗，對理論知識進(jìn)行驗證。Matlab 是專門針對矩陣運算而開發(fā)的軟件，具有強大的矩陣運算功能。因此，非常適合有限元理論的輔助學(xué)習(xí)。

對于桿系結(jié)構(gòu)，從單元剛度矩陣的建立、方向余弦矩陣的建立、矩陣的分塊到總體剛度矩陣的組裝、求逆、內(nèi)力和應(yīng)力的求解、分析結(jié)果的可視化等一套完整的流程，全部采用Matlab 實現(xiàn)，一步一步給出有限元分析的結(jié)果。從而讓學(xué)生徹底掌握桿系結(jié)構(gòu)有限元分析的基本流程。對于平面應(yīng)力問題，編寫Matlab 程序，展示三角形單元和四邊形單元的劃分、節(jié)點和單元的存儲、應(yīng)力位移和應(yīng)變?nèi)叩南嗷リP(guān)系、單元剛度矩陣的建立（積分方式推導(dǎo)）、總體剛度矩陣的組裝、求逆、位移和應(yīng)力的求解、主應(yīng)力和主方向的求解、分析結(jié)果的可視化等關(guān)鍵步驟，每一步都將結(jié)果呈現(xiàn)出來，從而讓學(xué)生徹底掌握連續(xù)體有限元分析的基本流程。

（三） 基于Ansys 的有限元模擬

Matlab 只適用于演示簡單的有限元算例，對于理論的深入理解有幫助。但是，對于解決復(fù)雜工程問題卻顯得力不從心。為此，在本課程教學(xué)過程中，作者設(shè)計了多個基于Ansys 軟件的工程問題求解案例，從而加強學(xué)生對專業(yè)有限元分析軟件的學(xué)習(xí)。

本門課在原有理論內(nèi)容的基礎(chǔ)上，增設(shè)了Ansys 軟件的講解的內(nèi)容，共計12 節(jié)。這些內(nèi)容包括Ansys 軟件前處理、求解和后處理，以及多個工程案例講解。表2 給出了Ansys 軟件入門的講解內(nèi)容與課時安排。在工程案例中，精選了空間鋼架、桁架結(jié)構(gòu)、板殼結(jié)構(gòu)、連續(xù)體結(jié)構(gòu)、接觸非線性結(jié)構(gòu)靜強度分析等，如圖1 所示。這些案例，重在讓學(xué)生掌握結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的剖分、載荷與邊界條件的施加、不同類型結(jié)構(gòu)單元的選擇與結(jié)果處理等內(nèi)容。

表2 基于Ansys 的有限元模擬教學(xué)內(nèi)容

圖1 基于Ansys 的有限元模擬的工程案例

（四） 線上/線下的有機融合

由于本門課程只有32 學(xué)時，時間很短。課程內(nèi)容講完，所余課時較短，難以集中給出上機時間，讓學(xué)生完成所有案例。因此，作者嘗試了線上/線下教學(xué)模式的融合。受本次疫情期間的線上教學(xué)的啟發(fā)，錄制了上述計算機模擬教學(xué)的視頻，視頻經(jīng)壓縮后，上傳至百度云平臺。而后組織和管理學(xué)生利用課余時間開展線上視頻學(xué)習(xí)，并根據(jù)視頻中的操作流程，動手實現(xiàn)上述案例，并形成報告。

線下教學(xué)，進(jìn)行計算機模擬關(guān)鍵步驟的講解和學(xué)生所遇問題的答疑。同時為增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引入了“學(xué)為中心”的先進(jìn)教學(xué)模式。將學(xué)生分為多個小組，進(jìn)行分組合作性學(xué)習(xí)。每個小組重點學(xué)習(xí)單個計算機模擬實驗，按照線上視頻預(yù)先學(xué)習(xí)的操作步驟，開展翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)，課上由各個小組的推薦人員進(jìn)行有限元模擬實驗的操作演示教學(xué)。以此方式，既可以提高上課效率，又可以提高學(xué)生的參與度。

（五） 綜合評價機制

由于教學(xué)內(nèi)容的改進(jìn)，針對本課程的評價方法也應(yīng)當(dāng)相應(yīng)改變。課程團(tuán)隊研究了“線上+線下”“平時成績+ 期末成績”的雙重評價機制。其中平時成績占比50%，期末考試50%。為考核學(xué)生對Ansys 軟件的掌握情況，將學(xué)生利用課余時間對教學(xué)案例的實現(xiàn)情況進(jìn)行考核。同時布置了案例庫中未涉及的例子，作為平時作業(yè)。二者一起作為平時成績的考核內(nèi)容。為防止學(xué)生抄襲，特將有限元分析的各項輸入?yún)?shù)（載荷、彈性模量、關(guān)鍵幾何尺寸）與學(xué)生本人學(xué)號掛鉤，以保證每名學(xué)生都有單獨的題目。

四 結(jié)語

經(jīng)過一系列的改革，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣明顯提高，多數(shù)學(xué)生能夠在興趣的驅(qū)動下積極完成平時作業(yè)，學(xué)生的掛科率也在降低。從期末學(xué)生的教學(xué)評價結(jié)果來看，學(xué)生對本門課的滿意度相較往年也有顯著提高。從大四學(xué)生畢業(yè)后的反饋來看，多數(shù)學(xué)生表示本門課對其完成畢業(yè)設(shè)計——解決實際的工程問題，有較大幫助。盡管取得了一定成果，課程團(tuán)隊仍會在日后的教學(xué)活動中，積極總結(jié)、不斷聆聽、持續(xù)改進(jìn)，從而使該門課不斷適應(yīng)時代的發(fā)展。