白玫

[摘 要]二次函數(shù)題往往作為中考壓軸題出現(xiàn)，文章對二次函數(shù)常見中考題型及解題策略進行了研究，以為中考復習提供幫助。

[關鍵詞]中考;二次函數(shù);壓軸題;策略

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）08-0010-03

在初中，二次函數(shù)的概念主要是用變量來定義的，而在高中，二次函數(shù)的概念是用映射來定義的，這樣安排符合學生的認知特點。對初中生來說，僅記住二次函數(shù)的概念是不夠的，如果不能深刻理解，學習它的圖像和性質(zhì)就有困難。因此，我們要根據(jù)學生的認知狀況選擇教學策略，幫助學生總結(jié)和解決問題，提高學生分析和解決問題的能力，從而實現(xiàn)知識的正向遷移。

一、二次函數(shù)壓軸題呈現(xiàn)

[例1]（2020年昆明市中考數(shù)學壓軸題）如圖1，兩條拋物線[y1=-x2+4]，[y2=-15x2+bx+c]相交于A，B兩點，點A在x軸負半軸上，且為拋物線y2的最高點。

（1）求拋物線[y2]的解析式和點B的坐標;

（2）點C是拋物線[y1]上A，B之間的一點，過點C作x軸的垂線交[y2]于點D，當線段CD取最大值時，求[S△BCD]。

分析：（1）可先求出[A]點的坐標（-2，0），再求出[y2]的對稱軸[-b2a=-2]，然后代入一元二次函數(shù)[y2=-15x2+bx+c]，求出[y2]的解析式，將[y1]與[y2]聯(lián)立，求出點[B]坐標。（2）可以通過已知條件先將[S△BCD]表示出來，再通過點[C]和點[D]的橫坐標一樣，求出點[C]與點[D]間的距離[d]， 過點[B]作[CD]的垂線，交點為[E]，求出[BE]的距離，由[S△BCD=12CD·BE]即可求出[S△BCD]。

解答：（1）當[y1=0]時，即[-x2+4=0]，解得[x=±2]，

∵點[A]在[x]軸的負半軸上，∴A（-2，0），

∵[y2=-15x2+bx+c]的最高點為A（-2，0），

∴拋物線[y2]的解析式為[y2=-15x+22]，

即[y2=-15x2-45x-45]。

當[y1=y2]時，[-x2+4=-15x2-45x-45]，

解得[x1=3]，[x2=-2]（舍去），∴當[x=3]時，[y=-32+4=-5]，

∴[B（3，-5）]。

（2）如圖2，設點[C（m，-m2+4）]，則點[Dm，-15m2-45m-45]，

∵點C是拋物線[y1]上A，B之間的一點，

∴[-2

∴[CD=-m2+4--15m2-45m-45]

[=-45m2+45m+245]

當 [m=-452×-45=12] 時，[CD]有最大值，

[CD最大=-45×122+45×12+245=5]，

過點[B]作[BE⊥CD]，垂足為[E]，

∵點[C]的橫坐標為[12] ，點[B]的橫坐標為3，

∴[BE=3-12=52]，

∴[S△BCD=12CD?BE=12×5×52=254]。

[例2]如圖3，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像交坐標軸于A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）三點，點P是直線[BC]下方拋物線上一動點。

（1）求這個二次函數(shù)的解析式;

（2）動點[P]運動到什么位置時，[△PBC]面積最大，求出此時[P]點坐標和[△PBC]的最大面積。

分析：（1）由題意可知三個坐標點，分別設一次函數(shù)的解析式為[y1=ax+b]和二次函數(shù)的解析式為[y2=ax?+bx+c]，然后將坐標點代入解析式中，即可得到二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式。（2）過[P]點作垂直于[x]軸的直線，交[x]軸于點[E]，交直線[BC]于點[F]，[S△PCB=S△PFC+S△PFB=12PF·OB]，所以只需要求出[PF]，就可以求得[S△PCB]， 設點[F]的坐標為[（t， t-4）]，[PF]等于一次函數(shù)和二次函數(shù)之間的距離，求出[t]的取值就可以求出面積和坐標。

解答：（1）設拋物線的解析式為[y=ax2+bx+c]，把[A]、[B]、[C]三點的坐標代入可得 [a-b+c=0，16a+4b+c=0，c=-4，]解得 [a=1，b=-3，c=-4，] 可得拋物線的解析式為[y=x2-3x-4]。

（2）點[P]在拋物線上，可設[P（t， t2-3t-4）]，作[PE]∥y軸交[x]軸于點[E]，交直線[BC]于點[F]，如圖4，[B（4， 0）]，[C（0，-4）]，直線[BC]的解析式為[y=x-4]，[F（t， t-4）]，[PF=（t-4）-（t2-3t-4）=-t2+4t]，[S△PBC=S△PFC+S△PFB=12PF·OE+12PF·BE=12PF·（OE+BE）=12PF·][OB=12（-t2+4t）×4=-2（t-2）2+8]，當[t=2]時，[S△PBC]的最大值為8，此時[t2-3t-4=-6]，當點[P]的坐標為（2，- 6）時，[△PBC]的最大面積為8。

[例3]如圖5，已知拋物線[y=ax2+c]過點（-2，2），（4，5），過定點[F（0， 2）]的直線[l]：[y=kx+2]與拋物線交于[A]，[B]兩點，點[B]在點[A]的右側(cè)，過點[B]作[x]軸的垂線，垂足為[C]。B07A3443-B1AE-46FA-961A-68D820A5AF29

（1）求拋物線的解析式;

（2）若[k=1]，在直線[l]下方的拋物線上是否存在點[Q]，使得[△QBF]的面積最大？若存在，求出點[Q]的坐標及[△QBF]的最大面積;若不存在，請說明理由。

分析：（1）將（-2，2），（4，5）兩點坐標代入拋物線[y=ax2+c]，可求出拋物線的解析式。

（2）由條件[k=1]，可以知道一次函數(shù)的解析式，聯(lián)立二次函數(shù)解析式，可以知道點[A]和點[B]的坐標。為了求證在直線[l]下方的拋物線上是否存在點[Q]，使得[△QBF]的面積最大，我們要先設點[Q]和點[E]的坐標。設點[Q]的坐標（[t， 14x?+1]），過點[Q]作[x]軸的垂線，交[AB]于點[E]，點[E]和點[Q]的橫坐標一樣，[S△QFB=S△QFE+S△QEB=12QE·OC]，[QE]就是[x=t]時，一次函數(shù)和二次函數(shù)之間縱坐標之間的距離，求出[t]的取值，即可求出坐標和面積。

解答：（1）把點（-2，2），（4，5）代入[y=ax2+c]得 [4a+c=2，16a+c=5，]解得 [a=14，c=1，]

所以拋物線解析式為[y= 14 x2+1]。

（2）作[QE]∥y軸交[AB]于[E]，如圖6，當[k=1]時，一次函數(shù)的解析式為[y=x+2]，解方程組 [y=x+2，y=14x2+1，] 得 [x=2+22，y=4+22，]或 [x=2-22，y=4-22，]則[B2+22， 4+22 ]。設[Qt， 14t2+1]，則[E（t， t+2）]，[EQ=t+2-14t2+1=-14t2+t+1]，[S△QBF=S△EQF+S△EQB=12×2+22×EQ=12×2+22? ][-14t2+t+1=] [-2+14（t-2）2+2+22]，當[t=2]時，[S△QBF]有最大值，最大值為[2+22]，此時[Q]點坐標為（2，2）。

[例4]已知在平面直角坐標系[xOy]中，[O]為坐標原點，二次函數(shù)[y=x2+bx]的圖像經(jīng)過點[A（-1， 4）]，交[x]軸于點[B（a， 0）]。

（1）求[a]與[b]的值;

（2）如圖7，點[M]為拋物線上的一個動點，且在直線[AB]下方，試求出[△ABM]面積的最大值及此時點[M]的坐標。

分析：（1）已知點[A]和點[B]的坐標，將點[A]坐標代入二次函數(shù)解析式[y=x2+bx]求出[b]的值，再將點[B]坐標代入求出來的二次函數(shù)解析式中可求出[a]。

（2）設點[M]的坐標為[（x， x2-3x）]，作[MG∥y]軸交[AB]于點[G]，而點[G]的坐標就是[（x，-x+3）]，又因為點[M]和點[G]的橫坐標一樣，點[M]位于點[G]的下方，所以直線[MG]的距離可用點[G]的縱坐標減去點[M]的縱坐標，即[（-x+3）-（x2-3x）]，化簡后便可以得到此函數(shù)為一個開口向上的二次函數(shù)，因此在二次函數(shù)的對稱軸上值最大，那么A，B，M，G四點的坐標便都可以得到，從而可根據(jù)[S△ABM=S△AMG+S△BMG]計算出[S△ABM]的面積。

解答：（1）把[A（-1， 4）]代入[y=x2+bx]得到[4=1-b]，[b=-3]，[y=x2-3x];因為[B（a， 0）]在函數(shù)圖像上，所以將[B（a， 0）]代入[y=x2-3x]得[a2-3a=0]，求得[a=3]或[a=0]（舍棄），即[a=3]。

（2）如圖8，作[MG∥y]軸交[AB]于點[G]。

設直線[AB]的解析式為[y=kx+b]，把[（-1， 4）]，[（3， 0）]代入得 [-k+b=4，3k+b=0，]解得 [k=-1，b=3，]由此可得[y=-x+3]。設[M（x， x2-3x）]，則[G（x，-x+3）]，[S△ABM=S△AMG+S△BMG=12×4×（-x+3）-（x2-3x）=-2x2+4x+6=-2（x-1）2+8]，當[x=1]時，[△ABM]的面積最大，最大值為8，此時[M（1 ，-2）]。

二、二次函數(shù)壓軸題解答的一般過程

解決問題分為三步：認真審視問題、探索解決問題的思路、正確解決問題。首先仔細閱讀題目的意思，其次在理解問題意思的基礎上，判斷給定的問題屬于哪一類型，最后利用常見的相關策略來解決問題。

（一）熟悉題目，理解問題情境

二次函數(shù)壓軸題一般由平面直角坐標系下的文本和圖形組成。因此，熟悉問題，了解問題的含義是解決問題的第一步。要掌握問題中的關鍵信息，剔除問題給出的干擾信息，分析問題的有用條件，確定問題的本質(zhì)。

（二）確定問題類型，找出解題思路

根據(jù)問題的性質(zhì)，判斷該問題屬于哪種類型，判斷是否與某種類型一致，若一致，從中推導出共性問題的解決思路，為下一步解題提供明確的方向。

（三）將知識整合，求解答案

方向明確后，需要搜索出問題中涉及的所有知識點，根據(jù)之前的解決思路，整合知識，逐步探索問題的答案，判斷答案的合理性，進一步解決問題。

三、二次函數(shù)壓軸題教學的啟示

（一）培養(yǎng)學生靈活運用知識的能力

初中學生的知識要靠實踐來鞏固，因此，可讓學生反復練習相關的考試題，使學生能靈活運用相關知識解決問題。

（二）注重對知識的整理和歸納

教師要把解題過程中的知識點全部整理出來，總結(jié)所有知識點的共同點，加強學生對每個知識點的掌握，以便他們能靈活應用知識解決問題。

（三）注重學生數(shù)學運算能力的培養(yǎng)

數(shù)學運算能力是學生學習數(shù)學的基礎，在二次函數(shù)壓軸題的教學中，要重視培養(yǎng)學生的數(shù)學運算能力。通過分析，發(fā)現(xiàn)一些學生在解題過程中，雖然方法是正確的，但常因為計算能力弱導致計算出錯而失分。因此，在教學中教師要加強計算訓練，培養(yǎng)學生的運算能力，盡量讓學生正確、快速地計算，并形成檢查的習慣。

（四）注重滲透數(shù)學思想

數(shù)學思想可以理解為對數(shù)學科學研究及其本質(zhì)規(guī)律的理解和認識。在解題中，通常會應用多種數(shù)學思想，如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等。在教學中，教師應有目的地滲透各種數(shù)學思想，通過反思和總結(jié)，引導學生厘清這些數(shù)學思想并學會靈活應用。

在新課標理念下，研究二次函數(shù)壓軸題的解題策略可以改善學生的學習習慣和思維方式，在一定程度上有效地改變教學方法，真正實現(xiàn)課程的教學目標。因此，中考前，教師要讓學生深入了解中考命題和數(shù)學課程改革的發(fā)展趨勢，使他們有足夠的信心去面對考試，同時要合理安排數(shù)學教學，鍛煉學生的實踐能力，提高學生運用數(shù)學知識解決問題的能力。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 安梅.中考數(shù)學二次函數(shù)壓軸題常見題型及解題策略研究：以畢節(jié)市中考數(shù)學試題為例[D].貴陽：貴州師范大學，2019.

[2]? 蔣芳萍.中考二次函數(shù)壓軸題的三大常見題型探討[C]∥2020年南國博覽學術(shù)研討會論文集（一）. [出版者不詳]，2020：913-914.

[3]? 王涵， 陳建學. 二次函數(shù)中考壓軸題研究：兼談動點三角形的面積解題策略[J].中學教學參考，2017（26）：25.

（責任編輯 黃桂堅）B07A3443-B1AE-46FA-961A-68D820A5AF29