鄭仁蓉，朱順泉

摘? ?要：生活中的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：小束、分離的平行太陽光線照在黑暗中直立的金屬圓柱形凸面鏡上，反射光線會在地面上形成漂亮的光環(huán)或光區(qū)。這種現(xiàn)象產(chǎn)生的原因來自平行的入射光線以及入射點(diǎn)的法線在水平方向，并呈對稱和發(fā)散排列。二者導(dǎo)致所有反射光線與豎直方向的夾角相等、等高入射點(diǎn)的反射光線在地面上的投影點(diǎn)與過入射點(diǎn)到地面垂線的距離相等。反射光線相對于自身入射點(diǎn)的法線（即對應(yīng)圓柱水平圓周半徑的延長線），偏離的水平投影從0到最大值π/2。由此導(dǎo)致只照亮水平截面半個圓周的入射光線，經(jīng)反射后可以得到地面上整個閉合的光環(huán)，也使光環(huán)偏離準(zhǔn)確的圓形。

關(guān)鍵詞：幾何光學(xué);圓柱形凸面鏡反射;半圓周柱形光立柱

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2022）5-0001-5

光的反射是光學(xué)中歷史悠久的基本概念。平行光線束照射在凸面鏡上，反射光線會發(fā)散開來[1]，這個事實(shí)在拐彎鏡、汽車后視鏡等鏡中虛像的應(yīng)用，更是司空見慣。但是，豎立在黑暗中的金屬圓桿，作為一種特殊的凸面鏡，當(dāng)平行光線照射其上時，會發(fā)生什么情況呢？這種偶爾一見但常被人忽視的現(xiàn)象，正是本文要討論的問題。

1? ? 現(xiàn)? 象

2021年初，中午時間，室外燦爛的陽光透過窗簾照進(jìn)海南三亞某正南向的房間。機(jī)緣巧合，筆者像往常一樣走進(jìn)房間，突然發(fā)現(xiàn)，一把椅子的一條前椅腿影子正好位于從窗簾縫透進(jìn)來的、長條形太陽光斑的正中間，即太陽光線正好照亮了黑暗中整條前椅腿的向陽面，地面有一個以椅腿著地點(diǎn)為中心的圓形光亮區(qū)域，光亮的周邊還有一些黑影，引人矚目，如圖1（a）所示。

這一現(xiàn)象引起了筆者的注意，隨后將椅子搬到陽臺上繼續(xù)實(shí)驗(yàn)。拉上窗簾只留一條小縫，因?yàn)榇翱虻淖韪?，透過窗簾縫射進(jìn)陽臺的太陽光線，照在地面上被分隔成一長兩短的三個白色明亮的小光斑，將椅腿的著地點(diǎn)置于長光斑的末端，讓椅腿影子穿越三個陽光小光斑。被窗簾和窗框分隔成三小段的陽光光束，照亮了椅腿半個圓周柱面的三個不同高度。椅腿位置剛一擺好，地面上就形成了以椅腿著地點(diǎn)為中心的、途經(jīng)太陽光斑的一個中心小反射光區(qū)和兩個外圍反射光環(huán)，如圖1（b）所示。

用直立的圓柱形金屬桿代替椅腿，進(jìn)行與圖1（b）完全相同的實(shí)驗(yàn)，得到圖1（c）。二圖相比較，反射光環(huán)圖案的差別僅僅在于圖1（c）中金屬桿的頂端被一段長條形太陽光束照亮，因而地面上多出一條最外圍的、較寬的光環(huán)。圖1（b）中缺少這條最外圍且最寬的光環(huán)，這是因?yàn)橐蚊娴恼趽?，它使圖1（b）中光環(huán)的清晰度遠(yuǎn)大于圖1（c），卻也使椅腿參與反射太陽光線束的有效長度比圓柱形金屬桿短。

挪動金屬桿的著地點(diǎn)位置，得到圖1（d），因?yàn)槎际情L條形太陽光線束照亮整個圓柱形金屬桿的半個柱形圓周，圖1（d）與圖1（a）相似，反射圖形都是一個以椅腿著地點(diǎn)為中心的圓形光亮區(qū)域，其周邊還有一些黑影，只是圖1（d）中多出來一個三角形黑影。去掉金屬桿圓孔中的長樹枝，用手捏住圖1（d）中金屬桿的頂端，讓金屬桿繞著自己豎直方向的中心軸轉(zhuǎn)動，會發(fā)現(xiàn)地面上的反射光區(qū)，包括光區(qū)中的各種黑影，也跟著轉(zhuǎn)動。這充分說明，圖1（a）和圖1（d）中反射光區(qū)的黑影來自于反射主體金屬桿表面自帶的印跡，是這些污跡阻礙了太陽光線的正常反射。

用型號為SDLaser.303的激光筆替代陽光充當(dāng)光源，以約30°的入射角照射在金屬圓柱體上，得到圖1（e）。如果激光入射點(diǎn)在金屬圓柱體上的位置高度不變，則地面上綠色反射光環(huán)的直徑會隨著入射角的增大而變小。為什么圖1（e）中綠色反射光環(huán)沒有像前面四個反射圖形那樣形成封閉的圓形圖樣呢？根據(jù)光的直線傳播，入射光線只有完全照射圓柱體向光的半個圓周面，才能形成地面上封閉的反射光環(huán)或光區(qū)。圖1（e）中反射光環(huán)沒有封閉，說明激光筆發(fā)射的激光束的寬度小于圓柱體的直徑。

2? ? 地面上光環(huán)或光區(qū)圖案的理論解釋

2.1? ? 圓柱形金屬桿的邊界入射點(diǎn)和正入射點(diǎn)的反射光線與地面圖案的對應(yīng)關(guān)系

實(shí)驗(yàn)中入射的平行的太陽光線因窗簾和窗框的遮擋而被分隔開來，形成小光束。因?yàn)楣饩€直線傳播，站立在黑暗中的金屬桿凸面鏡只有向陽的半個圓周能夠接收并反射太陽光線，如圖2所示。

圖2中的點(diǎn)劃線表示圓柱形金屬表面圓周正中間的豎直線，是照亮半個圓周入射太陽光線束的起始點(diǎn)和切點(diǎn)所在地。與它相對的圖2中點(diǎn)劃線的正后面，是圓柱上向陽的半個圓周的終點(diǎn)， 它們在圖2的正視圖上是重合的。

（1）圖1（b）中，地面上的光環(huán)或光區(qū)圖案的右邊界為什么總是與太陽光斑相重合？

看圖2中黑體字2所代表的光線，它入射到圓柱高處一水平截面圓周上的邊界入射點(diǎn)O1，過入射點(diǎn)O1的法線，是圓柱同一水平截面圓上過O1點(diǎn)的半徑延長線，垂直紙面向上，邊界入射光線和邊界反射光線2的入射角和反射角（圖2中無法顯示）：

入射角∠r2=π/2（1）

反射角∠f2=π/2（2）

二者相加：∠f2+∠r2=π （3）

以上說明：從邊界入射點(diǎn)O1起始的反射光線會與明亮的入射光線重合，一起直達(dá)落地點(diǎn)drf1，所以格外明亮。再加上有寬于圓柱體直徑的直射地面的太陽光線，一起形成了圖1（b）中小光環(huán)右側(cè)邊界與太陽光斑相融合的明顯特征。圖1（c）與圖1（b）完全相似，讀者可以自己看看。

照亮圓柱水平截面半個圓周的邊界入射光線，竟然直達(dá)地面光環(huán)的右邊界，說明對地面上光環(huán)圖案起作用的只是圓柱體中向陽的半個圓周柱面。背光的半個圓周柱面不起作用，形同虛設(shè)。

圖2中的正入射光線1，經(jīng)過與邊界入射點(diǎn)O1在同一水平截面的正入射點(diǎn)O3反射后，成為正反射光線1，其落地點(diǎn)在df1。因?yàn)閐f1僅僅是“反射”光線的落地點(diǎn)，亮度本應(yīng)大大小于drf1，但在實(shí)驗(yàn)照片圖1（b）（c）中，df1在入射光線明亮的投影之中。正入射點(diǎn)O3的特點(diǎn)是：它是圓柱確定的水平截面半圓周弧度正中間的唯一一個陽光“正”入射的點(diǎn)。97F55C8E-96FE-4889-ABCE-291E981564C3

（2）地面上，組成反射光環(huán)或光區(qū)的亮點(diǎn)是怎么形成的？

由圖2及圖面中說明3、4可知：對應(yīng)光線1的正入射點(diǎn)O3，有：

∠f=∠r（反射角=入射角），又∠r0 =∠2（對頂角相等）? ? ? ? （4）

∠r1=∠r0（兩邊分別平行的兩個角相等）

∠1=∠r1（直角減去相等角的差相等）→

∠1=∠2 →Δdf1O0O3≌drf1OO1（角邊角）（5）

→df1O0=Odrf1（全等三角形對應(yīng)邊相等）（6）

（6）式說明圖2中入射光線1、2經(jīng)凸面鏡反射后的落地點(diǎn)df1和drf1在同一個光環(huán)上。圓柱體過O1和O3豎直母線的著地點(diǎn)O和O0的位置相差1/4圓周，所以落地亮點(diǎn)df1和drf1不在同一條直徑上，二者會相差圓柱體影子的一個半徑寬度。

再看圖2中，斜體字所代表的正入射光線1和邊界入射光線2，它們是圖1（b）中椅腿著地點(diǎn)向上的小束平行入射光線的上部邊界光線，它們在圓柱面低處、同一水平截面半圓周上也有兩個相隔1/4圓周的正入射點(diǎn)O4和邊界入射點(diǎn)O2，分別與光線1、2對應(yīng)的正入射點(diǎn)O3和邊界入射點(diǎn)O1在圓柱表面同一條豎直的母線上。因?yàn)槠叫芯€間同位角相等、直角減去等角后余角相等有

∠1=∠2=∠3=∠4（7）

Δdf2O0O4≌Δdrf2OO2（角邊角）（8）

→df2O0=Odrf2（全等三角形對應(yīng)邊相等）（9）

光線1、2經(jīng)圓柱表面反射后形成圖1（b）中地面上以椅腿著地點(diǎn)為中心的小光區(qū)中，沿著入射光線方向左右邊界的兩個亮點(diǎn)df2、drf2，它們在同一個圓周上，但不在同一條直徑上。因?yàn)橥凰浇孛嬲肷潼c(diǎn)O4、邊界入射點(diǎn)O2點(diǎn)的位置低于圓柱高處水平截面相應(yīng)的O3和O1點(diǎn)，所以對應(yīng)的df2和drf2點(diǎn)的位置離直線O0O3和OO1的距離更近，即

O0df1>O0df2、Odrf1>Odrf2? ? ? ? ? ?（10）

與圖1（b）的情況一致。

值得注意的是（7）式中的4個角相等，說明至少在圖2探討的兩組光線中，所有反射光線與豎直方向的夾角都相等，都等于入射平行光線與直立圓柱體母線的夾角。正是這個重要的結(jié)論，才導(dǎo)致入射到圓柱形凸面鏡同一水平截面半圓周上的不同點(diǎn)的反射光線形成的各自的直角三角形全等，見（5）（8）式。于是，反射光線在水平地面上的落腳點(diǎn)形成光環(huán)或光區(qū)上的亮點(diǎn)，見（6）（9）式。且入射點(diǎn)在立柱上的位置越高，則對應(yīng)地面上光環(huán)或光區(qū)的“半徑”越大，見（10）式。

但是，反射光線與豎直方向夾角始終相等。這個重要的結(jié)論是否對圓柱形凸面鏡上任意高度水平截面上、向陽半圓周上、其他任意的入射點(diǎn)都成立呢？

2.2? ? 圓柱形凸面鏡向陽的半圓周上、其他任意入射點(diǎn)的情況討論

圖1（b）中地面上一個確定的光環(huán)，是由包括圓柱體影子在內(nèi)的太陽光斑線作為對稱軸的、兩個對稱的“半個”光環(huán)合在一起組成的。兩個“半”光環(huán)之所以對稱，是因?yàn)樾纬傻孛嫔习雮€光環(huán)所對應(yīng)的不同的入射點(diǎn)，均分別在圓柱形同一水平截面正入射點(diǎn)和兩個邊界入射點(diǎn)之間。如果任意入射點(diǎn)的法線（過入射點(diǎn)的半徑延長線），與正入射點(diǎn)法線組成的圓柱水平截面圓的圓心角相等，則此兩入射點(diǎn)及對應(yīng)法線相對于正入射點(diǎn)及法線的位置對稱。所有同一水平截面半圓周上的入射點(diǎn)和相應(yīng)的法線位置均相對于正入射點(diǎn)的法線兩兩對稱分布。

入射光線經(jīng)圓柱同一水平截面1/4圓周上連續(xù)排布入射點(diǎn)，反射以后形成同一側(cè)地面上半個光環(huán); 而圓柱同一水平截面相鄰的后半個1/4圓周上的入射點(diǎn)，反射后產(chǎn)生地面上后面另外一側(cè)半個光環(huán)。而地面上半個光環(huán)的形成，根據(jù)前面的論述，只需考察反射光線、入射光線與豎直方向的夾角是否相等。因此，現(xiàn)在只需補(bǔ)充同一圓柱水平截面1/4圓周中間任意一個入射點(diǎn)，其反射光線和豎直方向的夾角。如圖3所示。

圖3中，平行入射光線前進(jìn)方向始終不變，但因?yàn)檫^圓柱同一水平截面半圓周上、不同入射點(diǎn)的圓柱面的法線，是同一半圓周上不同半徑的圓外延長線，法線方向一直在變化，導(dǎo)致光線1、2、3的入射面的方位和入射角的大小也跟著變化。

圖3中，光線1的入射點(diǎn)是正入射點(diǎn)a，法線為aa1，入射面與地面的夾角設(shè)為∠m1，有∠m1=π/2，即光線1的入射面與地面垂直。光線3的入射點(diǎn)是邊界入射點(diǎn)c，法線為cc1，入射面與其他入射光線平行，與水平地面的夾角設(shè)為∠m3，∠m3為銳角。

對應(yīng)任意入射點(diǎn)b的光線2的入射面與地面夾角∠m2為銳角，大小介于光線1和光線3的入射面與地面夾角之間：π/2=∠m1>∠m2>∠m3。

光線2雖與光線1、3的入射方向平行，但因光線1、2、3所對應(yīng)的同一水平截面圓周上不同入射點(diǎn)的法線，即圓柱水平截面圓周半徑的延長線 aa1、 bb1和 cc1的發(fā)散性，使對應(yīng)不同入射點(diǎn)的平行入射光線的入射角大小也在變化。光線2的入射角介于光線1和光線3之間，即∠r1<∠r2<∠r3=π/2。反射定律規(guī)定，反射光線和入射光線必須在對應(yīng)法線的兩側(cè)，且反射角=入射角，于是導(dǎo)致反射光線相對于自身的入射光線，比法線間有更強(qiáng)的發(fā)散性。比如，正入射點(diǎn)到兩個邊界入射點(diǎn)的法線相差π/2，于是對于方向不變的入射光線，從正入射角最小，變到邊界入射角為π/2。圖3的光線3，如同圖2的光線2，實(shí)現(xiàn)了最大的反射角[見（1）（2）式]∠f3=∠r3=π/2，而邊界入射點(diǎn)的邊界反射光線3（實(shí)線），相對于它自身的邊界入射光線3（虛線），就偏離了π（2×■），加上與光線3對稱的、正入射點(diǎn)后側(cè)的邊界入射光線3'，也與對應(yīng)法線成π/2的入射角，反射光線3'相對自身入射光線也偏離了π（2×■）。因?yàn)棣?π=2π，于是形成了水平地面上圓柱影子兩側(cè)、整個光環(huán)合攏的亮點(diǎn)。97F55C8E-96FE-4889-ABCE-291E981564C3

正入射點(diǎn)與邊界入射點(diǎn)的反射光線提供了地面上光環(huán)的邊界亮點(diǎn)，再加上其間連續(xù)分布的其他任意入射點(diǎn)上的反射光線在地面投影亮點(diǎn)的補(bǔ)充，就是地面上整個光環(huán)的成形。

圖4是圖3中光線2的放大圖，以考察光線2的反射光線和豎直方向的夾角是否與入射光線和豎直方向的夾角相等。如果相等，就說明反射光線2的著地點(diǎn)與光線1、3的著地點(diǎn)都落在地面上同一個反射光環(huán)上。

因?yàn)楣饩€2的入射點(diǎn)是圓柱體水平截面1/4圓周中任意一點(diǎn)，把光線2的情況說清楚，加上光線1、光線3，就把入射點(diǎn)在圓柱水平截面1/4圓周上的入射點(diǎn)都弄明白。再根據(jù)對稱性，圓柱上相鄰的后面1/4圓周上的入射點(diǎn)反射后給出了地面上另外一半的光環(huán)線。

在圖4中的入射面G內(nèi)，作入射光線EO的延長線OC（作為輔助線）。OA是反射光線，截取OC=OA，連接AC，取AC的中點(diǎn)B，連接OB，則OB⊥AC（等腰三角形底邊中線即垂線）;過B點(diǎn)作豎直的圓柱體表面母線OD的垂線，垂足為D，即BD⊥OD。

根據(jù)三垂線定理可知：AC⊥BD→ΔADB≌ΔCDB（邊角邊）→AD=CD→站立的兩個直角三角形全等，即ΔADO≌ΔCDO（邊邊邊）→∠AOD=∠COD

又因?yàn)椤螮OH=∠COD（對頂角相等）（11）

于是∠AOD=∠EOH，即反射光線OA與圓柱豎直方向的夾角和入射光線與豎直方向的夾角相等。

以上討論的本質(zhì)在于圓柱形立柱的豎直方向不變、太陽光線平行入射的方向也沒有改變、反射光線受反射定律支配，大小、方向都有規(guī)定，因?qū)斀窍嗟萚見（11）和（4）式]，而與入射光線和豎直方向的夾角掛上鉤。

由此也說明所有照亮圓柱形凸面鏡同一水平截面半個圓周的入射光線，確實(shí)給出地面上除了圓柱體影子以外的整個“圓周”光環(huán)亮線。

圖4中，特意將OB延長至OB1、作B1D1⊥OD1、過B1作AC的平行線，分別與OA、OC的延長線相交于A1、C1點(diǎn)，連接A1D1、C1D1，因?yàn)镺D1>OD，必有D1A1>DA，與圖1中，平行太陽光線束照在椅腿的位置越高，對應(yīng)的地上光環(huán)的“半徑”越大，是一個道理。因?yàn)樗蟹瓷涔饩€與豎直方向的夾角相等，必有當(dāng)反射光線投影的水平面與入射點(diǎn)所在平面的距離越大，反射光線投影點(diǎn)與過入射點(diǎn)的圓柱面豎直母線間的距離越大，所有反射投影點(diǎn)連成的光環(huán)的“半徑”也越大。

利用圖4的圖面說明6、順帶證明支配真實(shí)光線的反射定律的規(guī)則，當(dāng)真實(shí)光線投影到水平面上一樣適用。因?yàn)閳A柱形凸面鏡表面的法線本身就是水平方向上的直線，它投影到水平地面上的走向一點(diǎn)也沒有改變。而入射光線、法線、反射光線三線又在同一平面之上，反射角等于入射角，投影到水平地面上的定性關(guān)系也不會改變。

2.3? ? 形成地面上一個反射光環(huán)圖像的幾何解釋

圖5可以看成是圖1（b）（c）中，地面上一條細(xì)光環(huán)形成的寫照。圖中刪去圓柱體右側(cè)半個圓周柱面絲毫不影響地面上光環(huán)的產(chǎn)生，再次說明背光的右半個圓周柱面的確與地面上光環(huán)（或光區(qū)）的產(chǎn)生完全無關(guān)。具體解釋，詳見圖5中的圖面解說1、2、3。

圖6實(shí)際就是圖5地面上的全部痕跡的加強(qiáng)版。為了方便對照，相關(guān)點(diǎn)字母盡量相同。其中，黑色陰影區(qū)域?yàn)榻饘伲ò耄﹫A柱影子，用dfi和df0i（i=1、2…5）為特殊表達(dá)代表入射光線的投影虛線和反射光線的所有著地點(diǎn)，并用白色光區(qū)在圖1（b）（c）的地面上表現(xiàn)出來。

3? ? 結(jié)? 論

平行的太陽光線束，照射在黑暗中站立的金屬圓柱形凸面鏡的半個圓周面上，會在地面上形成以圓柱體立足地為中心的光環(huán)或光區(qū)。

用作圖法解析實(shí)驗(yàn)結(jié)果的基本原理，得到結(jié)論：（1）所有反射光線與豎直方向的夾角都相等，等高入射的反射光線在水平地面的投影長度相等，且入射平面越高，地面光環(huán)或光區(qū)的范圍越大。（2）圓柱形凸面鏡表面法線是沿水平方向截面圓周半徑的延長線，相對于平行的入射光線，其具有對稱性和高度發(fā)散性，使只照亮半個圓周的入射光線對應(yīng)的反射光線著地點(diǎn)得以在地面形成閉合亮線，也使其地上的反射光環(huán)或光區(qū)偏離準(zhǔn)確的圓形。

難得一遇的探究性學(xué)習(xí)，與“經(jīng)驗(yàn)”相違背的物理真實(shí)，正是物理學(xué)的魅力所在。

致謝：圖1（e）由西南大學(xué)陳志謙提供。

參考文獻(xiàn)：

[1]D.納赫蒂加爾， J.迪克赫費(fèi)爾，G.彼得斯， 鄭仁蓉. 就地取材玩物理II[M].上海：上海交通大學(xué)出版社， 2015：124.

（欄目編輯? ? 廖伯琴）

【專家介紹】

鄭仁蓉（1944-），女，PhD，教授，博士生導(dǎo)師。曾任西南師大物理系副系主任、西南師大副校長、全國量子力學(xué)研究會副會長等。研究領(lǐng)域涉及原子核結(jié)構(gòu)、凝聚態(tài)和量子理論。主要從事原子核對稱性投影自洽場方法、奇奇核符號因子反轉(zhuǎn)、凝聚態(tài)理論等方面的研究工作。97F55C8E-96FE-4889-ABCE-291E981564C3