文|陳 敏 呂瓊?cè)A

一、研究背景

學(xué)習(xí)取向的教學(xué)設(shè)計(jì)理論強(qiáng)調(diào)把學(xué)習(xí)者的已知看作教學(xué)的起點(diǎn)和最重要的因素。認(rèn)知導(dǎo)向的教學(xué)（Cognitively Guided Instruction，簡稱CGI）強(qiáng)調(diào)兒童本身具有解決問題的直覺知識(shí)和非正式經(jīng)驗(yàn)，好的教學(xué)應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)并發(fā)揮這些基礎(chǔ)，引導(dǎo)兒童主動(dòng)學(xué)習(xí)、交流改進(jìn)，真正的發(fā)展思維。近年來，“以學(xué)定教”的觀念越來越深入人心。有經(jīng)驗(yàn)的教師在備課時(shí)必然會(huì)考慮學(xué)生的起點(diǎn)進(jìn)而對原教材的編寫作出反思，從而制定更切實(shí)際的教學(xué)目標(biāo)并設(shè)計(jì)相應(yīng)環(huán)節(jié)。但研究也指出，很多教師在做教學(xué)起點(diǎn)分析時(shí)，往往倚重經(jīng)驗(yàn)而忽視證據(jù)，或者泛泛而論，未能針對具體的課節(jié)主題等，因此影響教學(xué)的有效性。

“數(shù)的認(rèn)識(shí)”是小學(xué)數(shù)學(xué)主要課程內(nèi)容之一，其中認(rèn)識(shí)自然數(shù)又是認(rèn)識(shí)其他數(shù)的基礎(chǔ)。認(rèn)識(shí)自然數(shù)最重要的有兩個(gè)方面。其一，認(rèn)識(shí)自然數(shù)的構(gòu)成，即認(rèn)識(shí)到自然數(shù)的基本單位是1。其二，掌握最常用的自然數(shù)記數(shù)法——十進(jìn)制記數(shù)法。這兩方面的認(rèn)識(shí)并不是一節(jié)課就能完成的。當(dāng)前我國各地使用的小學(xué)數(shù)學(xué)教材雖不盡相同，但對這一部分內(nèi)容，各版本教材的序列安排基本一致，大致分四個(gè)階段完成：一年級(jí)上冊認(rèn)識(shí)20 以內(nèi)的數(shù)、一年級(jí)下冊時(shí)認(rèn)數(shù)范圍擴(kuò)展到100、二年級(jí)下冊學(xué)習(xí)萬以內(nèi)的數(shù)、四年級(jí)上冊引進(jìn)比萬更大的數(shù)，整體反思后形成對自然數(shù)結(jié)構(gòu)以及十進(jìn)制記數(shù)法的系統(tǒng)性認(rèn)識(shí)。于是“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”就變成一個(gè)很有意思的知識(shí)節(jié)點(diǎn)：在它之前，學(xué)生對較小自然數(shù)的讀、寫、組成有了一些基本經(jīng)驗(yàn)；在它之后，比萬更大的數(shù)，可以從萬以內(nèi)（個(gè)級(jí)）數(shù)結(jié)構(gòu)迭代的角度加以理解。那么，在這節(jié)課中，應(yīng)該如何去認(rèn)識(shí)和對待學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)?？梢灾苯永玫氖鞘裁矗啃枰獛椭鷱?qiáng)化的是什么？以及，是否存在學(xué)生未能主動(dòng)察覺，而需要教師創(chuàng)造任務(wù)去督促提升的“關(guān)鍵性概念理解（Key Development Understanding）”？

本研究擬針對“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”開展學(xué)生起點(diǎn)調(diào)查，希望據(jù)此獲得一些教學(xué)和研究的啟示。一方面為教師有效教學(xué)自然數(shù)的認(rèn)識(shí)，合理確定每一教學(xué)階段的特定目標(biāo)積累資料；另一方面，也藉此反思一線教師在針對特定學(xué)習(xí)主題做起點(diǎn)分析時(shí)可能采取的策略和遭遇的問題。

二、調(diào)查方法

2022年3月初，我們邀請到本市一所公辦學(xué)校二年級(jí)下學(xué)期兩個(gè)班學(xué)生（共計(jì)74 人）參與我們的學(xué)情調(diào)查。調(diào)查以書面練習(xí)的形式進(jìn)行，由所在班級(jí)數(shù)學(xué)教師協(xié)助組織練習(xí)，并回收練習(xí)卷，但不需要教師協(xié)助批改。

本調(diào)查主要考查學(xué)生基于生活經(jīng)驗(yàn)，以及先前對百以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)，自發(fā)地對千以內(nèi)、甚至萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)達(dá)到了什么水平。全卷一共分四個(gè)大題，第1 題以填空的形式呈現(xiàn)，共五個(gè)小題，前面兩小題是教材和統(tǒng)考中非常常見的對于相鄰計(jì)數(shù)單位之間十進(jìn)關(guān)系的提問，如10 個(gè)一百是（ ）；后面三小題主要針對過9 數(shù)發(fā)問，如199 加1 是（ ）；999 加1 是（ ）。第2 題考查數(shù)數(shù)技能，分別要求學(xué)生以1 為單位計(jì)數(shù)，從991 數(shù)到1000；再以10 為單位計(jì)數(shù)，從900 數(shù)到1000。第3 題以計(jì)算題形式呈現(xiàn)，實(shí)質(zhì)為考查學(xué)生對計(jì)數(shù)意義的理解。根據(jù)有關(guān)研究，兒童對復(fù)合單位（composite unit）以及對復(fù)合單位進(jìn)行協(xié)同的水平顯著影響兒童數(shù)概念的發(fā)展和四則運(yùn)算理解能力等。所以我們嘗試圍繞十進(jìn)制計(jì)數(shù)單位提供了4 類共8個(gè)算式：第1、2、3 個(gè)算式只涉及1 個(gè)計(jì)數(shù)單位的計(jì)數(shù)，如100×8；第5 個(gè)算式，100+1000，稍微復(fù)雜一些，涉及兩個(gè)計(jì)數(shù)單位的協(xié)同；第4 個(gè)算式（500×2）和第7 個(gè)算式（2000+3000）需要學(xué)生自己去分析整百、整千數(shù)的單位構(gòu)成，算出結(jié)果；最后，第6 個(gè)算式（100×5+1000）和第8 個(gè)算式（100+1000×5），計(jì)算時(shí)應(yīng)先分不同計(jì)數(shù)單位分別計(jì)數(shù)，再做不同單位之間的協(xié)同。練習(xí)卷的最后一題是開放題，詢問兒童在生活中是否見過1000 和10000，并要求他們作圖或文字說明具體情境。

參與調(diào)查的學(xué)生使用浙教版教材，在進(jìn)行練習(xí)時(shí)，已經(jīng)學(xué)習(xí)了百以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)，尚未學(xué)習(xí)三、四位數(shù)的認(rèn)識(shí)。練習(xí)卷的批改由本文作者1 完成，作者2 做了復(fù)核。

三、調(diào)查結(jié)果

第1 題，絕大部分學(xué)生掌握較好，除第（5）小題外，其他題目的正確率均接近甚至超過90%。

可以認(rèn)為兒童已經(jīng)了解了一些計(jì)數(shù)事實(shí)，但還沒有認(rèn)識(shí)到背后的計(jì)數(shù)和記數(shù)結(jié)構(gòu)，突出表現(xiàn)為大數(shù)的寫法出現(xiàn)問題，不確切知道過9 以后究竟產(chǎn)生了幾個(gè)0。

表1 計(jì)數(shù)單位和過9 數(shù)的掌握情況統(tǒng)計(jì)表

第2 題，學(xué)生1 個(gè)1 個(gè)計(jì)數(shù)三位數(shù)的正確率達(dá)到了98.6%，10 個(gè)10 個(gè)數(shù)的正確率也達(dá)到了90.5%。10個(gè)10 個(gè)數(shù)錯(cuò)的學(xué)生，主要錯(cuò)誤為：中間有漏數(shù)的情況，比如從950 跳過了960，直接到了970；有3 個(gè)學(xué)生把10 個(gè)10 個(gè)數(shù)，理解為了100、100 地?cái)?shù)，直接寫了“900，1000”。

第3 題，學(xué)生的正確率如下圖。

以算式表征的單位計(jì)數(shù)問題的掌握情況統(tǒng)計(jì)圖

此次調(diào)查對象的表現(xiàn)同已有的兒童計(jì)數(shù)研究相比，既有一致的地方，也有自己的特點(diǎn)。整體而言，題目涉及到的計(jì)數(shù)單位越多，彼此協(xié)同的形式越復(fù)雜，答題的正確率就越低。錯(cuò)誤率最高的正是預(yù)設(shè)中認(rèn)為最復(fù)雜的第4 類問題，如100×5+1000，學(xué)生對此的回答可謂五花八門：5100、1500、1050、150、2000……而結(jié)果也表明，如果是一步計(jì)算，則無論是1 個(gè)計(jì)數(shù)單位計(jì)數(shù)（100），還是兩個(gè)計(jì)數(shù)單位相加（100+1000），包括要學(xué)生自己分析計(jì)數(shù)單位的（2000+3000 等），實(shí)際難度相當(dāng)，正確率都超過80%；其中最高發(fā)的錯(cuò)誤，還是在記數(shù)時(shí)究竟要寫幾個(gè)0，如這六個(gè)算式中正確率最低的第3（2）題，10×100，很多學(xué)生寫了100、10000，個(gè)別學(xué)生寫了110。這些情況提示我們，學(xué)生可能已經(jīng)掌握了一些多位數(shù)計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)方法，但并沒有從數(shù)的意義的層面去推導(dǎo)答案。

第4 題，學(xué)生提供的包含1000 和10000 的具體情境可歸納為如下表2——

表2 學(xué)生自發(fā)接觸1000 和10000 的情境統(tǒng)計(jì)表

綜合以上，我們認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)三、四位數(shù)的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)較為復(fù)雜，他們對計(jì)數(shù)和計(jì)算相關(guān)的程序性知識(shí)已超前掌握，對既有教材和測試中出現(xiàn)過的常規(guī)性問題達(dá)到了很高的正確率。但是，在計(jì)數(shù)和計(jì)算的概念性理解方面則存在盲點(diǎn)，需要加以關(guān)注，著重突破。

首先，對于三、四位數(shù)的讀、寫、數(shù)（shǔ），以及一些常規(guī)的相鄰計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率問題，兒童看似達(dá)到了相當(dāng)高的正確率。但是，通過分析典型錯(cuò)誤，就能發(fā)現(xiàn)他們在完成這些任務(wù)時(shí)，帶有很大的直覺成分、記憶成分。當(dāng)數(shù)小于100 時(shí)，兒童讀數(shù)和寫數(shù)都不需要做結(jié)構(gòu)化的考慮，隨著自然數(shù)的進(jìn)一步增大，就需要在頭腦中慢慢建立起數(shù)位順序表，在數(shù)位、位數(shù)和計(jì)數(shù)單位之間建立起明確的聯(lián)系，就不會(huì)出現(xiàn)各種“0”的亂象了。

其次，從完成簡單的整百、整千數(shù)的計(jì)算情況來看，兒童對涉及多個(gè)計(jì)數(shù)單位的多個(gè)水平的計(jì)算存在一定問題。這不僅驗(yàn)證了先前研究所指出的單位協(xié)同水平是兒童數(shù)概念發(fā)展的一大指征，提示我們在認(rèn)數(shù)教學(xué)中要重視“單位”概念。我們應(yīng)考慮到在非正式的學(xué)習(xí)場景中，認(rèn)數(shù)和計(jì)算往往是兩個(gè)割裂的活動(dòng)：填空說明數(shù)的組成意義是一回事，完成多位數(shù)的加減計(jì)算時(shí)又往往另教一套算法規(guī)則。在正式學(xué)習(xí)時(shí)，就要打破這種人為的割裂、機(jī)械的學(xué)習(xí)，創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓兒童體驗(yàn)以算式表征計(jì)數(shù)意義，據(jù)計(jì)數(shù)意義發(fā)明計(jì)算程序，以此發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)、推理能力，樹立積極的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀。

最后，雖然在日常生活中，兒童也有很多機(jī)會(huì)接觸到1000 和10000 之類的大數(shù)，但比較多的停留在形式化的表征，比較少數(shù)量方面的真實(shí)感知，即使是數(shù)量方面的感知，也只模糊地和“很多”等同起來，缺少定量的刻畫。教學(xué)時(shí)既要充分依托這些兒童熟悉的日常景象，又要引導(dǎo)兒童結(jié)合計(jì)數(shù)知識(shí)分析數(shù)量構(gòu)成，有理有據(jù)地推導(dǎo)出1000 和10000 件具體物品究竟是怎樣一種數(shù)量感受，溝通數(shù)與量的關(guān)系、數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系，發(fā)展數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)眼光。

四、總結(jié)與討論

本次研究首先分析了教材關(guān)于自然數(shù)認(rèn)識(shí)的整體安排，明確“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”單元的特殊定位，在此基礎(chǔ)上參考過往習(xí)題和試題，以及一些數(shù)概念研究資料，編制了一份調(diào)查問卷，重點(diǎn)考查學(xué)生兩方面的儲(chǔ)備知識(shí)，一方面是百以內(nèi)數(shù)的正式學(xué)習(xí)，一方面是關(guān)于三、四位數(shù)的非正式學(xué)習(xí)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)學(xué)生關(guān)于讀數(shù)、寫數(shù)、計(jì)算等程序性知識(shí)掌握較好，而許多后繼學(xué)習(xí)需要的概念理解和思維經(jīng)驗(yàn)存在不足，由此概括出新課教學(xué)的三大目標(biāo)：1.從逐位滿十進(jìn)一的經(jīng)驗(yàn)到整體觀照學(xué)習(xí)過的數(shù)位，建構(gòu)起“個(gè)級(jí)”的基本結(jié)構(gòu)，養(yǎng)成按結(jié)構(gòu)認(rèn)數(shù)、讀數(shù)和寫數(shù)的意識(shí)和習(xí)慣。2.認(rèn)數(shù)和計(jì)算相結(jié)合，經(jīng)歷以算式表征計(jì)數(shù)意義，據(jù)計(jì)數(shù)意義推導(dǎo)計(jì)算結(jié)果的過程，積累依托數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行思考和交流的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展推理能力。3.將數(shù)的認(rèn)識(shí)與量的體驗(yàn)結(jié)合起來，以現(xiàn)實(shí)量感進(jìn)一步豐富對數(shù)的認(rèn)識(shí)，借數(shù)的結(jié)構(gòu)更好地分析數(shù)量多少，溝通數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

通過學(xué)前調(diào)查，可以更好地覺察學(xué)生真實(shí)起點(diǎn)與教材預(yù)期之間的距離，制定適應(yīng)性的教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)針對性的教學(xué)任務(wù)，更好地體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，學(xué)習(xí)是學(xué)生思維成長的過程。

但是，我們也發(fā)現(xiàn)當(dāng)前兒童學(xué)習(xí)的真實(shí)起點(diǎn)非常復(fù)雜，通過非正式的學(xué)習(xí)渠道，兒童對一些程序性知識(shí)普遍存在超前掌握的情況。若在學(xué)前調(diào)查中，再簡單依據(jù)教材常規(guī)的習(xí)題，以及過往高頻考題來編制問卷，往往會(huì)由一種形式化的掌握現(xiàn)象掩蓋掉他們在概念性理解方面的缺失。這就要求教師廣泛涉獵相關(guān)研究，對教學(xué)內(nèi)容和兒童學(xué)習(xí)有深層次的理解，充分考慮調(diào)查問卷的信效度問題。只有在問卷具有良好信效度的前提下，收集到的學(xué)生知識(shí)才能作為制定教學(xué)目標(biāo)和評價(jià)教學(xué)設(shè)計(jì)的有效證據(jù)。