余世明,李 壯2,陳 龍,何德峰

(1.浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院,浙江 杭州 310023;2.蚌埠學(xué)院 電子與電氣工程學(xué)院,安徽 蚌埠 233030)

隨著國民經(jīng)濟(jì)與工業(yè)科技的迅速發(fā)展,汽車行業(yè)得到大力發(fā)展,但車輛過多和駕駛員對道路環(huán)境感知能力不足等因素會帶來交通堵塞和意外事故等問題。車輛隊(duì)列一致性協(xié)同控制通過調(diào)整合理安全間距,可提高車輛燃油經(jīng)濟(jì)性和道路流通效率,在緩解道路交通壓力、實(shí)現(xiàn)節(jié)能以及提高交通流率和安全性等方面具有重要的作用[1-8]。網(wǎng)聯(lián)車隊(duì)穩(wěn)定性可通過協(xié)同自適應(yīng)協(xié)同控制保證,通常需要兩車基于車載傳感器所測量的局部信息進(jìn)行交互,即每輛車可接收到來自相鄰前車的狀態(tài)信息,但當(dāng)車隊(duì)規(guī)模增大時(shí),整個(gè)車隊(duì)對干擾的敏感度也隨之增強(qiáng),則車隊(duì)協(xié)同控制會受到一定影響[9-10]。因此,車隊(duì)系統(tǒng)的通信結(jié)構(gòu)對于協(xié)同控制有著很大作用。在網(wǎng)聯(lián)車隊(duì)中通常存在車輛模型耦合、約束條件非線性以及對應(yīng)的物理約束,如速度和加速度等,使得車隊(duì)協(xié)同控制器更難設(shè)計(jì)。其中,由于分布式模型預(yù)測控制不僅可顯式處理非線性約束問題和隊(duì)列通信等問題,而且可以使隊(duì)列系統(tǒng)滿足良好的控制性能[11-16],從而被眾多學(xué)者廣泛學(xué)習(xí)。文獻(xiàn)[11]考慮帶有雙向通信的車輛隊(duì)列非線性系統(tǒng),設(shè)計(jì)分布式算法使得隊(duì)列達(dá)到控制性能;文獻(xiàn)[13]設(shè)計(jì)分布式MPC控制器解決車輛單向通信問題,并使得隊(duì)列滿足穩(wěn)定性;文獻(xiàn)[16]建立車輛縱向動(dòng)力學(xué),考慮在多種不同復(fù)雜程度的單向通信拓?fù)湎聦僭O(shè)軌跡與預(yù)測軌跡的差值懲罰,并設(shè)計(jì)分布式控制策略,使得車輛之間達(dá)到期望間距,滿足一致性。上述研究中,車隊(duì)協(xié)同控制采用單一通信方式,設(shè)計(jì)相應(yīng)控制器使系統(tǒng)滿足一致性性能,但在考慮大規(guī)模車隊(duì)系統(tǒng)時(shí),跟隨車輛接收頭車狀態(tài)信息會越來越困難,則單一通信方式存在一定局限性,不適用于大型車隊(duì)協(xié)同控制。在車輛隊(duì)列現(xiàn)有工作中,針對協(xié)同控制提出了一些其他策略,如考慮把隊(duì)列控制問題轉(zhuǎn)換為設(shè)計(jì)一致性問題解決[17-22]。文獻(xiàn)[17-18]運(yùn)用線性化動(dòng)力學(xué)模型,分析系統(tǒng)穩(wěn)定性,利用恒定車間距設(shè)計(jì)非線性分布式一致性協(xié)議,使得隊(duì)列系統(tǒng)終態(tài)達(dá)到一致;文獻(xiàn)[19-20]建立三階非線性縱向偏差動(dòng)力學(xué)模型,其安全間距與車速有關(guān),設(shè)計(jì)分布式一致性算法,確保隊(duì)列系統(tǒng)滿足一致性;文獻(xiàn)[21-22]根據(jù)車頭時(shí)距策略,設(shè)計(jì)分布式一致性縱向控制器保證車隊(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性和一致性。上述研究工作大多是基于一致性問題設(shè)計(jì)分布式控制器,并應(yīng)用到車輛隊(duì)列系統(tǒng)中,但相鄰車輛之間的車間距不滿足弦穩(wěn)定性。另外,穩(wěn)定性證明所應(yīng)用的線性化方法在系統(tǒng)出現(xiàn)不確定性時(shí)會降低精度,在一定程度上影響控制效果。當(dāng)所考慮的車隊(duì)系統(tǒng)性能指標(biāo)是非凸時(shí),僅用傳統(tǒng)MPC較難處理,且系統(tǒng)穩(wěn)定性無法保證。為解決此類問題,許多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究,文獻(xiàn)[23]提出構(gòu)造穩(wěn)定性收縮約束,建立閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性和優(yōu)化問題遞推可行性;文獻(xiàn)[24]提出基于Lyapunov函數(shù)的穩(wěn)定性約束,用來確保系統(tǒng)穩(wěn)定;文獻(xiàn)[25-26]采用耗散性和對偶性方法,但通常所研究的車隊(duì)系統(tǒng)是非線性的且存在約束條件,這類方法存在局限性。上述多數(shù)工作僅考慮了單個(gè)系統(tǒng),以車輛隊(duì)列為對象的工作較少,文獻(xiàn)[27]基于雙層控制策略設(shè)計(jì)車輛隊(duì)列協(xié)同控制算法,但單車系統(tǒng)穩(wěn)定性無法得到保證。

筆者所提出的分布式雙層策略可有效解決這類問題,且使得系統(tǒng)滿足相應(yīng)的控制性能。首先,在混合拓?fù)渫ㄐ畔?考慮具有狀態(tài)和控制輸入約束的非線性車隊(duì)系統(tǒng);然后,應(yīng)用MPC、滾動(dòng)時(shí)域策略以及構(gòu)造穩(wěn)定收縮約束建立車隊(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)一致性優(yōu)化問題,以遞推可行性以及弦穩(wěn)定的充分條件;最后,通過7輛車的數(shù)值仿真驗(yàn)證所提策略的有效性。

1 問題描述

考慮車隊(duì)系統(tǒng)由n輛車組成,其中1表示車隊(duì)中第1輛車。令車隊(duì)中每輛車i(i=1,2,…,n)可以接收到任意與其通信車輛j(j≠i)所傳遞的信息。在初始時(shí)刻,車隊(duì)跟蹤參考軌跡,其軌跡信息為(pdes,vdes),同時(shí)所有跟隨車輛i接收到期望速度vdes;在其他時(shí)刻,第1輛車跟蹤期望軌跡,其他車輛i(i=2,3,…,n)跟蹤前車i-1,并接收與本車通信車輛j(j∈Ωi)的狀態(tài)信息。假設(shè)車輛行駛在平坦的公路上,模型不存在干擾,且通信性能良好。

車輛i(i=1,2,…,n)的位置和速度由pi和vi表示,定義車輛i相對位置偏差ep,i=sdes-si-(i-1)d和速度偏差ev,i=vi-vdes。則車輛i的縱向偏差離散時(shí)間模型[16]為

(1)

umin,i≤ui≤umax,i

(2)

式中:umin,i<0;umax,i>0,且是有界的。通常情況下,車輛剎車性能好于加速性能,即控制輸入滿足|umin,i|≥|umax,i|以保證車輛良好的剎車性能。假設(shè)系統(tǒng)存在平衡點(diǎn)(xi,s,ui,s)滿足xi,s=fi(xi,s,ui,s)。對于每輛車i而言,其狀態(tài)變量可表示為xi(k)=[ep,i(k),ev,i(k)]T。為了書寫方便,將式(1)簡記為

xi(k+1)=fi(xi(k),ui(k))

(3)

定義1當(dāng)期望速度vdes在k=0時(shí)刻發(fā)生階躍變化時(shí),控制目標(biāo)是車隊(duì)中每輛車的狀態(tài)誤差關(guān)于原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的,則稱隊(duì)列系統(tǒng)具有內(nèi)部穩(wěn)定[13]。

定義2當(dāng)期望速度vdes在k=0時(shí)刻發(fā)生階躍變化時(shí),控制目標(biāo)是車隊(duì)中每輛車的狀態(tài)關(guān)于原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的,且閉環(huán)系統(tǒng)式(3)的位置誤差滿足以下關(guān)系式

(4)

對任意i=2,3,…,n存在βi∈(0,1),則稱為弦穩(wěn)定[13]。

假設(shè)車隊(duì)中包含n輛車,將每輛車視為一個(gè)節(jié)點(diǎn),該車隊(duì)中所有車輛表示為一組元素集合NG={1,2,…,n}。車輛間的通信方式可由一組有權(quán)重單向圖G=(NG,εG,A)表征。其中εG?{(i,j):i,j∈NG,j≠i}表示為邊緣集。A表示為鄰接矩陣,鄰接矩陣A用于描述在跟隨車輛的有向通信拓?fù)?其被定義為A=[aij]∈Rn×n,矩陣中每個(gè)元素aij可表示為

(5)

式中:(j,i)∈εG為在節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間存在一條有向路徑;aij為節(jié)點(diǎn)i從節(jié)點(diǎn)j接收到狀態(tài)信息。而aji是與aij不同的通信連接方式,其表示節(jié)點(diǎn)j從節(jié)點(diǎn)i接收到狀態(tài)信息。若從節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j存在一條路徑,其中節(jié)點(diǎn)i∈NG與節(jié)點(diǎn)j∈Ωi是連通的,Ωi表示為節(jié)點(diǎn)i的鄰居節(jié)點(diǎn)集合,其集合Ωi={j|aij=1,j∈NG},對偶集合Θi={j|aji=1,j∈NG},對于無向圖有Ωi=Θi。

對于?i,j∈NG×NG,節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j是連通的,則圖G是強(qiáng)連通的。當(dāng)存在根節(jié)點(diǎn)i∈NG,?j∈NG,在一條從節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j的路徑,則有向圖包含一條有向生成樹,其中有向樹是指它除了根節(jié)點(diǎn)之外,每個(gè)節(jié)點(diǎn)都只有一個(gè)父節(jié)點(diǎn),而根節(jié)點(diǎn)沒有父節(jié)點(diǎn),但它有一條路徑通往其他所有節(jié)點(diǎn)。其是隊(duì)列協(xié)同控制達(dá)到一致性的條件之一。

筆者目標(biāo)是針對非線性車隊(duì)系統(tǒng)協(xié)同一致性問題設(shè)計(jì)分布式分層控制,使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性和對應(yīng)的編隊(duì)隊(duì)形,保證安全性,同時(shí)使得車隊(duì)系統(tǒng)狀態(tài)達(dá)到一致穩(wěn)態(tài)。

2 車隊(duì)一致性DMPC

為了使動(dòng)態(tài)一致性性能在預(yù)測時(shí)域內(nèi)最小化,定義動(dòng)態(tài)一致性目標(biāo)函數(shù)為

(6)

問題1:

(7)

s.t.xi(t+1|k)=fi(xi(t|k),ui(t|k))

(8)

(xi(t|k),ui(t|k))∈Xi×Ui,t=1,2,…,N

(9)

xi(0|k)=xi(k),xi(N|k)∈Xi,T,i=1,2,…,n

(10)

(11)

Ji(xi(k),ui(k))≤φi(xi(k),λi)

(12)

考慮車輛隊(duì)列系統(tǒng)跟蹤性能,定義單車穩(wěn)定性目標(biāo)函數(shù)為

(13)

式中:Ji(xi(k),ui(k))=xTi(N|k)Pixi(N|k)+∑N-1 t=0xTi(t|k)Qixi(t|k)+uTi(t|k)Riui(t|k);矩陣Qi=QTi>0,Ri=RTi>0,Li:Xi×Ui→Ξi和Ei:Xi∈Ξi是連續(xù)有界的,Xi和Ui為凸集。則求解優(yōu)化問題為

問題2:

(14)

s.t.xi(t+1|k)=fi(xi(t|k),ui(t|k))

(15)

(xi(t|k),ui(t|k))∈Xi×Ui,t=1,2,…,N

(16)

xi(0|k)=xi(k),xi(N|k)∈Xi,T,i=1,2,…n

(17)

(18)

構(gòu)造收縮約束函數(shù),φi定義為

(19)

考慮問題1在k時(shí)刻可行,則根據(jù)滾動(dòng)時(shí)域控制原理,控制律表達(dá)式為

(20)

(21)

具體步驟如下:

步驟1初始化(k=0)為

1) 在k=0時(shí)刻,車輛i(i=1,2,…,n)接收參考速度vdes,且φi(xi(k),λi)為無窮大。此時(shí),第1輛車求解問題1,且不考慮約束式(11),并將求得的最優(yōu)狀態(tài)x*1,1(t|0)傳遞給后面所有跟隨車輛i(i=2,3,…,n),并將最優(yōu)控制輸入序列作用到本車系統(tǒng)。

2) 對于車輛i(i=2,3,…,n)接收由第1輛車傳遞的狀態(tài)x*1,1(t|0),t∈[0,N],此時(shí)求解問題1,并用約束為

(22)

步驟2迭代(k=1,2,…),每輛車執(zhí)行過程為

1) 車輛i(i=2,3,…,n)接收來自與車輛i相互通信的車輛j(j≠i,j∈Ωi),所假設(shè)的狀態(tài)信息。

2) 此時(shí)先求解問題2,用于更新φi(xi(k),λi),再求解問題1時(shí),隊(duì)列系統(tǒng)增加額外約束條件,對于第1輛車有

(23)

對于車輛i(i=2,…,n-1)有

(24)

3 穩(wěn)定性與弦穩(wěn)定

假設(shè)1在終端不變集Xi,T內(nèi)存在局部控制律ui=κi(xi)滿足κi(xi)?Ui和Ei(fi(xi,κi(xi))-Ei(xi)≤-Li(xi,κi(xi)),?xi∈Xi,T。

引理1存在以下參數(shù)條件成立時(shí),表達(dá)式為

(25)

則閉環(huán)系統(tǒng)位置誤差滿足式(11),其中參數(shù)(αi,εi-1,k,εi,k)∈(0,1)[16]。

定理1如果假設(shè)1成立,對任意給定λi≥0,優(yōu)化問題1在Xi,N中滿足遞推可行性,進(jìn)而Xi,N是閉環(huán)系統(tǒng)(21)的不變集。

(26)

(27)

對式(27)變換得

(28)

應(yīng)用三角不等式和約束式(24)得

(29)

可見文獻(xiàn)[13]引理3,并由初始化時(shí)刻約束式(22)得

(30)

根據(jù)式(27～30),并將式(28)代入式(29)得

(31)

(32)

把式(28)代入式(32)可得

(33)

得不等式(33)有界,且滿足

(34)

(35)

考慮控制序列(26),可得

(36)

根據(jù)式(35)和假設(shè)1,式(36)化簡可得

(37)

定理2如果假設(shè)1成立,且問題1在初始時(shí)刻存在可行解,則對給定λi∈[0,1),則xi,s是閉環(huán)系統(tǒng)式(21)在Xi,N內(nèi)漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn),且Xi,N是車輛i閉環(huán)系統(tǒng)的一個(gè)吸引域,XN=X1,N×X2,N×…×Xn,N為整個(gè)車隊(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的一個(gè)吸引域,且若約束式(22～24)成立,則車隊(duì)系統(tǒng)滿足弦穩(wěn)定。

證明對任意給定λi∈[0,1)優(yōu)化問題在初始時(shí)刻是可行的,根據(jù)定理1可知該優(yōu)化問題在k時(shí)刻存在可行解。

(38)

將式(37)代入式(38),并考慮假設(shè)1,整理得

(39)

由于λi∈[0,1),且Li(xi,ui)為正定函數(shù),所以值函數(shù)沿著閉環(huán)系統(tǒng)(21)的軌跡是嚴(yán)格單調(diào)遞減的。又因?yàn)镴i(xi,ui)是平衡點(diǎn)的正定函數(shù),從而平衡點(diǎn)是閉環(huán)系統(tǒng)式(21)在Xi,N內(nèi)漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)。Xi,N是車輛i閉環(huán)系統(tǒng)的一個(gè)吸引域,同理可得XN則是整個(gè)車輛隊(duì)列閉環(huán)系統(tǒng)的一個(gè)吸引域。

問題1在任意時(shí)刻存在可行解,且閉環(huán)系統(tǒng)式(21)關(guān)于平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定。由上述優(yōu)化問題可行推導(dǎo)過程可知,聯(lián)立式(22～24),滿足不等式(4),因此可建立閉環(huán)系統(tǒng)的弦穩(wěn)定。

4 仿真驗(yàn)證與結(jié)果分析

為驗(yàn)證筆者控制策略可在任意混雜通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下車隊(duì)系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性,實(shí)現(xiàn)一致性穩(wěn)態(tài),同時(shí)使得車隊(duì)系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中滿足隊(duì)形約束,保持安全車間距離,達(dá)到控制性能。利用7輛同質(zhì)車組成的車隊(duì),驗(yàn)證筆者策略有效性,其中混雜通信拓?fù)淙鐖D1所示。

圖1 混合通信拓?fù)銯ig.1 Mixed communication topologies

優(yōu)化問題預(yù)測時(shí)域N=12,算法中初始時(shí)刻k=0,期望速度vdes從19 m/s增加到20 m/s,車隊(duì)跟蹤新的期望速度,確保安全車間距離,直到速度誤差為0,車隊(duì)中各車速度相同,且相對期望位置誤差為0。在k=0時(shí),各車相對位置誤差為0,速度誤差為-1 m/s。式(13)和式(6)中懲罰權(quán)重取值分別為Qi=diag(0.5,2),Ri=1×10-5,Fi=[2,0;0,2],Gj=[2,0;0,2];車輛參數(shù)選取為mi=1 035.7 kg,Ci=0.99 N·s2·m-2,ri=0.30 m,μi=0.015 5,ηi=0.965,i=1,…,7。控制輸入ui的最小值和最大值分別為umin,i=-3 500 N,umax,i=3 500 N,其體現(xiàn)加速度取值,收縮函數(shù)(10)中λi=0.8。

系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)(xi,s,ui,s)處線性化模型求解LQR問題得終端罰函數(shù)Ei(xi)=(xi-xi,s)TPi(xi-xi,s)和局部控制器κi(xi)=Ki(xi-xi,s)+ui,s,其中平衡點(diǎn)為(xi,s,ui,s)=(0,0,48.908 7),終端域、矩陣和增益分別為Xi,T={xi∈Ξ2:Ei(xi)≤0.154},Pi=[9 054.705 7,432.710 8;432.710 8,42.313 0],Ki=[134 573.070 9,13 159.336 0]。

4.1 車隊(duì)一致性控制比較

在圖1(a)通信拓?fù)湎?首先考慮一致性目標(biāo)函數(shù)式(6),求解問題1用C-MPC表示。應(yīng)用筆者所提控制策略,求解雙層優(yōu)化問題記為DH-MPC,其中優(yōu)化問題約束為式(8～11),參數(shù)選取同上文所述。對7輛車組成的車隊(duì)進(jìn)行比較仿真。C-MPC與DH-MPC狀態(tài)曲線變化如圖2所示。由圖2可知:當(dāng)只考慮動(dòng)態(tài)一致性目標(biāo)(C-MPC)時(shí),車隊(duì)系統(tǒng)出現(xiàn)失穩(wěn)問題,未能滿足跟蹤穩(wěn)定性,且狀態(tài)未達(dá)到一致穩(wěn)態(tài)。而筆者提出的分布式雙層策略(DH-MPC)使得車隊(duì)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)跟蹤穩(wěn)定,狀態(tài)收斂于一致性穩(wěn)態(tài),且在車隊(duì)行駛過程中滿足隊(duì)形關(guān)系,即弦穩(wěn)定,同時(shí)車輛間保持安全間距,有效地實(shí)現(xiàn)車隊(duì)協(xié)同控制。

圖2 C-MPC與DH-MPC狀態(tài)曲線變化Fig.2 State curves of C-MPC and DH-MPC

4.2 車隊(duì)一致性控制

為了驗(yàn)證分布式雙層策略在任意通信拓?fù)湎率归]環(huán)車隊(duì)系統(tǒng)式(21)滿足跟蹤穩(wěn)定性和狀態(tài)一致性,并實(shí)現(xiàn)車隊(duì)協(xié)同控制,考慮圖1(b,c)兩種混合通信拓?fù)?仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 每輛車狀態(tài)曲線Fig.3 State curves of each vehicle

由圖2,3可知:在3種混合通信拓?fù)湎萝囮?duì)系統(tǒng)滿足跟蹤穩(wěn)定,各輛車具有相同的速度,相對位置偏差最終收斂于0,實(shí)現(xiàn)狀態(tài)一致性,并收斂于穩(wěn)態(tài),且在行駛過程中滿足弦穩(wěn)定,車輛間滿足安全間距,實(shí)現(xiàn)協(xié)同控制。同時(shí)加速度與車輛速度相對應(yīng),并在安全范圍內(nèi)。

5 結(jié) 論

首先在任意通信拓?fù)湎?針對具有狀態(tài)和控制約束的非線性車隊(duì)系統(tǒng)協(xié)同一致性穩(wěn)態(tài)問題,提出了混合通信拓?fù)浞植际诫p層控制策略;然后通過構(gòu)造收縮約束使跟蹤穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)一致性目標(biāo)相關(guān)聯(lián),并應(yīng)用MPC三要素法和滾動(dòng)時(shí)域建立了車隊(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性和優(yōu)化問題遞推可行性的充分條件;最后數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提策略可使車隊(duì)在任意通信方式下滿足跟蹤穩(wěn)定性,車輛間保持安全間距,且狀態(tài)收斂于一致性穩(wěn)態(tài),車隊(duì)達(dá)到相應(yīng)控制性能,實(shí)現(xiàn)協(xié)同控制。筆者研究為大型車隊(duì)系統(tǒng)的研究工作提供思路和參考,后續(xù)可進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)和研究。