鄭志強(qiáng)

求線段的最值問題一般以動(dòng)態(tài)形式呈現(xiàn)，同學(xué)們常因難以掌握運(yùn)動(dòng)中的數(shù)量關(guān)系導(dǎo)致無從下手.其實(shí)，解答此類問題主要依據(jù)三個(gè)定理：（1）兩點(diǎn)之間，線段最短;（2）直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短;（3）三角形任意兩邊之和大于第三邊或三角形任意兩邊之差小于第三邊（三點(diǎn)共線時(shí)取得最值）.同學(xué)們只要認(rèn)真分析、觀察圖形，根據(jù)不同的題型特征，依據(jù)上述三個(gè)定理就能找到解題途徑.

一、利用“垂線段最短”求線段最小值

在同一平面內(nèi)，直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.垂線段最短定理是破解線段最小值問題的基本策略之一.求線段的最值時(shí)，若所求線段長(zhǎng)可轉(zhuǎn)化為求一點(diǎn)到某一直線的距離，則將之轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，再利用“垂線段最短”定理，過該點(diǎn)作此直線的垂線，最后計(jì)算垂線段的長(zhǎng)即可.

例1

分析：

解：

二、利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求線段和最小值

兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短.求兩條線段之和最小時(shí)，若已知的兩點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)所在直線的同側(cè)，可將動(dòng)點(diǎn)所在的直線當(dāng)作對(duì)稱軸，作出其中一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，再將另一點(diǎn)與這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)連接，這樣把兩條線段的和變?yōu)橐粭l線段來研究，利用兩點(diǎn)之間線段最短，就可以得出答案.

例2

分析：

解：

三、利用三角形三邊關(guān)系求線段最大值

三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.我們?cè)诶萌切稳呹P(guān)系來解答最值問題時(shí)，構(gòu)造出合適的三角形是解題的關(guān)鍵.一般情況下，需要找出兩條固定線段，與要求的線段構(gòu)成三角形，這個(gè)三角形有兩條邊為定值，另外一邊即為待求線段，然后利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行分析和解答.

例3

分析：取AB的中點(diǎn)D，連接CD.根據(jù)三角形的邊角關(guān)系得到OC小于等于OD+DC 只有當(dāng)0、D及C共線時(shí)，OC取得最大值，最大值為OD+CD，根據(jù)勾股定理和直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

解：

最值問題是一類常見問題，無論是在代數(shù)問題中還是幾何問題中，同學(xué)們都會(huì)碰到求最值的問題.在運(yùn)用幾何中的性質(zhì)、定理求解線段最值問題時(shí)，同學(xué)們要學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去研究和觀察圖形，把握運(yùn)動(dòng)中的不變量，針對(duì)題目特點(diǎn)，合理地利用“垂線段最短”“兩點(diǎn)之間，線段最短”等定理，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的常見問題來解答.