周?？? 劉俊輝 楊夏 李婧超 張超東 孫利民

摘 要：基于某大跨斜拉橋 5根拉索1年的加速度和溫度監(jiān)測數(shù)據(jù)，系統(tǒng)分析了在良好天氣和暴雨天氣下拉索模態(tài)參數(shù)和索力的變化特征.使用快速傅里葉變換和隨機子空間法識別模態(tài)頻率和阻尼比.對比發(fā)現(xiàn)，暴雨天氣下拉索振幅大，低階模態(tài)的振動明顯，模態(tài)阻尼比在兩種天氣下有一定的差異性.使用頻率法計算得到了各拉索連續(xù)一年的索力值，其為非平穩(wěn)時間序列，且具有年和日周期性的波動.索力-索溫關(guān)系分析表明，各拉索索力-索溫的關(guān)系各 不同，同一根拉索在不同溫度范圍內(nèi)的索力-索溫關(guān)系也可能存在很大的差異.使用半功率帶 寬法計算得到了各拉索連續(xù)一年的阻尼比，得到了自相關(guān)函數(shù)和其自功率譜，并擬合得到了阻尼比的邊緣概率密度分布函數(shù).分析表明，各拉索阻尼比具有時長為1d、12h、6 h的周期成分，其邊緣概率密度函數(shù)可用Burr分布描述.拉索的阻尼比受環(huán)境溫度的影響較小，受車輛荷 載的影響較大.

關(guān)鍵詞：拉索振動;監(jiān)測數(shù)據(jù);模態(tài)參數(shù);索力;溫度效應;變異性分析

中圖分類號：U448.27，U448.14 文獻標志碼：A

Modal Parameter Variance Analysis of Stay Cable Based on Monitoring Data

ZHOU Haijun1，LIU Junhui2，YANG Xia1，LI Jingchao3，ZHANG Chaodong1?，SUN Limin4（1.Institute of Urban Smart Transportation & Safety Maintenance，Shenzhen University，Shenzhen 518060，China;

2.Shenzhen Water Group Co，Ltd，Shenzhen 518060，China;

3.College of Mathematics and Statistics，Shenzhen University，Shenzhen 518060，China;

4.State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering（Tongji University），Shanghai 200092，China）

Abstract：The time-varying characteristics of cable modal parameters and cable tensions under good weather and heavy rain are systematically analyzed based on the one-year acceleration and temperature monitoring data of five cables on a long-span cable-stayed bridge.The modal frequency and damping ratio are derived using the fast Fourier transform（FFT） and stochastic random identification（SSI） method.It is found that the cable vibratesgreatly under wind and rain conditions.The low-order mode dominates the vibration，and the modal damping ratio has certain differences in the two circumstances.The tension force of each cable throughout the year，derived using the frequency method，is a non-stationary time series and has annual and daily periodic fluctuations.The correlation analysis of the cable tension and temperature shows that the correlation between the two of each cable is different，even differs on the same cable in different temperature ranges.The half-power bandwidth method is used to calculate the damping ratio of each cable for one year，the autocorrelation function and its self-power spectrum are obtained，and the edge probability density distribution function of the damping ratio is also obtained by fitting.The analysis shows that the damping ratio of each cable has the periodic components of1day，12hours，and6 hours，and its edge probability density function can be described by Burr distribution.The damping ratio of the cable is less affected by the ambient temperature but more by the vehicle load.

Key words：cable vibration;monitoring data;modal parameters;cable tension force;temperature effects;vari-ance analysis

斜拉橋具有適應性強、跨度大、橋塔和索面造型 優(yōu)美多變等特性而得到了廣泛應用，但其主要承重構(gòu)件斜拉索易于受到外界環(huán)境因素激勵而產(chǎn)生振動.斜拉索的大幅振動不僅會影響橋梁的安全和舒 適性，還會引起索梁錨固區(qū)出現(xiàn)疲勞裂紋、拉索保護 層脫落等病害[1-2].受腐蝕、疲勞等病害而損傷嚴重的斜拉索可能會突然失效并引發(fā)橋梁的坍塌 [3-4]，典 型如意大利莫蘭迪橋及我國臺灣南方澳跨港大橋.因此，極有必要采用橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測（SHM）系統(tǒng)[5]對拉索的振動及其狀態(tài)進行監(jiān)測.拉索的振動監(jiān)測一般使用加速度計記錄加速度時程數(shù)據(jù)，通過加速度數(shù)據(jù)計算索力和阻尼比[6-8].

橋梁狀態(tài)的異常變化必然會導致索力重分布，而索力數(shù)據(jù)易于獲得[9-10]，因此索力數(shù)據(jù)為橋梁損傷的監(jiān)測提供了重要的依據(jù).Hua和Ni等[11]以及Li和Wei等[12]都通過索力分布的變化，成功地識別了橋梁的損傷.索力變化會受到環(huán)境因素如溫度、風和車 輛荷載等影響[13-14].已有研究表明由環(huán)境因素，尤其是溫度的影響[15-16]，引起的索力變化可能會遠大于橋梁損傷引起的索力變化.Liu和Huang等人[17]通過索力和溫度的線性擬合，以考慮溫度對索力的影響.Zhou和Ni等人[18]通過使用反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡技術(shù)，建立了損傷敏感模態(tài)特性與溫度之間的相關(guān)性模型，以消除溫度的影響.Chen和Wu等[19-23]通過確定有效溫度，研究了拉索溫度、梁溫度和塔溫度對索力的影響，然后通過經(jīng)驗模式分解（EMD）的方法去除有效溫度對索力的影響，并通過索力殘差確定損傷 閾值.阻尼比直接反映拉索的耗能能力[24]，是拉索的基本動力性能參數(shù).對于安裝有阻尼器的斜拉索，拉索阻尼比的大小變化可為斜拉索上阻尼器的狀態(tài)評 估提供參考，指導阻尼器的更換維修或參數(shù)調(diào)整.此 外，在各類阻尼器的設計中，阻尼比是減振效果檢驗中非常重要的指標參數(shù)[25].因此，對斜拉索的阻尼比進行實時的監(jiān)測和分析也具有十分重要的意義.

本文研究了國內(nèi)某大型斜拉橋健康監(jiān)測系統(tǒng)所采集的5根具有代表性的斜拉索1年的振動加速度和溫度數(shù)據(jù)，研究成果可為橋梁拉索構(gòu)件狀態(tài)評估 提供重要參考.

1某斜拉橋概況及其健康監(jiān)測系統(tǒng)

圖1所示為某全漂浮體系斜拉橋，橋跨布置為（92+258+730+258+92）m=1430m，采用雙索面上下游對稱布置，每個索面 48對斜拉索，全橋共計96對（192根）斜拉索.

大橋安裝有健康監(jiān)測系統(tǒng)，其中20根拉索安裝有加速度和溫度傳 感器，編 號分別為SSZ1101～ SSZ1110、SSZ1201～SSZ1210，其位置如圖1所示.傳感器使用特定的夾具安裝在拉索上，采樣頻率為50Hz.該斜拉橋在橫橋向和縱橋向均對稱布置，因此僅 選取具有代表性的半跨1個索面 5根拉索SSZ1101～ SSZ1105的1年的監(jiān)測數(shù)據(jù)（2012年8月1日至2013年8月1日）.5根斜拉索相關(guān)參數(shù)見表1.

5根拉索可大致分為長索（SSZ1101、SSZ1102、SSZ1105）和短索（SSZ1103、SSZ1104）兩類.由于文章 篇 幅所限，本文以下取 長索SSZ1102和短索SSZ1103兩根拉索的監(jiān)測數(shù)據(jù)為例重點闡述.圖2所示為兩拉索加速度時程，可見在2012年8月8 日、2012年12月29日、2013年4月6 日、2013年6月7 日、2013年7月5 日的加速度幅值都明顯大于日常加速度幅值，長索SSZ1102在2013年6月7 日的加速度幅值更是高達3m/s2.

進一步分析加速度幅值較大的時間段對應的天氣情況，如表2所示，該時間段均為風雨天氣或臺風 作用期，表明可能是因為風雨共同作用導致上述大幅振動現(xiàn)象.

2 不同天氣拉索振動特性差異性分析

為比較拉索在不同天氣下的振動模態(tài)參數(shù)，截 取良好天氣情況下（6月4 日的08：00—6月5 日02：00時間段，天氣狀況為：多云，風力3級，溫度21～26℃）和暴雨期間（2013年6月7 日至6月8 日，天氣狀況為：暴雨，臺風 5～6 級，溫度20～24℃）各根拉索的加速度進行對比分析.

采用快速傅里葉變換對拉索加速度進行分析.圖3為拉索SSZ1102和SSZ1103的加速度頻譜圖.此時SSZ1101～SSZ1105 號拉索最明顯的振動模態(tài)頻率分別為：2.535Hz（第8階）、2.722hz（第7階）、17.47Hz（第13階）、17.25 Hz（第13階）、3.059Hz（第10階）.

圖4為拉索在2013年6月7 日至8 日暴雨期間的加速度時程曲線，可見在6月7 日的08：00—8 日02：00時間段內(nèi)加速度幅值較大，當天 SSZ1101～SSZ1105 號拉索的振動加速度幅值分別為：2 542mm/s2、2938 mm/s2、900mm/s2、843mm/s2、2636 mm/s2.特別地，在6月7 日的16：00—20：00時間段內(nèi)各拉索加速度幅值均出現(xiàn)一個下凹谷底，這可能是因為熱帶氣旋中心通過橋址風速減小所導致.

截取風雨天氣（6月7 日的08：00—6月8 日02：00時間段）時加速度時程，對其進行快速傅里葉變換頻 譜分析，其中拉索SSZ1102和SSZ1103的計算結(jié)果如圖5所示.SSZ1101～ SSZ1105 號拉索最明顯的振動模態(tài)頻率分別為1.895Hz（第6階）、2.722hz（第7階）、3.903Hz（第3階）、3.859Hz（第3階）、2.134Hz（第7階）.分析表明，各拉索低階部分的模態(tài)頻率所對應的頻譜圖縱坐標振動幅值大于高階部分的模態(tài)頻率對應的振動幅值，尤其是長索（SSZ1101、SSZ1102、SSZ1105）更為明顯.

進一步計算得到SSZ1101～SSZ1105 拉索在暴雨 天氣和良好天氣兩種時間段的加速度頻譜縱坐標最大幅值比值分別為53、100、3.0、3.7、29，可見風雨作用下各拉索加速度頻譜圖中的縱坐標最大幅值均有明 顯的增加，尤 其是 長索（SSZ1101、SSZ1102、SSZ1105）增幅達數(shù)十甚至上百倍.

采用隨機子空間算法進一步分別求得在風雨天氣和良好天氣情況下SSZ1101～SSZ1105 號拉索的各階模態(tài)的振動頻率和阻尼比[5，26]，其中拉索SSZ1102和SSZ1103的計算結(jié)果如圖6所示.結(jié)果表明，長索和短索的模態(tài)阻尼比在良好天氣時和風雨天氣時有一定的差異性.短索（SSZ1103、SSZ1104）模態(tài)阻尼比在風雨天氣下整體較良好天氣下小.

在風雨環(huán)境下，長索的阻尼比隨著頻率的增大整體呈現(xiàn)上升趨勢，對于短索其阻尼比隨頻率變化波動較大但無明顯的趨勢，分布較為離散.而在良好的天氣環(huán)境中無論是長索還是短索，阻尼比隨頻率的變化波動都不大.風雨環(huán)境下拉索振動時各階模態(tài)阻尼比的變化大于良好天氣環(huán)境下各階模態(tài)阻尼比的變化.在風雨環(huán)境下長索最大阻尼比為0.51%，短索最大阻尼比為3.78%;良好環(huán)境下長索最大阻尼比為0.47%，短索最大阻尼比為1.29%.

綜上，在風雨條件下長索大部分低階模態(tài)阻尼比降低，高階模態(tài)阻尼比增加;短索大部分模態(tài)阻尼比有所增加.需要指出的是，本文中識別的阻尼比包含了各種因素的影響，包括拉索所受的外界激勵和自身振動幅值的影響.在風雨天氣時長索低階模態(tài)阻尼比的降低與其大幅振動互為驅(qū)動因果.不同天氣時拉索的加速度幅值及根據(jù)頻譜圖中最大振幅對應的振動模態(tài)阻尼比如表3、表4所示，可見長短拉索在風雨天氣情況下加速度幅值遠大于良好天氣情況下的振動幅值，阻尼比的變化規(guī)律也與上述推斷一致.

3 頻率及索力變化分析

本文采用頻率法計算索力，為簡化起見采用張緊弦理論計算公式[6]：

式中：H為索力;n為拉索自振頻率的階數(shù);fn為拉索第n階自振頻率;L為計算索長;ρ為拉索的線密度.

由于拉索頻率和索力有式（1）所示的明確關(guān)系，本文重點以索力來闡述，可反映拉索頻率差異性.以SSZ1102 號拉索的加速度時程為例闡明索力計算過程.先對加速度數(shù)據(jù)進行快速傅里葉變換求得拉索振動頻率.由于拉索第八階模態(tài)頻率在各時間段內(nèi) 幅值較大且穩(wěn)定出現(xiàn)，因此被用于計算索力.取加速度時長為1200s、步長10s 循環(huán)計算可得到連續(xù)時間段內(nèi)的索力變化值.圖7所示為計算得到的兩根典型拉索2012年8月1日 —2013年8月1日的索力變化值.

由圖7可見，索力以日為基本周期波動，這主要是由于溫度、車輛荷載和風的日變化效應所致，平穩(wěn) 性檢驗（ADF）結(jié)果表明該時間序列非平穩(wěn).

結(jié)果顯示，SSZ1101～SSZ1105索力變化量占平 均索力的比例分別為2.70%、3.94%、3.51%、4.94%、2.62%，均小于索力平均值的5%.可見該橋拉索索力主要由恒載索力控制.圖7表明拉索索力的變化和溫度有很大的相關(guān)性.2012年8月至2013年8月期 間拉索SSZ1102的溫度如圖8所示，可見全年索溫的變化范圍為47℃，平均溫度為17℃.索溫與索力存在相同的變化趨勢，平穩(wěn)性檢驗（ADF）結(jié)果也表明索溫時間序列為非平穩(wěn).

表5給出了各拉索的索力和索溫的線性相關(guān)系數(shù)，可見各拉索索力與索溫的線性相關(guān)系數(shù)差異很大.為了進一步分析索力與索溫之間的關(guān)系，圖9給 出了拉索的索力和索溫的散點圖.

表5顯示 SSZ1102和SSZ1105的索力-索溫關(guān)系都表現(xiàn)出線性正相關(guān)，但前者的線性相關(guān)性（相關(guān)系數(shù)0.815）明顯強于后者（相關(guān)系數(shù)0.650）.其余三根索索力和索溫整體表現(xiàn)為負相關(guān)，其中SSZ1103（見圖9（b））的索力和索溫在溫度低于30℃時表現(xiàn)出線 性負相關(guān)，但當溫度超過30℃時呈線性正相關(guān)，且 SSZ1103的線性關(guān)系明顯強于SSZ1104.由此可見，不同拉索索力和索溫的相關(guān)關(guān)系是不一樣的，甚至同一根拉索在不同的溫度范圍內(nèi)，其索力與索溫的關(guān)系也不一樣，這可能與主梁不同位置在溫度作用下的變形不同有關(guān).

4阻尼比變異性分析

本文采用半功率帶寬法計算拉索的模態(tài)阻尼比[27]：

式中：ξ為阻尼比;f為共振頻率;fL和fH是反應振幅等于共振振幅乘于1/? 2時的前后兩個頻率.以60min的加速度數(shù)據(jù)計算拉索阻尼比，以步長為1min 連續(xù) 計算得到持續(xù)變化的阻尼比值.由前述可知，在這 5根拉索中，長索以第8階模態(tài)振動為主，短索以第2階模態(tài)振動為主，因此本文中長索計算第8階模態(tài)阻尼比，短索計算第2階模態(tài)阻尼比.

圖10所示為拉索SSZ1102、SSZ1103在2012年8月1日至2013年8月1日期間的阻尼比，可見在一整年的阻尼比變化中，在2013年2月與3月之間存在一個較小的“缺口”，該區(qū)間的阻尼比明顯比其他時間段小得多.該缺口對應的時間段剛好為2013年2月1日至2月18 日的春節(jié)假期，很可能與春節(jié)期間 車輛荷載的變化有關(guān).

分別對長索和短索一整年的阻尼比時變數(shù)據(jù)計算其自相關(guān)函數(shù)，如圖11所示.一般認為，相關(guān)系數(shù)低于0.3為相關(guān)性較低甚至是不相關(guān).故在圖中標出了相關(guān)性衰減至0.3處的點以及所對應的時間.從圖11中我們可以看到阻尼比的自相關(guān)系數(shù)分別在延遲 47 min、61min 后降到0.3以下，之后繼續(xù)減小，最后在0附近波動.

圖12所示為SSZ1102和SSZ1103號拉索阻尼比數(shù)據(jù)的自功率譜，可以看出該組數(shù)據(jù)存在分別為1d、12h、6 h的變化周期，3個周期的強弱隨時間的減少而衰減.

如圖13所示，統(tǒng)計分析拉索阻尼比的邊緣概率密度分布函數(shù)發(fā)現(xiàn)，其均符合 Burr分布.SSZ1101～ SSZ1105 五根拉索阻尼比結(jié)果匯總?cè)绫?所示，可見 拉索振動模態(tài)阻尼比的均值低于0.5%的減振目標 要求.短索2階模態(tài)阻尼比的均值和標準差均大于長索8階模態(tài)阻尼比的均值和標準差.此外，阻尼比的標準差為均值的1/3左右，表明服役環(huán)境下測得的拉索阻尼比離散性極大.此外進一步的分析表明拉索的阻尼比受環(huán)境溫度的影響非常小，此處不再 贅述.

5結(jié)論

1）風雨天氣環(huán)境下，斜拉索低階模態(tài)頻率的振動更為明顯，斜拉索振動的加速度幅值遠大于良好 天氣環(huán)境下，長索尤為明顯.與良好天氣環(huán)境相比，在風雨條件下長索的低階模態(tài)阻尼比降低，高階模態(tài)阻尼比增大，短索各模態(tài)阻尼比均有所增大.

2）索力存在明顯的日和年周期變化.大橋不同位置拉索的索力與索溫的關(guān)系不同，甚至是同一根拉索，在不同溫度范圍內(nèi)索力和索溫的關(guān)系也可能存在很大的差異.

3）拉索阻尼比受溫度影響很小，但與車輛荷載 存在著相關(guān)性.阻尼比的自相關(guān)函數(shù)隨時間間隔增加迅速變小為0，中間存在著1d、12h、6 h的變化周期.

4）拉索阻尼比的概率密度函數(shù)服從Burr分布，其均值變化范圍為0.18%～0.35%，標準差為0.065%～0.11%，對應的變異系數(shù)稍大于0.3.

參考文獻

[1]WU Q，TAKAHASHI K，NAKAMURA S.Non-linear response of

cables subjected to periodic support excitation considering cable loosening[J].Journal of Sound and Vibration，2004，271（1/2）： 453-463.

[2]LILIEN J L，DA COSTA A P.Vibration amplitudes caused by

parametric excitation of cable stayed structures [J].Journal of Sound and Vibration，1994，174（1）：69-90.

[3]DAS R，PANDEY A D，SOUMYA，et al.Progressive collapse of a

cable stayed bridge [J].Procedia Engineering，2016，144：132-139.

[4]ZHOU Y F，CHEN S R.Numerical investigation of cable breakage

events on long-span cable-stayed bridges under stochastic traffic and wind[J].Engineering Structures，2015，105：299-315.

[5]WANG H，MAO J X，XU Z D.Investigation of dynamic properties

of a long-span cable-stayed bridge during typhoon events based on structural health monitoring[J].Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics，2020，201：104172.

[6]KIM B H，PARK T.Estimation of cable tension force using the

frequency-based system identification method [J].Journal of Sound and Vibration，2007，304（3/4/5）：660-676.

[7]REN W X，HU W H.Cable modal parameter identification.Ⅰ ：

theory [J].Journal of Engineering Mechanics，2009，135（1）： 41-50.

[8]REN W X，HU W H.Cable modal parameter identification.Ⅱ ：

modal tests[J].Journal of Engineering Mechanics，2009，135（1）： 51-61.

[9]晏班夫，陳澤楚，朱子綱.基于非接觸攝影測量的拉索索力測試[J].湖南大學學報（自然科學版），2015，42（11）：105-110.YAN B F，CHEN Z C，ZHU Z G.Cable force identification based on non-contact photogrammetry system[J].Journal of Hunan Uni-versity（Natural Sciences），2015，42（11）：105-110.（In Chinese）

[10]唐盛華，方志，楊索.考慮邊界條件的頻率法測索力實用公式[J].湖南大學學報（自然科學版），2012，39（8）：7-13.

TANG S H，F(xiàn)ANG Z，YANG S.Practical formula for the estima-tion of cable tension in frequency method considering the effects of boundary conditions[J].Journal of Hunan University（Natural Sci-ences），2012，39（8）：7-13.（In Chinese）

[11]HUA X G，NI Y Q，CHEN Z Q，et al.Structural damage detection

of cable-stayed bridges using changes in cable forces and model updating[J].Journal of Structural Engineering，2009，135（9）：1093-1106.

[12]LI S L，WEI S Y，BAO Y Q，et al.Condition assessment of cables

by pattern recognition of vehicle-induced cable tension ratio[J].Engineering Structures，2018，155：1-15.

[13]LI H，ZHANG F J，JIN Y Z.Real-time identification of time-

varying tension in stay cables by monitoring cable transversal ac-celeration[J].Structural Control and Health Monitoring，2014，21（7）：1100-1117.

[14]XU Z D，WU Z S.Simulation of the effect of temperature variation

on damage detection in a long-span cable-stayed bridge[J].Struc-tural Health Monitoring，2007，6（3）：177-189.

[15]SOHN H.Effects of environmental and operational variability on

structural health monitoring[J].Philosophical Transactions.Series A，Mathematical，Physical，and Engineering Sciences，2007，365（1851）：539-560.

[16]YANG D H，YI T H，LI H N，et al.Monitoring and analysis of ther-

mal effect on tower displacement in cable-stayed bridge[J].Mea-surement，2018，115：249-257.

[17]LIU X L，HUANG Q，REN Y，et al.Extraction of cable forces due

to dead load in cable-stayed bridges under random vehicle loads[J].Journal of Southeast University（English Edition），2015，31（3）：407-411.

[18]ZHOU H F，NI Y Q，KO J M.Eliminating temperature effect in

vibration-based structural damage detection[J].Journal of Engi-neering Mechanics，2011，137（12）：785-796.

[19]CHEN C C，WU W H，LIU C Y.Effects of temperature variation

on cable forces of an extradosed bridge[C]//Proceedings of the6th European Workshop on Structural Health Monitoring.Dresden，Germany，2012.

[20]CHEN C C，WU W H，LIU C Y，et al.Damage detection of acable-stayed bridge based on the variation of stay cable forces eliminating environmental temperature effects [J].Smart Struc-tures and Systems，2016，17（6）：859-880.

[21]CHEN C C，WU W H，LIU C Y，et al.Elimination of environmen-tal temperature effect from the variation of stay cable force based on simple temperature measurements [J].Smart Structures and Systems，2017，19（2）：137-149.

[22]WU W H，CHEN C C，JHOU J W，et al.A rapidly convergent em-pirical mode decomposition method for analyzing the environmen-tal temperature effects on stay cable force [J].Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering，2018，33（8）：672-690.

[23]CHEN C C，WU W H，LIU C Y，et al.Diagnosis of instant and

long-term damages in cable-stayed bridges based on the variation of cable forces[J].Structure and Infrastructure Engineering，2018，14（5）：565-579.

[24]郭震山，陳艾榮.纜索支承橋梁模態(tài)阻尼特性及理論分析[J].同濟大學學報（自然科學版），2005，33（1）：1-5.

GUO Z S，CHEN A R.Characteristics and theoretical analysis of modal damping of cable-supported bridges[J].Journal of Tongji University（Natural Science），2005，33（1）：1-5.（In Chinese）

[25]周?？?，丁煒，孫利民.拉索-阻尼器-彈簧系統(tǒng)的阻尼特性分析[J].工程力學，2014，31（1）：79-84.

ZHOU H J，DING W，SUN L M.Damping of taut cable with a damper and spring[J].Engineering Mechanics，2014，31（1）：79-84.（In Chinese）

[26]張笑華，任偉新，禹丹江.結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別的隨機子空間法[J].福州大學學報（自然科學版），2005，33（S1）：46-49.?????? ZHANG X H，REN W X，YU D J.Structural modal parameter identification appling stochastic subspace identification[J].Jour-nal of Fuzhou University（Natural Science Edition），2005，33（S1）：46-49.（In Chinese）

[27]CHOPRA A K.結(jié)構(gòu)動力學理論及其在地震工程中的應用[M].謝禮立，呂大剛，譯.北京：高等教育出版社，2007.

CHOPRA A K.Dynamics of structures：theory and applications to earthquake engineering[M].Translated by XIE L L，L? D G.Bei-jing：Higher Education Press，2007.（In Chinese）