王艷

[摘 要]兩點(diǎn)間的距離公式是重要的數(shù)學(xué)解題工具，特別是當(dāng)兩點(diǎn)所在直線(xiàn)平行[y]軸時(shí)，該公式會(huì)變得更簡(jiǎn)潔，運(yùn)用該公式能解決很多數(shù)學(xué)題目。

[關(guān)鍵詞]兩點(diǎn)間的距離公式;解題;研究

[中圖分類(lèi)號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2022）14-0010-03

在考題中，經(jīng)常遇到平行[y]軸的直線(xiàn)上的兩點(diǎn)之間的距離計(jì)算問(wèn)題，利用兩點(diǎn)間的距離公式可計(jì)算線(xiàn)段的最值、圖形面積的最值、點(diǎn)的坐標(biāo)等。下面就結(jié)合一道考題談?wù)剝牲c(diǎn)間的距離公式的具體運(yùn)用。

一、題目呈現(xiàn)

2022年北京冬奧會(huì)即將召開(kāi)，激起了人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的極大熱情。如圖1是某跳臺(tái)滑雪訓(xùn)練場(chǎng)的橫截面示意圖，取某一位置的水平線(xiàn)為[x]軸，過(guò)跳臺(tái)終點(diǎn)[A]作水平線(xiàn)的垂線(xiàn)為[y]軸，建立平面直角坐標(biāo)系，圖中的拋物線(xiàn)[C1]：[y=-112x2+76x+1]近似表示滑雪場(chǎng)地上的一座小山坡，某運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)[O]正上方4米處的[A]點(diǎn)滑出，滑出后沿一段拋物線(xiàn)[C2]：[y=-18x2+bx+c]運(yùn)動(dòng)。

（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到離[A]處的水平距離為4米時(shí)，離水平線(xiàn)的高度為8米，求拋物線(xiàn)[C2]的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)出自變量[x]的取值范圍）;

（2）在（1）的條件下，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)的水平距離為多少米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離為1米？

（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到坡頂正上方，且與坡頂距離超過(guò)3米時(shí)，求[b]的取值范圍。

二、題目分析

考題以2022年北京冬奧會(huì)為問(wèn)題背景，以二次函數(shù)為知識(shí)基礎(chǔ)，以解析式的確定、豎直距離、不等式為問(wèn)題解決的主渠道，以待定系數(shù)法、兩點(diǎn)間的距離公式、不等式思想、數(shù)形結(jié)合思想為主要解題思路，體現(xiàn)“數(shù)學(xué)源于生活，同時(shí)服務(wù)生活”，實(shí)現(xiàn)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的雙向融合。

三、解法探究

（1）∵拋物線(xiàn)[C2]：[y=-18x2+bx+c]過(guò)點(diǎn)（0，4）和（4，8），∴[c=4，-18×42+4b+c=8，]解得：[c=4，b=32，]

∴拋物線(xiàn)[C2]的函數(shù)解析式為[y=-18x2+32x+4]。

（2）設(shè)當(dāng)運(yùn)動(dòng)水平距離是m米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離是1米，設(shè)豎直直線(xiàn)與[C1]：[y=-112x2+76x+1]交于點(diǎn)[B]，與[C2]：[y=-18x2+32x+4]交于點(diǎn)[A]，根據(jù)題意，得[Am，-18m2+32m+4]，[Bm，-112m2+76m+1]，∵[AB∥y]軸，∴[AB=yA-yB=-18m2+32m+4--112m2+76m+1=1]，整理得[m2-8m-48=0]，∴[（m-12）（m+4）=0]，解得[m1=12]，[m2=-4]（舍去）。

∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)水平距離是12米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離是1米。

（3）∵[C1]：[y=-112x2+76x+1=-112（x-7）2+6112]，∴運(yùn)動(dòng)員水平運(yùn)動(dòng)7米時(shí)到達(dá)坡頂，此時(shí)[y1=6112]。根據(jù)題意得[y2=-18×72+7b+4]，∵運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到坡頂正上方，且與坡頂距離超過(guò)3米，∴[y2-y1>3]，∴[-18×72+7b+4-6112>3]，解得[b>3524]。

四、思考

透過(guò)考題，我們得到如下啟示：

第一，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)夯實(shí)基礎(chǔ)是關(guān)鍵，如這里的待定系數(shù)法，是一種基本方法，解方程組是方法的核心。若是基礎(chǔ)不牢，連方程組都不能正確解答，后面的問(wèn)題就難以解決。

第二，抓住問(wèn)題的關(guān)鍵。解答時(shí)，充分利用函數(shù)的解析式，用好“橫坐標(biāo)相同”這一特殊條件，表示點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用豎直距離等于兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值建立不等式，也體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想。

第三，用活各種數(shù)學(xué)思想是解題的靈魂和指南。

五、變式應(yīng)用

（一）反比例函數(shù)中，求三角形面積的最小值

[例1]如圖2，直線(xiàn)[y=-x+m]與雙曲線(xiàn)[y=-2x]相交于[A]，[B]兩點(diǎn)，[BC∥x]軸，[AC∥y]軸，則[△ABC]面積的最小值為? ? ? ? ? ? 。

解：設(shè)[A（x1， y1）]，[B（x2， y2）]，則點(diǎn)[C（x1， y2）]，[BC=x2-x1]，[AC=y1-y2]，∵直線(xiàn)[y=-x+m]與雙曲線(xiàn)[y=-2x]相交于[A]，[B]兩點(diǎn)，[BC∥x]軸，[AC∥y]軸，∴點(diǎn)[C（x1， y2）]，[BC=x2-x1]，[AC=y1-y2=x2-x1]，∴[S△ABC=12AC·BC=12（x2-x1）2=12（x2+x1）2-4x2x1]。根據(jù)題意，[x1]，[x2]是方程[-2x=-x+m] 的兩個(gè)根，∴[x1]，[x2]是方程[x2-mx-2=0]的兩根，∴[x1+x2=m]，[x1x2=-2]，∴[S△ABC=12m2+4]，∴當(dāng)[m=0]時(shí)，[S△ABC]有最小值，且為4，故答案為4。

（二）當(dāng)線(xiàn)段最長(zhǎng)時(shí)，求線(xiàn)段和的最小值

[例2]如圖3，拋物線(xiàn)[y=-12x2+bx+c]與[x]軸交于[A]、[B]兩點(diǎn)，與[y]軸交于點(diǎn)[C]，直線(xiàn)[y=-12x+2]過(guò)[B]、[C]兩點(diǎn)，連接[AC]。

（1）求拋物線(xiàn)的解析式;

（2）求證：[△AOC∽△ACB];

（3）點(diǎn)[M（3， 2）]是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，點(diǎn)[D]為拋物線(xiàn)上位于直線(xiàn)[BC]上方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)[D]作[DE⊥x]軸交直線(xiàn)[BC]于點(diǎn)[E]，點(diǎn)[P]為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線(xiàn)段[DE]的長(zhǎng)度最大時(shí)，求[PD+PM]的最小值。

解：（1）∵直線(xiàn)[y=-12x+2]過(guò)[B]、[C]兩點(diǎn)，∴[B（4， 0）]，[C（0， 2）]，根據(jù)題意得[-8+4b+c=0，c=2，]解得[b=32，c=2，]∴拋物線(xiàn)的解析式為[y=-12x2+32x+2];

（2）∵二次函數(shù)[y=-12x2+32x+2]與[x]軸交于點(diǎn)[A]，∴[-12x2+32x+2=0]，解得[x1=4]，[x2=-1]，∴點(diǎn)[A（-1， 0）]，∴[AO=1]，[AB=4-（-1）=5]，

在[Rt△AOC]中，[AO=1]，[OC=2]，∴[AC=5]，∴[AOAC=ACAB=55]，又∵[∠OAC=∠CAB]，∴[△AOC∽] [△ACB];

（3）設(shè)點(diǎn)[D]的坐標(biāo)為[m，-12m2+32m+2]，此時(shí)點(diǎn)[E]的坐標(biāo)為[m，-12m+2]，

∴[DE=-12m2+32m+2--12m+2=-12m2+2m]，∵[-12<0]，∴當(dāng)[m=2]時(shí)，線(xiàn)段[DE]取最大值，∴點(diǎn)[D（2， 3）]，∵[C（0， 2）]，[M（3， 2）]，∴點(diǎn)[C]和點(diǎn)[M]關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，連接[CD]交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)[P]，此時(shí)點(diǎn)[P]即為[PD+PM]最小的位置，連接[CM]，設(shè)與直線(xiàn)[DE]的交為點(diǎn)[F]，∴[∠DFC=90°]，∴點(diǎn)[F（2， 2）]，∴[DF=3-2=1]，[CF=2-0=2]，∴[CD=CF2+DF2=5]，∴[PD+PM]的最小值為[5]。

（三）當(dāng)三角形的面積最大時(shí)，求倍數(shù)線(xiàn)段和的最小值

[例3]已知拋物線(xiàn)[C1]：[y=ax2]的圖像如圖4。[A0， 14]，直線(xiàn)[l]：[y=-14]，點(diǎn)[B]為拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)且滿(mǎn)足點(diǎn)[B]到點(diǎn)[A]的距離與點(diǎn)[B]到直線(xiàn)[l]的距離始終相等。

（1）直接寫(xiě)出：[a]的值? ? ? ? ? ? ?;

（2）如圖5，若直線(xiàn)[l2]：[y=mx+14m>0]交拋物線(xiàn)于[D]、[E]兩點(diǎn)（點(diǎn)[D]在點(diǎn)[E]的右邊），交[x]軸于點(diǎn)[F]，過(guò)點(diǎn)[E]作[EM⊥l]于點(diǎn)[M]，過(guò)點(diǎn)[D]作[DN⊥l]于[N]，點(diǎn)[H]為[MN]的中點(diǎn)，若點(diǎn)[H]到直線(xiàn)[l2]的距離為[7]，求[m]的值;

（3）如圖6，將拋物線(xiàn)[C1]向右平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位得到拋物線(xiàn)[C2]，[C2]交[x]軸于[A]、[B]兩點(diǎn)，交[y]軸于點(diǎn)[C]，點(diǎn)[P]為直線(xiàn)[BC]下方拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)[Q]為[y]軸上一點(diǎn)，當(dāng)[△PBC]的面積最大時(shí)，求[2PQ+CQ]的最小值。

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)[B]到點(diǎn)[A]的距離與點(diǎn)[B]到直線(xiàn)[l]的距離始終相等，判定點(diǎn)[B]的坐標(biāo)為[12，14]或[-12，14]，代入解析式求解;（2）構(gòu)造全等三角形，利用勾股定理和根與系數(shù)關(guān)系定理計(jì)算;（3）在[y]軸左側(cè)作[∠OCR=30°]交[x]軸于點(diǎn)[R]，過(guò)點(diǎn)[Q]作[QT⊥CR]于點(diǎn)T，則[PQ+12CQ=PQ+QT≥PT]，當(dāng)[P]、[Q]、[T]三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)[PQ+12CQ]取得最小值，求出最小值。

解：（1）如圖4所示，∵點(diǎn)[A]到直線(xiàn)[l]的距離為[14--14=12]，點(diǎn)[B]到點(diǎn)[A]的距離與點(diǎn)[B]到直線(xiàn)[l]的距離始終相等，∴點(diǎn)[B]的坐標(biāo)為[12，14]或[-12，14]，∴[14=a×122]，解得[a=1]，故答案為1;

（2）如圖7，連接[EH]并延長(zhǎng)交[DN]延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)[G]，連接[AH]，[DH]，∵[∠EMH=∠GNH=90°]，[∠EHM=∠GHN]，[MH=NH]，∴[△EMH≌△GNH]， ∴[EH=GH]，[EM=GN]，∵[EA=EM]，[DA=DN]，∴[ED=EA+DA=EM+DN=DG]，∴[∠EDH=∠GDH]，[DH⊥EG]，∴[△ADH≌△NDH（SAS）]，∴[∠HAD=∠HND=90°]，∴[AH=7]，

根據(jù)題意得[y=x2，y=mx+14，]∴[x2-mx-14=0]，∴[xE+xD=m]，[xE?xD=-14];

∵[H]為[MN]的中點(diǎn)，∴[Hm2，-14]，∴[m22+122=72]，∵[m>0]，∴[m=33];

（3）∵拋物線(xiàn)[C1]向右平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位得到拋物線(xiàn)[C2]，∴[C2]的解析式為[y=（x-2）2-1]，即[y=x2-4x+3]，令[y=0]，得[（x-2）2-1=0]，解得[x1=1]，[x2=3]，∴[A（1， 0）]，[B（3， 0）]，令[x=0]，得[y=3]，∴[C（0， 3）]，

設(shè)直線(xiàn)[BC]的解析式為[y=kx+3]，∴[3k+3=0]，即[k=-1]，∴直線(xiàn)[BC]的解析式為[y= -x+3]，

如圖8，連接[PB]，[PC]，作直線(xiàn)[BC]，過(guò)點(diǎn)[P]作[PW⊥x]軸，交直線(xiàn)[BC]于點(diǎn)[W]，設(shè)點(diǎn)[P]的橫坐標(biāo)為[x]，則[P（x， x2-4x+3）]，[W（x，-x+3）]，∴[WP=-x+3-（x2-4x+3）=-x2+3x]，[∴S△PBC=12WP·xB-xC=12（-x2+3x）×3=-32x2+92x=-32x-322+278]，

∴當(dāng)[x=32]時(shí)，[S△PBC]最大，此時(shí)點(diǎn)[P32，-34]，

在[y]軸左側(cè)作[∠COR=30°]交[x]軸于點(diǎn)[R]，過(guò)點(diǎn)[Q]作[QT⊥CR]于點(diǎn)[T]，[QT=12CQ]，則[PQ+12CQ=PQ+QT≥PT]，當(dāng)[P]、[Q]、[T]三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)[PQ+12CQ]取得最小值，

設(shè)直線(xiàn)[CR]與直線(xiàn)[PW]交于點(diǎn)[S]，∵[OC=3]，∴[OR=COtan30°=3×33=3]，∴[R-3， 0]，設(shè)直線(xiàn)[CR]的解析式為[y=mx+3]，∴[-3m+3=0]，即[m=3]，∴直線(xiàn)[CR]的解析式為[y=3x+3]，∴[S32，332+3]，∴[PS=323+3--34=15+634]，

∵[CO∥PS]，∴[∠S=∠RCO=30°]，在[Rt△PTS]中，[PT=12PS=334+158]，

∴[PQ+12CQ]的最小值為[334+158]，∴[（2PQ+CQ）min=2PT=332+154]。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線(xiàn)的解析式、拋物線(xiàn)的最值、拋物線(xiàn)與一元二次方程的關(guān)系、三角函數(shù)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形和垂線(xiàn)段最短。熟練掌握拋物線(xiàn)解析式的確定，三角函數(shù)性質(zhì)，線(xiàn)段和的最值求法是解題的關(guān)鍵。

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）