【摘要】本文用三角代換、坐標(biāo)平移、巧設(shè)坐標(biāo)、幾何圖形的性質(zhì)及參數(shù)等手段研究2022年全國(guó)乙卷圓錐曲線(xiàn)大題的解法，并且拓展到一般結(jié)論，感受四兩撥千斤的效果.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線(xiàn);三角代換;斜率積;平移;對(duì)偶式

圓錐曲線(xiàn)以眾多的考點(diǎn)及多樣的命題背景深受命題者的青睞，同時(shí)也因?yàn)閺?fù)雜的點(diǎn)、線(xiàn)關(guān)系，復(fù)雜的計(jì)算讓廣大考生無(wú)從下手[1] .因此在碰到圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的時(shí)候，要時(shí)刻記住山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村，我們不僅要會(huì)強(qiáng)破硬算，更要會(huì)巧解巧算，多角度觀察處理解決問(wèn)題，思維打開(kāi)后就會(huì)有好多解法漫天飛舞，于無(wú)色處見(jiàn)繁花.

本文就以2022年高考全國(guó)乙卷第20題為例淺談此類(lèi)問(wèn)題的解法與結(jié)論推廣.

1試題展現(xiàn)

常規(guī)解法

2思路分析

以上常規(guī)解法的計(jì)算量非常大，大部分同學(xué)是做不出來(lái)的.我們分析一下第2問(wèn)的其他解法.

思路1從特殊位置入手，求出定點(diǎn)，再利用三角代換驗(yàn)證定點(diǎn);

思路2巧設(shè)坐標(biāo)，妙湊對(duì)偶式求定點(diǎn);

思路3利用斜率積中的定值求出定點(diǎn);

思路4利用定比點(diǎn)差法證明過(guò)定點(diǎn);

思路5從幾何性質(zhì)入手，利用參數(shù)方程證明過(guò)定點(diǎn).

3解法探究

解法1先猜后證

思路分析用常規(guī)解法中的特殊位置先猜測(cè)定點(diǎn)是A，這部分這里先省略. 由于本題橢圓焦點(diǎn)在y軸上，先通過(guò)坐標(biāo)變換，方程化為焦點(diǎn)在x軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程，這樣我們使用三角代換得到的方程比較簡(jiǎn)潔，能使計(jì)算簡(jiǎn)化，再證明N，T，G三點(diǎn)共線(xiàn)（G為PA的中點(diǎn)）即可.

4結(jié)論拓展

5結(jié)語(yǔ)

一點(diǎn)一線(xiàn)走江湖，一直一曲看題圖，一切一交定長(zhǎng)短.有點(diǎn)有線(xiàn)，有直有曲，它們盤(pán)根交錯(cuò)，融入切割，集合三角，龐大的計(jì)算量總是讓人望而卻步、無(wú)從下手，本題就是如此.

換個(gè)角度，換種方法，合理利用三角代換，參數(shù)方程，幾何性質(zhì)等利器，就能從平淡中析出光芒，于無(wú)色處見(jiàn)繁花.

參考文獻(xiàn)

[1]欒功，郭慧清.2021年高考全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué)第20題的探究與推廣[J].中學(xué)教學(xué)參考，2022（02）：1-4.

作者簡(jiǎn)介潘慶森（1982—），男，福建永春人，中學(xué)二級(jí)教師;主要研究高三數(shù)學(xué)教學(xué).