李小華　吳偉鴻　許如意

【摘要】本文探究一道2022年新高考Ⅰ卷解析幾何題目21題的解法，并將此類問題推廣為一般情況，得到相關(guān)的結(jié)論，對教師的解題教學(xué)有很好的借鑒作用.

【關(guān)鍵詞】解析幾何;齊次化;直線參數(shù)方程

解析幾何是利用代數(shù)方法研究幾何問題，高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.高考中解析幾何試題綜合性強、應(yīng)用面廣，對學(xué)生的推理論證能力、運算求解能力要求較高.? 由于解析幾何蘊含了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想，所以解析幾何試題可以有效地考察學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3]. 本文以2022年數(shù)學(xué)新高考Ι卷第21題解析幾何題的解法探究，談?wù)勗诟呷A段如何對解析幾何進行復(fù)習(xí).

1試題再現(xiàn)

2解法探究

3結(jié)論推廣

4解析幾何復(fù)習(xí)備考策略

從近幾年全國各地的高考數(shù)學(xué)試卷來看，解析幾何考査知識內(nèi)容覆蓋了直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等，突出考察學(xué)生的理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)探索等學(xué)科素養(yǎng)，通過對近幾年各地高考試題分析，現(xiàn)給出如下備考建議：

（1）回歸教材，注重基礎(chǔ)，建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò). 高考試題中對解析幾何的基礎(chǔ)知識進行了全面考查，如圓錐曲線定義、焦點三角形、拋物線焦點弦等幾何性質(zhì)以及直線與曲線的位置關(guān)系等，而且不回避熱點，如求圓的方程問題、橢圓和雙曲線離心率問題、弦長問題等，仔細對比可以發(fā)現(xiàn)，每年的高考試題很多都是由課本習(xí)題改編而來，比如2019年全國卷Ⅱ理科第21題第1問源于人教A版教材41頁例3，2017年全國卷Ⅱ理科第20題源于人教A版教材41頁例2，這些高考試題源于課本，又高于課本，因此高考復(fù)習(xí)要回歸課本基礎(chǔ)知識，使學(xué)生了解知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程，夯實學(xué)生的基礎(chǔ)知識，使學(xué)生掌握解決問題的工具.

（2）重視圓錐曲線的幾何性質(zhì)，切實提升學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想解決問題的能力. 坐標法是解決解析幾何問題的通性通法，但是解析幾何問題的本質(zhì)是幾何問題，利用題目圖形的幾何性質(zhì)解答，往往能避開繁瑣的代數(shù)運算，起到出奇制勝、事半功倍的效果，縱觀近幾年的高考試題，很多題目都離不開圖形分析，例如2016年全國卷Ⅰ理科第20題第1問，利用平行直線同位角相等和等腰三角形底角相等的幾何性質(zhì)，在解題過程中需要學(xué)生自己畫圖. 因此在平時的教學(xué)中，要訓(xùn)練學(xué)生多畫圖，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化的意識，提升學(xué)生解題能力和效率.

（3）多角度審視，注重一題多解，把握問題的本質(zhì). 計算能力是學(xué)生解決解析幾何問題的一個攔路虎，解析幾何往往伴有繁瑣的代數(shù)運算，導(dǎo)致“會而不對”，學(xué)生望而生畏，但解析幾何的試題不同解法之間運算量的差異很大，有的是“可望而不可及”，比如2022年新高考Ⅰ卷21題第1問中，思路1比較容易上手，但計算量比較大，思路2從點入手，利用這些點滿足的幾何特點，抓住用坐標刻畫運動，用代數(shù)方法來研究幾何問題的本質(zhì)，與思路1相比，思路更自然，計算量更小，思路3在思路2的基礎(chǔ)上利用參數(shù)方程，將復(fù)雜的代數(shù)運算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)化簡問題，從而大大減少了該題的計算量，思路4通過重構(gòu)雙曲線方程和巧設(shè)直線方程，進一步整合代數(shù)與幾何的關(guān)系，避開了解決圓錐曲線綜合問題常用的“設(shè)直線、聯(lián)立方程、消元、根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式”解題策略，簡化計算.? 為此，在復(fù)習(xí)過程中要特別注重對不同方法的分析、比較，要研究圖形的幾何特征、掌握處理代數(shù)式的一般方法，知道不同方法的差異，要達到這樣的目的，關(guān)鍵是對問題本質(zhì)的把握，只有多角度審視，看清了問題的實質(zhì)，才能發(fā)現(xiàn)最佳的突破口.

（4）夯實基本技能和基本方法，提升學(xué)科核心素養(yǎng). 從2022年新高考Ⅰ卷試題發(fā)現(xiàn)，在高三專題復(fù)習(xí)中不能僅是簡單地題海戰(zhàn)術(shù)，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生分析圖形特征，用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)形式表達題目中的幾何關(guān)系，深化對問題的分析，回歸解析幾何的本質(zhì). 高三專題復(fù)習(xí)的重點應(yīng)放在對典型例題的講解，體會解題中所蘊含的思想方法，加深學(xué)生對概念的理解、基本方法和基本技能的掌握上，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考，而不是簡單的機械模仿，避免導(dǎo)致學(xué)生缺少對解析幾何本質(zhì)、基本方法和基本思想的理解與掌握. 例如圓錐曲線與方程這一專題的基本技能和基本方法主要是借助坐標系用代數(shù)方法表示和研究曲線，同時要注重幾何直觀的作用，用到的知識技能方法包括數(shù)形轉(zhuǎn)化以及向量轉(zhuǎn)化等.

（5）加大訓(xùn)練力度，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和運算求解能力. 根據(jù)高考評價體系的整體框架對高考數(shù)學(xué)學(xué)科提出了邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力等關(guān)鍵能力. 解析幾何問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的綜合應(yīng)用問題，對于邏輯思維能力和運算求解能力要求較高，好的思路是通過一定的運算、推理等數(shù)學(xué)語言表達出來的. 因此在平面解析幾何專題復(fù)習(xí)過程中，提升學(xué)生的邏輯思維能力和運算求解能力尤為重要，因此平時要引導(dǎo)學(xué)生進行以運算為主的練習(xí)和規(guī)范嚴密的思維分析訓(xùn)練.

參考文獻

[1]吳志雄.用直線的參數(shù)方程探究圓錐曲線中的定點問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（07）：44.

[2]李小華.新高考背景下高中學(xué)生發(fā)展指導(dǎo)的實踐與探索[J].學(xué)苑教育，2021（35）：38.

[3]中國高考報告學(xué)術(shù)委員會.高考試題分析.數(shù)學(xué)[M].北京：現(xiàn)代教育出版社，2021：212.

作者簡介李小華（1981—），男，福建三明人，中學(xué)高級教師;主要研究高中數(shù)學(xué)教學(xué).

吳偉鴻（1973—），男，福建晉江人，中學(xué)高級教師;主要研究高中數(shù)學(xué)教學(xué).

許如意（1986—），女，福建晉江人，中學(xué)二級教師;主要研究高中數(shù)學(xué)命題研究.