江佳慧

[摘 要]HPM指數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究。HPM已成為數(shù)學(xué)教育的重要研究方法之一。將數(shù)學(xué)史融于數(shù)學(xué)教學(xué)，可以從不同方面對高中數(shù)學(xué)的教學(xué)起到借鑒作用。文章主要通過文獻(xiàn)研究法和案例分析法，探究數(shù)學(xué)史教學(xué)與微積分的發(fā)展史，分析高中導(dǎo)數(shù)教學(xué)存在的困難，將HPM融入導(dǎo)數(shù)教學(xué)。

[關(guān)鍵詞]HPM;導(dǎo)數(shù);教學(xué)

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2022）17-0001-04

一、研究的目的和意義

第一，學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)能夠豐富學(xué)生解決問題的方法，鍛煉學(xué)生思考問題的能力。

在解答導(dǎo)數(shù)相關(guān)問題時(shí)，學(xué)生需要靈活運(yùn)用各種解題方法，全面掌握導(dǎo)數(shù)的所有知識點(diǎn)。在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)時(shí)，學(xué)生要轉(zhuǎn)變原有的數(shù)學(xué)觀，從不變到變化、從有限到無限、從靜態(tài)到動態(tài)、從常量到變量。

第二，微積分中包含極限思想、函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想等。在高中階段教授微積分可以鍛煉學(xué)生的探索意識和思維能力，提高學(xué)生解決問題的能力。

研究我國教育史可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容有限，發(fā)展十分緩慢。起初只教授算術(shù)，之后才在中學(xué)教材中逐步添加幾何、代數(shù)、數(shù)列和不等式等內(nèi)容，微積分這一部分知識在很長一段時(shí)間里都沒有被添加到高中教材中，高考也未涉及，只有一些學(xué)有余力的、有興趣、有天賦的學(xué)生把微積分作為數(shù)學(xué)學(xué)科競賽的參考資料去學(xué)習(xí)。這主要是因?yàn)椴糠盅芯繉W(xué)者認(rèn)為，微積分中的思想方法對于高中生來說是難以接受的，提早讓他們接觸這一部分內(nèi)容會讓他們心有余而力不足，逐漸失去探究解決數(shù)學(xué)問題的興趣。但是，隨著我國義務(wù)教育的全面普及，學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高，學(xué)習(xí)資源與學(xué)習(xí)環(huán)境的逐步優(yōu)化，導(dǎo)數(shù)作為微積分的一部分基礎(chǔ)知識被納入教學(xué)大綱，成為高中數(shù)學(xué)選修教材內(nèi)容中的一部分，目的是做好高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)與高等數(shù)學(xué)微積分的銜接，鍛煉學(xué)生探索的意識，提高學(xué)生探究問題和解決問題的積極性，優(yōu)化學(xué)生解決問題的方法。

第三，從數(shù)學(xué)文化價(jià)值看，可讓學(xué)生通過自主探索數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過程，體會數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感。

培養(yǎng)什么人，是教育的首要問題[1]。把立德樹人作為學(xué)校的立身之本，是時(shí)代的要求。

微積分的基礎(chǔ)內(nèi)容導(dǎo)數(shù)被寫進(jìn)了高中數(shù)學(xué)教材，高中生首次接觸到新的領(lǐng)域，面對新的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，肯定會對它的來歷和作用產(chǎn)生疑惑，它是怎么來的？有什么用處？在我國古代，劉徽提出割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！盵2]其中涉及的分割思想、極限思想等都是微積分的雛形。雖然微積分的雛形在我國古代早已出現(xiàn)，但由于我國自古以來都是農(nóng)業(yè)生產(chǎn)國，數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程相比西方較慢。

了解數(shù)學(xué)史，一方面可以提升學(xué)生的民族自豪感、自信心，另一方面可以鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，增強(qiáng)學(xué)生的愛國主義精神。數(shù)學(xué)教師不能單純地教授課本知識，要在課本知識的基礎(chǔ)上，延伸數(shù)學(xué)思想，拓展傳播數(shù)學(xué)文化。

筆者基于HPM設(shè)計(jì)高中微積分教學(xué)，將數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)問題貫穿整個(gè)教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、主動學(xué)習(xí)。

二、導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)一：數(shù)學(xué)史情境引入

導(dǎo)入：17世紀(jì)，牛頓熱衷于研究物體的運(yùn)動規(guī)律，他遇到這樣一個(gè)運(yùn)動：一輛馬車向前跑，路程[s]和時(shí)間[t]滿足[s=t2]。

分析：馬車1 s走完1 m，2 s走完4 m，3 s走完9 m，速度越來越快，顯然是做變速運(yùn)動，在牛頓之前研究物體的運(yùn)動規(guī)律的數(shù)學(xué)家能夠算出一段時(shí)間內(nèi)的平均速度，例如從第5秒到第6秒，小車從25 m處走到36 m處，這段路程的平均速度[v=st=11 m/s]，但牛頓并不滿足于算平均速度，他更想知道既然是變速運(yùn)動，那么速度是如何變化的，也就是每一個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度。

問題1：小車在第5秒的瞬時(shí)速度是多少？

分析：第5秒經(jīng)過的時(shí)間為0，經(jīng)過的路程還是0。牛頓將問題看成動態(tài)的，從平均速度的原理出發(fā)，逐步縮短時(shí)間間隔，計(jì)算第5秒到第5.5秒的平均速度：[v2=5.52-525.5-5=（5.5+5）（5.5-5）5.5-5=5.5+5=10.5（m/s）]。

問題2：10.5仍是平均速度，這么做有什么意義？

分析：雖然10.5也不是瞬時(shí)速度，但是因?yàn)闀r(shí)間間隔縮短了，10.5比11更接近第5秒時(shí)的瞬時(shí)速度，所以只要不斷縮短時(shí)間間隔，求出平均速度，就會無限接近第5秒時(shí)的瞬時(shí)速度，這就是微積分思想的雛形——無限接近思想。利用這個(gè)想法，牛頓最終求出瞬時(shí)速度。

[ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻(xiàn) ? ]

[1] ?本報(bào)評論員.培養(yǎng)什么人，是教育的首要問題[N].光明日報(bào)，2018-09-13（3）.

[2] ?張勁松.“割圓術(shù)”的內(nèi)涵及其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2010（10）：19-22.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）