鮑愛(ài)珍

真題呈現(xiàn)

例1 （2021·重慶）如圖1，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，M是邊AD上一點(diǎn)，連接OM，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥OM，交CD于點(diǎn)N. 若四邊形MOND的面積是1，則AB的長(zhǎng)為（）.

A. 1 B. [2] C. 2 D. [22]

追根溯源

八年級(jí)下冊(cè)第63頁(yè)“實(shí)驗(yàn)與探究”中的問(wèn)題1：如圖2，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等.無(wú)論正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積始終等于一個(gè)正方形面積的[14]. 想一想，這是為什么.

思路點(diǎn)撥：本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，只需證明△AOE ≌△BOF，即可得到S四邊形BEOF = S△AOB.

破解策略

解決例1的關(guān)鍵是尋找三角形全等的基本模型：正方形模型，如圖3;旋轉(zhuǎn)型全等三角形模型，如圖4.

解析：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠MDO = ∠NCO = 45°，OD = OC，∠DOC = 90°，∴∠DON + ∠CON = 90°.

∵ON⊥OM，∴∠MON = 90°，∴∠DON + ∠DOM = 90°，

∴∠DOM = ∠CON，∴△DOM≌△CON（ASA）.

∵S四邊形MOND = 1，S四邊形MOND = S△DOM? + S△DON，

∴S四邊形MOND = S△CON? + S△DON? = S△DOC，∴S△DOC = 1，

∴S正方形ABCD = 4，∴AB2 = 4，∴AB = 2. 故選C.

變式拓展

變式1 將圖1中的MO延長(zhǎng)交BC于E，NO延長(zhǎng)交AB于F，隱去對(duì)角線AC與BD，變換字母后即為八年級(jí)下冊(cè)第62頁(yè)第13題：

如圖5，E，F(xiàn)，M，N分別是正方形ABCD的四條邊上的點(diǎn)，且AE = BF = CM = DN. 試判斷四邊形EFMN是什么圖形，并證明你的結(jié)論.

結(jié)論：四邊形EFMN是正方形.（證明過(guò)程略）

變式2 將變式1中的“E，F(xiàn)，M，N分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，且AE = BF = CM = DN”改為“E，F(xiàn)，M，N分別是正方形ABCD四條邊的中點(diǎn)”，變換字母后即為八年級(jí)下冊(cè)第67頁(yè)第6題：

如圖6，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊的中點(diǎn)，四邊形EFGH是什么四邊形？為什么？

結(jié)論：四邊形EFGH是正方形. （證明過(guò)程略）

變式3 在變式1中，增加正方形的邊長(zhǎng)為已知條件，改變點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N分別為AB，BC，CD，DA上的動(dòng)點(diǎn)，變換字母后即為江蘇省泰州市的一道中考題（即例2）.

例2 如圖7，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8 cm，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的動(dòng)點(diǎn)，且AE = BF = CG = DH. 求證：（1）四邊形EFGH是正方形;（2）判斷直線EG是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，并說(shuō)明理由;（3）求四邊形EFGH面積的最小值.

解析：（1）證明過(guò)程略.

（2）用觀察、操作等方法，通過(guò)合情推理作出猜想：直線EG經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).

如圖8，證明這個(gè)結(jié)論正確性的思路主要有兩種：

一是連接AC，EG，相交于點(diǎn)O，證明△AEO≌△CGO，得AO = CO，即O為AC的中點(diǎn);二是連接AC，EG，相交于點(diǎn)O，連接EC，AG，證明四邊形AECG是平行四邊形，則AO = CO，即O為AC的中點(diǎn).

（3）方法1：設(shè)AE = x cm，則AH = （8 - x）cm，

在Rt△AEH中，EH2 = AE2 + AH2 = x2 + （8 - x）2，

則S正方形EFGH = EH2 = x2 + （8 - x）2? = 2x2 - 16x + 64 = 2（x - 4）2 + 32，

當(dāng)x = 4（即E為AB的中點(diǎn)）時(shí)，S正方形EFGH取最小值32 cm2.

方法2：易知S△HAE = S△EBF = S△FCG = S△GDH.

設(shè)AE = x cm，則AH = （8 - x）cm，

S正方形EFGH = S正方形ABCD - 4S△HAE = 64 - 4 × [12] x（8 - x）

= 2x2 - 16x + 64 = 2（x - 4）2 + 32.

當(dāng)x = 4（即E為AB的中點(diǎn)）時(shí)，S正方形EFGH取最小值32 cm2.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★解題時(shí)間：15分鐘

1. 在例2中，小明證明直線EG一定經(jīng)過(guò)正方形對(duì)角線的中點(diǎn)的方法如下，請(qǐng)你幫助分析一下，小明的證法是否正確？如果不正確，請(qǐng)你指出錯(cuò)在哪里，如何糾正.

如圖9，連接AC，BD，設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，連接EO，GO.

∵四邊形ABCD為正方形，∴AB[?]CD，

∴∠EAO = ∠GCO，∠AEO = ∠CGO.

∵AE = CG，∴△AEO≌△CGO，∴AO = CO，

即EG一定經(jīng)過(guò)正方形的對(duì)角線的中點(diǎn)O.

2. （2021·江蘇·泰州）如圖10，四邊形ABCD中，AB = CD = 4，且AB與CD不平行，P，M，N分別是AD，BD，AC的中點(diǎn)，設(shè)△PMN的面積為S，則S的范圍是_________.

（答案見(jiàn)第37頁(yè)）